數(shù)字信號(hào)處理第三版 程佩青 第3章 離散傅立葉變換

1、3.1 離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)3.1 離散傅里葉變換的定義 3.1.1 DFT的定義 設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列， 則x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換定義為:X(k)的的離散傅里葉逆變換離散傅里葉逆變換為為:) 1 . 1 . 3(1,.,1 , 0,)()()(10NkWnxnxDFTkXNnknN)2 . 1 . 3(1,.,1 , 0,)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxNkknN 式中：式中：WN= ，N為為DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，變換區(qū)間長(zhǎng)度，NM。 通通常稱常稱(3

2、.1.1)式和式和(3.1.2)式為式為離散傅里葉變換對(duì)離散傅里葉變換對(duì)。2jNe由定義知：由定義知：DFT使使有限長(zhǎng)有限長(zhǎng)時(shí)域離散序列時(shí)域離散序列與與有限長(zhǎng)有限長(zhǎng)頻域離散序列頻域離散序列建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系 把把(3.1.1)式代入式代入(3.1.2)式，有式，有由于由于所以，在變換區(qū)間上滿足：所以，在變換區(qū)間上滿足：110011()001IDFT( )( )1( )NNmkknNNNkmNNk m nNmkX kx m WWNx mWN 為整數(shù)為整數(shù)，iiNnmiiNnmWNNknmkN01110)()()(nxkXIDFT離散傅立葉變換是唯一的離散傅立葉變換是唯一的 例 3.1.

3、1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT。 解： 設(shè)變換區(qū)間N=8， 則：273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk設(shè)變換區(qū)間設(shè)變換區(qū)間N=16， 則：則：DFT的結(jié)果與的結(jié)果與N長(zhǎng)度有關(guān)長(zhǎng)度有關(guān)273880038( )( )sin()4,0,1,15sin()16jknknnNj kX kx n Wekekk 3.1.2 DFT和ZT/FT的關(guān)系 設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度為N， 其Z變換和DFT分別為：1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX k

4、DFT x nx n W比較上面二式可得關(guān)系式：比較上面二式可得關(guān)系式：)3 . 1 . 3(10,)()(2NkzXkXkNjez或：或：)4 . 1 . 3(10,)()(2NkeXkXkNj表明序列表明序列x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT是是x(n)的的z變變換換在單位圓上的在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣。點(diǎn)等間隔采樣。說(shuō)明說(shuō)明X(k)為為x(n)的的傅里葉變換傅里葉變換X(e j)在區(qū)間在區(qū)間0,2 上的上的N點(diǎn)等間隔采樣。點(diǎn)等間隔采樣。N點(diǎn)點(diǎn)DFT的的物理意義物理意義是對(duì)是對(duì)x(n)的頻譜在的頻譜在0，2上進(jìn)上進(jìn)行行N點(diǎn)等間隔采樣點(diǎn)等間隔采樣 即對(duì)序列的即對(duì)序列的離散化離散化上例中，上例中，DF

5、T變換區(qū)間長(zhǎng)度變換區(qū)間長(zhǎng)度N分分別取別取8、16，X (k)的幅度曲線圖如圖的幅度曲線圖如圖所示。所示。因此，對(duì)同一序列因此，對(duì)同一序列x(n) ：（1）DFT的變換區(qū)間長(zhǎng)度的變換區(qū)間長(zhǎng)度N不同，變換結(jié)果不同。不同，變換結(jié)果不同。（2）當(dāng)）當(dāng)N足夠大足夠大|X (k)|的包絡(luò)可逼近的包絡(luò)可逼近|X(e j)|曲線。曲線。（3）|X (k)|表示表示k=(2/N)k頻點(diǎn)的幅度譜線。頻點(diǎn)的幅度譜線。3.1.3 DFT的隱含周期性DFT的隱含周期性可以從三個(gè)不同角度得出：（1）X(k)是對(duì)x(n)的傅里葉變換X(e j)在區(qū)間0,2 上的N點(diǎn)等間隔采樣，由于X(e j) 周期性的， X(k) 也為周

6、期性的。（2）由于WknN的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隱含周期性，周期均為N。因?yàn)椋簩?duì)任意整數(shù)m，總有：(),kk mNNNWWk m N均為整數(shù)均為整數(shù) 所以，所以， X(k)滿足：滿足：1()010()( )( )( )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k同理在同理在(3.1.2)式中，有：式中，有： x(n+mN)=x(n)2 . 1 . 3(1,.,1 , 0,)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxNkknN) 1 . 1 . 3(1,.,1 , 0,)()()(10NkWnxnxDFTkXNnknN 是長(zhǎng)度為N的有限

7、長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓序列( )x n( )()(3.1.5)( )( )( )(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn( )( )(3.1.7)Nx nx nx(n)N表示表示x(n)以以N為周期的周期延拓序列為周期的周期延拓序列主值區(qū)間：主值區(qū)間：周期序列周期序列 從從n=0到到N-1的第一個(gè)周期。的第一個(gè)周期。( )x nx(n)為長(zhǎng)度為為長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列( )x n主值序列：主值序列：而主值區(qū)間上的序列稱為而主值區(qū)間上的序列稱為 的主值序列的主值序列。 （3）由）由X(k)與與x(n)的周期延拓序列的的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系也可得出其系數(shù)的關(guān)系也可得

8、出其隱隱含周期性。含周期性。圖圖 3.1.2 有限長(zhǎng)序列及其周期延拓有限長(zhǎng)序列及其周期延拓 (n)的離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS表示為x111000( )( )( )( )NNNknknknNNNNnnnX kx n Wx nWx n W(3.1.8) ( )( )( )NX kX k Rk和和 DFT的定義的定義(3.1.1)相比，可知相比，可知X(k)是是 主值序列。主值序列。( )X k所以所以10( ) ( )( ), k=0, 1, , N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n W如：如： DFTR4(n)4表示表示R4(n)以以4為周期的周期延拓序列為周期的周期延拓序列R

9、4(n)4的的頻譜特性，因?yàn)轭l譜特性，因?yàn)镽4(n)4是一個(gè)直流序列，只有直流成分（即零頻率是一個(gè)直流序列，只有直流成分（即零頻率成分）。成分）。3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)DFT的性質(zhì)要與FT的性質(zhì)對(duì)照，弄清兩者的主要區(qū)別：FT的變換區(qū)間為（- ，+ ），它以原點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)；DFT的變換區(qū)間為0 n N-1 ，它以N/2為對(duì)稱點(diǎn)。3.2.2 循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì) 1. 序列的循環(huán)移位序列的循環(huán)移位 設(shè)設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為M，則，則x(n)的循環(huán)移位為的循環(huán)移位為: y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2) 3.2.1 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 若若x

10、1(n)-N1、x2(n)-N2 y(n) = ax1(n)+bx2(n)，a、b為常數(shù)，為常數(shù)， 取取N=maxN1, N2， 則則y(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT為為: Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1 (3.2.1)圖圖 3.2.1 循環(huán)移位過(guò)程示意圖循環(huán)移位過(guò)程示意圖 2. 時(shí)域循環(huán)移位定理 設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位， 即: y(n)=x(n+m)NRN(n) 則： Y(k)=DFTy(n)N= W-kmNX(k) (3.2.3) 其中：X(k)=DFTx(n)N, 0kN-1。 時(shí)域循環(huán)移位時(shí)域循環(huán)移位頻域乘以頻域乘以W

11、-kmN3. 頻域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理若：若： X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)則：則： y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (3.2.4)頻域循環(huán)移位頻域循環(huán)移位時(shí)域乘以時(shí)域乘以WnlN3.2.3 循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積定理1 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積設(shè)序列設(shè)序列h(n)和和x(n)的長(zhǎng)度分別為的長(zhǎng)度分別為N和和M。h(n)與與x(n)的的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為點(diǎn)循環(huán)卷積定義為（3.2.5）1c0( )( ) ()( )LLLmy nh m x nmRnyc(n)=h(n)x(n)L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度，稱為循環(huán)卷

12、積區(qū)間長(zhǎng)度，LmaxN，M。用矩陣計(jì)算循環(huán)卷積的公式當(dāng)n = 0, 1, 2, , L1時(shí)，由x(n)形成的序列為: x(0), x(1), , x(L1)令n=0, m=0, 1, , L1，(3.2.5)中x(n-m)L形成的循環(huán)倒相序列為(0) , ( 1) , ( 2) , , (1) (0), (1), (2), , (1)LLLLxxxxLxx Lx Lx1c0( )( ) ()( )LLLmy nh m x nmRn令n = 1, m = 0, 1, , L-1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成的序列為(1) , (0) , ( 1) , , (2) (1), (0), (

13、1), , (2)LLLLxxxxLxxx Lx （3.2.6） (0)(1)(2)(1)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)xx Lx Lxxxx Lxxxxxx Lx Lx Lx上面矩陣稱為上面矩陣稱為x(n)的的L點(diǎn)點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣循環(huán)卷積矩陣”，其，其特點(diǎn)特點(diǎn)是是:（1） 第第1行是序列行是序列x(0), x(1), , x(L1)的循環(huán)的循環(huán)倒相序列。注意，如果倒相序列。注意，如果x(n)的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度MN。如選取L=M+N-1，以L為運(yùn)算區(qū)間進(jìn)行快速卷積，則要求對(duì)短序列補(bǔ)充很多零點(diǎn)，序列必須全部輸入后才能進(jìn)行快速計(jì)算。因此要求存貯容量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)

14、，并使處理延時(shí)很大，很難實(shí)時(shí)處理。而且，在某些應(yīng)用場(chǎng)合，序列長(zhǎng)度不定或者認(rèn)為是無(wú)限長(zhǎng)（如語(yǔ)音信號(hào)和地震信號(hào)等），在要求實(shí)時(shí)處理時(shí)，不能直接套用上述方法。解決問(wèn)題的方法：是將長(zhǎng)序列分段計(jì)算，這種分段處理法有重疊相加法和重疊保留法兩種。這里介紹重疊相加法。 設(shè)序列h(n)長(zhǎng)度為N， x(n)為無(wú)限長(zhǎng)序列。 將x(n)均勻分段， 每段長(zhǎng)度取M， 則：于是，于是， h(n)與與x(n)的線性卷積可表示為：的線性卷積可表示為：000( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n其中：其中：0( )( )( )( )()kikMx nx nx

15、 nx nRnkM該式說(shuō)明，計(jì)算該式說(shuō)明，計(jì)算h(n)與與x(n)的線性卷積時(shí)，的線性卷積時(shí)，可先進(jìn)行分段線性可先進(jìn)行分段線性卷積卷積yk(n) ，然后把，然后把分段卷積結(jié)果疊加分段卷積結(jié)果疊加起來(lái)即可。起來(lái)即可。圖圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖重疊相加法卷積示意圖 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n)每一分段卷積每一分段卷積yk(n)的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度為為N+M-1，因此，因此yk(n)與與yk+1(n) 有有N-1個(gè)點(diǎn)重疊，必須把重疊的

16、部個(gè)點(diǎn)重疊，必須把重疊的部分相加，才能得到完整的卷積序分相加，才能得到完整的卷積序列列y(n)。由圖由圖3.4.4可以看出，當(dāng)?shù)诙€(gè)分可以看出，當(dāng)?shù)诙€(gè)分段卷積段卷積y1(n)計(jì)算完后，疊加重疊計(jì)算完后，疊加重疊點(diǎn)便可得輸出序列點(diǎn)便可得輸出序列y(n)的前的前2M個(gè)個(gè)值，同樣，分段卷積值，同樣，分段卷積yi(n) 計(jì)算完計(jì)算完后，就可得到后，就可得到y(tǒng)(n)第第 i 段的段的M個(gè)序個(gè)序列值。列值。v 顯然可用快速卷積法計(jì)算分顯然可用快速卷積法計(jì)算分段卷積，快速卷積的計(jì)算區(qū)間為段卷積，快速卷積的計(jì)算區(qū)間為L(zhǎng) N+M-1。v這種方法不要求大的存貯容量，這種方法不要求大的存貯容量， 而且運(yùn)算量和延時(shí)

17、也大大減少。而且運(yùn)算量和延時(shí)也大大減少。用用DFT計(jì)算分段卷積計(jì)算分段卷積yk(n)的方法如下：的方法如下：(1) i=0；L=NM1；計(jì)算并保存；計(jì)算并保存H(k)=DFTh(n)L; (2) 讀入讀入xk(n)=x(n)RM(nkM)，構(gòu)造變換區(qū)間，構(gòu)造變換區(qū)間0，L1上的序列，實(shí)際中就是將上的序列，實(shí)際中就是將xi(n)的的M個(gè)值存放在長(zhǎng)度為個(gè)值存放在長(zhǎng)度為M的數(shù)組中的數(shù)組中, 并計(jì)算并計(jì)算 (3) (4) ，n = 0,1,2,L1； ( )()( )kkMx nx nkM Rn ( )DFT ( ) ;iiLX kx n( )( )( )iiY kH k X k ( )()( )ID

18、FT ( )ikLiLy ny nkM R nY k(5) 計(jì)算：計(jì)算： (6) i =i1，返回，返回(2)。應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，一般應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，一般x(n)是因果序列，假設(shè)初始條是因果序列，假設(shè)初始條件件y1(n)=0。1()( ),02 ()() ( ),11 ()iiiyMny nnNy iMny nNnM 重疊區(qū)相加非重疊區(qū)不加 3.4.2 用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析信號(hào)的譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。DFT是一種時(shí)域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運(yùn)算，是分析離散信號(hào)和系統(tǒng)的有力工具。 1. 用用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析v 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)xa(t)，其頻譜函數(shù)，其頻譜函數(shù)

19、Xa(j)也是連續(xù)函數(shù)。也是連續(xù)函數(shù)。v DFT對(duì)對(duì)xa(t)進(jìn)行頻譜分析，先對(duì)進(jìn)行頻譜分析，先對(duì)xa(t)進(jìn)行時(shí)域采樣，得到進(jìn)行時(shí)域采樣，得到x(n)=xa(nT)，再對(duì)再對(duì)x(n)進(jìn)行進(jìn)行DFT，得到，得到X(k)，這里，這里x(n)和和X(k)均為有限長(zhǎng)序列。均為有限長(zhǎng)序列。v 若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)則其頻譜無(wú)限寬；若信號(hào)的頻譜有限寬則其持若信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)則其頻譜無(wú)限寬；若信號(hào)的頻譜有限寬則其持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，所以嚴(yán)格地講，持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號(hào)是不存在的。續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，所以嚴(yán)格地講，持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號(hào)是不存在的。v 從工程角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時(shí)間從工程

20、角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時(shí)間信號(hào)是允許的。信號(hào)是允許的。v 因此，在下面分析中，假設(shè)因此，在下面分析中，假設(shè) xa(t)是經(jīng)過(guò)預(yù)濾波和截取處理的是經(jīng)過(guò)預(yù)濾波和截取處理的有限長(zhǎng)帶有限長(zhǎng)帶限信號(hào)限信號(hào)。由假設(shè)條件可知由假設(shè)條件可知x(n)的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為(3.4.5)用用X(k)表示表示x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT，下面推導(dǎo)出，下面推導(dǎo)出X(k)與與Xa(j)的關(guān)系的關(guān)系ppsTNT FTja12(e )jmXXmTTT式中式中aa2( )jmXXmT (3.4.6)jaa121(e)j()TmXXmXTTT def表示模擬信號(hào)頻譜表示模擬信號(hào)頻譜Xa(j)的周期延拓函數(shù)。的

21、周期延拓函數(shù)。 設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)持續(xù)時(shí)間為Tp，最高頻率為fc，如圖3.4.6(a)所示。xa(t)的傅里葉變換為Xa(j)，對(duì)xa(t)進(jìn)行時(shí)域采樣得到x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里葉變換為X(ej)。由由x(n)的的N點(diǎn)點(diǎn)DFT的定義有的定義有 (3.4.7)將將(3.4.7)式代入式代入(3.4.6)式式, 得到：得到： (3.4.8)(3.4.8)式說(shuō)明了式說(shuō)明了X(k)與與Xa(j)的關(guān)系。的關(guān)系。為了符合一般的頻譜描述習(xí)慣，以頻率為了符合一般的頻譜描述習(xí)慣，以頻率f為自變量，整理為自變量，整理（3.4.8）式。）式。j2( )DFT ( )(e)| 01NkNX kx

22、nXkNj2a2aap11212( )(e )()() () kkNNX kXXXkXkTTTNTTT(3.4.6)jaa121(e)j()TmXXmXTTT def aaa2aaa2( )jj2( )2ffXfXXfXfXXf pa=p1111( ) 0,1,2,1kkaaafNTTkkX kXfXXXkFTTNTTTTkNa=( )DFT ( ) 0,1,2,1NXkFTX kTx nkNdef令j2a2aap11212( )(e )()() () kkNNX kXXXkXkTTTNTTTN11spFNTTF圖3.4.6 用DFT分析連續(xù)信號(hào)譜的原理示意圖 a=( )DFT ( ) 0,1

23、,2,1NXkFTX kTx nkN對(duì)模擬信號(hào)頻譜對(duì)模擬信號(hào)頻譜的采用間隔，稱的采用間隔，稱之為頻率分辨率之為頻率分辨率連續(xù)信號(hào)的頻譜，可連續(xù)信號(hào)的頻譜，可以通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)采以通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣并進(jìn)行樣并進(jìn)行DFT再乘以再乘以T近似得到近似得到 對(duì)持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號(hào)，在滿足時(shí)域采樣對(duì)持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號(hào)，在滿足時(shí)域采樣定理時(shí)，上述分析方法不丟失信息。定理時(shí)，上述分析方法不丟失信息。即可由即可由Xa(k) 恢復(fù)恢復(fù)Xa(jf) 或或xa(t)，但直接由分析結(jié)果，但直接由分析結(jié)果Xa(k) 看不到看不到Xa(jf) 的全部頻譜特性，而只能看到的全部頻譜特性，而只能看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)的譜特性，

24、這就是所謂的個(gè)離散采樣點(diǎn)的譜特性，這就是所謂的柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)。如果如果xa(t)持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，上述分析中要進(jìn)行截?cái)喑掷m(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，上述分析中要進(jìn)行截?cái)嗵幚?，所以?huì)產(chǎn)生頻率混疊和泄漏現(xiàn)象，從而使譜處理，所以會(huì)產(chǎn)生頻率混疊和泄漏現(xiàn)象，從而使譜分析產(chǎn)生誤差，即分析產(chǎn)生誤差，即截?cái)嘈?yīng)截?cái)嘈?yīng)。 下面以下面以理想低通濾波器為例說(shuō)明理想低通濾波器為例說(shuō)明問(wèn)題的產(chǎn)生。問(wèn)題的產(chǎn)生。 理想低通濾波器的單位沖擊響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(if)如下圖(a)、 (b)所示。 圖中：sin()( )ath tt 現(xiàn)在用現(xiàn)在用DFT來(lái)分析來(lái)分析ha(t)的的頻率響應(yīng)特性。頻率響應(yīng)特性。 由于由于ha(t)的持

25、續(xù)時(shí)間為的持續(xù)時(shí)間為無(wú)窮長(zhǎng)，所以要截取一段無(wú)窮長(zhǎng)，所以要截取一段Tp， 設(shè)設(shè)Tp=8s，采樣間隔，采樣間隔T=0.25s (即采樣速度即采樣速度f(wàn)s=4Hz)，采樣點(diǎn)，采樣點(diǎn)數(shù)數(shù)N=Tp/T=32。此時(shí)頻域采。此時(shí)頻域采樣間隔樣間隔F=1/NT=0.125Hz。 則：則： H(k)=TDFTh(n), 0k31其中其中 h(n)=ha(nT)R32(n)頻率響應(yīng)特性有較大的波動(dòng)，這是頻率響應(yīng)特性有較大的波動(dòng)，這是由于對(duì)由于對(duì)ha(t)截?cái)喈a(chǎn)生的。截?cái)喈a(chǎn)生的。 為了減少截?cái)嗾`差，可以增大為了減少截?cái)嗾`差，可以增大 Tp和和N。q 在已知信號(hào)的最高頻率fc(即譜分析范圍)時(shí)，為了避免在DFT運(yùn)算中

26、發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率fs滿足： fs2fc (3.4.13)q 而譜分辨率： F=fs/N q 如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高譜的分辨率(F減小)，必須降低采樣速率，采樣速率的降低會(huì)引起譜分析范圍減少。如維持fs不變，為提高分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，因?yàn)镹T=Tp，T=fs-1， 只有增加對(duì)信號(hào)的觀察時(shí)間Tp，才能增加N。Tp和N可以按照下式進(jìn)行選擇:21cpfNFTF(3.4.14) (3.4.15) 例 3.4.2 對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F10 Hz，信號(hào)最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時(shí)間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果fc不

27、變， 要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少? 解：110.110PTsF3maxmin110.2 1022250022250050010ccTsffNF因此因此TPmin=0.1 s， 因?yàn)橐笠驗(yàn)橐骹s2fc， 所以：所以：為使頻率分辨率提高一倍（為使頻率分辨率提高一倍（ F=5 Hz），則要求：），則要求：minmin225001000510.25pNTs為了使用為了使用FFT，N常取常取2的整數(shù)次冪。的整數(shù)次冪。如如1024DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)分析時(shí)的參數(shù)選擇原則對(duì)連續(xù)信號(hào)分析時(shí)的參數(shù)選擇原則fc-信號(hào)最高截止頻率信號(hào)最高截止頻率 F-頻頻(譜譜)率分辨率（頻域采樣時(shí)

28、的最小頻率間隔）率分辨率（頻域采樣時(shí)的最小頻率間隔） Fs -采樣頻率采樣頻率 Tp -信號(hào)記錄時(shí)間信號(hào)記錄時(shí)間T -采樣間隔采樣間隔N-采樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)11spFFNNTTminpTFcfT21maxminscFf minminminmax/()sCpCCFfNorFFTfFTfF 4. 用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題 DFT(FFT)可用來(lái)對(duì)連續(xù)和數(shù)字信號(hào)進(jìn)行譜分析。 (1) 混疊現(xiàn)象。 (2) 柵欄效應(yīng)。 (3) 截?cái)嘈?yīng)。 1. 頻譜混疊頻譜混疊 對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，需要首先進(jìn)行時(shí)域離散， 如果采樣頻率Fs不能夠滿足采樣定理，則將會(huì)在Fs/2附近發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，此時(shí)用DFT進(jìn)行分析結(jié)

29、果必然在Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。 一般取Fs(35)fc。在Fs確定時(shí)，一般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，以濾除高于折疊頻率的頻率成分。 解決辦法: 預(yù)濾波 增大采樣頻率2. 柵欄效應(yīng) 1.通過(guò)DFT來(lái)分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜特性，而DFT是對(duì)DTFT在一個(gè)周期內(nèi)的N點(diǎn)等間隔采樣 2.所以DFT的結(jié)果只能表示信號(hào)的頻譜特性在一些頻域采樣點(diǎn)上的值。仿佛是隔著柵欄看風(fēng)景 解決途徑： 在 所 取 數(shù) 據(jù) 的 末 端 加 一 些 零 值 點(diǎn)，使 一 個(gè) 周 期 內(nèi) 點(diǎn) 數(shù) 增 加, 但 是 不 改 變 原 有 的 記 錄 數(shù) 據(jù)。 (3) 截?cái)嘈?yīng)截?cái)嘈?yīng) 實(shí)際中遇到的序列實(shí)際中遇到的序列x(n)可能是無(wú)限長(zhǎng)的

30、，用可能是無(wú)限長(zhǎng)的，用DFT對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須將其截短，形成有限對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須將其截短，形成有限長(zhǎng)序列長(zhǎng)序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)稱為窗函數(shù)，長(zhǎng)度為稱為窗函數(shù)，長(zhǎng)度為N。w(n)=RN(n), 稱為矩形窗函數(shù)。稱為矩形窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，有)( jjjjjd)e ()e (21)e ()e (21)(FT)e (WXWXnyY其中其中對(duì)矩形窗數(shù)對(duì)矩形窗數(shù)w(n)=RN(n)，有，有jj(e )FT ( ),(e )FT ( )Xx nWw n1jjj ()2gsin(/2)(e )FT ( )e( )esin(/2)N

31、wNWw nW 例如，例如，x(n)=cos(0n)，0=/4, 其頻譜為其頻譜為lllX2424)e (jY(ej)與與X (ej)相比有兩方面相比有兩方面的差別：的差別：（1）存在泄漏（譜的展寬）存在泄漏（譜的展寬）（2）譜間干擾（旁瓣引起）譜間干擾（旁瓣引起）比較截?cái)嗲?、后的幅度譜的差別：譜線加寬，頻譜泄露定義：原來(lái)的離散譜線向兩邊展寬，這種將譜線展寬 的現(xiàn)象稱為頻譜泄漏。約束因素：矩形窗的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，展寬的寬度就越窄。影響：泄漏會(huì)使頻譜模糊，譜的分辨率降低。譜間干擾出現(xiàn)原因：頻譜卷積以后存在著的旁瓣影響：降低譜分辨率 泄漏和譜間干擾統(tǒng)稱為信號(hào)的截?cái)嘈?yīng)。減輕截?cái)嘈?yīng)的方法-（1）適當(dāng)加大窗口寬度；（2）采用適當(dāng)形狀的窗函數(shù)截?cái)?最后要最后要說(shuō)明說(shuō)明的是，柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是不同的是，柵欄效應(yīng)與頻率分辨率是不同的兩個(gè)概念。如果截取長(zhǎng)度為的兩個(gè)概念。如果截取長(zhǎng)度為N的一段數(shù)據(jù)序列，則可的一段數(shù)據(jù)序列，則可以在其后面補(bǔ)以在其后面補(bǔ)N個(gè)零，再進(jìn)行個(gè)零，再進(jìn)行2N點(diǎn)點(diǎn)DFT，使柵欄寬度減，使柵欄寬度減半，從而減輕了柵欄效應(yīng)。但是這種截短后補(bǔ)零的方法半，從而減輕了柵欄效應(yīng)。但是這種截短后補(bǔ)零的方法不能提高頻率分辨率