圖形與幾何內(nèi)容分析與教學建議

1、圖形與幾何內(nèi)容分析與教學建議課程標準實驗稿中，把這部分內(nèi)容叫做空間與圖形，現(xiàn)在課程標準把它稱作為圖形與幾何，是因為幾何一詞，一直是被大家叫得比較熟悉的，而且教師對它的名稱的來歷等也有所了解。同時，圖形又是這部分內(nèi)容研究的主要對象，用圖形與幾何，更容易被教師們很好地把握這部分內(nèi)容。小學“圖形與幾何”的課程內(nèi)容，是從平面圖形、立體圖形中圖形的認識、圖形的測量、圖形的運動和圖形的位置四方面展開的。在圖形的認識內(nèi)容中主要讓學生掌握對平面圖形和立體圖形的認識，在圖形的測量這部分內(nèi)容中主要讓學生掌握度量“單位”和度量“量”的認識及測量的具體方法。在圖形的運動內(nèi)容中主要讓學生掌握圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱。在

2、圖形與位置內(nèi)容中主要讓學生掌握物體相對位置和絕對位置的描述和如何定量刻畫物體的位置。專題一 圖形的認識內(nèi)容分析與教學建議（平面圖形）在小學階段，學生在日常生活中積累了有關圖形認識經(jīng)驗的基礎上，將通過觀察、想象、操作、比較、歸納、概括、推理等方式，認識常見的平面圖形和立體圖形，探索它們的性質(zhì)；在觀察、想象、推理和圖形的相互轉(zhuǎn)換過程中發(fā)展空間觀念，逐步學會用數(shù)學的眼光看待豐富的圖形世界，體會圖形在現(xiàn)實生活中的廣泛應用。課程標準對于圖形的認識教學要求如下。·能通過實物和模型辨認長方體、正方體、網(wǎng)柱和球等幾何體。（第一學段）·通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征（第一學段）

3、·結(jié)合實例了解線段、射線和直線。（第二學段）·結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系。（第二學段）上面課程標準在第一學段提出的要求是認識圖形包括能辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單的圖形，結(jié)合生活的實際情況，認識角，了解直角、銳角、鈍角等，其中也涉及到了經(jīng)過抽象后的二維圖形，在課程標準第二學段中要求認識的圖形包括線段、射線、直線等一維圖形，還有平角、周角、梯形、扇形，對三角形的認識一般從一般的三角形，到等腰、等邊、直角、銳角、鈍角三角形，同時對平行四邊形和圓的特征的認識也更進深了一步，其實這些也都是二維圖形，但與第一學段的二維圖形相比，像點

4、、直線 、角等這些基本圖形，抽象的程度也就更高，因此，教師要結(jié)合對現(xiàn)實生活中，物體抽象的過程使學生更好地去理解它們，同時在課程標準中，關于圓的認識的內(nèi)容安排，又體現(xiàn)了從生活到數(shù)學，從直觀到抽象，從整體到局部的一個特點。課程標準在第二學段的圖形認識中，要求學生“結(jié)合實例了解線段、射線和直線”“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系”。由于射線和直線涉及無限的概念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現(xiàn)實中沒有“直線”的實物原型，所以教師在教學中，教師要給學生呈現(xiàn)大量的感性材料，通過引導學生觀察，去建立圖形的認識的表象，例如在認識角的時候，老師可以讓學生先尋找生活中的角，

5、紅領巾 剪刀 鐘面 扇形等，再觀察實物上的角，通過對事物的觀察與操作的過程，來認識它的特征與性質(zhì)，這既符合了學生認知事物的規(guī)律，也符合了課程標準目標的要求，同時，教師要要求學生在此基礎上進行抽象與想象。而對學生空間觀念的建立與培養(yǎng)可能相對困難些，如一教師在教學三角形兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì)時，他讓學生操作當兩條邊之和和第三條邊相等時能否拼成三角形，由于有一名學生在操作中有誤差，也確實拼出了三角形，此時，這名教師便讓學生去換個角度去想，你能夠用三條邊分別是3，5厘米和8厘米來說明這個問題嗎，在這個過程當中，使學生體會到 3加5等于8，底下也是8，因為上和下線段是相等的，它是不可能形成三角形的，

6、在這個想象的過程中，就使學生體會了三角形的三邊關系。類似地，學生理解兩條直線平行的位置關系也可以利用兩根鐵軌作為實物原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實，都揭示了平行線的本質(zhì)。但鐵軌無法總是筆直地延伸，所以在從實物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學生建立和培養(yǎng)抽象能力和空間觀念。人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球都給我們以長方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象?；谶@樣的生活經(jīng)驗，學生可以從認識立體圖形開始，“通過實物和模型等辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體”?！氨嬲J”是認識的低級階段，但與以往的經(jīng)驗有所不同，它要經(jīng)歷從實物到幾何圖形

7、的抽象過程。從不同的角度觀察長方體、正方體、圓柱體、球體的表面，就抽象出長方形、正方形、圓等平面圖形，從而揭示出立體圖形與平面圖形的關系，也符合學生的認知特點。專題二 圖形在認識內(nèi)容分析與教學建議（立體圖形）建立培養(yǎng)學生的空間觀念，除了讓學生對常見圖形的認識以外，課程標準中還提出另一種對圖形觀察與認識的要求。·能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體。（第一學段）·能辨認從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖。（第二學段）·認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。（第二學段）空間觀念作為課程標準內(nèi)容的核心概念，是“圖形與幾何”學習的核心目標之

8、一。為了促進學生對空間的理解與把握、建立和培養(yǎng)他們的空間觀念，課程標準安排了投影與視圖、展開與折疊等內(nèi)容，為學生提供進行二維圖形與三維圖形之間轉(zhuǎn)換的素材。由于圖形是人類長期通過對客觀物體的觀察逐步地逐漸地抽象出來的，抽象的核心是把物體的外部形象，用線條描繪在二維的平面上，如電冰箱,它的高矮，它的寬窄，它的長短，這些反映到人們頭腦中，就形成一些概念，就會抽象冰箱的幾何圖形。由于學生難以一次就完成這樣的抽象，教師在教學中，就應不斷地幫助學生用數(shù)學的眼睛來觀察眾多的實物，然后在思考中抽象出它圖形的本質(zhì)特征。再如圓柱，它也是小學立體圖形認識中一個很重要的內(nèi)容，一位教師在對圓柱的認識教學中，他先把不同版

9、本的教材，進行了一下對比，對教材中的這些呈現(xiàn)的素材進行梳理，然后通過三個活動進行教學。一是把這個圓柱的側(cè)面剪開，讓學生探究剪開后的圖形，由于學生在認識圓柱的過程中是第一次認識曲面，可能有些生疏，而教師通過把它剪開，也就是滲透了化曲為直的數(shù)學思想，即把新的知識轉(zhuǎn)化成了舊知識，把曲面轉(zhuǎn)化為以前學過的平面圖形，而學生在剪的過程中剪的方式不一樣，可能呈現(xiàn)出的平面圖形形式也不一樣，但都為滲透化曲為直的數(shù)學思想奠定了基礎。第二個活動是讓學生從不同的角度去觀察，得出不同的平面圖形，不但培養(yǎng)學生的觀察能力，又實現(xiàn)了立體圖形和平面圖形的轉(zhuǎn)化。第三個活動就是不加任何規(guī)定地讓學生把這個圓柱切割成兩部分，又得到不同形

10、狀的幾何體，再通過觀察又獲得不同的平面圖形，這種認識給學生更多的動手操作的機會，使學生在認識立體圖形和平面圖形的過程中，積累了經(jīng)驗，獲得了重要的數(shù)學思想的體驗感悟，實現(xiàn)了空間觀念的建立和發(fā)展。值得注意的是，上面“從不同的方向看到的”圓柱幾何體的平面圖形不是真正意義上的視圖，視圖是平行投影下的正投影，即平行光線將物體投射到與光線垂直的投影面上的“影子”。另外，在第一、二學段只要求辨認（不要求畫出）所看到的物體的形狀圖?？傊罢J識長方體、正方體和圓柱的展開圖”，體現(xiàn)了三維圖形與二維圖形之間相互轉(zhuǎn)換的具體要求，教學目標是在圖形轉(zhuǎn)換中引導學生觀察、抽象、想象，建立培養(yǎng)學生的空間觀念。因此，教師教學中

11、應注重展開與折疊的操作過程，讓學生通過想象實現(xiàn)圖形之間的轉(zhuǎn)換，靠單純機械記憶展開圖的數(shù)量或類型的做法是不可取的。專題三 圖形測量中的度量“單位”和度量“量”的認識測量在日常生活和學習中起著非常重要的作用，它是圖形與幾何學習的重要部分。在話題一“圖形與幾何”內(nèi)容結(jié)構的分析中，已介紹了有關圖形測量的幾個核心問題，下面僅就圖形測量的一些具體問題再進行分析。課程標準在小學第一學段中，關于圖形測量的內(nèi)容可分成二部分，一是關于度量單位及其統(tǒng)一性意義的理解；二是關于長度和面積的測量問題。（1）統(tǒng)一圖形測量單位。測量單位是測量的核心，測量單位的統(tǒng)一是使測量從個別的、特殊的測量活動，成為一般化的普遍性的活動，因

12、此，在課程的實施過程中，教師要為學生提供必要的機會，鼓勵學生，選擇不同的方法進行測量，并在相互交流的過程中，發(fā)現(xiàn)不同的方法，不同的選擇，對于測量結(jié)果的影響，進而體會建立統(tǒng)一測量單位的極端重要性。如一位教師在對長度單位的認識授課時，他先讓學生采用不同的辦法去測量同一個物體的長度，于是有的學生用手測量是三拃長，有的學生用自己的鉛筆測量是五根鉛筆長，還有的用自己桌上的橡皮去測量是25塊橡皮那么長，由于老師創(chuàng)設了這個情境，采用不同的測量工具，測量該物體長度的結(jié)論顯然是不同的。若讓測量結(jié)果統(tǒng)一，必須有一個公認的單位或統(tǒng)一的工具，即標準單位，由此讓學生體會到測量某一物體單位需要建立標準的度量單位，否則會給

13、我們的生活帶來很多不便，即讓學生在實踐中體會到建立統(tǒng)一度量單位的重要性。課程標準在第一學段還提到，在實踐活動中讓學生體會并認識千米、米、厘米、分米和毫米等長度單位，能進行簡單的單位換算，能恰當?shù)剡x擇長度單位。因此，教師一定要通過實踐活動，如生活中哪些物體的長度，大約是一米，一厘米的長度有多長，一平方米有多大，一平方厘米有多大等，加強對單位表象的建立，使學生理解與把握度量單位的實際意義。其次教師要讓學生在實際的，操作活動中建立表象，如讓學生測量教室的長有多少米，測量桌面的面積是多少，在這個過程當中，不僅熟悉了測量單位，同時學生也鞏固了自己的測量方法。最后再結(jié)合具體的實際例子讓學生去體會度量單位的

14、大小，如“北京到南京的鐵路長約1000()”，引導學生學會選擇合適的度量單位；用“1米約相當于()根鉛筆長”來強化學生對度量單位的感知。還要關注不同維度度量單位之間的聯(lián)系，如理解1分米2 =100厘米2，可借助圖形(10×10的方格，每個方格為1厘米2)或借助等式1分米2=1分米×1分米=IO厘米×10厘米=100厘米2，這樣也可避免學生死記硬背單位之間的換算關系。（2）長度、面積、體積的測量。一提長度，很自然與路程聯(lián)系，抽象出來就是一條線段的長度，這比較好理解，但在實踐中多數(shù)是測量物體或圖形的周長或它們的面積、體積。在周長、面積和體積這三個度量的量中，周長是學生

15、最難感知的，也是最難理解的。周長在小學解釋為封閉曲線一周的長度，詞典中是環(huán)繞有限面積的區(qū)域邊緣的長度，可見周長有兩層含義，第一是封閉圖形的一周，第二是長度，同時也要看到周長與長度有著密切的關系，它與長度是同屬于一維空間的測量，但周長卻用在二維圖形上，如平面，曲面。也就是說周長它是一維的量，但它卻在二維的面里出現(xiàn)、應用，所以有面積的地方，肯定有周長，有周長的也有面積，它們之間存在著一定的聯(lián)系，但也有著明顯的區(qū)別。在此處教學中，教師一定要讓學生清楚，面積指的是封閉圖形圍成的面的大小，面積屬于二維空間的度量，它有長和寬兩個表示的量。而周長是一維空間度量的量，它只有長度，它是長度單位的累加，但是因為面

16、積和周長都同屬在一個平面之內(nèi)，這也就是學生總是把周長和面積混淆的原因。為了幫助學生清晰地建立起周長的認識，教師可借助三角形的學具，如把三角形從邊線的一點斷開，把它的邊線取下來，這條線段的長度，是不是就是這個三角形一周的長度，若是，那么這條線段它的長度就叫它的周長。這非常直觀地讓學生感受到，圖形的周長說的就是一維的線，把這個周長從三角形平面中給它剝離出來，學生就能直觀地看到，周長說的是線，是線的長短，這樣學生就不會跟三角形面的大小，即三角形面積相混了。因此，教師教學中一定要抓住概念的本質(zhì)，讓學生深刻地感受到概念的內(nèi)涵是什么，要結(jié)合實例認識周長，認識面積，并能測量簡單的圖形的周長和面積，除了探索規(guī)

17、則圖形的周長、面積和體積公式并會應用外，課程標準還要求能測量一些不規(guī)別圖形的周長，如由簡單規(guī)則的基本圖形，組合在一起的像月亮、桃心、樹葉等不規(guī)則圖形讓學生去測量它周長或求面積，這類問題可以把它轉(zhuǎn)化為基本圖形進行測量，但也可以拿線去沿著邊線圍一周，然后把它拉直，測量這條線的長度，這不但使學生在測量中繼續(xù)感悟概念的本質(zhì)，也使學生體會到由曲變直的過程，從中滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和方法。這也更有助于學生對各種圖形所測量的量的含義的理解和把握。關于課程標準第二學段中提到角的度量；一些常見立體圖形的體積的探索；了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題”等

18、。教師都可以通過生活中的實際問題，使學生對測量圖形或物體有清晰的表象和感悟，實現(xiàn)對測量圖形或物體量的本質(zhì)認識，即讓學生清晰地建立一維圖形測量的大小是長度，二維圖形測量的大小是面積，三維圖形測量的大小是體積并讓學生清晰地區(qū)分它們的不同，逐步建立起三維的空間觀念。專題四 圖形的測量圖形測量的具體方法(求積)（1）在圖形的測量中感悟數(shù)學思想。在圖形測量中如何去感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，下面我們以圓為例進行分析。因為圓是第一、二學段學習中的平面圖形中的唯一一個曲線形，對它的周長以及面積的探索和公式的推導都具有一定的挑戰(zhàn)性，需要學生經(jīng)歷分析圓的半徑與周長關系的過程，并通過對特殊情況的歸納得出圓的面

19、積公式。通過這個過程，有助于提高學生分析問題、解決問題的能力，獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗，而且在這個過程中，能讓學生體會到轉(zhuǎn)化、極限和函數(shù)的思想。如圓周長的測量，可以用圓片在直尺上滾動，測量它的長度，還可以用線繞圓片一周，把線拉直，然后再測量線的長度，這樣學生不但積累了測量的經(jīng)驗，也又一次滲透化曲為直的轉(zhuǎn)化思想。而且在這個圓的單元中，極限思想的滲透也是非常鮮明的，如在圓的周長的教學中，也可以向?qū)W生介紹割圓術，讓學生經(jīng)歷正多邊形到圓的一個形成的過程，即引導學生觀察隨時圓內(nèi)正多邊形的邊數(shù)越來越多，正多邊形也就越來越逼近圓，通過有限去想無限，就能使學生感受到一個極限的思想。所以，數(shù)學思想是伴隨著學生知識的積

20、累，思維的發(fā)展而逐步被學生所感悟的。（2）培養(yǎng)學生估測意識。估測，或者說估計，它是課程標準中強調(diào)的一個學習內(nèi)容，在第一、二學段長度、面積和體積三個維度上都提出了估測的要求，如第一學段要求“能估測一些物體的長度，并進行測量”“會估計給定簡單圖形的面積”，第二學段要求“體驗某些實物（如土豆等）體積的測量方法”。在教學中如何幫助學生提升他們對圖形和實物進行估計估測的能力，下面以在方格內(nèi)求一曲面圖形面積為例，一般在教學當中，習慣讓學生先數(shù)整格，然后再數(shù)半格并把它們累加在一起，就是我們經(jīng)常用數(shù)方格的方法來估計出曲邊圖形圍成的面積。而在估測某一圖形面積時，具體操作是先確定合適的單位，一般是一個方格為一個單

21、位，然后尋找區(qū)間，即確定圖形面積的最大范圍和最小范圍，確定它大致的一個取值范圍，在這個基礎上，鼓勵學生進行估計計算，通過比較來進行探究、確實。這只是把估算當成一個操作的技能去教了，教師還可以繼續(xù)追問，還有什么樣的方法，能夠使這個估計的結(jié)果更接近這個實際面積，如求曲線圖形的面積，若把網(wǎng)格給它不斷地縮小，所得圖形的面積就不斷地去逼近這個曲線圖形的面積，學生在體驗逐步逼近這個曲線圖形的面積的過程中，學生也就感悟、體驗了數(shù)學的極限思想。還如，“測量一個土豆的體積”，也可以轉(zhuǎn)化為與土豆等體積的規(guī)則物體來測量(詳見標準附錄2例34)。（3）培養(yǎng)學生推理能力。培養(yǎng)學生的推理能力，課程標準在第二學段有明確要求

22、，即在掌握有關周長、面積、體積公式的基礎上培養(yǎng)學生的推理能力，能解決簡單的實際問題。解決問題既是學習過程的重要環(huán)節(jié)，也是學習數(shù)學的主要目的，而解決圖形測量問題的核心是學生推理能力的培養(yǎng)。一位教師在教學平行四邊形面積時，進行如下設計。第一個環(huán)節(jié)，引導學生大膽地嘗試猜想，平行四邊形的面積和誰有關，學生猜想的結(jié)果，一是認為和平行四邊形的底邊與鄰邊有關，即求面積用底邊乘以鄰邊。二是認為平行四邊形的面積與底邊和高有關，即求面積可以用底邊乘以高。第二個環(huán)節(jié)，讓學生借助學具檢驗猜想，在得到了自己猜想的結(jié)果后，讓學生利用手中的網(wǎng)格圖，去測量一下平行四邊形的面積，通過測量學生就發(fā)現(xiàn)這個測量結(jié)果，和猜想中的底乘以

23、高求出的平行四邊形的面積是一樣的，從而檢驗出了自己猜想的結(jié)論。第三個環(huán)節(jié)，就是引導學生自主探究驗證結(jié)論，將平行四邊形沿高剪開，把它轉(zhuǎn)化成學過的長方形，利用長方形的面積公式，推導出平行四邊形的面積公式。這個探索活動的設計，顯然是把推理能力的培養(yǎng)貫穿在整個學習過程中，讓學生經(jīng)歷了觀察、實驗、猜想和證明的過程，這不僅有利于理清思路，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，而且在這個過程中，又把合情推理和演繹推理進行有機地結(jié)合，有助于培養(yǎng)如發(fā)展學生的思維能力。專題五 圖形的運動內(nèi)容分析與教學建議運動是世間萬物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式。所謂圖形的運動，在義務教育數(shù)學課程中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅

24、位置發(fā)生變化（合同運動）；二是形狀不變而大小變化（相似運動）。在小學階段學習圖形的運動主要要掌據(jù)如下內(nèi)容，一是學習圖形的運動的價值，二是圖形運動的知識內(nèi)容，三是圖形的運動的教學目標，四是圖形運動的教學策略與方法。1. 學習圖形的運動的價值研究圖形運動的價值主要體現(xiàn)在以下幾方面。(1)感悟數(shù)學研究的發(fā)展。近兩千年來，人們始終是用靜止的觀點來研究幾何的有關問題。直到1872年，德國大數(shù)學家克萊因，發(fā)表了著名的愛爾蘭根綱領，他在這個演說中首次提出要從運動變化的角度來研究幾何問題，這是一個里程碑式的論斷，它改變了人們舊有的思維方式，用運動變化的觀點來探索認識圖形與幾何的性質(zhì)，欣賞與設計圖案，

25、從此圖形與幾何成為培養(yǎng)發(fā)展學生空間觀念和思維能力的重要內(nèi)容。(2)豐富學生的現(xiàn)實經(jīng)驗，促進學生空間觀念與幾何直觀能力的建立和培養(yǎng)。在現(xiàn)實的生活中，存在著大量圖形變化或變換的現(xiàn)象，對于這些變化或變換的現(xiàn)象，學生自己本身也有豐富的體驗體會。如坐電梯、地鐵，看到鐘面那個指針，自行車的車輪，風車，電扇的扇葉等都在轉(zhuǎn)動，這些生活中的現(xiàn)象、圖形的變換也為學生學習圖形的運動，提供了豐富多彩的現(xiàn)實背景。讓學生以數(shù)學的眼光認識和把握這些生活中的平移旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)、研究并確認圖形的性質(zhì)，有助于建立和培養(yǎng)、發(fā)展學生的空間觀念和幾何直觀能力。2.圖形運動的知識內(nèi)容按照課程標準的要求，小學一到六年級中，圖形的運動主要

26、指合同運動，包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱，還有簡單圖形擴和縮的知識內(nèi)容。通過這部分內(nèi)容的學習，可使學生更好地認識現(xiàn)實中大量的圖形運動的現(xiàn)象，能以運動的觀點認識圖形，欣賞與設計圖案。(1) 課程標準第一學段中的教學要求是，學生能借助日常生活中對圖形運動現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱，并認識兩個圖形具有平移或軸對稱的關系。教學中，教師要提供大量豐富的圖形運動現(xiàn)象，如風車、鐘面的指針等，引導學生通過充分地觀察、想象和運用日常生活中已經(jīng)積累的有關經(jīng)驗，去了解、歸納、發(fā)現(xiàn)什么是平移，什么是旋轉(zhuǎn)，什么是軸對稱及各種運動的特點。特別是修訂后的課標，提倡讓老師們?nèi)ソM織學生收集生活當中的一些現(xiàn)象、

27、圖案，然后引導學生去觀察，組織學生進行交流，從中發(fā)現(xiàn)圖形的特點，并提倡他們畫出來，或鼓勵學生自己去設計平移、旋轉(zhuǎn)及軸對稱圖形，不但使學生了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱，而且能認識兩個圖形是否具有平移或軸對稱的關系。(2) 課程標準第二學段中，圖形的運動教學內(nèi)容主要有以下幾方面。·按要求在方格紙上畫出一個圖形經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后所得的圖形，會補全軸對稱圖形。·能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。·綜合運用圖形的運動進行圖案的欣賞與設計在第一、二學段，方格紙是學生認識圖形運動很好的平臺，利用它可以準確地描述圖形的位置，定量刻面圖形的運動，這樣的描述和刻畫又能加深學生對圖形

28、運動的認識和理解。如按要求在方格紙上畫出一個圖形，而且經(jīng)過平移或者旋轉(zhuǎn)后能畫出一個新的圖形，會補全一個軸對稱圖形，這種圖形的運動，對小學生認識還是比較抽象的，有一定的難度的，如何把抽象的空間意識，轉(zhuǎn)化為這種具體的，容易操作的教與學的過程，方格紙是學生認識圖形、定量刻畫圖形的很好平臺，教師要充分利用它能準確描述和刻畫圖形位置的優(yōu)勢，來加深學生對圖形運動的認識和理解。另外，課程標準只要求圖形沿水平或豎直方向平移，以及圖形繞著一點旋轉(zhuǎn)900，不要求圖形沿其他方向平移或繞著一點旋轉(zhuǎn)任意角度。通過方格紙，也能夠幫助學生更準確地認識和理解圖形的這個基本特征，能更好地使學生來認識和描述空間圖形的變化過程，有

29、效地幫助學生建立空間觀念，教師在教學中要不斷地積累經(jīng)驗。第二學段要求研究圖形的相似運動，即將圖形放大或縮小。這里的“放大或縮小”不是嚴格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來的圖形形狀相同而大小不同。這將為初中學段研究圖形的相似運動和位似運動奠定基礎。第二學段還有一個內(nèi)容，就是要學生了解圖形運動的特點，并能夠在方格紙上按要求畫出運動后的圖形，這些知識技能和經(jīng)驗是圖案欣賞與設計的基礎。圖案的欣賞與設計，為學生用數(shù)學眼光看世界、看生活提供了機會，也可以進一步感受數(shù)學的美和數(shù)學的價值。如課程標準案例35，一個由幾塊積木拼成的一個圖形，然后讓學生先觀察，在打亂原來的圖形，讓學生再去重新進行

30、復原，在這個過程中，他就要綜合地運用平移和旋轉(zhuǎn)等知識，并且還要讓學生用自己的語言或自己的方式去記錄他復原的步驟和過程，不但培養(yǎng)學生的空間觀念，而且也是他們對美的一種感受。同時，教學中還要注意，在欣賞或設計一個圖案時，不同的學生會有不同的感受、不同的解釋、不同的想象，只要是合理的教師都應予以肯定，并進行交流與分享。要求學生要用自己的語言表達圖案中的圖形運動關系，從而使學生更好地體會圖形的運動在圖案欣賞和設計中的作用。3.圖形運動的教學目標課程標準對圖形的運動這部分內(nèi)容具體的教學目標變化不大，但也確實存在著一些細微的變化，如在第一學段，修訂后更加關注能辨認簡單圖形平移后的圖形，但在方格紙上畫出簡單

31、的軸對稱圖形這個要求已經(jīng)去掉了。在第二學段，修訂前它強調(diào)要畫出軸對稱變化后的圖形，那么在修訂后要求是補全這個軸對稱圖形。這微小的變化，說明這一部分的要求是稍微有點兒降低難度，更強調(diào)了觀察和操作，讓學生能夠積累數(shù)學的活動經(jīng)驗，在經(jīng)驗積累的過程中，逐步去建立和培養(yǎng)學生的空間觀念。4.圖形運動的教學策略與方法圖形的運動的教學一般采用如下幾種教學策略。一是要注重結(jié)合生活中的實例，讓學生在現(xiàn)實的觀察和比較中，來認識圖形的運動。二是借助操作活動，加深學生對圖形運動的認識，即讓學生在圖形的運動中來體會圖形變換的特征，如給學生一定的時間，讓他們自己動手去畫一畫，去想一想，提高對圖形變換的認識能力。三是在教學中

32、，教師要注重從運動變化的角度，引導學生欣賞圖案并設計圖案。四是在解決問題的過程中，注重圖形的運動和相關知識的聯(lián)系，建立和培養(yǎng)、發(fā)展學生的空間想象力解決問題的能力。如從運動變換的角度來認識圖形，像長方形沿著長邊旋轉(zhuǎn)就可以成為一個圓柱體，就是柱體的形成，它體現(xiàn)了和圓柱體之間的聯(lián)系。再如從運動變化的角度來理解度量，把兩個完全一樣的三角形，通過旋轉(zhuǎn)平移就可以拼成一個平行四邊形，用它來推導公式效果會更佳。專題六 圖形與位置內(nèi)容分析與教學建議日常生活中常常需要確定物體的位置，學習“圖形的位置”，可以使學生更好地把握生活的空間。通過學習確定圖形位置的方法，運用不同的方法確定物體的位置，可以發(fā)展學生的空間觀念

33、和推理能力。本專題主要對圖形位置的教學內(nèi)容、教學設計和教學實施進行分析并提出教學建議。1.從整體上把握圖形位置的教學內(nèi)容圖形與位置的教學內(nèi)容，課程標準確定物體位置的方式是按照兩條線索來開始的：一是確定物體的相對位置，它是通過“上、下、左、右、前、后” 來描述物體的相對位置，它與觀察者和參照物有關；二是辨認方向和使用路線圖，它是通過“東、南、西、北”的絕對位置確定的，它不受觀察者的影響，只與參照物有關。生活中兩種確定位置的方式都有應用，不同場合下它們會帶來不同的便利。課程標準要求在第一學段教學中，教師要讓學生首先認識上、下、前、后和左、右這些基本的位置，如誰在誰的前面，誰在誰的后面，誰在誰的左面

34、，誰在誰的右面，什么東西在上面，什么東西在下面等實例進行描述。然后由于小學生在日常生活中已經(jīng)有用數(shù)對確定位置的經(jīng)驗，如確定教室里、電影院中某人的座位等，都是通過第幾行、第幾個，第幾排、第幾個來描述這些座位的位置，教師就可以通過學生熟悉的這些例子，讓學生明白這都是通過一數(shù)對來確定物體的位置，進而達到“能在方格紙上用數(shù)對（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點的對應”的要求，但要引起注意的是要強調(diào)學生在確定數(shù)對時兩數(shù)的位置順序。這種確定物體位置的方法將為學生到初中學習平面直角坐標系，用坐標來表示幾何圖形的位置奠定基礎。，例如一位教師講授用數(shù)對來確定位置，他是這樣設計的：先讓第三排的所有學生站起

35、來，然后坐下，接著又讓第四列的學生都站起來，再坐下，然后老師問一個很關鍵問題，有誰兩次都站起來了，此時，只有一名同學兩次都站起來了，這就是數(shù)對確定了他的位置，他的位置必須有兩個要素，即第三排同時又是第四列，也就是兩條直線確定一個交點，這樣就讓學生對這個問題的理解，變得更深刻了。課程標準在第二學段中，提出的教學內(nèi)容主要有以下幾方面。·在方位的基礎上，進一步定量地刻畫物體的位置。·方位在具體問題中的應用。·用有序數(shù)對確定物體的位置。上面三條教學內(nèi)容是確定物體位置的第二條線索，它是通過認識四個基本方向，會用方向詞來描述物體所在的方向和簡單的路線，即能夠用方向、距離來描述

36、確定物體的位置。例如，（課程標準附錄2例16），根據(jù)下圖（略）中所標的位置回答下列問題。(1)熊貓館在猴山的哪個方向上？(2)大象館在海洋館的哪個方向上？這兩個問題主要涉及“東、南、西、北”四個方向，但參照物不同，分別以猴山、海洋館為觀察中心，這樣的變化有助于學生熟悉和運用方位描述及刻畫物體的位置。結(jié)合圖形還可以提出其他問題，如“大象館、百鳥園分別在獅虎山的哪個方向？”引導學生進行更多關于方位的思考和描述。確認方向、描述和畫路線圖、使用路線圖及用比例尺定量刻畫物體的位置，都將為學習極坐標打下基礎。如課程標準要求“了解比例尺；在特定的情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算”，這為定量

37、刻畫物體的位置奠定基礎,還有要求“根據(jù)物體相對于參照點的方向和距離確定其位置”，這實際上也是用數(shù)對表示位置，是極坐標的雛形。課程標準還要求“會描述簡單的路線圖”，這是引導學生運用已學知識來解決實際問題。其中路線圖就是從初始點出發(fā)到達終點的行徑，由于描述路線圖的過程中參照點不斷變化，隨之需要確定的方向、距離也不斷變化，所以正確地描述路線圖對學生具有挑戰(zhàn)性。描述線路圖的活動，不僅能檢驗學生對方位的理解和認識，而且有助于學生體會數(shù)學的價值，增強學習的關趣，促進學生空間觀念的建立和發(fā)展。2.掌握圖形與位置的教學設計與實施要使學生很好地掌握圖形與位置的教學內(nèi)容，教師在講授這部分內(nèi)容時，要進行有針對的教學

38、設計和有效實施，達到讓學生建立、發(fā)展空間觀念的目的。(1)要充分利用學生的生活經(jīng)驗。學生的空間知識主要來自于豐富的現(xiàn)實原型，圖形的位置與現(xiàn)實生活的聯(lián)系是非常密切的，其實課程標準中對圖形位置的教學要求，也體現(xiàn)了這個特點，即對這些內(nèi)容的學習，都是讓學生緊密結(jié)合教室里、校園內(nèi)、電影院中、上學的路上等學生熟悉的情境中進行的，也就是盡量選擇在學生熟悉情境中進行的，而且給學生呈現(xiàn)的數(shù)學活動設計，也是他們熟悉的，身邊的事情，因而學生也感興趣，使他們處在空間，了解空間，這更有利于建立、培養(yǎng)學生的空間觀念。如一位老師在講授東南西北時，他就把學生帶著學生在操場上，因為學生的生活經(jīng)驗是太陽從東方升起，老師就從學生最

39、熟悉的辨別東來開始，讓學生站在操場上去找哪邊是東，又問操場的東面有什么，以此來鞏固對東這個方向的認識，接著認識西，因為太陽從西邊落下，也是學生的經(jīng)驗，然后讓學生又借助學生熟悉的校園環(huán)境來鞏固西，最后讓學生面向東，伸開雙手，讓他去想象，前面是東，后面是西，此時學生左面 ，右面又分別是哪個方向，在操場的北面、南面，又分別有什么建筑物，接著又讓學生面向南呢，面向西呢，面向北呢，分別指出他的前面、后面、左面、右面都是什么方向，通過這樣的辨識練習，有效鞏固了學生對東南西北，前后左右的認識。(2) 讓學生經(jīng)歷生活體驗。學生經(jīng)歷生活體驗主要指：回憶、觀察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理和表示等活動

40、過程。因為發(fā)展學生的空間觀念，它的途徑是多樣的，只有讓學生經(jīng)歷多樣化的活動過程，多給學生一些空間，讓他在自己親身經(jīng)歷的過程中積累圖形的位置概念，才能使學生有效建立和發(fā)展自己的空間觀念。(3) 倡導自主探索與合作交流的教學方式。由于以被動聽講練習的學習方式，很難形成空間觀念，要培養(yǎng)學生的空間觀念，必需讓學生參與大量的實踐活動，讓他們通過自主探索、合作交流的方式，才更有利于發(fā)展學生的空間觀念。如描述物體的位置，用行與列，方向與距離，使它有唯一確定性，但描述物體的位置還具有相對性，于是，教師在教學中若讓學生認識到這種相對性，就應用自主探索與合作交流的教學方式。如上面案例中，教師讓學生指出猴山在象房的

41、什么方向，接著又問象房在猴山的什么方向，讓學生觀察并討論從中你發(fā)現(xiàn)了什么，經(jīng)過學生探究研討發(fā)現(xiàn)，若不規(guī)定觀測點的話，猴山與象房處在相對的位置，即突出觀測點的不同，物體位置的描述也不同。又如上海在北京南偏東30度方向，若換一種描述，也可以說北京在上海北偏西的30度方向，加強這樣的對比，也能使學生感悟到觀測點的重要性，這也有利于培養(yǎng)學生的空間觀念。專題七 關于圖形與幾何的總體建議小學“圖形與幾何”的課程內(nèi)容，是以建立和培養(yǎng)學生的空間觀念、幾何直觀為核心展開的，主要包括：空間和平面基本圖形的認識，圖形的測量；圖形的運動；圖形的位置等內(nèi)容。修訂后的課程標準較課程標準實驗稿在這部分內(nèi)容結(jié)構上沒有大的變化

42、，但在各學段內(nèi)容設置上稍有調(diào)整。在第一學段，刪除圖形測量中“能用自選單位估計和測量圖形的面積”，認識“平方千米、公頃”和在圖形的位置中會看簡單的路線圖等內(nèi)容。增加或調(diào)整的內(nèi)容主要有：在圖形的測量中將“結(jié)合實例認識面積，體會并認識面積單位平方厘米、平方分米、平方米，能進行簡單的單位換算。”將平方千米和公頃的認識移到第二學段，并降低了要求。第二學段刪除的內(nèi)容有“了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點”。將“了解兩點確定一條直線”放在第三學段，作為進行演繹證明的基本事實之一。增加了“通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓；知道扇形，會用圓規(guī)畫圓(圖形的認識)”，“知道面積單位平方千米、公頃”

43、和“通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式,探索并掌握圓的面積公式,并能解決簡單的實際問題”等內(nèi)容。1.圖形的認識正確理解與把握課程標準對圖形認識的要求，掌握這部分內(nèi)容結(jié)構的特點，對于課程的實施和目標的達成具有十分重要的作用。（1）明確圖形認識的對象。在第一學段，課程標準要求“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體”，“能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體”，“能辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、同等簡單圖形”等，其中既涉及對簡單幾何體的認識，也涉及經(jīng)過抽象后的三維圖形和二維圖形。在第二學段中，認識的圖形增加了線段、射線和直線等一維圖

44、形；對角的認識擴大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，對三角形的認識從一般三角形到等腰三角形、等邊三角形和直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等；三維圖形的認識對象增加了圓錐。課程標準關于“圖形的認識”內(nèi)容結(jié)構的安排，既體現(xiàn)了從生活到數(shù)學、從直觀到抽象、從整體到局部的特點，又是三維、二維、一維圖形交替出現(xiàn)，呈現(xiàn)目標要求逐漸提高。（2）明確圖形認識的要求。圖形認識的要求主要包括兩方面，一是對圖形自身特征的認識，二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關系的認識。對圖形自身的特征認識，是進一步研究圖形的基礎。在三個學段中，認識同一個或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從“辨認”到“初步認識”，再從“認識”到

45、“探索并證明”。如對于長方體、正方體、圓柱和球等幾何體，第一學段要求“辨認”，第二學段要求“認識”，第三學段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開圖。又如對于平行四邊形，第一學段要求“辨認”，第二學段要求“認識”，第三學段要求“探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理”。再如關于“視圖”，第一學段要求“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體”，第二學段要求“能辨認從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖”，第三學段要求“會畫直棱柱、圓柱、圓錐，球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體”。這種要求的層次性，既體現(xiàn)了從整體到局部的認識過程，

46、也符合學生的認知特點，逐漸深入，循序漸進。還如對圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關系的認識，主要包括大小、位置、形狀之間關系的認識。第一學段的“了解直角、銳角和鈍角”，第二學段的“體會兩點間所有連線中線段最短”“了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關系”“了解三角形兩邊之和大于第三邊”，第三學段的“會比較線段的長短”“能比較角的大小”等，都是對圖形大小關系研究的不同要求。（3）明確認識圖形的方式與途徑。課程標準中較多地使用“通過觀察、操作，認識”“結(jié)合實例（生活情境）了解”“通過實物和具體模型，了解”的表述，這實際上明確了認識圖形的過程和方式。圖形是人類長期通過對客觀物體的觀察逐漸抽象

47、出來的，抽象的核心是把物體的外部形象用線條描繪在二維平面上。如點是位置的抽象，即在幾何中用“點”來標記一個物體的位置（如地圖上用點表示城市）；線是路徑的抽象，即把“從一個地方走到另一個地方的路徑”抽象為“線段，或折線段、曲線段”。又如觀察一張書桌，它占據(jù)一定的空間，有長短、寬窄和高矮，這些反映到我們的腦子里就有了形狀的概念，就抽象成幾何圖形。繼續(xù)觀察，發(fā)現(xiàn)桌面上有四個相等的角，兩兩相等的對邊，長和寬不相等。黑板、書本、門窗都具有這些相同的特征，于是就形成了“長方形”的概念。“長方形”已不再是某個具體的物體，而是抽象了的圖形。正如前面指出的那樣，圖形的認識需要經(jīng)歷抽象的過程，有時這樣的過程還是較

48、為漫長的，因為學生往往難以一次性地真正完成這樣的抽象。如對于角的概念，雖然小學就有接觸，但在初中探討角的軸對稱性時，有的學生會認為“角不是軸對稱圖形”，因為“角的兩邊好像不一樣長”，這反映了這些學生對“角”的認識沒有達到抽象的水平。2.圖形的測量對于圖形，人們往往首先關注它的大小。一般的，一維圖形的大小是長度，二維圖形的大小是面積，三維圖形的大小是體積。圖形的大小是可以度量的，度量的關鍵是設立單位，而度量的實際操作就是測量。圖形測量的相關知識對每個學生的學習和適應未來的生活都是有用的，測量過程中蘊涵的方法和思想有助于學生提高分析問題和解決問題的能力。粗略地了解人類對圖形進行測量的歷史，可以更好

49、地認識與了解測量的意義和作用。如在談到幾何學的產(chǎn)生時，埃及人的貢獻總是被提及并被詳盡地介紹。埃及位于非洲的北部，每年尼羅河水泛濫，洪水過后留下的淤泥形成肥沃的土壤，同時也帶來土地要重新測量的需求，土地測量的需要就使圖形成為數(shù)學的研究對象。埃及人創(chuàng)造出一套有效的土地面積測量的方法以及面積計算的公式，包括三角形、長方形和梯形，還包括圓面積的近似計算公式。課程標準中“圖形的測量”的課程內(nèi)容主要安排在小學第一、第二學段，其要求主要包括：體會測量的意義，體會并認識度量的單位及其實際意義，了解測量的一些基本方法，掌握一些基本圖形的長度（包括周長）、面積和體積的測量方法和公式，在具體問題中進行恰當?shù)墓罍y。（1）使學生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。課程標準在第一學段要求“結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性”。這種要求對面積、體積的單位也同樣適用。其中度量單位是度量的核心，度量單位的統(tǒng)一是使度量從個別的、特殊的測量活動成為一般化的、可以在更大范圍內(nèi)應用和交流的前提。因此，在課程的實施過程中，應該為學生提供必要的機會，鼓勵學生選擇不同的方法進行測量，并在相互交流的過程中發(fā)現(xiàn)單位的選擇對測量結(jié)果的影響，進而體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。（2）使學生理解與把握度量單位的實際意義