指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較(1)

1、一顆麥粒的故事一顆麥粒的故事 從前，有一個國王特別喜愛圍棋，于從前，有一個國王特別喜愛圍棋，于是他決定獎賞圍棋的發(fā)明者，滿足他的是他決定獎賞圍棋的發(fā)明者，滿足他的一個心愿一個心愿. .圍棋的發(fā)明者對國王說圍棋的發(fā)明者對國王說: “愛卿，愛卿，你所求的并你所求的并不多啊不多?。　薄氨菹?，請您在這張棋盤的第一個小格內(nèi)，陛下，請您在這張棋盤的第一個小格內(nèi)，賞給我賞給我一顆麥一顆麥粒，在第二個小格內(nèi)給粒，在第二個小格內(nèi)給兩兩粒，粒，第三格內(nèi)給第三格內(nèi)給四四粒粒這樣下去，每一小格內(nèi)這樣下去，每一小格內(nèi)都比前一小格加一倍。陛下，把這樣擺滿都比前一小格加一倍。陛下，把這樣擺滿棋盤上所有棋盤上所有6 6格的格

2、的麥粒麥粒，都賞給您的仆，都賞給您的仆人吧！人吧！ ”思考：國王真的能夠思考：國王真的能夠滿足圍棋發(fā)明者的愿滿足圍棋發(fā)明者的愿望嗎？望嗎？ 一、一、 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像回顧數(shù)函數(shù)圖像回顧y=bxy=3x指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax (a1)圖像及圖像及a對圖像影響對圖像影響一一 yxO123 a1時，時，y=ax是增函數(shù)，是增函數(shù)，底數(shù)底數(shù)a越大，其越大，其函數(shù)值函數(shù)值增長增長就越快就越快.1當當x0時，時， ？23xxy=log2xy=log3x對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax (a1)圖像及圖像及a對圖像對圖像影響影響二二 yxO a1時，時，y=logax是增數(shù)

3、，是增數(shù)，123底數(shù)底數(shù)a越小，其越小，其函數(shù)值函數(shù)值增長就增長就越快越快.當當x1時，時， ？xxloglog32y=x2y=x3冪函數(shù)冪函數(shù)y=xn (n0)圖像及圖像及n對圖像影響對圖像影響三三 yxO n0時，時，y=xn是增函數(shù)，是增函數(shù)，且且x1時，時，n越大其越大其函數(shù)值函數(shù)值增增長就越快長就越快.xxy21X1時時，xxx21231.1.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x (a (a1)1)，對數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù) y=y=logloga ax(ax(a1)1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=y=x xn n (n (n0)0)在區(qū)間（在區(qū)間（0 0，+）上的單調(diào)性如何？）上的單調(diào)性如何？ 答

4、：都是單調(diào)遞增答：都是單調(diào)遞增二.指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較 探究（一）：特殊指、冪、對探究（一）：特殊指、冪、對函數(shù)模型的差異函數(shù)模型的差異 對于函數(shù)模型對于函數(shù)模型 ：y=2y=2x x, y=x, y=x2 2, , y=logy=log2 2x x其中其中x x0.0. 下面請同學(xué)用幾何畫板畫出圖象下面請同學(xué)用幾何畫板畫出圖象 思考思考: :根據(jù)圖象，不等式根據(jù)圖象，不等式loglog2 2x x2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 20 0，成立的成立的x x的取值范圍的取值范圍分別如何？分別如何？在在(2,4), 有有l(wèi)oglog2 2x x2 2

5、x xx x2 2，在在 ，有，有 loglog2 2x xx x2 22 2x x , 42 , 0比較函數(shù)比較函數(shù)y=2x, y=x2, y=log2x圖象增長快慢圖象增長快慢xyo11 24y=2xy=x2y=log=log2x x用幾何畫板再畫 和 的圖象比較xylog2xxy21 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) y=log2x增長最慢，冪函數(shù)增長最慢，冪函數(shù)y=x2和指數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)y=2x快慢則交替進行快慢則交替進行 在在(0,2)，冪函數(shù)比指數(shù)函數(shù)增長，冪函數(shù)比指數(shù)函數(shù)增長快?？?。 在在(2,4),先冪函數(shù)比指數(shù)函數(shù)增長快，先冪函數(shù)比指數(shù)函數(shù)增長快，然后然后指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)增長快。指數(shù)函數(shù)比

6、冪函數(shù)增長快。 在在(4,+)，指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)增長快。，指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)增長快。xy=2xy=x20102030405060110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+180100400900160025003600501001.10E+121.13E+15研究函數(shù)研究函數(shù) ,填寫下表并在同一平面填寫下表并在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出這二個函數(shù)的圖象直角坐標系內(nèi)畫出這二個函數(shù)的圖象.22 ,xyyxy=2xy=x2從上面圖像發(fā)現(xiàn)什么？從上面圖像發(fā)現(xiàn)什么？當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣

7、，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，

8、可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x2

9、2xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起

10、來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2當自變量當自變量x越來越大時，可以越來越大時，可以看到，看到， 的圖象就像與的圖象就像與X軸垂直一樣，軸垂直一樣， 的值快速的值快速增長，增長， 比起比起 來，幾乎來，幾乎有些微不足道有些微不足道. xy2x22xx2探究（二）：一般指、冪、對函數(shù)模型的差異探究（二）：一般指、冪、對函數(shù)模型的差異 在區(qū)間在區(qū)間(0,)上上, 當當a1,n0時時,盡管這三個函數(shù)盡管這三個函數(shù)都是增函數(shù)都是增函數(shù),但它們的增長速度不同但它們的增長速度不同,而且不在同一個而且不在同一個“檔檔次次”上。上。當當x足夠大時足夠大時, 隨著隨著x的增大的增大,

11、 y=ax的增長速度的增長速度越來越快越來越快,會超過并遠遠大于會超過并遠遠大于y=xn的增長速度的增長速度, 而而y=logax的增長速度則越來越慢的增長速度則越來越慢. 因此因此, 總會存在一總會存在一個個x0，使得當，使得當xx0時，一定有時，一定有axxnlogax.一顆麥粒的故事結(jié)局一顆麥粒的故事結(jié)局練習(xí)練習(xí) 1. P101 P113 B 1 1log2 xx3.使不等式使不等式 成立的成立的x的取值范圍是的取值范圍是 2.對于對于P97例例2選擇模型選擇模型 有更進一步的了解嗎？有更進一步的了解嗎？1log7xy一般冪、指、對函數(shù)模型的衰減性一般冪、指、對函數(shù)模型的衰減性探究探究提

12、示用幾何畫板畫提示用幾何畫板畫: 的圖象的圖象 xyyxyx21 21 , )21(log， 在區(qū)間在區(qū)間(0, ,+)上上,盡管函數(shù)盡管函數(shù)y=logax(0a1)，y=ax(0a1)與與y=xn(n0)都是減函數(shù)都是減函數(shù),但它們的但它們的衰減速度不同衰減速度不同,而且不在同一個而且不在同一個“檔次檔次”上。隨上。隨著著x的增大，的增大， y=logax(0a1)的衰減速度越來越的衰減速度越來越快快,會超過并遠遠大于會超過并遠遠大于y=ax(0a1)的衰減速度的衰減速度,而而y=xn(n x0時時,就會有就會有 logaxaxxn 。 特殊指、冪、對函數(shù)模型的增長性特殊指、冪、對函數(shù)模型的增長性 認識了認識了“指數(shù)爆炸指數(shù)爆炸”這種現(xiàn)象這種現(xiàn)象 一般冪、指、對函數(shù)模型的