《現(xiàn)代控制理論(第3版)》-第4章

1、4.2 李雅普諾夫第一法4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義4.3 李雅普諾夫第二法4.4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4.1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義4.1.1 系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為（1） 式中， 為 維狀態(tài)矢量； 為與 同維的矢量函數(shù)，它是工的各元素 和時(shí)間 的函數(shù)。一般地，為時(shí)變的非線性函數(shù)。如果不顯含 ，則為定常的非線性系統(tǒng)。設(shè)方程式(1)在給定初始條件 下，有唯一解：（2）式中， 為表示 在初始時(shí)刻 時(shí)的狀態(tài)； 是從開(kāi)始觀察的時(shí)間變量。 式(2)實(shí)際上描述了系統(tǒng)式(1)在n 維狀態(tài)空間中從初始條件 出發(fā)的一

2、條狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的軌跡，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)或狀態(tài)軌線狀態(tài)軌線。 若系統(tǒng)式(1)存在狀態(tài)矢量 ，對(duì)所有 ，都使：成立，則稱(chēng) 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)。（3） 對(duì)于一個(gè)任意系統(tǒng)，不一定都存在平衡狀態(tài)，有時(shí)即使存在也未必是唯一的，例如對(duì)線性定常系統(tǒng)： 當(dāng)A A為非奇異矩陣時(shí)，滿(mǎn)足 的解 是系統(tǒng)唯一存在的一個(gè)平衡狀態(tài)。而當(dāng)A A為奇異矩陣時(shí)，則系統(tǒng)將有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。（4） 對(duì)非線性系統(tǒng)，通?？捎幸粋€(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。它們是由方程式(3)所確定的常值解例加系系統(tǒng)：就有三個(gè)平衡狀態(tài)： 由于任意一個(gè)已知的平衡狀態(tài)，都可以通過(guò)坐標(biāo)變換將其 移到坐標(biāo)原點(diǎn)處。所以今后將只討論系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)定性就可以了。4.1.2

3、穩(wěn)定性的幾個(gè)定義 若用 表示狀態(tài)矢量 與平衡狀態(tài) 的距離，用點(diǎn)集 表示以 為中心 為半徑的超球體，那么 ，則表示：（5）式中， 為歐幾里德范數(shù)。在n維狀態(tài)空間中，有：（6） 當(dāng) 很小時(shí)，則稱(chēng) 為 的鄰域。因此，若有 ，則意味著 同理，若方程式(1)的解 位于球域 內(nèi)，便有：（7） 式(7)表明齊次方程式(1)內(nèi)初態(tài) 或短暫擾動(dòng)所引起的自由響應(yīng)是有界有界的。李雅普諾夫根據(jù)系統(tǒng)自由響應(yīng)是否有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為四種情況。1李雅普諾夫意義下穩(wěn)定2漸近穩(wěn)定3大范圍漸近穩(wěn)定4不穩(wěn)定4.2 李雅普諾夫第一法4.2.1 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)（1） 平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值

4、均具有負(fù)實(shí)部。 以上討論的都是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱(chēng)內(nèi)部穩(wěn)定性。但從工程意義上看，往往更重視系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性輸出穩(wěn)定性。 如果系統(tǒng)對(duì)于有界輸入 所引起的輸出 是有界的，則稱(chēng)系統(tǒng)為輸出輸出穩(wěn)定穩(wěn)定。 線性定常系統(tǒng) 輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)：的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。（2）4.2.2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（3） 為其平衡狀態(tài)； 為與 同維的矢量函數(shù)，且對(duì)工具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。 為討論系統(tǒng)在 處的穩(wěn)定性，可將非線性矢量函數(shù) 在 鄰域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，得：（4）式中， 為級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。而（5）稱(chēng)為雅可比(Jacohian)矩陣。 若令 ，并取式(4)的一次

5、近似式，可得系統(tǒng)的線性化方程： （6） 在一次近似的基礎(chǔ)上，李雅普諾夫給出下述結(jié)論： 1)如果方程式(6)中系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)式(3)在平衡狀態(tài) ，是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與 無(wú) 關(guān)。 2)如果 A A 的特征值，至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。 3)如果 A A 的特征值，至少有一個(gè)的實(shí)部為零。系統(tǒng)處于臨界情況，那么原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ，而不能由A A的特征值符號(hào)來(lái)確定。 設(shè) 為由 維矢量 所定義的標(biāo)量函數(shù)， ，且在 處恒有 。4.3 李雅普諾夫第二法 李雅普諾夫第二法又稱(chēng)直接法。它的基本思路不

6、是通過(guò)求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，而是借助于一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來(lái)直接對(duì)系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷。它是從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的。4.3.1 預(yù)備知識(shí)1.標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：2二次型標(biāo)量函數(shù) 二次型函數(shù)在李雅普諾夫第二方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性中起著很重要的作用。設(shè) 為n個(gè)變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為：（8）矩陣 P P 的符號(hào)性質(zhì)定義如下：設(shè)P P 為 實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣， 為由P P 所決定的二次型函數(shù)。3希爾維斯特判據(jù)設(shè)實(shí)對(duì)陣矩陣： 由此可見(jiàn)，矩陣P P 的符號(hào)性質(zhì)與由其所決定的二次型函數(shù) 的符號(hào)性質(zhì)完全一致。因此，要判別 的符號(hào)只要判別P P 的符號(hào)即可。而后者可由希爾維斯

7、特(Sylvester)判據(jù)進(jìn)行判定。（9）為其各階順序主子行列式：（10）矩陣 定號(hào)性的充要條件是：4.3.2 幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)用李雅普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可概括為以下幾個(gè)穩(wěn)定性判據(jù)。平衡狀態(tài)為。 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（11）如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) ，它滿(mǎn)足：2) 是正定的，即當(dāng) 。 3) 沿狀態(tài)軌跡方向計(jì)算的時(shí)間導(dǎo)數(shù) 分別滿(mǎn)足下列條件： 若 為半負(fù)定，那么平衡狀態(tài) 為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。此稱(chēng)穩(wěn)定判據(jù)。 若 為負(fù)定；或者雖然 為半負(fù)定但對(duì)任意初始狀態(tài) 來(lái)說(shuō)，除去 外，對(duì) 不恒為零。那么原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果進(jìn)一步還 ，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。此稱(chēng)漸近穩(wěn)定判據(jù)。1) 對(duì)所有z

8、都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。4.3.3 對(duì)李雅普諾夫函數(shù)的討論 1) 是滿(mǎn)足穩(wěn)定性判據(jù)條件的一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，且對(duì)x應(yīng)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。 2)對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)，如果 是可找到的，那么通常是非唯一的，但這并不影響結(jié)論的一致性。3) 的最簡(jiǎn)單形式是二次型函數(shù)：4)如果 為二次型，且可表示為：若 為正定，那么平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。此稱(chēng)不穩(wěn)定判據(jù)。 6)由于構(gòu)造 函數(shù)需要較多技巧，因此，李雅普諾夫第二法主要用于確定那些使用別的方法無(wú)效或難以判別其穩(wěn)定性的問(wèn)題。例如高階的非線性系統(tǒng)或時(shí)變系統(tǒng)。 5) 函數(shù)只表示系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某鄰域內(nèi)局部運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定情況，絲毫不能提供域外運(yùn)動(dòng)的任何信息。（12）4.4

9、 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用4.4.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為： 則平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：A的特征根均具有負(fù)實(shí)部。（1）4.4.2 線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：（2） 則系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 處大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對(duì)于任意給定的連續(xù)對(duì)稱(chēng)正定矩陣 ，必存在一個(gè)連續(xù)對(duì)稱(chēng)正定矩陣 ，滿(mǎn)足：而系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：（3）（4）證明 設(shè)李雅普諾夫函數(shù)取為：式中， 為連續(xù)的正定對(duì)稱(chēng)矩陣。取V（x,t）對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，得：即（5）式中 由穩(wěn)定性判據(jù)可知，當(dāng) 為正定對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，若 也是一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣，則 是負(fù)定的，于是系統(tǒng)的平

10、衡點(diǎn)便是漸近穩(wěn)定的。 式(3)是黎卡提黎卡提(Riccati)(Riccati)矩陣微分方程矩陣微分方程的特殊情況，其解為：特別地，當(dāng)取 時(shí)，則得： 式中， 為系統(tǒng)式(2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； 為矩陣微分方程式(3)的初始條件。（6）（7） 式(7)表明，當(dāng)選取正定矩陣 時(shí)，可由函 計(jì)算出 ；再根據(jù) 是否具有連續(xù)、對(duì)稱(chēng)、正定性來(lái)判別線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.4.3 線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（8）4.4.4 線性時(shí)變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性時(shí)變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（9） 則平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 ，必存在一

11、個(gè)正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 ，使得： 則平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件為：G G 的特征根均在單位開(kāi)圓盤(pán)內(nèi)。（10）成立。并且（11）是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。4.5 李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用 從前面分析可知，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有全局性質(zhì)，而且穩(wěn)定判據(jù)的條件是充分必要的。但是，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻可能只具有局部性質(zhì)。4.5.1 雅町比(Jacobian)矩陣法 雅可比矩陣法，亦稱(chēng)克拉索夫斯基(Krasovski)法，二者表達(dá)形式略有不同，但基本思路是一致的。實(shí)際上，它們都是尋找線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)方法的一種推廣。設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（12） 式中， 為 維狀態(tài)矢量；為與 同維的非線性矢量函數(shù)。 假設(shè)原點(diǎn) 是平衡狀態(tài)， 對(duì) 可微，系統(tǒng)的雅可比矩陣為：（13） 則系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充分條件是：任給正定實(shí)對(duì)稱(chēng)陣P P ，使下列矩陣（14）為正定的。并且（15）是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾大函數(shù)。 如果當(dāng) 時(shí)，還有 ，則系統(tǒng)在 是大范圍漸近穩(wěn)定。4.5.2 變量梯度法 變量梯度法也叫舒茨一基布遜(ShultzGibson)法，這是他們?cè)?962年提出的一種尋求李雅普諾夫函數(shù)較為實(shí)用的方法。 變量梯度法是以下列事實(shí)為基礎(chǔ)的：即如果找到一個(gè)特定的李雅普諾夫函數(shù) ，能夠證明所給系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，那么，這個(gè)李