2015年湖北高考數(shù)學(xué)試卷(理科)及詳細答案Word版)資料

1、絕密啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試題卷共6頁，22題，其中第15、16題為選考題。全卷?茜分150分。考試用時120分鐘。?？荚図樌⒁馐马棧? .答卷前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2 .選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3 .填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4 .選考題的作答

2、：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑，再在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5 .考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. i為虛數(shù)單位，i607的共期為A.iB.-iC.1D.-12.我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為A.134石B.169石C.338石D.1365石3.已知（1+x）n的展開式中第4項與第8

3、項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為A.212B,211C.210D.294.這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中設(shè)X：N(H,仃；)，Y：N(%52),正確的是A. P(Y-J2)P(Y4)B. P(X三二2)±P(X5)C.對任意正數(shù)t,P(X<t)之P(Y<t)D.對任意正數(shù)t,P(X>t)>P(Y>t)第4題圖5.設(shè)國色,，anWR,n>3,若p：&,a?,，an成等比數(shù)列；.222.222.2q：(ai+a2+an1)(a2+a?+an)=(a1a2+a2a3+anan),貝UA.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

4、B. p是q的必要條件，但不是q的充分條件C. p是q的充分必要條件D. p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件1,x0,6 .已知符號函數(shù)sgnx=40,x=0,f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),-1,x：0.則A.sgng(x)=sgnxB.sgng(x)=sgnxC.sgng(x)=sgnf(x)D.sgng(x)=-sgnf(x)17 .在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x+y至1”的概率，歷為事件2，11|xy|E”的概率，6為事件xyW”的概率，則22A.p1<p2<p3B.p2cp3<p1C.p3：二p1：二

5、p2D.6：p2：二p18 .將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(a¥b)同時增加m(m>0)個單位長度，得到離心率為金的雙曲線C2,則A.對任意的a,b,0>2B.當(dāng)ab時，e為；當(dāng)a<b時，C.對任意的a,b,ei<e2D.當(dāng)aAb時，e<金；當(dāng)a<b時，e>金9 .已知集合A=(x,y)x2+y2M1,x,yWZ,B=(x,y)|x|<2,|y|<2,x,y=Z，定義集合A®BX(x+x,y+y)(x,y/A",2y)，貝BA5B中元素的個數(shù)為A.77B.49C.45D.3010 .設(shè)xW

6、R,x表示不超過x的最大整數(shù).若存在實數(shù)t,使得t=1,t=2,tn=n同時廖立，則正整數(shù)n的最大值是A.3B.4C.5D.6二、填空題：本大題共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.（一）必考題（1114題）11,已知向量OA_LAB,|OA|=3,則OAQB=,2X兀12 .函數(shù)f(x)=4coscos(x)2sinx|ln(xN)|的奪點個數(shù)為22A處時測得公路北側(cè)一山頂D在13 .如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到75二的方向上，仰西偏北30二的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西

7、偏北角為30、則此山的高度CD=m.第13題圖14 .如圖，圓C與x軸相切于點T（1,0）,與y軸正半軸交于兩點A,B（B在A的上方），且AB=2.（I）圓C的體譙方程為;（n）過點a任作一條直線與圓0。2+丫2=1相交于“川兩點，下列三個結(jié)論：回二回.網(wǎng)一吧網(wǎng)+幽=2立NBMB'NAMB'NAMB其中正確結(jié)論的序號是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選15.（選彳4-1:幾何證明選講）如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線,的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑.如果全選，則按第15題作答結(jié)果計分.

8、）16.（選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）且BC=3PB,貝U當(dāng)AC在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l1x=t,的極坐標(biāo)方程為P（sin9-3cos0）=0,曲線C的參數(shù)方程為tt（t為參數(shù)），y=t；l與C相交于A,B兩點，則|AB|=三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分11分)某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(cox+中)(>0,|啊<J在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表:ccx+910兀2it3兀萬2兀x兀35兀-6Asin（®x+中）05

9、-50(I)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；(n)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動6(6>0)個單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心為(5，0),求日的最小值.1218.(本小題滿分12分)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q.已知匕=曲,b2=2,q=d,S10=100.(I)求數(shù)列an,bn的通項公式；(n)當(dāng)d>1時，記Cn=曳，求數(shù)列Cn的前n項和Tn.bn19 .(本小題滿分12分)九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直

10、角三角形的四面體稱之為鱉月需.第19題圖如圖，在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD_L底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF_LPB交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.(I)證明：PB_L平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉月需，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說明理由；(n)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為-,3求股的值.BC20 .（本小題滿分12分）某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超

11、過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取白鮮牛奶數(shù)量W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個隨機變量.（I）求Z的分布列和均值；（n）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.21 .（本小題滿分14分）一種作圖工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處錢鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1,MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運

12、動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C.以O(shè)為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.（I）求曲線C的方程；（n）設(shè)動直線l與兩定直線l1：x2y=0和l2：x+2y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與曲線C有且只有一個公共點，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.yf1次112y1A/°BM第21題圖122.（本小題滿分14分）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，4/dOxM第21題圖21n.bn=n(1+)an(n=N可，e為自然對數(shù)的底數(shù).n（I）求函數(shù)f（x）=1+x_ex的單調(diào)區(qū)間，并比較

13、（1十1）”與3的大小；n（n）計算上處，9b%,由此推測計算hb26的公式,并給出證明；aaa2aa2a3a1a2a。i（出）令Cn=（曬2an）n,數(shù)列an,Cn的前n項和分別記為Sn,Tn,證明：eSn.絕密啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)(理工類)試題參考答案一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)I .A2,B3.D4.C5.A6.B7.B8.D9.C10.二、填空題(本大題共6小題，考生需作答5小題，每小題5分，共25分)II ,912.213.1006221_14. (I)(x-1)+(y_<2)=2;(n)15.-16.2J5三、解答

14、題(本大題共6小題，共75分)17. (11分)(I)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5,0=2,5=,數(shù)據(jù)補全如下表:6ox+邛07t2it3兀22兀x兀127t372t125兀6137t12Asin(ccx+中)050-50且函數(shù)表達式為f(x)=5sin(2x-).6(n)由(I)知f(x)=5sin(2x-),得g(x)=5sin(2x+2日一).66因為y=sinx的對稱中心為(k兀0),k=Z.令2x+2日_兀=卜兀，解得x=k兀+兀_曰,kwZ.6212由于函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(2,0)成中心對稱，令反十二9=目1221212解得，kz.由e>0可知，當(dāng)k=1時，日取得最

15、小值-.23618. (12分)(I)由題意有,10a145d=100,2a19d=20,即&d=2,a1d=2,Jai=9,或2d二一.9an=2n-1故bn=2an或bn1二(2n79),9=9(馬n.9(n)由d>1,知an=2n_1,bn-n1二2一2n-1于是2n-1-n152一2n一1丁113579aTn=27宕2T了-可得11112n-12n3Tn=22,一n2-n-=3n-,2222-22卅T«2n3蚊Tn6-n1-2.19. (12分)(解法1)(I)因為PD，底面ABCD,所以PD1BC,由底面ABCD為長方形，有BC_LCD,而PDACD=D,所以

16、BC，平面PCD,而DEU平面PCD,所以BC_LDE.又因為PD=CD,點E是PC的中點，所以DE_LPC.而PCPlBC=C,所以DE_1平面PBC.而PBU平面PBC,所以PB_LDE.又PB_LEF,DEClEF=E，所以PB_L平面DEF.由DE_L平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉月需，其四個面的直角分別為ZDEB,/DEF,/EFB,/DFB.(n)如圖1,在面PBC內(nèi)，延長BC與FE交于點G,則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.由(I)知，PB_L平面DEF,所以PB1DG.又因為PD_L底面ABCD,所以PD

17、_LDG.而PD仆PB=P,所以DG_L平面PBD.故NBDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PD=DC=1,BC=九，有BD=.1十九2,在RtAPDB中，由DF_LPB,得/DPF=/FDB=,3則tan-=tan/DPF=BD=由+鏟'=技解得2=41.3PD所以照:1.BC2故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為工時，DC=3BC2(解法2)(I)如圖2,以D為原點，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=DC=1,BC=，一則期瞅PB兒C,PB=(41,_1),點E是PC的中點，所以E(0,1,1),DE=(0,1)，222

18、2于是PB，DE=0,即PB1DE.又已知EF1PB,而DEPlEF=E,所以PB_L平面DEF.因PC=(0,1,-1),DEPC=0,則DE_LPC,所以DE，平面PBC.由DE，平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，第19題解答圖1第19題解答圖2a-bi(n)由PD_L平面ABCD,所以DP=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量；由(I)知，PB_L平面DEF,所以BP=(-九一1,1)是平面DEF的一個法向量用cos-一一3|BP|DP|解得虱=短.所以四=1=：BC九故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二一J，+22返.2二面角的大小為時，匹=其3B

19、C2若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為-,3兀BPDP1120.(12分)(I)設(shè)每天A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x,y,相應(yīng)的獲利為z,則有2x1.5y<W,x1.5y<12,2x-y_0,l'x：二0,y=0.目標(biāo)函數(shù)為z=100x12W0(1)第20題解答圖1第20題解答圖2第20題解答圖3當(dāng)W=12時，(1)表示的平面區(qū)域如圖1,三個頂點分別為A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).將z=1000x+1200y變形為y=_5x+z,61200當(dāng)x=2.4,y=4.8時，直線l:y=x+z在y軸上的截距最大，61200最大獲利Z=Zmax=2.4X1

20、000+4.8X1200=8160.當(dāng)W=15時，(1)表示的平面區(qū)域如圖2,三個頂點分別為A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).將z=1000x+1200y變形為y=_5x+z-612005 z當(dāng)x=3,y=6時，直線l:y=-5x+在y軸上的截距最大，6 1200最大獲利Z=zmax=32000+6m1200=10200.當(dāng)W=18時，(1)表示的平面區(qū)域如圖3,四個頂點分別為A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).5 z將z=1000x+1200y變形為y=-x+J6 1200當(dāng)x=6,y=4時，直線l：y=_5x+在y軸上的截距最大，61200最大獲利Z=zma

21、x=6M1000+4父1200=10800.故最大獲利Z的分布列為Z81601020010800P0.30.50.2因此，E(Z)=81600.3102000.5108000.2=9708.(n)由(I)知，一天最大獲利超過10000元的概率p1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為33p=1-(1R)=1-0.3=0.973.21.(14分)(I)設(shè)點D(t,0)(|t|<2),N(x),y0),M(x,y),依題意,MD=2DN，且|DN|=|ON|=1,第21題解答圖-22(x0-t)，y0=1,所以(t-

22、x,-y)=2(x0-t,y°),且22X0V。二1t-x=2x0-2t,即V且t(t2x0)=0.y=-2九.由于當(dāng)點D不動時，點N也不動，所以t不恒等于0,22于是t=2x°,故設(shè)=",丫0=一丫，代入x2+y；=1,可得>+y=1,4216422即所求的曲線C的方程為士+2=1.1641(n)(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l為x=4或x=-4,都有S*Pq=父4父4=8.1(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l:y=kx+m(k#±),2,y=kxm,222由W22消去y,可得(1+4k)x+8kmx+4m-16=0.x-21.4k212當(dāng)

23、k>一時，Spq=8()=8(1+)>8；4k-14k-12)八214k1、,2、當(dāng)0Mk"時，Sopq=8(-t)=8(-1+t).41-4k1-4k4y2=16,因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，y=kxm,又由,x-2y=0,可得P(k由原點O到直線PQ的距離為d所以A=64k2m24(1+4k2)(4m216)=0,即m2=16k2+4.上一)；同理可得Q(二2m一)1-2k12k12k空1T和|PQ|="1+k2|xp%|,可得1k2_1八S.Opq=21PQ1.，1，|m|xp-xq尸2|m|2m2m1-2k12k2m21-4k2將代入得,2m21-4k24k2-1因0Ek2<1,則0<1-4k2<1,22之2,所以S由pq=8(1+22)>8,一41-4k-:1-4k一當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號.所以當(dāng)k=0時，SPQ的最小值為8.綜合(1)(2)可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個頂點處相切時，OPQ的面積取得最小值