第四章-基礎(chǔ)知識Guass型求積公式及正交多項(xiàng)式

1、第第4 4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分( ) , f xa b 對于函數(shù)在區(qū)間上的定積分( )( ) (4-1)baI ff x dx ( )( )f xF x若能求得的原函數(shù)( )( )F xf x,即則由Newton-Leibnitz公式( )( )( )( )baI fF xF bF a,( ),f x 但由于實(shí)際情況中的原函數(shù)很難求出因此,只能計(jì)算定積分的近似值.第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分?jǐn)?shù)值積分( ),( )f xI f 考慮用函數(shù)在一些點(diǎn)處的值的適當(dāng)組合 作為定積分的近似0( )( )() (4-2)nkkkI fQ fA f x kx其中: 是

2、適當(dāng)選取的點(diǎn),稱為節(jié)點(diǎn)kA 稱為求積系數(shù)公式(4-2)稱為求積公式 ,以上方法稱為數(shù)積值值分分第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分?jǐn)?shù)值積分要考慮的問題(1) ; (2) ; ( )( )-( )kkxAE fI fQ f 如何通過 選擇合適節(jié)點(diǎn)確定合適的求積系數(shù)使誤差盡可能的小求積公式可以分成兩大類-,Newton Cotes(1) 型公式 基于等距分布的節(jié)點(diǎn),Gauss(2) 型公式 取相應(yīng)的正交多項(xiàng)式的根作為節(jié)點(diǎn)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )f x 對任意被積函數(shù)(0,1,2,., )ix in,

3、在給定的節(jié)點(diǎn)( )if x對應(yīng)的函數(shù)值為( )( )npxf x,則可構(gòu)造插值多項(xiàng)式來近似( )( )nf xpx( )R x( )R x其中:為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)對上式,兩邊同時(shí)積分,有( )( )( )bbbnaaaf x dxpx dxR x dx( )( )nf xpx由于,不考慮誤差項(xiàng),有( )( )baI ff x dx( )bnapx dx( )Q f第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式Lagrange 若取插值多項(xiàng)式為多項(xiàng)式,得到0( )( ) ()nbkkakQ flx f x dx( ),0

4、,1,2,.,bkkaAlx dx kn記0( )()nkkkQ fA f x,有誤差( )( )( )E fI fQ f( )bnaR x dx(1)( )( )(1)!nbafx dxn0( )()nbkkaklx dx f x 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )bkkkaAlx dxA由確定的( )f x與被積函數(shù)無關(guān),(0,1,2,., )ix in若節(jié)點(diǎn)滿足關(guān)系01naxxxb,( ),bkkaAlx dx求積系數(shù)由確定( )( )I fQ f則此種方法形成的計(jì)算的求積公式稱為內(nèi)插求積公式(

5、1)( ),( )0,( )0( )( )nf xnfxE fI fQ f 若被積函數(shù)是不超過 次的多項(xiàng)式 則則有即4.1定義( )mmpx如果對任一不超過 次的多項(xiàng)式( )Q f,內(nèi)插求積公式()()mmI pQ p總有11( )mmpx,而對某一個(gè)次多項(xiàng)式11, ()()mmI pQ pm則稱此求積公式的代數(shù)精度為m,或稱此公式具有 次代數(shù)精度(0,1,., )ix in,僅與節(jié)點(diǎn)的選擇有關(guān),第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式kx在以上公式中,節(jié)點(diǎn) 按等距分布,-b ahn令,0,1,2,.,kxakh

6、 knNewtonCotes則稱內(nèi)插求積公式為公式1,2,4n 通常取等值(1)1n 01,xa xb則插值函數(shù)公式為1-( )( )( )-b xx ap xf af bb ab a012baAA可求得1( ) ( )( )2baQ fTf af b求積公式為 稱為梯形求積公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.1( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù) ,則梯形求積公式的誤差是31-( ),12b aEfab證明:11( )baER x dx , , ()()baf a b x xa xb dx( )fx

7、由于存在, , , xf a b x可知 關(guān)于 的二階差商連續(xù) , ,()()0,a bxa xb在上 有由積分中值定理,差商性質(zhì)2,知( , ),a b存在使1 , , ()()baEf a b x xa xb dx , , ()() ( , )baf a bxa xb dxa b31( )() ( , )12fbaa b 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(2)2n 012,22baabhxa xxb則插值多項(xiàng)式為0212201010210120122021()()()()( )()()()()()()

8、()() +()()()xxxxxxxxpxf xf xxxxxxxxxxxxxf xxxxx0124,333hhhAAA可求得1( ) ( )4 ()( )62baabQ fSf aff b求積公式為 稱為Simpson求積公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.2(4)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù),則Simpson求積公式的誤差是5(4)2-( ),2880b aEfab2( 4 )()()()()4 !2fabxxaxxb證 明 :取 R2(4)( )()()4!2bafabxaxxb dx

9、2則 E2(4)0( )()4!2xa thdxdtfbat ttba dt (4)55550( )32401644!53hftttt5(4)()( )2880baf 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式(3)4n 01234,2 ,3 ,4bahxa xah xah xah xb則插值多項(xiàng)式為40011223344( )( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()( ) ()pxlx f xl x f xlx f xlx f xlx f x00112233441464( ),( ),4545246414

10、( ),( ),( )454545bbaabbbaaahhAlx dxAl x dxhhhAlx dxAl x dxAlx dx可求得1( )7 ( )32 () 12 (2 )90 32 (3 )7 ( )baQ fCf af ahf ahf ahf b求積公式為 稱為Cotes求積公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.3(6)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù) ,則Cotes求積公式的誤差是7(6)48-( ),9454b aEfab梯形公式的代數(shù)精度為1Simpon求積公式的代數(shù)精度為3Cote

11、s求積公式的代數(shù)精度為5代數(shù)精度第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式例例: :確定確定SimpsonSimpson求積公式的代數(shù)精度求積公式的代數(shù)精度解解:Simpson:Simpson求積公式為求積公式為( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b( )1 114 16babaf xdxba令令221( ) 4262babaabf xxxdxbaab22233221( ) 4362babaabf xxx dxbaab33344331( ) 4462babaabf xxx dxbaab

12、第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式4445544( ) 1 4562baf xxbaabx dxbaab但是當(dāng)時(shí)Simpson因此求積公式的代數(shù)精度m=3第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式3(1)1,-()(),()21 2nhbahhQffafbRff 梯 形 求 積 公 式 牛頓-柯特斯(Newton-cotes)求積公式5( 4 )(2)2,(-) / 2()4()( ) ()3290nhbahabhQffaffb

13、Rff Simpson求 積 公 式 5( 4 )(3)3,(-) / 333()3()3()() ()88 0nhbahhQffafahfbhfbRff 牛 頓 求 積 公 式 7( 6 )( 4 )4 ,(-) / 427()3 2()1 2(2)3 2()7()4 58 ()9 4 5nhbahQffafahfahfbhfbhRff C o t e s 求 積 公 式 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式,利用定積分對區(qū)間的區(qū)間可加性 將求積公式分別應(yīng)用于每一個(gè)小區(qū)間上(0,1,., ) , kxkna

14、 b設(shè)是區(qū)間上滿足011nnaxxxxb1,n 的個(gè)點(diǎn)由于()( )baI ff x dx-1-1(47),(48),(49),( )kkkkxxxxf x dx可將應(yīng)用于任何一個(gè)子區(qū)間上的積分n ,當(dāng) 逐漸增大時(shí),區(qū)間長度越來越小,則每個(gè)小區(qū)間上的求積公式誤差很小,且總的積分的誤差也將減小 此方法稱為復(fù)化求積分法-11( )kknxxkf x dx第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式kx取節(jié)點(diǎn) 按等距分布,-b ahn令,0,1,2,.,kxakh kn11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf

15、b復(fù)化梯形公式11111 ( )2()4()( )62nnkknkkkxxhSf af xff b復(fù)化Simpson公式1011013 7 ( )32()()9044 +12()14()7 ( )2nnkkknnkkkkhhhSf af xf xhf xf xf b復(fù)化Cotes公式第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.4(2)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù),則復(fù)化梯形求積公式的誤差是2-( ),12Tb aEh fab:證明-1,kkxx在每個(gè)子區(qū)間上,梯形求積公式的誤差是31-(),1,2,.,1

16、2kkkkkhrfxx kn因此,復(fù)化梯形求積公式的誤差為311-()12nnTkkkkhErf( ) , fxa b因在上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理( , )a b,存在1()( )nkkff1使 n3( )12ThEnf 因此 2( ) 12bah fab 證畢第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式定理4.5(4)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù),則復(fù)化Simpson求積公式的誤差是4(4)-( ),2880Sb aEh fab定理4.6(6)( ) , fxa b設(shè)在上連續(xù),則復(fù)化Cotes求積公式的誤差

17、是6(6)-( ),1935360Cb aEh fab0,() 2,4,6,2,4,6khSimpsonCotesO hk 當(dāng)時(shí) 梯形公式公式公式的余項(xiàng)分別以的速度趨向于零 因此 分別稱其為 階階階方法第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式10 xe dx例4.2 計(jì)算積分h梯形公式Simpson公式Cotes公式0.51.7539251.718850.251.72722191.71831881.74085480.1251.72051861.71828411.71828180.06251.71884111.71

18、828201.71828180.031251.71842161.71828181.7182818第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式410若( )01max( )2.71828.kKxMfxe ,則由于 由梯形公式的誤差公式有2-( )12Tb aEh f2112kh M4102,2 100.02h因此0.0313h同理,對Simpson公式,可得, h對指定的誤差界如何選取能夠使復(fù)化積分公式達(dá)到計(jì)算精度?第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-

19、Cotes公式公式由于被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的界很難估計(jì) ,因此可在計(jì)算過程中自動(dòng)選取步長,使之精度達(dá)到要求在復(fù)化梯形公式中,有2-( )-( ) , 12nb aI fTh fa bn將區(qū)間作 等分22-( )-( ) , 2122nb aI fTfa bnh區(qū)間加密后,有 將區(qū)間作等分( ) , fxa b假定在區(qū)間上變化不大( )( )ff,即21( )-( )-4nnI fTI fT 第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式221( )-3nnnI fTTT因此 221( )-3nnnI fTTT 22-,( )

20、nnnTTI fT即 當(dāng) 有221,- ,nnnnnhb aTTTT (1)先取計(jì)算 (2)縮小步長一半,計(jì)算 (3)計(jì)算誤差,如果滿足要求- ,則停止, 否則計(jì)算步驟轉(zhuǎn)(2)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式2nnTT可以利用 計(jì)算-11211/2( )2()()( )22nnkknkkkxxhTf af xff b=-11( )2()( )4nkkhf af xf b=11()22nkkkxxhf111()222nkknkxxhTf=221( )-4 1nnnI fTTT 由及上式構(gòu)成一個(gè)自動(dòng)選步長的梯

21、形積分算法,0,1,2,., ,()/knkxTxakh kn hban設(shè) 為 的節(jié)點(diǎn)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式類似于梯形公式,可以得到自動(dòng)選步長的Simpson公式4(4)( )2880nbaISh f=-4(4)2( )2880 2nbahISf=-(4)2( ) , , nnfxa bISIS2假定在上變化不大時(shí) 可得4222141nnnISSS因此,(),自動(dòng)選步長的Cotes公式,自動(dòng)選步長的Simpson公式223141nnnICCC同理,()第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.

22、1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式011( )()()(), ()(),0,1,.,nkkkjjmmQ fA f xmI xQ xI xQ xjm 求積公式具有 次代數(shù)精度的充分必要條件是命題4.7證明充分性( )mmpx對任意不超過 次的多項(xiàng)式,總可以表示為20120( )mmjmmjjpxaa xa xa xa x ( )mI px因此0mbjjaja xdx0mbjjajax dx 0()mjjja I x0()mjjja Q x00mnjjkkjkaA x00nmjkjkkjAa x0()nkmkkA px( )mQ px第第4章章 數(shù)值微積

23、分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式( )Q fm 所以,求積公式有至少 次代數(shù)精度.11()()mmI xQ x又因?yàn)?m由代數(shù)精度的定義知,公式的代數(shù)精度為必要性(0,1,.,),jxjmm 由于均為不超過 次的多項(xiàng)式11()()mmI xQ x如果 則由充分性知1m,其代數(shù)精度至少應(yīng)為次.,與定義矛盾.證畢第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 (廣義Pean定理4.8o定理)( )( )-( ) ( ) , ,( ), ( ) ( )E

24、fI fQ fE fa bQ fmE f xE R x 設(shè)由 定義的誤差是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 近似式具的 次代數(shù)精度 則 01201012( ),., ( ) ( )( -)( -)( -),., , 1mmmR xf x x xxxxxx xx xx xx x xxa bm其中 而是上的個(gè)任意點(diǎn)第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式11, , ( )( 1)(0)(1)(0)A B C Df x dxAfBfCfDf例4.1 求以下數(shù)值積分公式求積系數(shù)使公式具有盡可能高的代數(shù)精度 并求其誤差-1,0,1x 解:

25、在點(diǎn)處構(gòu)造差商表1( 1)0(0)0(0)1(1)ffff(0)( 1)(1)(0)0)fffff(0)(0)( 1)(1)(0)(0)ffffff1(1)2(0)( 1)2fff第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式32( )(-1)(0)-(-1) (1)(0)-(0)(-1) (1)1(1)-2(0)-(-1) (1)2p xfffxfffxxfffxx可得插值多項(xiàng)式 11( )( )I ff x dx( )Q f131( )p x dx1112321111431111(-1)(0)-(-1) ()(0)-(0)(-1) ()232111(1)-2(0)-(-1) ()243fxffxxfffxxfffxx 212 (-1)2(0)-(-1)(0)-(0)(-1)(1)-2(0)-(-1)33fffffffff141(-1)(0)(1)333fff第第4章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分4.1 4.1 內(nèi)插求積內(nèi)插求積 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式141 ,0333ABCD因此,有111( ) ( 1)4 (0)(1)3f x dxfff11( )(