立體幾何中轉(zhuǎn)化策略

1、立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 數(shù)學(xué)必修2第一、二章專(zhuān)題復(fù)習(xí)直觀圖與展開(kāi)圖直觀圖與展開(kāi)圖平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 垂直與平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化垂直與平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化角角 度度線線角、線面角和二面角線線角、線面角和二面角長(zhǎng)長(zhǎng) 度、度、表面積與體積表面積與體積 直觀圖與三視圖直觀圖與三視圖立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 位置關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化位置關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化空間圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)化空間圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)化大策略空間平面立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 大策略：空間大策略：空間 平面平面題型一：位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化題型一：位置關(guān)系的

2、相互轉(zhuǎn)化小策略：小策略： 平行關(guān)系平行關(guān)系 垂直關(guān)系 平行轉(zhuǎn)化：線線平行平行轉(zhuǎn)化：線線平行 線面平行線面平行 面面平行面面平行 垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直 線面垂直線面垂直 面面垂直面面垂直立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 題型一：位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化練習(xí)練習(xí)1 1：D D1 1C C1 1B B1 1A A1 1D DC CB BA AE EF FD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1D DC CB BA AE EF F立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 平面中的數(shù)量關(guān)系隱藏著三角形特征！平面中的數(shù)量關(guān)系隱藏著三角形特征！題型一：位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化練習(xí)練習(xí)1 1：2a2a2aD D1 1C

3、C1 1B B1 1A A1 1D DC CB BA AE EF F立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 轉(zhuǎn)化需要輔助線的添加！轉(zhuǎn)化需要輔助線的添加！題型一：位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化練習(xí)練習(xí)1 1：O策略一：線面平行轉(zhuǎn)化成線線平行（空間轉(zhuǎn)化平面）策略二：線面平行轉(zhuǎn)化成面面平行（空間轉(zhuǎn)化空間）立體幾何作輔助線的立體幾何作輔助線的一般思路和常用方法一般思路和常用方法 做立體幾何題，性質(zhì)定理是打開(kāi)解題思做立體幾何題，性質(zhì)定理是打開(kāi)解題思路的關(guān)鍵，也是引入輔助線的基礎(chǔ)，它可告路的關(guān)鍵，也是引入輔助線的基礎(chǔ)，它可告訴我們應(yīng)該如何作輔助線，其中最常用的是訴我們應(yīng)該如何作輔助線，其中最常用的是線面平行和面面垂直性質(zhì)定理。線面

4、平行和面面垂直性質(zhì)定理。A AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 EF題型一：位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化例例1 1：策略一：線線垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直策略一：線線垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直 策略二：垂直與平行的相互轉(zhuǎn)化策略二：垂直與平行的相互轉(zhuǎn)化A AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 EF題型一：位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化例例1 1：策略一：線線垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直策略一：線線垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直 策略二：垂直與平行的相互轉(zhuǎn)化策略二：垂直與平行的相互轉(zhuǎn)化策略三：線面垂直轉(zhuǎn)化成線線垂直策略三：線面垂直轉(zhuǎn)化成線線垂直 立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 題型二：

5、數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化題型二：數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化小策略：小策略： 空間距離最終轉(zhuǎn)化成點(diǎn)線距離空間距離最終轉(zhuǎn)化成點(diǎn)線距離 異面直線所成的角、線面角、面面角最終異面直線所成的角、線面角、面面角最終轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為平面上兩相交直線所成的角為平面上兩相交直線所成的角 大策略：空間大策略：空間 平面，逐步平面，逐步“降維降維”立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 ?A?1?B?1?C?1?D?1?D?C?B?A題型二：數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化練習(xí)練習(xí)3 3 在棱長(zhǎng)為在棱長(zhǎng)為a的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中， D1到到B1C的距離為的距離為_(kāi)， A到到A1C的距離為的距離為_(kāi) G GE EF FD D1 1C C1

6、1B B1 1A A1 1D DC CB BA A立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 題型二：數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 題型二：數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化G GE EF FD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1D DC CB BA A立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 小策略：小策略： 三視圖需恢復(fù)直觀圖，直觀圖需想象平面圖三視圖需恢復(fù)直觀圖，直觀圖需想象平面圖 在翻折、展開(kāi)中抓住在翻折、展開(kāi)中抓住“變變”與與“不變不變” ” 題型三：平面圖形與空間圖形的相互轉(zhuǎn)化題型三：平面圖形與空間圖形的相互轉(zhuǎn)化大策略：發(fā)揮空間想象，平面、空間相互轉(zhuǎn)化大策略：發(fā)揮空間想象，平面、空間相互轉(zhuǎn)化關(guān)注轉(zhuǎn)化中關(guān)注轉(zhuǎn)

7、化中“變變”與與“不變不變”的動(dòng)態(tài)幾的動(dòng)態(tài)幾何何立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 2020正視圖正視圖20側(cè)視圖側(cè)視圖1020俯視圖俯視圖10題型三：平面圖形與空間圖形的相互轉(zhuǎn)化B立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 練習(xí)練習(xí)686（20072007廣東卷）已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，廣東卷）已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱(chēng)主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為正視圖（或稱(chēng)主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8 8，高為，高為4 4的等腰三角形，的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱(chēng)左視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為側(cè)視圖（或稱(chēng)左視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6 6，高為，高為4 4的等腰三角形的等腰三角形（1 1）求該幾何體的體積）求該幾何體的體

8、積（2 2）求該幾何體的側(cè)面積）求該幾何體的側(cè)面積立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 ?A?1?D?C?B?A?O題型三：平面圖形與空間圖形的相互轉(zhuǎn)化關(guān)注翻折過(guò)程的“變”與“不變”！例例 2 2（綜合題型）（綜合題型） 如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，10AB=，6BC =，沿對(duì)角線，沿對(duì)角線BD把把ABDV折起，使折起，使A移到移到1A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)1A作作1 AO 平面平面BCD，垂足，垂足O恰好在恰好在CD上上? ?（1 1）求證：）求證：1BC AD ； （2 2）求證：）求證：平面平面1ABC 平面平面1ABD；? ?（3 3）求三棱錐）求三棱錐1A BCD-的體積的體積. .? ?

9、 立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 ?A?1?D?C?B?A?O題型三：平面圖形與空間圖形的相互轉(zhuǎn)化關(guān)注翻折過(guò)程的“變”與“不變”！例例 2 2 如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，10AB=，6BC =，沿對(duì)角線，沿對(duì)角線BD把把ABDV折起，使折起，使A移到移到1A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)1A作作1 AO 平面平面BCD，垂足，垂足O恰好在恰好在CD上上? ?（1 1）求證：）求證：1BC AD； （2 2）求證：）求證：平面平面1ABC 平面平面1ABD；? ?（3 3）求三棱錐）求三棱錐1A BCD-的體積的體積. .? ? 立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 ?A?1?D?C?B?A?O題型三：平面圖形與

10、空間圖形的相互轉(zhuǎn)化關(guān)注翻折過(guò)程的“變”與“不變”！例例 2 2（綜合題型）（綜合題型） 如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，10AB=，6BC =，沿對(duì)角線，沿對(duì)角線BD把把ABDV折起，使折起，使A移到移到1A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)1A作作1 AO 平面平面BCD，垂足，垂足O恰好在恰好在CD上上? ?（1 1）求證：）求證：1BC AD； （2 2）求證：）求證：平面平面1ABC 平面平面1ABD；? ?（3 3）求三棱錐）求三棱錐1A BCD-的體積的體積. .? ? 立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示： 例3（綜合題型）：,MNAFBC（其中分別是、的中點(diǎn)） 正

11、視圖側(cè)視圖俯視圖立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示： 例3（綜合題型）：,MNAFBC（其中分別是、的中點(diǎn)） 2ABADAE=ADEBCF-直三棱柱ADAE2 2DECF=（1）求該多面體的表面積與體積； 策略：空間幾何體的相互轉(zhuǎn)化 可考慮將該多面體補(bǔ)圖成正方體221222 22 2 22124 2S = =212242V =解：立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示： 例3（綜合題型）：,MNAFBC（其中分別是、的中點(diǎn)） 2ABADAE=ADEBCF-直三棱柱ADAE2 2DECF=/MNCDEF（2）求證：平面；策略：利用中位線將線面平行轉(zhuǎn)

12、化成線線平行BECMN在中，是中位線/MNECECCDEFMNCDEFMNCDEF平面平面平面BEECBEM連結(jié)， 則經(jīng)過(guò)點(diǎn)解：立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示： 例3（綜合題型）：,MNAFBC（其中分別是、的中點(diǎn)） 2ABADAE=ADEBCF-直三棱柱ADAE2 2DECF=（3）求二面角CAFB-的正切值； 策略：將二面角轉(zhuǎn)化成平面角, 先找后求2,2 2,ABBFACCFMAF=為的中點(diǎn),MC MB連結(jié)-2,2,tan2CMBC AF BCBMBRt CMBCBCMBMB=為二面角的平面角在中解：立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示

13、： 例3（綜合題型）：,MNAFBC（其中分別是、的中點(diǎn)） 2ABADAE=ADEBCF-直三棱柱ADAE2 2DECF=（4）求多面體A CDEF-的體積； -A CDEFADECDEFACDEFADEDE多面體為四棱錐且側(cè)面底面點(diǎn) 到平面的垂線必在平面內(nèi)，且垂直于交線O2O2182 2 2233AEADDEOACDEF AOV= =， 取中點(diǎn)為底面，策略：將點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)線距離解：立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示： 例3（綜合題型）：,MNAFBC（其中分別是、的中點(diǎn)） 2ABADAE=ADEBCF-直三棱柱ADAE2 2DECF=ACCDEF（5）求直線與平

14、面所成的角. 策略：將線面角轉(zhuǎn)化成線線角，先找后求4AOCDEFOCACOACCDEF由（ ）可知底面， 連結(jié)，則為直線與平面所成角ORtOAO= 2AC=2 21sin,302A CACOACO=在中，則解：立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略 一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示： 例3（綜合題型）：,MNAFBC（其中分別是、的中點(diǎn)） 2ABADAE=ADEBCF-直三棱柱ADAE2 2DECF=（1）求該多面體的表面積與體積； /MNCDEF（2）求證：平面；（3）求二面角CAFB-的正切值； （4）求多面體A CDEF-的體積； ACCDEF（5）求直線與平面所成的角. 立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略

15、課堂小結(jié)：課堂小結(jié)：在具體的綜合題目中需要綜合多種策略并用，方能在峰回路轉(zhuǎn)中達(dá)到題解的目的，這就是立體幾何轉(zhuǎn)化思維的魅力所在?。?）空間圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)化：直觀圖與三視圖、展開(kāi)圖的互化.萬(wàn)變不離其宗，始終離不開(kāi)以下三種轉(zhuǎn)化題型：（1）位置關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化： 平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化、垂直與平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化；（2）數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化： 角度（線線角、線面角和二面角）、長(zhǎng)度、表面積與體積； 立體幾何作輔助線的一般思路和常用方法 做立體幾何題，性質(zhì)定理是打開(kāi)解題思路的關(guān)鍵，也是引入輔助線的基礎(chǔ)，它可告訴我們應(yīng)該如何作輔助線，其中最常用的是線面平行和面面垂直性質(zhì)定理。 1、若題中給出直線a面這

16、一條件，做題時(shí)首先考慮的是：要運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理，對(duì)照該定理中的條件就會(huì)想到應(yīng)過(guò)a作一平面和相交于b，則得ab，然后再根據(jù)其它條件完成證明。 例1巳知直線a面。且a面，求證(86年廣東高考題) 分析:要證兩面垂直,根據(jù)判定定理,須在一面內(nèi)作一條直線和另一面垂直,因a面,考慮將直線a移到即可,看已知條件a面,應(yīng)該想到用線面平行的性質(zhì)定理,這時(shí)對(duì)照定理應(yīng)過(guò)直線a作一平面和面交于直線b,可得出a/b,完成證明.ab 2、若題中給出條件若題中給出條件，作題時(shí)，先想到的是面面垂直，作題時(shí)，先想到的是面面垂直的性質(zhì)定理，要運(yùn)用該定理就必須在其中一面內(nèi)作兩面交的性質(zhì)定理，要運(yùn)用該定理就必須在其中一面內(nèi)作兩面交線的垂線線的垂線a，則得出，則得出a垂直于另一平面