第五矩陣的對角化及二次型ppt課件

1、第五章矩陣的對角化及二次型1 1 向量的內(nèi)積與施密特正交化方法向量的內(nèi)積與施密特正交化方法向量的內(nèi)積定義：設(shè)有n 維向量令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ，那么稱 x, y 為向量 x 和 y 的內(nèi)積闡明：內(nèi)積是兩個向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個實(shí)數(shù)內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)x 和 y 都是列向量時，x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 1122, ,nnxyxyxyxy定義：設(shè)有 n 維向量令那么稱 x, y 為向量 x 和 y 的內(nèi)積1122 , nnx yx yx yx y 向量的內(nèi)積1122, ,nnxyxyxyxy

2、 1212,nnyyxxxy Tx y x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有以下性質(zhì)其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實(shí)數(shù)：對稱性： x, y = y, x線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0零向量 時， x, x = 0；當(dāng) x 0零向量 時， x, x 0施瓦茲Schwarz不等式x, y2 x, x y, y11221122 , , nnnnx yx yx yx yy xy xy xy x x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積

3、具有以下性質(zhì)其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實(shí)數(shù)：對稱性： x, y = y, xx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有以下性質(zhì)其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實(shí)數(shù)：對稱性： x, y = y, x線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z , ()() , TTTx yxyxyx yx y , ()()()() , , TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy z x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有以下性質(zhì)其中 x, y,

4、z 為 n 維向量，l 為實(shí)數(shù)：對稱性： x, y = y, x線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0零向量 時， x, x = 0；當(dāng) x 0零向量 時， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有以下性質(zhì)其中 x, y, z 為 n 維向量，l 為實(shí)數(shù)：對稱性： x, y = y, x線性性質(zhì)： l x, y = lx, y x + y, z = x, z + y, z 當(dāng) x = 0零向量 時， x, x = 0；當(dāng)

5、x 0零向量 時， x, x 0施瓦茲Schwarz不等式x, y2 x, x y, y回想：線段的長度2212| , OPxxx xx1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO假設(shè)令假設(shè)令 x = (x1, x2)T，那么，那么222123| , OPxxxx x假設(shè)令假設(shè)令 x = (x1, x2, x3)T，那么，那么x, x = x12 + x22 + + xn2 0 2, , , xxxxx xx x 向量的長度定義：令稱 | x | 為 n 維向量 x 的長度或范數(shù)當(dāng) | x | = 1時，稱 x 為單位向量向量的長度具有以下性質(zhì)：非負(fù)性：當(dāng) x = 0零向量 時， | x | =

6、 0； 當(dāng) x0零向量 時， | x | 0齊次性： | l x | = | l | | x | 22212| , 0nx xxxxx2|, , | , |xxxx xx xx 向量的長度定義：令稱 | x | 為 n 維向量 x 的長度或范數(shù)當(dāng) | x | = 1時，稱 x 為單位向量向量的長度具有以下性質(zhì)：非負(fù)性：當(dāng) x = 0零向量 時， | x | = 0； 當(dāng) x 0零向量 時， | x | 0齊次性： | l x | = | l | | x |三角不等式： | x + y | | x | + | y |22212|,|nx xxxxx xyx + yy向量的正交性施瓦茲Schwar

7、z不等式x, y2 x, x y, y = | x | | y |當(dāng) x 0 且 y 0 時，定義：當(dāng) x 0 且 y 0 時，把稱為 n 維向量 x 和 y 的夾角當(dāng) x, y = 0，稱向量 x 和 y 正交結(jié)論：假設(shè) x = 0，那么 x 與任何向量都正交 , arccos| |x yxy , 1| |x yxy xy 定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組定理：假設(shè)定理：假設(shè) n 維向量維向量a1, a2, , ar 是一組兩兩正交的非零向是一組兩兩正交的非零向量，量，那么那么 a1, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)證明

8、：設(shè)證明：設(shè) k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0零向量，那么零向量，那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2從而從而 k1 = 0同理可證，同理可證，k2 = k3 = = kr =0綜上所述，綜上所述， a1, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)例：知例：知3 維向量空間維向量空間R3中兩個向量中兩個向量 正交，試求一個非零向量正交，試求一個非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩

9、正交分析：顯然分析：顯然a1a2 解：設(shè)解：設(shè)a3 = (x1, x2, x3)T ，假設(shè)，假設(shè)a1a3 ， a2a3 ，那么，那么 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 012111 , 211aa 12311101210 xAxxx 12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr得得從而有根底解系從而有根底解系 ，令，令 1320 xxx 101 3101a 定義：定義： n 維向量維向量e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 中的向量，中的

10、向量，滿足滿足e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個基最大無關(guān)組；中的一個基最大無關(guān)組；e1, e2, , er 兩兩正交；兩兩正交；e1, e2, , er 都是單位向量，都是單位向量，那么稱那么稱 e1, e2, , er 是是V 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基例：例：是是 R4 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基nVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 是是 R4 的一個基，但不是規(guī)

11、范正交基的一個基，但不是規(guī)范正交基設(shè)設(shè) e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個正交基，那么中的一個正交基，那么V 中恣中恣意一意一個向量可獨(dú)一表示為個向量可獨(dú)一表示為 x = l1e1 + l2e2 + + lrer于是于是特別地，假設(shè)特別地，假設(shè) e1, e2, , er 是是V 的一個規(guī)范正交基，那么的一個規(guī)范正交基，那么問題：問題： 向量空間向量空間 V 中的一個基中的一個基 a1, a2, , ar 向量空間向量空間 V 中的一個規(guī)范正交基中的一個規(guī)范正交基 e1, e2, , er2 , , 1,2, ,|iiiiiix ex eire ee , 1,2,iix

12、 eir 求規(guī)范正交基的方法第一步：正交化施密特Schimidt正交化過程設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間 V 中的一個基，那么令11ba a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3122222111,b abacabb b 3333313213233121122,bacaccb ab aabbb bb b 基基正交基正交基規(guī)范正交基規(guī)范正交基b1c2a2b2令令 c2 為為 a2 在在 b1 上的投影，那么上的投影，那么 c2 = l b1 ，假設(shè)令假設(shè)令 b2 = a2 c2 = a2 l b1 ，那么，那么 b1b2 下面確定下面確定l 的值由于的值由于所以所以 ，從而，從而2

13、121121110,b bab babb b 2111,a bb b 12222212111,b abacababb b a2b1 第一步：正交化施密特Schimidt正交化過程設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間 V 中的一個基，那么令于是 b1, b2, , br 兩兩正交，并且與a1, a2, , ar 等價，即 b1, b2, , br 是向量空間 V 中的一個正交基特別地，b1, , bk 與a1, , ak 等價1 k r121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 11ba 122222111,b abacabb b 第二步：單位化第

14、二步：單位化設(shè)設(shè) b1, b2, , br 是向量空間是向量空間 V 中的一個正交基，那么令中的一個正交基，那么令由于由于從而從而 e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個規(guī)范正交基中的一個規(guī)范正交基112212111, , |rrrebebebbbb 21111111221111|111,1|be ebbb bbbbb 111|,1ee e 例：設(shè)例：設(shè) ，試用施密特正交化，試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化過程把這組向量規(guī)范正交化解：第一步正交化，取解：第一步正交化，取1231142, 3, 1110aaa 111222111132333121122111,453

15、21,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：設(shè)例：設(shè) ，試用施密特正交化，試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化過程把這組向量規(guī)范正交化解：第二步單位化，令解：第二步單位化，令1231142, 3, 1110aaa 1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：知例：知 ，試求非零向量，試求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交.解：假設(shè)解：假設(shè)a1a2 ， a1a3 ，那么，那么 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a

16、1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0即即a2, a3 應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程 x1 + x2 + x3 = 0 根底解系為根底解系為把根底解系正交化即為所求把根底解系正交化即為所求1111a 12100, 111231110, 2211aa 以保證以保證 a2a3 成立成立定義：假設(shè)定義：假設(shè) n 階矩陣階矩陣 A 滿足滿足 ATA = E，那么稱矩陣那么稱矩陣 A 為正交矩陣，簡稱正交陣為正交矩陣，簡稱正交陣 即即 A1 = AT，于是于是從而可得從而可得方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，的列向量都是單位向量，

17、且兩兩正交且兩兩正交1, ( ,1,2, )0,Tijijija aa ai jnij 即即 A 的列向量組構(gòu)成的列向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa aA Aa aaaa aa aa a定義：假設(shè)定義：假設(shè) n 階矩陣階矩陣A 滿足滿足 ATA = E，即，即 A1 = AT，那么稱矩陣那么稱矩陣A 為正交矩陣，簡稱正交陣為正交矩陣，簡稱正交陣 方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，的列向量都是單位向量，且

18、兩兩正交即且兩兩正交即 A 的列向量組構(gòu)成的列向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基.由于由于ATA = E 與與AAT = E 等價，所以等價，所以1, , ( ,1,2, )0,Tijijijb bb bi jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnbb bb bb bbb bb bb bAAb bbbb bb bb b定義：假設(shè)定義：假設(shè) n 階矩陣階矩陣A 滿足滿足 ATA = E，即，即 A1 = AT，那么稱矩陣那么稱矩陣A 為正交矩陣，簡稱正交陣為正交矩陣，簡稱正交陣 方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充

19、分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，的列向量都是單位向量，且兩兩正交即且兩兩正交即 A 的列向量組構(gòu)成的列向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的行向量都是單位向量，的行向量都是單位向量，且兩兩正交且兩兩正交 即即 A 的行向量組構(gòu)成的行向量組構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基.121200121200001212001212P 例：正交矩陣?yán)赫痪仃嘡4 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基1234001212001212,121200001212eeee |() ()|TTTTTyy yPxPxx P Pxx xx 正交

20、矩陣具有以下性質(zhì)：正交矩陣具有以下性質(zhì)：假設(shè)假設(shè) A 是正交陣，那么是正交陣，那么 A1 也是正交陣，且也是正交陣，且|A| = 1 或或1假設(shè)假設(shè) A 和和B是正交陣，那么是正交陣，那么 A 和和 B 也是正交陣也是正交陣定義：假設(shè)定義：假設(shè) P 是正交陣，那么線性變換是正交陣，那么線性變換 y = Px 稱為正交變稱為正交變換換經(jīng)過正交變換，線段的長度堅(jiān)持不變從而三角形的外形保經(jīng)過正交變換，線段的長度堅(jiān)持不變從而三角形的外形保持不變，這就是正交變換的優(yōu)良特性持不變，這就是正交變換的優(yōu)良特性表示一個從變量表示一個從變量 到變量到變量 線性變換，線性變換，其中其中 為常數(shù)為常數(shù). n n 個變

21、量個變量 與與 m m 個變量個變量 之間的之間的關(guān)系式關(guān)系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxxx11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系. .2 2 特征值與特征向量特征值與特征向量引言w純量陣 lE 與任何同階矩陣的乘法都滿足

22、交換律，即w(lEn)An = An (lEn) = lAn w矩陣乘法普通不滿足交換律，即AB BA w數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即wl (AB) = (lA)B = A(lB)wAx = l x ?ww例：34003422, 123002311 一、根本概念定義：設(shè) A 是 n 階矩陣，假設(shè)數(shù) l 和 n 維非零向量 x 滿足Ax = l x，那么這樣的數(shù) l 稱為矩陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量例：那么 l = 1 為 的特征值， 為對應(yīng)于l = 1 的特征向量.342212311 3423 21 一、根本概念定義：設(shè) A 是 n 階矩陣，假

23、設(shè)數(shù) l 和 n 維非零向量 x 滿足Ax = l x，那么這樣的數(shù) l 稱為矩陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量Ax = l x = lE x 非零向量 x 滿足 (AlE) x = 0零向量齊次線性方程組有非零解系數(shù)行列式 | AlE | = 0特征方程特征方程特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式w特征方程 | AlE | = 0w特征多項(xiàng)式| AlE |111212122212| 0nnnnnnaaaaaaAEaaa 二、根本性質(zhì)w在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個特征值重根按重數(shù)計算w設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，那么wl1 + l

24、2 + + ln = a11 + a22 + + ann wl1 l2 ln = |A|例：求矩陣?yán)呵缶仃?的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為所以所以 A 的特征值為的特征值為 l1 = 2，l2 = 4 當(dāng)當(dāng) l1 = 2 時，時， 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 ，即，即解得根底解系解得根底解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AE 1231012302xx 12110110 xx 111p k p1k 0就是對應(yīng)的特征向量就是對應(yīng)的特征向量例：求矩陣?yán)呵缶仃?的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多

25、項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為所以所以 A 的特征值為的特征值為 l1 = 2，l2 = 4 當(dāng)當(dāng) l2 = 4 時，時， 對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 ，即，即解得根底解系解得根底解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AE 1231014304xx 12110110 xx 211p k p2k 0就是對應(yīng)的特征向量就是對應(yīng)的特征向量例：求矩陣?yán)呵缶仃?的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值為的特征值為 l1 = 1，l2 = l3 = 2 211020413A 2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)AE 例：求矩陣?yán)呵?/p>

26、矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解續(xù)：當(dāng)解續(xù)：當(dāng) l1 = 1 時，由于時，由于解方程組解方程組 (A + E) x = 0解得根底解系解得根底解系 211020413A 1111101030 010414000rAEAE 1101p k p1k 0就是對應(yīng)的特征向量就是對應(yīng)的特征向量例：求矩陣?yán)呵缶仃?的特征值和特征向量的特征值和特征向量解續(xù)：當(dāng)解續(xù)：當(dāng) l2 = l3 = 2 時，由于時，由于解方程組解方程組 (A2E) x = 0解得根底解系解得根底解系 k2 p2 + k3 p3 k2 , k3 不同時為零就是對應(yīng)的特征向量不同時為零就是對應(yīng)的特征向量211020413A

27、4114112000 000411000rAE 23100 , 141pp 二、根本性質(zhì)w在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個特征值重根按重數(shù)計算w設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，那么wl1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann wl1 l2 ln = |A|w假設(shè) l 是 A 的一個特征值，那么齊次線性方程組的根底解系w就是對應(yīng)于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關(guān)組例：設(shè)例：設(shè) l 是方陣是方陣 A 的特征值，證明的特征值，證明(1) l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2) 當(dāng)當(dāng) A 可逆時，可逆時，1/l 是是 A1 的特征

28、值的特征值結(jié)論：假設(shè)非零向量結(jié)論：假設(shè)非零向量 p 是是 A 對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值 l 的特征向量，那的特征向量，那么么l2 是是 A2 的特征值，對應(yīng)的特征向量也是的特征值，對應(yīng)的特征向量也是 p lk 是是 Ak 的特征值，對應(yīng)的特征向量也是的特征值，對應(yīng)的特征向量也是 p 當(dāng)當(dāng) A 可逆時，可逆時，1/l 是是 A1 的特征值，對應(yīng)的特征向量依然是的特征值，對應(yīng)的特征向量依然是 p 二、根本性質(zhì)w在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有n 個特征值重根按重數(shù)計算w設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，那么wl1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + an

29、n wl1 l2 ln = |A|w假設(shè) l 是 A 的一個特征值，那么齊次線性方程組的根底解系w就是對應(yīng)于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關(guān)組w假設(shè) l 是 A 的一個特征值，那么 j (l) = a0 + a1 l + + am l mw是矩陣多項(xiàng)式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值例：設(shè)例：設(shè)3 階方陣階方陣 A 的特征值為的特征值為1, 1, 2，求，求A* +3A2E 的特征值的特征值解：解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j (A) 其中其中|A| = 1(1) 2 = 2 設(shè)設(shè) l 是是 A 的一

30、個特征值，的一個特征值， p 是對應(yīng)的特征向量令是對應(yīng)的特征向量令那么那么2( )32 11( )( 232)2()3()2223232( )A pAAE pApAppppppp 定理：設(shè)定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣是方陣 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是與之對應(yīng)的特征向量，假設(shè)次是與之對應(yīng)的特征向量，假設(shè)l1, l2, , lm 各不一樣，那各不一樣，那么么p1, p2, , pm 線性無關(guān)線性無關(guān)例：設(shè)例：設(shè) l1 和和 l2 是方陣是方陣 A 的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為向量依次為 p1 和和 p2， 證

31、明證明 p1 + p2不是不是 A 的特征向量的特征向量3 3 類似矩陣類似矩陣定義：設(shè) A, B 都是 n 階矩陣，假設(shè)有可逆矩陣 P 滿足P 1AP = B ，那么稱 B 為矩陣 A 的類似矩陣，或稱矩陣A 和 B 類似對 A 進(jìn)展運(yùn)算 P 1AP 稱為對 A 進(jìn)展類似變換稱可逆矩陣 P 為把 A 變成 B 的類似變換矩陣定理：假設(shè) n 階矩陣 A 和 B 類似，那么 A 和 B 的特征多項(xiàng)式一樣,從而 A 和 B 的特征值也一樣證明：根據(jù)題意，存在可逆矩陣 P ，使得 P 1AP = B 于是 | B lE | = | P 1AP P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P

32、| = | P 1| |AlE | |P | = |AlE | 定理：假設(shè) n 階矩陣 A 和 B 類似，那么 A 和 B 的特征多項(xiàng)式一樣,從而 A 和 B 的特征值也一樣推論：假設(shè) n 階矩陣 A 和 B 類似，那么 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的多項(xiàng)式 j (B) 類似證明：設(shè)存在可逆矩陣 P ，使得 P 1AP = B ，那么P 1AkP = Bk .設(shè)j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j (A) P = P 1 (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m

33、1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E= j (B) .定理：設(shè) n 階矩陣 L = diag(l1, l2, , ln )，那么l1, l2, , ln 就是 L 的 n 個特征值證明：故 l1, l2, , ln 就是 L 的 n 個特征值1212()()()nnE 定理：假設(shè) n 階矩陣 A 和 B 類似，那么 A 和 B 的特征多項(xiàng)式一樣,從而 A 和 B 的特征值也一樣推論：假設(shè) n 階矩陣 A 和 B 類似，那么 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的多項(xiàng)式 j (B) 類似假設(shè) n 階矩陣 A 和

34、n 階對角陣 L = diag(l1, l2, , ln ) 類似，那么從而經(jīng)過計算j (L) 可方便地計算j (A).假設(shè)j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O零矩陣.1211()()( )()()nAPPPP 可逆矩陣可逆矩陣 P ，滿足，滿足 P 1AP = L 對角陣對角陣AP = PLApi = li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征特征值值對應(yīng)的對應(yīng)的特征向量特征向量121212(,)(,)nnnA pppppp 其中其中?P.123定理定理4：n 階矩陣階矩陣 A 和對角陣類似和對角陣類似當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A 有有 n 個線性無關(guān)的特征向個線性無關(guān)

35、的特征向量量推論：假設(shè)推論：假設(shè) A 有有 n 個個不同的特征值，那不同的特征值，那么么 A 和對角陣類似和對角陣類似4 4 實(shí)對稱矩陣的對角化實(shí)對稱矩陣的對角化定理：設(shè)定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣是方陣 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是與之對應(yīng)的特征向量，假設(shè)次是與之對應(yīng)的特征向量，假設(shè) l1, l2, , lm 各不一樣，那各不一樣，那么么p1, p2, , pm 線性無關(guān)線性無關(guān) P.120定理定理2可逆矩陣可逆矩陣 P ，滿足，滿足 P 1AP = L 對角陣對角陣AP = PLApi = li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征

36、特征值值對應(yīng)的對應(yīng)的特征向量特征向量121212(,)(,)nnnA pppppp 其中其中?(Ali E) pi = 0 矩陣矩陣 P 的的列向量組列向量組線性無關(guān)線性無關(guān)定理：設(shè)定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣是方陣 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是與之對應(yīng)的特征向量，假設(shè)次是與之對應(yīng)的特征向量，假設(shè) l1, l2, , lm 各不一樣，那各不一樣，那么么p1, p2, , pm 線性無關(guān)線性無關(guān)P.120定理定理2定理：定理： n 階矩陣階矩陣 A 和對角陣類似即和對角陣類似即 A 能對角化的充分能對角化的充分必要條件是必要條件是 A 有有 n 個線

37、性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量P.123定理定理4推論：假設(shè)推論：假設(shè) A 有有 n 個不同的特征值，那么個不同的特征值，那么 A 和對角陣類似和對角陣類似闡明：當(dāng)闡明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān)個線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化的特征向量，從而不一定能對角化P.118例例6定理：設(shè)定理：設(shè) l1, l2, , lm 是方陣是方陣 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是與之對應(yīng)的特征向量，假設(shè)次是與之對應(yīng)的特征向量，假設(shè) l1, l2, , lm 各不一樣，那各不一樣，那么么p1, p2, , pm 線

38、性無關(guān)線性無關(guān)P.120定理定理2定理：設(shè)定理：設(shè) l1 和和 l2 是對稱陣是對稱陣 A 的特征值，的特征值， p1, p2 是對應(yīng)的特是對應(yīng)的特征向量，假設(shè)征向量，假設(shè) l1 l2 ，那么，那么 p1, p2 正交正交P.124定理定理6證明：證明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A A 是對稱陣是對稱陣l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0由于由于l1 l2 ，那么，那么

39、p1T p2 = 0，即，即 p1, p2 正交正交定理：設(shè)定理：設(shè) A 為為 n 階對稱陣，那么必有正交陣階對稱陣，那么必有正交陣 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L，其中其中 L 是以是以 A 的的 n 個特征值為對角元的對角陣不獨(dú)一個特征值為對角元的對角陣不獨(dú)一.P.124定理定理7定理：定理： n 階矩陣階矩陣 A 和對角陣類似即和對角陣類似即 A 能對角化的充分能對角化的充分必要條件是必要條件是 A 有有 n 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 P.123定理定理4推論：假設(shè)推論：假設(shè) A 有有 n 個不同的特征值，那么個不同的特征值，那么 A 和對角陣類和對角陣類

40、似似闡明：當(dāng)闡明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān)個線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化的特征向量，從而不一定能對角化定理：定理： n 階矩陣階矩陣 A 和對角陣類似即和對角陣類似即 A 能對角化的充分能對角化的充分必要條件是必要條件是 A 有有 n 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 P.123定理定理4推論：假設(shè)推論：假設(shè) A 有有 n 個不同的特征值，那么個不同的特征值，那么 A 和對角陣類和對角陣類似似闡明：當(dāng)闡明：當(dāng) A 的特征方程有重根時，就不一定有的特征方程有重根時，就不一定有 n 個線性無關(guān)個線性無關(guān)的特征向量，從而不

41、一定能對角化的特征向量，從而不一定能對角化推論：設(shè)推論：設(shè) A 為為 n 階對稱陣，階對稱陣，l 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，那重根，那么么矩陣矩陣 A lE 的秩等于的秩等于 n k，恰有恰有 k 個線性無關(guān)的特征向量與特征值個線性無關(guān)的特征向量與特征值 l 對應(yīng)對應(yīng)例：設(shè)例：設(shè) ，求正交陣，求正交陣 P，使，使P1AP = L對角陣對角陣.解：由于解：由于 A 是對稱陣，所以是對稱陣，所以 A 可以對角化可以對角化求得求得 A 的特征值的特征值 l1 = 2， l2 = l3 = 1 011101110A 211|11(1) (2)11AE 當(dāng)當(dāng) l1 = 2 時，時，

42、解方程組解方程組 (A + 2E) x = 0 ，得根底解系，得根底解系 當(dāng)當(dāng) l2 = l3 = 1 時，時， 解方程組解方程組 (AE) x = 0 ，得，得 令令 ，那么，那么 . 問題：這樣的解法對嗎？問題：這樣的解法對嗎？2111012121 011112000rAE 1111 111111111 000111000rAE 23111, 001 123111(,)110101P 1000000211PAP p當(dāng)當(dāng) l1 = 2時，對應(yīng)的特征向量為時，對應(yīng)的特征向量為 ；p當(dāng)當(dāng) l2 = l3 = 1 時，對應(yīng)的特征向量為時，對應(yīng)的特征向量為 .p顯然，必有顯然，必有x1x2 ， x1

43、x3 ，但，但x2x3 未必成立未必成立p于是把于是把 x2, x3 正交化：正交化：p此時此時x1h2 ， x1h3 ，h2h3 1111 23111, 001 32223322211,11, 1,202 單位化：單位化：當(dāng)當(dāng) l1 = 2時，對應(yīng)的特征向量為時，對應(yīng)的特征向量為 ；當(dāng)當(dāng) l2 = l3 = 1 時，對應(yīng)的特征向量為時，對應(yīng)的特征向量為 .1111 231111, 1202 111131p 2311111, 12602pp p當(dāng)當(dāng) l1 = 2時，對應(yīng)的特征向量為時，對應(yīng)的特征向量為 ；p當(dāng)當(dāng) l2 = l3 = 1 時，對應(yīng)的特征向量為時，對應(yīng)的特征向量為p于是于是 p1,

44、 p2, p3 構(gòu)成正交陣構(gòu)成正交陣p從而從而 111131p 2311111, 12602pp 123111326111(,)32612036Pppp 1000000211PAP 把對稱陣把對稱陣 A 對角化的步驟為：對角化的步驟為：求出求出 A 的一切各不一樣的特征值的一切各不一樣的特征值 l1, l2, , ls ，它們的重數(shù)，它們的重數(shù)依次為依次為k1, k2, , ks k1 + k2 + + ks = n對每個對每個 ki 重特征值重特征值 li ，求方程組，求方程組 | Ali E | = 0 的根底解系，的根底解系，得得 ki 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量把這把這

45、ki 個線性無關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到個線性無關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到 ki 個兩兩正交的單位特征向量個兩兩正交的單位特征向量由于由于k1 + k2 + + ks = n ，總共可得，總共可得 n 個兩兩正交的單個兩兩正交的單位特征向量位特征向量這這 n 個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣 P，便有，便有P 1AP = L L 中對角元的陳列次序應(yīng)于中列向量的陳列次序相對應(yīng)中對角元的陳列次序應(yīng)于中列向量的陳列次序相對應(yīng).例：設(shè)例：設(shè) ，求，求 An .分析：分析：數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法2112A 22222212154131311212452 1

46、313A 3332335421141313131451213142 1313AA A 11111211313131311212213131313nnnnnnnnnnAAA 定理：假設(shè) n 階矩陣 A 和 B 類似，那么 A 和 B 的特征多項(xiàng)式一樣,從而 A 和 B 的特征值也一樣推論：假設(shè) n 階矩陣 A 和 B 類似，那么 A 的多項(xiàng)式 j (A) 和 B 的多項(xiàng)式 j (B) 類似假設(shè) n 階矩陣 A 和 n 階對角陣 L = diag(l1, l2, , ln ) 類似，那么從而經(jīng)過計算j (L) 可方便地計算j (A).假設(shè)j (l) = | AlE |，那么 j (A) = O零矩

47、陣.1211()()( )()()nAPPPP 例：設(shè)例：設(shè) ，求，求 An .分析：分析：數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法由于由于 A 是對稱陣，所以是對稱陣，所以 A 可以對角化可以對角化求得求得 A 的特征值的特征值 l1 = 1， l2 = 3下面求滿足下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣的可逆矩陣 P 2112A 221|(2)1(1)(3)12AE 1003 1003nn 下面求滿足下面求滿足 P 1AP = 的可逆矩陣的可逆矩陣 P 當(dāng)當(dāng) l1 = 1 時，時， 解方程組解方程組 (AE) x = 0 ，得根底解系，得根底解系 當(dāng)當(dāng) l2 = 3 時，時， 解方程組解方程組 (A3E) x

48、 = 0 ，得根底解系，得根底解系 問題：能否需求單位化？問題：能否需求單位化？于是于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即，即 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么 11111100rAE 111p 111131100rAE211p 121210(,)(,)03A pppp 1211(,)11Ppp 11003PAP 11112 11P 于是于是 ，即，即11()11101112 1103111110111313112 1103112 1313nnnnnnnnnAP PPP 11003PAP 1AP P 5 5 二次型與對稱矩陣二次型與對稱矩陣1000對應(yīng)對應(yīng) 11,0.xxy yx0( , )

49、P x y111(,)P xy投影變換投影變換 例例 2階方陣階方陣 cossinsincos 對應(yīng)對應(yīng) 1111cossin ,sincos .xxyyxy 以原點(diǎn)為中心逆時針以原點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 角的旋轉(zhuǎn)變換角的旋轉(zhuǎn)變換 例例 2階方陣階方陣 ( , )P x y111(,)P xy yx0w解析幾何中，二次曲線的普通方式wax2 + bxy + cy2 = 0w 經(jīng)過選擇適當(dāng)?shù)牡男D(zhuǎn)變換w使得 mx 2 + ny 2 = 0 w定義：含有 n 個變量 x1, x2, , xn 的二次齊次函數(shù)w稱為二次型cossin ,sincos .xxyyxy 22212111222121213

50、131,1(,)222nnnnnnnnf xxxa xa xa xa x xa x xaxx 22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x 令令 aij = aji，那么，那么 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是，于是212111121211221212222221122(,)nnnnnnnn

51、nnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax 對稱陣對稱陣111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnn

52、nnnaaaaaaAaaa 對稱陣對稱陣 A A 的秩也叫做二次型的秩也叫做二次型 f f 的秩的秩線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系. .對稱陣的對稱陣的二次型二次型二次型二次型的矩陣的矩陣對于二次型，尋覓可逆的線性變換對于二次型，尋覓可逆的線性變換使二次型只含平方項(xiàng)，即使二次型只含平方項(xiàng)，即f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定義：只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的規(guī)范形或法式定義：只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的規(guī)范形或法式.假設(shè)規(guī)范形的系數(shù)假設(shè)規(guī)范形的系數(shù) k1 , k2 , , kn 只在只在1, 0, 1三個數(shù)中取值三個數(shù)中取值,即即 f = k1 y12 + + kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 那么上式稱為二次型的規(guī)范形那么上式稱為二次型的規(guī)范形闡明：這里只討論實(shí)二次型，所求線性變換也限于實(shí)數(shù)范圍闡明：這里只討論實(shí)二次型，所求線性變換也限于實(shí)數(shù)范圍.11111221221122221122,.nn