運動學(xué)與動力學(xué)4

1、在運動中，剛體上的任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運動稱為平面運動。oRCAxyM8.1 剛體平面運動概述和運動分解MNSA1A2A剛體上每一點都在與固定平面M平行的平面內(nèi)運動。 若作一平面N與平面M平行,并以此去截割剛體得一平面圖形S。 可知該平面圖形S始終在平面N內(nèi)運動。因而垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然作平移。A1A2的運動可用其與圖形 S的交點 A的運動來替代。剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運動。123( ),( ),( )OOxf tyf tf t這就是平面圖形的運動方程。SMOyxO8.1 剛體平面運動概述和運動分解平面圖形S在其平面上的位置

2、完全可由圖形內(nèi)任意線段OM的位置來確定，而要確定此線段的位置，只需確定線段上任一點O的位置和線段OM與固定坐標(biāo)軸Ox間的夾角即可。點O的坐標(biāo)和角都是時間的函數(shù)，即平面圖形的運動方程可由兩部分組成：一部分是平面圖形按點O的運動方程xO = f1(t), yO = f2(t)的平移，沒有轉(zhuǎn)動；另一部分是繞O點轉(zhuǎn)角為 = f3(t)的轉(zhuǎn)動。8.1 剛體平面運動概述和運動分解平面運動的這種分解也可以按上一章合成運動的觀點加以解釋。以沿直線軌道滾動的車輪為例，取車廂為動參考體，以輪心點O為原點取動參考系Oxy，則車廂的平動是牽連運動，車輪繞平動參考系原點O的轉(zhuǎn)動是相對運動，二者的合成就是車輪的平面運動(

3、絕對運動)。單獨輪子作平面運動時，可在輪心O處固連一個平動參考系Oxy，同樣可把輪子這種較為復(fù)雜的平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動兩種簡單的運動。yxOyxO8.1 剛體平面運動概述和運動分解對于任意的平面運動，可在平面圖形上任取一點 ，稱為基點。在這一點假想地安上一個平移參考系Oxy；平面圖形運動時，動坐標(biāo)軸方向始終保持不變，可令其分別平行于定坐標(biāo)軸Ox和Oy 。yxOyxO （1）平面圖形的平面運動可看成為隨同基 點的平移和繞基點轉(zhuǎn)動這兩部分運動的合成。 （2）在任一瞬時，平移的速度和加速度與基點的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度都相同，與基點選擇無關(guān)。OOM 平面圖形內(nèi)任一點的速

4、度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和,這就是平面運動的速度合成法或稱基點法。1. 基點法已知O點的速度及平面圖形轉(zhuǎn)動的角速度，求M點的速度。8.2 求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法wvMvOvMOvOaervvvMOMOvvv例1 橢圓規(guī)機構(gòu)如圖。已知連桿AB的長度l = 20 cm，滑塊A的速度vA=10 cm/s ，求連桿與水平方向夾角為30時，滑塊B和連桿中點M的速度。 解: AB作平面運動，以A為基點，分析B點的速度。cot3010 3 cm/sBAvv由圖中幾何關(guān)系得：1rad sBAABvlw方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30BABAvvvM20 cm/ssi

5、n30ABAvv30以A為基點，則M點的速度為將各矢量投影到坐標(biāo)軸上得：:cossin30MAMAxvvv :sincos30MMAyvv解之得10cm sMvtan360AvAvAvMABwAB30MvMMAMAvvvxy例2 行星輪系機構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動，半徑為r2。系桿OA角速度為wO。求輪II的角速度wII及其上B，C兩點的速度。解:行星齒輪II作平面運動，求得A點的速度為vAwOODACBvAvDAwIIIII以A為基點，分析兩輪接觸點D的速度。12()AOOvOArrww由于齒輪I固定不動，接觸點D不滑動，顯然vD0，因而有vDAvAw

6、O(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點D相對基點A的速度，應(yīng)有vDA wIIDA。所以12II2()ODArrvDArwwDAADvvv vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點，分析點B的速度。II12()BAOAvBArrvwwvBA與vA垂直且相等，點B的速度221222()BABAAOvvvvrrw以A為基點，分析點C的速度。vCA與vA方向一致且相等，點C的速度II12()CAOAvCArrvww122()CCAOvvvrrwBABAvvvCAACvvv 同一平面圖形上任意兩點的速度在其連線上的投影相等。這就是速度投影定理。2. 速度投影定理由于vB

7、A垂直于AB，因此vBAAB=0。于是將等式兩邊同時向AB方向投影:8.2 求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法ABwvBvAvBAvABABAABABABvvvBAABABvvBABAvvv例3 用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得60cos30cosBAvv解得10 3cm sBv BAABABvvAvAvBB30定理：一般情況，在每一瞬時，平面圖形上都唯一地存在一個速度為零的點。8.3 求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法wS設(shè)有一個平面圖形S角速度為w，圖形上點A的速度為vA，如圖。在vA的垂線上取一點C (由vA到AC的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，有如果取AC vA /w ，則CAvvACw0CA

8、vvACwNCvAvCA該點稱為瞬時速度中心，或簡稱為速度瞬心。 vAA圖形內(nèi)各點速度的大小與該點到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動的一方。 8.3 求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法CAwvAvBBDvDwC確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1) 平面圖形沿一固定表面作無滑動的滾動，圖形與固定面的接觸點C就是圖形的速度瞬心。如車輪在地面上作無滑動的滾動時。8.3 求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法vC(2) 已知圖形內(nèi)任意兩點A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每點速度的垂線的交線上。 8.3 求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法wABwOCvAABvB (3) 已

9、知圖形上兩點A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點的連線AB，則速度瞬心必定在連線AB與速度矢vA和vB端點連線的交點C上。 8.3 求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC (4)某瞬時，圖形上A、B兩點的速度相等,如圖所示，圖形的速度瞬心在無限遠處。(瞬時平動：此時物體上各點速度相同，但加速度不一定相等) 8.3 求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法wOvAABvB另外注意：瞬心的位置是隨時間在不斷改變的，它只是在某瞬時的速度為零，加速度并不為零。確定瞬心的一般方法：確定瞬心的一般方法：ABAvBvAAvBBvCwCABAvBvwCABAvBvwABAvBvCw例4 用速度

10、瞬心法解例1。解： AB作平面運動1rad ssin30AAvvAClwcos3010 3cm sBvBClww210cm sMlvMCwwAvAvBB30CvMwM瞬心在C點例5 已知輪子在地面上作純滾動，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點即A1各點的速度方向分別為各點與A點連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見車輪頂點的速度最快，最下面點的速度為零。2422AAvvrvwovrvw10AvO322Avrvw459090O1OBAD例6 已知四連桿機構(gòu)中O1Bl，AB3l/2，ADD

11、B，OA以w繞O軸轉(zhuǎn)動。求：(1) AB桿的角速度；(2) B和D點的速度。w 解：AB作平面運動，OA和O1B都作定軸轉(zhuǎn)動，C點是AB桿作平面運動的速度瞬心。vAvBvDCwAB32 ,23 23 5,24OAlABBClACl DCl2AvOAlww2233 22AABvlAClwwwBABvBClww52DABvDClww例7 直桿AB與圓柱O相切于D點，桿的A端以 勻速向前滑動，圓柱半徑 ，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無滑動，如圖，求 時圓柱的角速度。scmvA60cmr1060 解一：圓柱作平面運動，其瞬心在 點，設(shè)其角速度為 。1CwwwrDCvD31 AB圓柱作平面運動，其瞬心在

12、 點，則2CAvABDO1CwDv2CABw22ACvDCvADABw即AADvvrrv3333亦即Avr333w故sradrvA2103603w例8 圖示小型精壓機的傳動機構(gòu)，OAO1Br0.1 m，EBBDADl0.4 m，在圖示瞬時OAAD，O1BED，O1D在水平位置，OD和EF在鉛直位置。已知曲柄OA的轉(zhuǎn)速n120 rpm，求此時壓頭F的速度。OADO1BEFn例9 圖示機構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為w，OAABBO1O1Cr，角 = b = 60，求滑塊C的速度。解：AB和BC作平面運動，其瞬心分別為C1和C2點，則wwrOAvA1AABvrACrwww1BABvBCrww2133B

13、BCvrBCrwww233CBCvCCrwwwbOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：連桿AB作平面運動，瞬心在C1點，則12 3cos303AABvrrACABlwww1sin302 33233BABABvBCABlrrlwwww例10 曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長r以勻角速度w轉(zhuǎn)動，AB = BC = BD = l，當(dāng)曲柄與水平線成30角時，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30角。試求圖示位置時，桿AB、BC的角速度以及沖頭C 的速度。AOBDC3030vAvBvCwC1wABC2wBC連桿BC作平面運動，瞬心在C2點，則233BBCvrBClww233CBCr

14、vCCww例11 曲柄連桿機構(gòu)中，在連桿AB上固連一塊三角板ABD，如圖所示。機構(gòu)由曲柄O1A帶動。已知曲柄的角速度為w2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當(dāng)O1AO1O2時，ABO1O2 ，且AD與AO1在同一直線上， =30。試求三角板ABD的角速度和點D的速度。解、運動分析：O1A和O2B作定軸轉(zhuǎn)動；ABD作平面運動，其速度瞬心在點C。 O1O2ABDCw2wABDwvAvDvB10.2 m/sAvO Aw110.1866 mCACOO A1.072 rad/sAABDvCAw0.2366 mCDCAAD0.254 m/sDABDvCDw例

15、12 圖示蒸汽機傳動機構(gòu)中，已知：活塞的速度為v，O1A1=a1, O2A2=a2, CB1=b1, CB2=b2; 齒輪半徑分別為r1和r2；且有a1b2r2a2b1r1。當(dāng)桿EC水平，桿B1B2鉛直，A1，A2和O1，O2都在一條鉛直線上時，求齒輪O1的角速度。vA1vA2w1w2解：設(shè)齒輪O1轉(zhuǎn)動方向為逆時針，則齒輪O2的轉(zhuǎn)動方向為順時針。因A1，A2和O1，O2在一條鉛直線上，所以A1，A2點的速度均為水平方向，如圖所示 。因B1B2作平面運動，vCB1B2，由速度投影定理知vB1，vB1也應(yīng)垂直于B1B2而沿水平方向。A1B1作平面運動，vA1和vB1都沿水平方向，所以A1B1作瞬時

16、平動，同理A2B2也作瞬時平動，所以vB1vB2111111 1BAvvO AawwvC2222222BAvvO AawwvA1vB1vB2vA2vCw1w2B1B2桿的速度分布如圖所示，速度瞬心在O點。設(shè)OC長度為x，則O21 12/r rwww因齒輪O1，O2相互嚙合，w1r1w2r2 ，所以2222 112/Bvaa rrwwCvvOCxww11111 1()BvOBbxbvawwww12211 2 22 1 1()bb r vab ra brw22222 112()/BvOBbxbva rrwwww當(dāng)a1b2r2a2b1r1時，齒輪O1的角速度為逆時針方向。例13 圖示放大機構(gòu)中，桿I

17、和II分別以速度v1和v2沿箭頭方向運動，其位移分別以x和y表示。如桿II與桿III平行，其間距離為a，求桿III的速度和滑道的角速度。 IIIIIIIVBCyv1axAv2解：I、II、III桿作平動，IV桿作平面運動。滑塊B和滑塊C與滑道之間有相對運動，如果取滑道IV作為動參考體分析滑塊B和滑塊C的運動，則牽連運動均為平面運動。ABIVvB(ve1)vAvAvBAva1vr1hIIIIIIIVBCyv1axAv2B點的運動分析：取滑塊B為動點，滑道作為動參考體，絕對運動是滑塊B隨I桿的運動，速度為va1= v1；相對運動是滑塊B在桿滑道中的運動，速度為vr1；牽連運動是桿的平面運動，其速度

18、可用基點法分析得到：取A為基點，分析桿上B點的速度，隨基點平動的速度是桿的運動速度v2，相對于基點轉(zhuǎn)動的速度方向垂直于桿，大小未知，由這兩個速度合成得到桿上B點的速度vB，此速度即是前面復(fù)合運動中的牽連速度ve1，如圖所示。 11111eBABAaerABArvvvvvvv= vvv121BAr vvvvvB(ve1)Av1vAvBAva1vr1BIVh向h方向投影得:12cossinBAvvv2222cos, sinxyxyxy1222BAv yv xvxy12IV22BAvv yv xABxyw121BAr vvvvACvC(ve2)vAvAvCAva2vr2IIIIIIBCyv1axAv

19、2C點運動分析：取滑塊C為動點，滑道作為動參考體，絕對運動是滑塊C隨桿的運動，速度為va2vIII,大小待求； 相對運動是滑塊C在桿滑道中的運動，速度為vr2； 牽連運動是桿的平面運動，其速度可用基點法分析得到：取A為基點，分析桿上C點的速度，隨基點平動的速度是桿的運動速度v2，相對于基點轉(zhuǎn)動的速度vCA方向垂直于桿，大小為vCA=wAC，由這兩個速度合成得到桿上C點的速度vC，此速度即是前面復(fù)合運動中的牽連速度ve2，如圖所示。 22222eCACAaerACAr vvvvvvvvvvIII22CAr vvvvhvC(ve2)AvAvAvCAva2(vIII)vr2CIII22CAr vvv

20、v向h方向投影得:1212IV2222sinCAv yv xv yv xaavACxyxxywIII2sinsinCAvvvIII2sinCAvvvIII221212222()sinCAvaayaxvvvv yv xvvxxx因為所以htBAa如圖所示。由牽連運動為平動的加速度合成定理，有aer aaa而tnBABABA aaa其中tBAABan2BAABwa故tnBABABA aaaa由于牽連運動為平動，所以ae=aA，于是有BABA aaa8.4 用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度BAaAaBaAnBAaaBAw即：平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與相對基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速

21、度的矢量和。這就是平面運動的加速度合成法，稱為基點法。tnBABABA aaaatBAaBAaAaBaAnBAaaBAw8.4 用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度解： 如圖所示。rS 由于此式對任意時間都成立，故兩邊對時間求導(dǎo)有ddddOsvrrttw由此可得rvOw再對時間求導(dǎo)有2222ddddOsarrtt由此可得Oar例14 求圓輪在地面上作純滾動時的角速度w和角加速度。wOOrMMsvOvO 例15 車輪在地面上作純滾動，已知輪心O在圖示瞬時的速度為vO，加速度為aO，車輪半徑為r，如圖。試求輪緣與地面接觸點C的加速度。解：車輪作平面運動，取O點為基點，則C點的加速度為tnCOCOCOa

22、aaa,OOvarrwtOCOOaarrar2n22()OOCOvvarrrrw取如圖的投影軸，將各矢量投影到投影軸上得nCOa0OOCOOCaaaaarvaaOnCOC2hrvaaaOCCC222h方向由C點指向O點。waOCOvOtCOaaOh例16 平面四連桿機構(gòu)中，曲柄OA長r，連桿AB長l4r。當(dāng)曲柄和連桿成一直線時，此時曲柄的角速度為w，角加速度為，試求搖桿O1B的角速度和角加速度的大小及方向。解：AB作平面運動，由題設(shè)條件知，AB的速度瞬心在B點，也就是說，vB = 0，故：OO1ABw3030110BO BvO BwvA取A為基點分析B點的加速度如圖所示：ntntntBBAAB

23、ABAaaaaaa其中：1n210BOBaOBwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAan22221()()4ABAABvraABABrABllwww n22AaOArwwtAaOAr 將加速度向h軸投影得 ：ntnncos30cos60BBABAaaaatnn2221()cos6012()452BABAaaarrrwww 12t21532523BO BrarOBwwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAah30ABCDO100100vCvB4545例17 平面四連桿機構(gòu)的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角速度w = 1 rad/s繞A軸轉(zhuǎn)動，求C

24、點的加速度。 解：AB和CD作定軸轉(zhuǎn)動，BC作平面運動，其B、C兩點的運動軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個速度矢量的垂線得交點O即為該瞬時BC的速度瞬心。由幾何關(guān)系知 200 mm100 2 mm,200 2 mmOBBCOCCD0.5rad/sBBCvABOBOBww50 2 mm/sCBCvOCwwBCwABCDaB45aBnCBatCBatCanCa80.54取B為基點分析C點的加速度，有 ntnntCCBCBCBa +aaaan22100 mm/sBaABwtnn2cos45106.07 mm/sCCBBaaa 將C點的加速度向BC方向投影得：aCn222

25、5 2 mm/sCBBCaBCw2n217.68 mm/sCCvaCD負(fù)值表明實際方向與假設(shè)方向相反。n2t22()()107.5 mm/sCCCaaatnarctan()80.54CCaa 例18 圖示曲柄連桿機構(gòu)中，已知曲柄OA長0.2 m，連桿AB長1m，OA以勻角速度w =10 rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。解：AB作平面運動，瞬心在C點，則2m sAvOAw2rad sAABvACwOwwAB45AvA45vBBCAB作平面運動，以A點為基點，則B點的加速度為tnBABABA aaaa其中n2220m sAAaaOAwO45AaBBaAa nBAa

26、 tBAaAn224m sBAABaABw將B點加速度投影到h軸上得tsin45BABAaaancos45BBAaa25.66m sBa t216m sBAat216rad sBAABaABh將B點加速度投影到軸上得解：薄板作平面運動，取B為基點分析A點的加速度如圖所示：例19 圖示正方形薄板邊長20 mm，在其平面內(nèi)運動。某瞬時頂點A和B的加速度分別為 和 ，方向如圖。求薄板的角速度和角加速度。240 2 mm/sAa 280 mm/sBa DCBAaBaAa nCBa tCBaBntABABAB aaaa其中 ：240 2 mm/sAa 280 mm/sBa n2ABaABwn2ABaAB

27、w將等式兩邊分別向x和y方向投影得： tcos45ABABaaa n240 222 rad/s20ABaABwDCBAxyaBaAa nCBa tCBaBncos45AABaa t228040 222 rad/s20ABaABntABABAB aaaantCBCBCB aaaan2240 mm/sCBaBCwt240 mm/sCxCBaa22240 2 mm/sCCxCyaaa再取B為基點分析C點的加速度如圖所示將加速度分別向x和y方向投影得：其中方向與CD成45夾角指向右下方。DCBAxyaBaCaBa nCBa tCBaCxaCyt240 mm/sCBaBCn240 mm/sCyCBBaaa 例20 半徑r = 1m的輪子，沿水平直線軌道純滾動，輪心具有勻加速度aC = 0.5 m/s2，借助于鉸接在輪緣A點上的滑塊，帶動桿OB繞垂直圖面的軸O轉(zhuǎn)動，在初瞬時(t = 0)輪處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)t = 3s時機構(gòu)的位置如圖。試求桿OB在此瞬時的角速度和角加速度。 解：當(dāng)t=3s時，輪心C的速度0.5 31.5m sCCva t 輪子作平面運動，瞬心在D點，則23m sACvvrCOABvAvCaC45D取滑塊A為動點，動系取在OB桿上，動點的速度合成矢量圖如圖所示。reavvv45cossmvvre223sradOAveOB43wvevr輪作平面運動，取C為基點