2020年中考數(shù)學人教版專題復習：推理與證明

1、2020年中考數(shù)學人教版專題復習：推理與證明、教學目標:1 .了解證明的基本步驟和書寫格式.2 .能從“同位角相等，兩直線平行”“兩直線平行，同位角相等”這個基本事實出發(fā)，證明平行線的判定定理、性質定理，三角形內角和定理以及三角形內角和定理的推論，并能簡單應用這些結論.3 .感受數(shù)學的嚴謹、結論的確定，初步養(yǎng)成言之有理、落筆有據(jù)的推理習慣，發(fā)展初步的演繹推理能力.感受歐幾里得的演繹體系對數(shù)學發(fā)展和人類文明的價值.4 .正確的理解互逆命題和逆命題的概念，會根據(jù)已知命題寫出它的逆命題，會舉反例證明一個命題是假命題二、教學重點：1 .從“同位角相等，兩直線平行”“兩直線平行，同位角相等”這個基本事實

2、出發(fā)，證明平行線的判定定理、三角形內角和定理以及三角形內角和定理的推論，并能簡單應用這些結論.2 .理解逆命題的意義教學難點：1 .證明的基本步驟和書寫格式，發(fā)展初步的演繹推理能力.2 .證明一個命題是假命題三、課堂教學：(一)知識要點：知識點1:公理、證明公理：在原本里歐幾里得創(chuàng)建了公理體系一一在眾多的數(shù)學名詞和數(shù)學命題中，挑選了數(shù)學名詞和真命題，其中的數(shù)學名詞稱為原名，真命題作為公理.本教材有如下公理：(1)同位角相等，兩直線平行.(2)兩直線平行，同位角相等.(3)兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.(4)兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.(5)三邊對應相等的兩個三角形全等

3、.(6)全等三角形的對應邊相等，對應角相等.(7)等式的有關性質和不等式的有關性質也都看作基本事實.可以看作公理.證明：用推理的方法證實真命題的過程叫做證明.證明與圖形有關的命題的步驟：(1)根據(jù)命題，畫出圖形；(2)根據(jù)命題，結合圖形，寫出已知、求證.已知部分是已知事項(即命題的條件)求證部分是論證的事項(即命題的結論)；(3)寫出證明過程.說明：證明的步驟主要適應于有文字敘述的證明題，而那些已經(jīng)給出已知，求證和圖形的證明題，只需要寫出過程即可.知識點2:定理經(jīng)過證明的真命題稱為定理.本節(jié)的定理有：(1)內錯角相等，兩直線平行.(2)同旁內角互補，兩直線平行.(3)兩直線平行，內錯角相等.(

4、4)兩直線平行，同旁內角互補.(5)三角形三個內角的和等于180。.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.已經(jīng)證明的定理也可以作為以后推理的依據(jù).知識點3:互逆命題，逆命題.兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.一個命題條件和結論互換就得到它的逆命題，所以每個命題都有它的逆命題知識點4:反例舉出一個例子說明一個命題是假命題，這樣的例子稱為反例例：如果a2=b2,那么a=b正確嗎?不正確，反例如：當a=2,b=2時，雖然a2=

5、b2,但是awb,這樣的例子稱為反例.在數(shù)學中，說明一個命題是假命題，通常只需要舉一個反例即可.而要說明一個命題是真命題，就必須經(jīng)過證明.幾個正確的例子是不能說明這個命題的真實性的.證明與反例是解決數(shù)學問題的兩種不可分割的重要的方法.【典型例題】例1.填空題(1)命題：“兩直線平行，內錯角相等."的條件是,結論是,這個命題的逆命題的條件是結論是.（2）命題：“等邊三角形是銳角三角形”是命題；寫出其逆命題,該命題是命題.解：略例2,判斷下列命題：等腰三角形是軸對稱圖形；若a>1且b>1,則a+b>2全等三角形對應角的平分線相等；直角三角形的兩銳角互余其中逆命題正確的有

6、A.A.1個B.2個C3個D.0個解：，的逆命題不正確的逆命題正確例3.如圖，AB/CD,AB與DE相交于點G,/B=/D.問題：你由這些條件得到什么結論？如何證明這些結論？解：結論是DE/BF證明：因為AB/CD（已知）所以/EGA=ZD（兩直線平行，同位角相等）又因為/B=ZD（已知）所以/EGA=ZB（等量代換）所以DE/BF（同位角相等上面的推理過程用符號AB/CDEGADBD問題1：還有不同的方法可以證明,兩直線平行）”表達為：EGABDE/BF嗎?DE/BF問題2:在圖中，如果DE/BF,/B=ZD,那么你得到什么結論？證明你的結論.說明：問題2構造了原命題的逆命題，實質是在不斷依

7、據(jù)有關平行線的互逆命題進行推理的.例4.試判斷命題：“如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等."的真假性，若為假命題，請舉反例說明.解：這是一個假命題.雖然第一個圖滿足條件，也滿足結論但是第二個圖也滿足條件卻不滿足結論例5.寫出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題.(1)若ac2>bc2,則a>b;(2)角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等；(3)若ab=0,則a=0.分析：寫出一個命題的逆命題，只需將命題的條件與結論交換一下就行.判斷一個命題的真假，說它真，必須有根有據(jù)；而說它假，只要舉一個反例，千萬不能想當然.解答：(1)逆命題為：若a

8、>b,則ac2>bc2假命題，如c=0,ac2=bc2(2)逆命題為：到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，真命題.(3)逆命題為：若a=0,則ab=0,真命題.例6.如圖，ABC中，AB=AC,D在BC上，且BD=AD,DC=AG求/B的度數(shù).分析：圖中有三個等腰三角形，可用等邊對等角的性質，再用方程的思想解題，列方程的依據(jù)是三角形內角和定理.體會在解答求解中的推理及書寫格式.解：,AB=AC（已知）./B=ZC(等邊對等角)同理，/B=ZBAD,/CAD=ZCDA設/B=x°,貝U/C=x°,/BAD=x°,/ADC=2乂,/CAD=2乂.在A

9、DC中，/C+ZCAD+/ADC=180°-x+2x+2x=180°.x=36.答：/B的度數(shù)為36例7.給下面的證明過程注明理由已知AB=DQ/BAD=ZCDA求證：/ABC=ZDCB證明：連結AC、BD交點為O在人口8與4DAC中因為/BAD=ZADC（已知）AD=DA（公共邊）AB=DC（已知）所以ADBADAC（SAS所以BD=CA（全等三角形對應邊相等）又在ABCADCB中因為BD=CA（已證）AB=DC（已知）BC=BC（公共邊）所以AB8DCB（SSS所以/ABC=ZDCB（全等三角形對應角相等）說明：要體驗在證明題中的推理及書寫格式例8.如圖，/ABC中，D

10、、E分別是ACAB上的點，BD與CE交于O,給出下列三個條件：/EBO=ZDCQ/BEO=ZCDO;BE=CDOB=OC.（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）（2）選擇第（1）小題中一種情形，證明ABC是等腰三角形.A分析：本題第（1）小題屬于條件開放性問題，也是制造命題的問題，經(jīng)過探索補全條件，然后寫出證明；第（2）小題若選擇情形一，即條件，由于條件都集中在BOE和/COD中，故可通過BO三/COD,證彳導OB=OC這樣/OBC=ZOCB,從而可證得/ABC=ZACB,進而得AB=AC.解：（1）可判定ABC是等腰三角形的兩個條件是或或或（2）選擇情

11、形一，即條件在力BOE和COD中/BOE=ZCOD,/EBO=ZDCO,BE=CD/BO三/COD（AAS）.OB=OC./OBC=ZOCB./EBO=ZDCO,/ABC=ZACB.AB=AC.即/ABC是等腰三角形.說明：本題第（1）小題是開放性問題，屬于條件開放型，需解題者經(jīng)過探索補全條件，然后完成解答，本題還著重考查了全等三角形的識別、等腰三角形的識別與性質，以及數(shù)學中的分類思想.例9.已知：如圖，AB/CD,求證：/B+/D=/BED.分析：可以考慮把/BED變成兩個角的和.如圖，過E點引一條直線EF/AB,則有/B=/1,1再設法證明/D=/2,需證EF/CD,這可通過已知AB/CD

12、和EF/AB得到.證明：過點E作EF/AB,（已作圖），則/B=/1（兩直線平行，內錯角相等）.AB/CD（已知）,又EF/AB（已作），EF/CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行），/D=/2（兩直線平行，內錯角相等）.又./BED=Z1+Z2, /BEDIB+ZD（等量代換）.例10.已知：如圖,AB/CD,求證：/BED=360°（/B+/D）.分析：此題與例9的區(qū)別在于E點的位置及結論.我們通常所說的/BED都是指小于平角的角，如果把/BED看成是大于平角的角，可以認為此題的結論與例9的結論是一致的.因此,我們模仿例9作輔助線，不難解決此題.證明：過點E作EF/AB,則/B

13、+Z1=180°（兩直線平行，同旁內角互補）. AB/CD（已知）, EF/AB（已作）,EF/CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）./D+/2=180°（兩直線平行，同旁內角互補）./B+/1+/D+/2=180°+180°（等式的性質）又./BED=Z1+/2,/B+ZD+ZBED=360°（等量代換）./BED=360°（/B+/D）（等式的性質）.例11.已知：如圖，AB/CD,求證：/BED=ZD-ZB.模仿例9作輔助線的方法,分析：此題與例9的區(qū)別在于E點的位置不同，從而結論也不同.可以解決此題.證明：過點E作EF/A

14、B,則/FEB=/B（兩直線平行，內錯角相等） AB/CD（已知）,又EF/AB（已作），EF/CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）FEDD（兩直線平行，內錯角相等）. /BED叱FED-/FERBEDID-ZB（等量代換）.例12.已知：如圖，AB/CD,求證：/BED=/B/D.分析：此題與例9類似，只是/B、/D的大小發(fā)生了變化.證明：過點E作EF/AB,則/1+/B=180°（兩直線平行，同旁內角互補）AB/CD（已知）,又EF/AB（已作），EF/CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）/FED+ZD=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.1+/2+/D=18

15、0°./1+/2+/D（/1+/B）=180°180°（等式的性質）./2=ZB-ZD（等式的性質）.即/BED=ZB-/D.例13.已知：如圖1,AB/CD,/ABF=/DCE求證：/BFE=ZFEC圖1證法一：過F點作FG/AB,則/ABF=Z1（兩直線平行，內錯角相等）過E點作EH/CD,則/DCE=Z4（兩直線平行，內錯角相等）.FG/AB（已作），AB/CD（已知），.FG/CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）又EH/CD（已知），.FG/EH（平行于同一直線的兩條直線互相平行），/2=/3（兩直線平行，內錯角相等）.1+/2=/3+/4（等式的性質

16、）即/BFE=/FEC證法二：如圖2,延長BF、DCffi交于G點.AB/CD（已知）,/1=ZABF（兩直線平行，內錯角相等）.又ABF=ZDCE（已知），1=/DCE（等量代換）.BG/EC（同位角相等，兩直線平行）.，/BFE=/FEC（兩直線平行，內錯角相等）.證法三：（如圖3）連結BC.AB/CD（已知）,/ABC=ZBCD（兩直線平行，內錯角相等）又ABF=ZDCE（已知），/ABC/ABF=/BCD-/DCE（等式的性質）.即/FBC=ZBCE.BF/EC（內錯角相等，兩直線平行），/BFE=/FEC（兩直線平行，內錯角相等）【模擬試題（答題時間：45分鐘）一、填空題1 .命題：

17、直角都相等;若ab>0且a+b>0,則a>0且b>0;一個角的補角大于這個角；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.其中原命題和逆命題都為真命題的有.2 .4ABC中，/B=45o,/C=72o,那么與/A相鄰的一個外角等于.3 .如下圖，AD、AE分別是ABC的角平分線和高，/B=50o,/C=70o,則/EAD=.4 .4ABC中，BP平分/B,CP平分/C,若/A=60o,則/BPC=.5 ./ABC中，/A是/B的2倍，/C比/A+/B還大12,那么/A=度6 .在方格紙上有一三角形ABC,它的頂點位置如圖所示，則這個三角形是三角形.7 .在ABC中，邊AB&g

18、t;BCAC的垂直平分線相交于P,則PAPRPC的大小關系是8 .如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，它是由4個相同的直角三角形拼和而成.若圖中大小正方形的面積分別為52cm2和4cm2,則直角三角形的兩條直角邊的積是cm2.二、選擇題1 .下面有3個命題：同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等；/垂直于同一直線的兩直線互相平行.其中真命題為（）.A.B.CD.2 .下面有3個判斷：一個三角形的3個內角中最多有1個直角；一個三角形的3個內角中至少有兩個銳角；一個三角形的3個內角中至少有1個鈍角./其中正確的有A.0個B.1個C2個D.3個3 .一個三角形的一個內角等于另

19、外兩個內角的和，則這個三角形是（）.A.直角三角形B.銳角三角形C鈍角三角形D.何類三角形不能確定4 .已知點A在點B的北偏東40°方向，則點B在點人的（）.A.北偏東50°方向B.南偏西50°方向C南偏東40°方向D.南偏西40°方向5 .如圖，已知AB/CD/EF,ZABC=50°,/CEF=150,則/BCE的值為（）.A.50°B.30°C.20°D.60°6 .如圖，已知FD/BE,則/1+Z2-ZA=（）.A.90°B.135°C.150°D.180&#

20、176;二：BL7 .下面有2句話：（1）真命題的逆命題一定是真命題.（2）假命題的逆命題不一定是假命題，其中，正確的（）.A.只有（1）B.只有（2）C只有（1）和（2）D.一個也沒有8 .銳角三角形中，最大角”的取值范圍是（）A. 00VaV900C600VaV18009 .下列命題中的真命題是（A.銳角大于它的余角C鈍角大于它的補角10 .已知下列命題：相等的角是對頂角；B. 600VaV900D.600<aV900B.銳角大于它的補角D.銳角與鈍角之和等于平角互補的角就是平角；互補的兩個角一定是一個銳角，另一個為鈍角;平行于同一條直線的兩直線平行；鄰補角的平分線互相垂直.其中，正確命題的個數(shù)為（A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個11.如圖，如果AB/CD,則角a、3、丫之間的關系式為（A.=360oB.=180oC.=180oD.=180o三、解答題1.如圖，在ABC和4DEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為題設，余下的1個作為結論，寫一個真命題，并加以證明.AB=DE,AC=DF,/ABC=/DEF,BE=CF.已知：求證：證明：2 .寫出下列命題的逆命題，并指出其真假(1)若ab=0,則a=0(2)角平分線上的點到這個角的兩邊相等(3)等腰三角形兩底角相等(4)四邊相等的四邊形是菱形3 .用