原子物理學(xué)習(xí)題答案(褚圣麟)很詳細(xì)

1、1原子的基本狀況1.1解：根據(jù)盧瑟福散射公式：得到：米式中是粒子的功能。1.2已知散射角為的粒子與散射核的最短距離為 ，試問上題粒子與散射的金原子核之間的最短距離多大？ 解：將1.1題中各量代入的表達(dá)式，得：米1.3 若用動(dòng)能為1兆電子伏特的質(zhì)子射向金箔。問質(zhì)子與金箔。問質(zhì)子與金箔原子核可能達(dá)到的最小距離多大？又問如果用同樣能量的氘核（氘核帶一個(gè)電荷而質(zhì)量是質(zhì)子的兩倍，是氫的一種同位素的原子核）代替質(zhì)子，其與金箔原子核的最小距離多大？解：當(dāng)入射粒子與靶核對(duì)心碰撞時(shí)，散射角為。當(dāng)入射粒子的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為兩粒子間的勢(shì)能時(shí)，兩粒子間的作用距離最小。根據(jù)上面的分析可得：，故有：米由上式看出：與入射粒子

2、的質(zhì)量無關(guān)，所以當(dāng)用相同能量質(zhì)量和相同電量得到核代替質(zhì)子時(shí)，其與靶核的作用的最小距離仍為米。1.4 釙放射的一種粒子的速度為米/秒，正面垂直入射于厚度為米、密度為的金箔。試求所有散射在的粒子占全部入射粒子數(shù)的百分比。已知金的原子量為。解：散射角在之間的粒子數(shù)與入射到箔上的總粒子數(shù)n的比是：其中單位體積中的金原子數(shù)：而散射角大于的粒子數(shù)為：所以有：等式右邊的積分：故即速度為的粒子在金箔上散射，散射角大于以上的粒子數(shù)大約是。1.5 粒子散射實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)在散射角很小時(shí)與理論值差得較遠(yuǎn)，時(shí)什么原因？答：粒子散射的理論值是在“一次散射“的假定下得出的。而粒子通過金屬箔，經(jīng)過好多原子核的附近，實(shí)際上經(jīng)過多次

3、散射。至于實(shí)際觀察到較小的角，那是多次小角散射合成的結(jié)果。既然都是小角散射，哪一個(gè)也不能忽略，一次散射的理論就不適用。所以，粒子散射的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在散射角很小時(shí)與理論值差得較遠(yuǎn)。1.6 已知粒子質(zhì)量比電子質(zhì)量大7300倍。試?yán)弥行粤Ｗ优鲎瞾碜C明：粒子散射“受電子的影響是微不足道的”。證明：設(shè)碰撞前、后粒子與電子的速度分別為：。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得：由此得： (1)又根據(jù)能量守恒定律，得： （2）將（1）式代入（2）式，得：整理，得：即粒子散射“受電子的影響是微不足道的”。1.7能量為3.5兆電子伏特的細(xì)粒子束射到單位面積上質(zhì)量為的銀箔上，粒子與銀箔表面成角。在離L=0.12米處放一窗口面積為的計(jì)

4、數(shù)器。測(cè)得散射進(jìn)此窗口的粒子是全部入射粒子的百萬分之29。若已知銀的原子量為107.9。試求銀的核電荷數(shù)Z。60t,t2060圖1.1解：設(shè)靶厚度為。非垂直入射時(shí)引起粒子在靶物質(zhì)中通過的距離不再是靶物質(zhì)的厚度，而是，如圖1-1所示。因?yàn)樯⑸涞脚c之間立體角內(nèi)的粒子數(shù)dn與總?cè)肷淞Ｗ訑?shù)n的比為： (1)而為：（2）把（2）式代入（1）式，得：（3）式中立體角元N為原子密度。為單位面上的原子數(shù)，其中是單位面積式上的質(zhì)量；是銀原子的質(zhì)量；是銀原子的原子量；是阿佛加德羅常數(shù)。將各量代入（3）式，得：由此，得：Z=471.8 設(shè)想鉛（Z=82）原子的正電荷不是集中在很小的核上，而是均勻分布在半徑約為米的球

5、形原子內(nèi)，如果有能量為電子伏特的粒子射向這樣一個(gè)“原子”，試通過計(jì)算論證這樣的粒子不可能被具有上述設(shè)想結(jié)構(gòu)的原子產(chǎn)生散射角大于的散射。這個(gè)結(jié)論與盧瑟福實(shí)驗(yàn)結(jié)果差的很遠(yuǎn)，這說明原子的湯姆遜模型是不能成立的（原子中電子的影響可以忽略）。解：設(shè)粒子和鉛原子對(duì)心碰撞，則粒子到達(dá)原子邊界而不進(jìn)入原子內(nèi)部時(shí)的能量有下式?jīng)Q定：由此可見，具有電子伏特能量的粒子能夠很容易的穿過鉛原子球。粒子在到達(dá)原子表面和原子內(nèi)部時(shí)，所受原子中正電荷的排斥力不同，它們分別為：。可見，原子表面處粒子所受的斥力最大，越靠近原子的中心粒子所受的斥力越小，而且瞄準(zhǔn)距離越小，使粒子發(fā)生散射最強(qiáng)的垂直入射方向的分力越小。我們考慮粒子散射最

6、強(qiáng)的情形。設(shè)粒子擦原子表面而過。此時(shí)受力為。可以認(rèn)為粒子只在原子大小的范圍內(nèi)受到原子中正電荷的作用，即作用距離為原子的直徑D。并且在作用范圍D之內(nèi)，力的方向始終與入射方向垂直，大小不變。這是一種受力最大的情形。根據(jù)上述分析，力的作用時(shí)間為t=D/v, 粒子的動(dòng)能為，因此，所以，根據(jù)動(dòng)量定理：而所以有：由此可得：粒子所受的平行于入射方向的合力近似為0，入射方向上速度不變。據(jù)此，有：這時(shí)這就是說，按題中假設(shè)，能量為1兆電子伏特的粒子被鉛原子散射，不可能產(chǎn)生散射角的散射。但是在盧瑟福的原子有核模型的情況下，當(dāng)粒子無限靠近原子核時(shí)，會(huì)受到原子核的無限大的排斥力，所以可以產(chǎn)生的散射，甚至?xí)a(chǎn)生的散射，這

7、與實(shí)驗(yàn)相符合。因此，原子的湯姆遜模型是不成立的。第二章 原子的能級(jí)和輻射2.1 試計(jì)算氫原子的第一玻爾軌道上電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率、線速度和加速度。解：電子在第一玻爾軌道上即年n=1。根據(jù)量子化條件，可得：頻率 速度：米/秒加速度：2.2 試由氫原子的里德伯常數(shù)計(jì)算基態(tài)氫原子的電離電勢(shì)和第一激發(fā)電勢(shì)。解：電離能為，把氫原子的能級(jí)公式代入，得：=13.60電子伏特。電離電勢(shì)：伏特第一激發(fā)能：電子伏特第一激發(fā)電勢(shì)：伏特2.3 用能量為12.5電子伏特的電子去激發(fā)基態(tài)氫原子，問受激發(fā)的氫原子向低能基躍遷時(shí)，會(huì)出現(xiàn)那些波長(zhǎng)的光譜線？解：把氫原子有基態(tài)激發(fā)到你n=2,3,4等能級(jí)上去所需要的能量是： 其中電

8、子伏特電子伏特電子伏特電子伏特其中小于12.5電子伏特，大于12.5電子伏特?？梢姡哂?2.5電子伏特能量的電子不足以把基態(tài)氫原子激發(fā)到的能級(jí)上去，所以只能出現(xiàn)的能級(jí)間的躍遷。躍遷時(shí)可能發(fā)出的光譜線的波長(zhǎng)為：2.4 試估算一次電離的氦離子、二次電離的鋰離子的第一玻爾軌道半徑、電離電勢(shì)、第一激發(fā)電勢(shì)和賴曼系第一條譜線波長(zhǎng)分別與氫原子的上述物理量之比值。解：在估算時(shí)，不考慮原子核的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響，即把原子核視為不動(dòng)，這樣簡(jiǎn)單些。a) 氫原子和類氫離子的軌道半徑：b) 氫和類氫離子的能量公式：其中電離能之比：c) 第一激發(fā)能之比：d) 氫原子和類氫離子的廣義巴耳末公式：，其中是里德伯常數(shù)。氫原子

9、賴曼系第一條譜線的波數(shù)為：相應(yīng)地，對(duì)類氫離子有：因此，2.5 試問二次電離的鋰離子從其第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子，是否有可能使處于基態(tài)的一次電離的氦粒子的電子電離掉？解：由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子的能量為：的電離能量為：由于，從而有，所以能將的電子電離掉。2.6 氫與其同位素氘（質(zhì)量數(shù)為2）混在同一放電管中，攝下兩種原子的光譜線。試問其巴耳末系的第一條（）光譜線之間的波長(zhǎng)差有多大？已知?dú)涞睦锏虏?shù)，氘的里德伯常數(shù)。解：，2.7 已知一對(duì)正負(fù)電子繞其共同的質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)暫時(shí)形成類似于氫原子結(jié)構(gòu)的“正電子素”。試計(jì)算“正電子素”由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷發(fā)射光譜的波長(zhǎng)為多少？解：2.8 試

10、證明氫原子中的電子從n+1軌道躍遷到n軌道，發(fā)射光子的頻率。當(dāng)n1時(shí)光子頻率即為電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。證明：在氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的波數(shù)為：頻率為：當(dāng)n時(shí)，有，所以在n1時(shí)，氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的頻率為：。設(shè)電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為，則因此，在n1時(shí)，有由上可見，當(dāng)n1時(shí)，請(qǐng)?jiān)又须娮榆S遷所發(fā)出的光子的頻率即等于電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。這說明，在n很大時(shí)，玻爾理論過渡到經(jīng)典理論，這就是對(duì)應(yīng)原理。2.9 原子序數(shù)Z=3，其光譜的主線系可用下式表示：。已知鋰原子電離成離子需要203.44電子伏特的功。問如把離子電離成離子，需要多少電

11、子伏特的功？解：與氫光譜類似，堿金屬光譜亦是單電子原子光譜。鋰光譜的主線系是鋰原子的價(jià)電子由高的p能級(jí)向基態(tài)躍遷而產(chǎn)生的。一次電離能對(duì)應(yīng)于主線系的系限能量，所以離子電離成離子時(shí)，有是類氫離子，可用氫原子的能量公式，因此時(shí)，電離能為：。設(shè)的電離能為。而需要的總能量是E=203.44電子伏特，所以有2.10 具有磁矩的原子，在橫向均勻磁場(chǎng)和橫向非均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有什么不同？答：設(shè)原子的磁矩為，磁場(chǎng)沿Z方向，則原子磁矩在磁場(chǎng)方向的分量記為，于是具有磁矩的原子在磁場(chǎng)中所受的力為，其中是磁場(chǎng)沿Z方向的梯度。對(duì)均勻磁場(chǎng)，原子在磁場(chǎng)中不受力，原子磁矩繞磁場(chǎng)方向做拉摩進(jìn)動(dòng)，且對(duì)磁場(chǎng)的 取向服從空間量子化規(guī)則。

12、對(duì)于非均磁場(chǎng)，原子在磁場(chǎng)中除做上述運(yùn)動(dòng)外，還受到力的作用，原子射束的路徑要發(fā)生偏轉(zhuǎn)。2.11 史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中，處于基態(tài)的窄銀原子束通過不均勻橫向磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的梯度為特斯拉/米，磁極縱向范圍=0.04米(見圖2-2)，從磁極到屏距離=0.10米，原子的速度米/秒。在屏上兩束分開的距離米。試確定原子磁矩在磁場(chǎng)方向上投影的大?。ㄔO(shè)磁場(chǎng)邊緣的影響可忽略不計(jì)）。解：銀原子在非均勻磁場(chǎng)中受到垂直于入射方向的磁場(chǎng)力作用。其軌道為拋物線；在區(qū)域粒子不受力作慣性運(yùn)動(dòng)。經(jīng)磁場(chǎng)區(qū)域后向外射出時(shí)粒子的速度為，出射方向與入射方向間的夾角為。與速度間的關(guān)系為：粒子經(jīng)過磁場(chǎng)出射時(shí)偏離入射方向的距離S為：（1）將上式中用

13、已知量表示出來變可以求出把S代入（1）式中，得：整理，得：由此得：2.12 觀察高真空玻璃管中由激發(fā)原子束所發(fā)光譜線的強(qiáng)度沿原子射線束的減弱情況，可以測(cè)定各激發(fā)態(tài)的平均壽命。若已知原子束中原子速度，在沿粒子束方向上相距1.5毫米其共振光譜線強(qiáng)度減少到1/3.32。試計(jì)算這種原子在共振激發(fā)態(tài)的平均壽命。解：設(shè)沿粒子束上某點(diǎn)A和距這點(diǎn)的距離S=1.5毫米的 B點(diǎn)，共振譜線強(qiáng)度分別為，并設(shè)粒子束在A點(diǎn)的時(shí)刻為零時(shí)刻，且此時(shí)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為，原子束經(jīng)過t時(shí)間間隔從A到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為。光譜線的強(qiáng)度與處于激發(fā)態(tài)的原子數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)的躍遷幾率成正比。設(shè)發(fā)射共振譜線的躍遷幾率為，則有適

14、當(dāng)選取單位，使，并注意到 ，則有：由此求得：第三章 量子力學(xué)初步3.1 波長(zhǎng)為的X光光子的動(dòng)量和能量各為多少？解：根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得：動(dòng)量為：能量為：。3.2 經(jīng)過10000伏特電勢(shì)差加速的電子束的德布羅意波長(zhǎng) 用上述電壓加速的質(zhì)子束的德布羅意波長(zhǎng)是多少？解：德布羅意波長(zhǎng)與加速電壓之間有如下關(guān)系： 對(duì)于電子：把上述二量及h的值代入波長(zhǎng)的表示式，可得：對(duì)于質(zhì)子，代入波長(zhǎng)的表示式，得：3.3 電子被加速后的速度很大，必須考慮相對(duì)論修正。因而原來的電子德布羅意波長(zhǎng)與加速電壓的關(guān)系式應(yīng)改為：其中V是以伏特為單位的電子加速電壓。試證明之。證明：德布羅意波長(zhǎng)：對(duì)高速粒子在考慮相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，其動(dòng)能K與其

15、動(dòng)量p之間有如下關(guān)系：而被電壓V加速的電子的動(dòng)能為：因此有：一般情況下，等式右邊根式中一項(xiàng)的值都是很小的。所以，可以將上式的根式作泰勒展開。只取前兩項(xiàng)，得：由于上式中，其中V以伏特為單位，代回原式得：由此可見，隨著加速電壓逐漸升高，電子的速度增大，由于相對(duì)論效應(yīng)引起的德布羅意波長(zhǎng)變短。3.4 試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波波長(zhǎng)。上述結(jié)果不但適用于圓軌道，同樣適用于橢圓軌道，試證明之。證明：軌道量子化條件是：對(duì)氫原子圓軌道來說，所以有：所以,氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波長(zhǎng)。橢圓軌道的量子化條件是：其中而 因此，橢圓軌道也正好包含整數(shù)個(gè)德布羅意波波長(zhǎng)

16、。3.5 帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測(cè)器）中的軌跡是一串小霧滴，霧滴德線度約為1微米。當(dāng)觀察能量為1000電子伏特的電子徑跡時(shí)其動(dòng)量與精典力學(xué)動(dòng)量的相對(duì)偏差不小于多少？解：由題知,電子動(dòng)能K=1000電子伏特，米，動(dòng)量相對(duì)偏差為。根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，有，由此得：經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)量為：電子橫向動(dòng)量的不準(zhǔn)確量與經(jīng)典力學(xué)動(dòng)量之比如此之小，足見電子的徑跡與直線不會(huì)有明顯區(qū)別。3.6 證明自由運(yùn)動(dòng)的粒子（勢(shì)能）的能量可以有連續(xù)的值。證明：自由粒子的波函數(shù)為： （1）自由粒子的哈密頓量是： （2）自由粒子的能量的本征方程為： （3）把（1）式和（2）式代入（3）式，得：即：自由粒子的動(dòng)量p可以取任意連續(xù)值，

17、所以它的能量E也可以有任意的連續(xù)值。3.7 粒子位于一維對(duì)稱勢(shì)場(chǎng)中，勢(shì)場(chǎng)形式入圖3-1，即（1）試推導(dǎo)粒子在情況下其總能量E滿足的關(guān)系式。（2）試?yán)蒙鲜鲫P(guān)系式，以圖解法證明，粒子的能量只能是一些不連續(xù)的值。解：為方便起見,將勢(shì)場(chǎng)劃分為三個(gè)區(qū)域。（1） 定態(tài)振幅方程為式中是粒子的質(zhì)量。區(qū)：波函數(shù)處處為有限的解是：。區(qū)：處處有限的解是：區(qū)：處處有限的解是：有上面可以得到：有連續(xù)性條件，得：解得：因此得：這就是總能量所滿足的關(guān)系式。（2） 有上式可得：亦即 令，則上面兩方程變?yōu)椋毫硗?，注意到還必須滿足關(guān)系：所以方程（1）和（2）要分別與方程（3）聯(lián)立求解。3.8 有一粒子，其質(zhì)量為,在一個(gè)三維勢(shì)箱

18、中運(yùn)動(dòng)。勢(shì)箱的長(zhǎng)、寬、高分別為在勢(shì)箱外，勢(shì)能；在勢(shì)箱內(nèi)，。式計(jì)算出粒子可能具有的能量。解：勢(shì)能分布情況，由題意知：在勢(shì)箱內(nèi)波函數(shù)滿足方程：解這類問題，通常是運(yùn)用分離變量法將偏微分方程分成三個(gè)常微分方程。令代入（1）式，并將兩邊同除以，得：方程左邊分解成三個(gè)相互獨(dú)立的部分，它們之和等于一個(gè)常數(shù)。因此，每一部分都應(yīng)等于一個(gè)常數(shù)。由此，得到三個(gè)方程如下：將上面三個(gè)方程中的第一個(gè)整數(shù)，得：（2）邊界條件：可見，方程（2）的形式及邊界條件與一維箱完全相同，因此，其解為：類似地，有可見，三維勢(shì)箱中粒子的波函數(shù)相當(dāng)于三個(gè)一維箱中粒子的波函數(shù)之積。而粒子的能量相當(dāng)于三個(gè)一維箱中粒子的能量之和。對(duì)于方勢(shì)箱，,波

19、函數(shù)和能量為：第四章 堿金屬原子4.1 已知原子光譜主線系最長(zhǎng)波長(zhǎng)，輔線系系限波長(zhǎng)。求鋰原子第一激發(fā)電勢(shì)和電離電勢(shì)。解：主線系最長(zhǎng)波長(zhǎng)是電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷產(chǎn)生的。輔線系系限波長(zhǎng)是電子從無窮處向第一激發(fā)態(tài)躍遷產(chǎn)生的。設(shè)第一激發(fā)電勢(shì)為，電離電勢(shì)為，則有：4.2 原子的基態(tài)3S。已知其共振線波長(zhǎng)為5893，漫線系第一條的波長(zhǎng)為8193，基線系第一條的波長(zhǎng)為18459，主線系的系限波長(zhǎng)為2413。試求3S、3P、3D、4F各譜項(xiàng)的項(xiàng)值。解：將上述波長(zhǎng)依次記為容易看出：4.3 K原子共振線波長(zhǎng)7665，主線系的系限波長(zhǎng)為2858。已知K原子的基態(tài)4S。試求4S、4P譜項(xiàng)的量子數(shù)修正項(xiàng)值各為多少？

20、解：由題意知：由，得：設(shè),則有與上類似 4.4 原子的基態(tài)項(xiàng)2S。當(dāng)把原子激發(fā)到3P態(tài)后，問當(dāng)3P激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí)可能產(chǎn)生哪些譜線（不考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)）？答：由于原子實(shí)的極化和軌道貫穿的影響，使堿金屬原子中n相同而l不同的能級(jí)有很大差別，即堿金屬原子價(jià)電子的能量不僅與主量子數(shù)n有關(guān)，而且與角量子數(shù)l有關(guān)，可以記為。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明l越小，能量越低于相應(yīng)的氫原子的能量。當(dāng)從3P激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí)，考慮到選擇定則：，可能產(chǎn)生四條光譜，分別由以下能級(jí)躍遷產(chǎn)生：4.5 為什么譜項(xiàng)S項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)總是單層結(jié)構(gòu)？試直接從堿金屬光譜雙線的規(guī)律和從電子自旋與軌道相互作用的物理概念兩方面分別說明之。答：

21、堿金屬光譜線三個(gè)線系頭四條譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)的規(guī)律性。第二輔線系每一條譜線的二成分的間隔相等，這必然是由于同一原因。第二輔線系是諸S能級(jí)到最低P能級(jí)的躍遷產(chǎn)生的。最低P能級(jí)是這線系中諸線共同有關(guān)的，所以如果我們認(rèn)為P能級(jí)是雙層的，而S能級(jí)是單層的，就可以得到第二輔線系的每一條譜線都是雙線，且波數(shù)差是相等的情況。主線系的每條譜線中二成分的波數(shù)差隨著波數(shù)的增加逐漸減少，足見不是同一個(gè)來源。主線系是諸P能級(jí)躍遷到最低S能級(jí)所產(chǎn)生的。我們同樣認(rèn)定S能級(jí)是單層的，而推廣所有P能級(jí)是雙層的，且這雙層結(jié)構(gòu)的間隔隨主量子數(shù)n的增加而逐漸減小。這樣的推論完全符合堿金屬原子光譜雙線的規(guī)律性。因此，肯定S項(xiàng)是單層結(jié)構(gòu)，與

22、實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。堿金屬能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)是由于堿金屬原子中電子的軌道磁矩與自旋磁矩相互作用產(chǎn)生附加能量的結(jié)果。S能級(jí)的軌道磁矩等于0，不產(chǎn)生附加能量，只有一個(gè)能量值，因而S能級(jí)是單層的。4.6 計(jì)算氫原子賴曼系第一條的精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂的波長(zhǎng)差。解：賴曼系的第一條譜線是n=2的能級(jí)躍遷到n=1的能級(jí)產(chǎn)生的。根據(jù)選擇定則，躍遷只能發(fā)生在之間。而S能級(jí)是單層的，所以，賴曼系的第一條譜線之精細(xì)結(jié)構(gòu)是由P能級(jí)分裂產(chǎn)生的。氫原子能級(jí)的能量值由下式?jīng)Q定：其中因此，有：將以上三個(gè)能量值代入的表達(dá)式，得：4.7 原子光譜中得知其3D項(xiàng)的項(xiàng)值，試計(jì)算該譜項(xiàng)之精細(xì)結(jié)構(gòu)裂距。解：已知4.8 原子在熱平衡條件下處在各種不同能量

23、激發(fā)態(tài)的原子的數(shù)目是按玻爾茲曼分布的，即能量為E的激發(fā)態(tài)原子數(shù)目。其中是能量為的狀態(tài)的原子數(shù)，是相應(yīng)能量狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)權(quán)重，K是玻爾茲曼常數(shù)。從高溫銫原子氣體光譜中測(cè)出其共振光譜雙線。試估算此氣體的溫度。已知相應(yīng)能級(jí)的統(tǒng)計(jì)權(quán)重。解：相應(yīng)于的能量分別為：所測(cè)得的光譜線的強(qiáng)度正比于該譜線所對(duì)應(yīng)的激發(fā)態(tài)能級(jí)上的粒子數(shù)N，即由此求得T為：第五章 多電子原子5.1 原子的兩個(gè)電子處在2p3d電子組態(tài)。問可能組成哪幾種原子態(tài)?用原子態(tài)的符號(hào)表示之。已知電子間是LS耦合。解：因?yàn)?，所以可以有如?2個(gè)組態(tài)：5.2 已知原子的兩個(gè)電子被分別激發(fā)到2p和3d軌道，器所構(gòu)成的原子態(tài)為，問這兩電子的軌道角動(dòng)量之間的夾角

24、，自旋角動(dòng)量之間的夾角分別為多少？解：（1）已知原子態(tài)為，電子組態(tài)為2p3d因此，（2）而5.3 鋅原子（Z=30）的最外層電子有兩個(gè)，基態(tài)時(shí)的組態(tài)是4s4s。當(dāng)其中有一個(gè)被激發(fā)，考慮兩種情況：（1）那電子被激發(fā)到5s態(tài)；（2）它被激發(fā)到4p態(tài)。試求出LS耦合情況下這兩種電子組態(tài)分別組成的原子狀態(tài)。畫出相應(yīng)的能級(jí)圖。從（1）和（2）情況形成的激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷分別發(fā)生幾種光譜躍遷？解：（1）組態(tài)為4s5s時(shí) ，根據(jù)洪特定則可畫出相應(yīng)的能級(jí)圖，有選擇定則能夠判斷出能級(jí)間可以發(fā)生的5種躍遷：所以有5條光譜線。（2）外層兩個(gè)電子組態(tài)為4s4p時(shí)：，根據(jù)洪特定則可以畫出能級(jí)圖，根據(jù)選擇定則可以看出，只

25、能產(chǎn)生一種躍遷，因此只有一條光譜線。5.4 試以兩個(gè)價(jià)電子為例說明,不論是LS耦合還是jj耦合都給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).證明:(1)LS耦合5個(gè) L值分別得出5個(gè)J值,即5個(gè)單重態(tài)代入一個(gè)L值便有一個(gè)三重態(tài)個(gè)L值共有乘等于個(gè)原子態(tài)：因此，LS耦合時(shí)共有個(gè)可能的狀態(tài)（）jj耦合：將每個(gè)合成J得：共個(gè)狀態(tài)：所以，對(duì)于相同的組態(tài)無論是LS耦合還是jj耦合，都會(huì)給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài)5.5利用LS耦合、泡利原理和洪特定責(zé)來確定碳Z=6、氮Z=7的原子基態(tài)。解:碳原子的兩個(gè)價(jià)電子的組態(tài)2p2p,屬于同科電子.這兩個(gè)電子可能有的值是1,0,-1;可能有,兩個(gè)電子的主量子數(shù)和角量子數(shù)相同,根據(jù)泡利原理,它們

26、的其余兩個(gè)量子數(shù)至少要有一個(gè)不相同.它們的的可能配合如下表所示.為了決定合成的光譜項(xiàng),最好從的最高數(shù)值開始，因?yàn)檫@就等于L出現(xiàn)的最高數(shù)值?，F(xiàn)在，得最高數(shù)值是2，因此可以得出一個(gè)D項(xiàng)。又因?yàn)檫@個(gè)只與相伴發(fā)生，因此這光譜項(xiàng)是項(xiàng)。除了以外，也屬于這一光譜項(xiàng)，它們都是。這些譜項(xiàng)在表中以的數(shù)字右上角的記號(hào)“。”表示。共有兩項(xiàng)是；有三項(xiàng)是。在尋找光譜項(xiàng)的過程中，把它們的哪一項(xiàng)選作項(xiàng)的分項(xiàng)并不特別重要。類似地可以看出有九個(gè)組態(tài)屬于項(xiàng)，在表中以的碳原子1/21/21011*1/21/21-110*1/21/20-11-1*1/2-1/2110201/2-1/2100101/2-1/21-10001/2-1/2

27、0101*1/2-1/200001/2-1/20-10-1*1/2-1/2-1100*1/2-1/2-100-101/2-1/2-1-10-20-1/2-1/210-11*-1/2-1/21-1-10*-1/2-1/20-1-1-1*氮原子1/21/21/210-13/201/21/21/201-13/20*1/21/21/2-1013/20-1/2-1/2-1/210-13/20*-1/2-1/2-1/201-13/20-1/2-1/2-1/2-1013/20*1/21/2-1/21011/221/21/2-1/21001/211/21/2-1/210-11/20*1/21/2-1/2-10

28、01/2-11/21/2-1/2-10-11/2-21/21/2-1/21-111/211/21/2-1/21-101/201/21/2-1/21-1-11/2-1數(shù)字右上角的記號(hào)“*”表示。剩下一個(gè)組態(tài)，它們只能給出一個(gè)項(xiàng)。因此，碳原子的光譜項(xiàng)是、和，而沒有其它的項(xiàng)。因?yàn)樵谔荚又许?xiàng)的S為最大，根據(jù)同科電子的洪特定則可知，碳原子的項(xiàng)應(yīng)最低。碳原子兩個(gè)價(jià)電子皆在p次殼層，p次殼層的滿額電子數(shù)是6，因此碳原子的能級(jí)是正常次序，是它的基態(tài)譜項(xiàng)。氮原子的三個(gè)價(jià)電子的組態(tài)是，亦屬同科電子。它們之間滿足泡利原理的可能配合如下表所示。表中刪節(jié)號(hào)表示還有其它一些配合，相當(dāng)于此表下半部給出的間以及間發(fā)生交換。

29、由于電子的全同性，那些配合并不改變?cè)拥臓顟B(tài)，即不產(chǎn)生新的項(xiàng)。由表容易判斷，氮原子只有、和。根據(jù)同科電子的洪特定則，斷定氮原子的基態(tài)譜項(xiàng)應(yīng)為。5.6 已知氦原子的一個(gè)電子被激發(fā)到2p軌道，而另一個(gè)電子還在1s軌道。試作出能級(jí)躍遷圖來說明可能出現(xiàn)哪些光譜線躍遷？解：對(duì)于，單態(tài)1P1對(duì)于，三重態(tài)3P2，1，0根據(jù)選擇定則，可能出現(xiàn)5條譜線，它們分別由下列躍遷產(chǎn)生：21P111S0；21P121S03S13P03P13P21S03S11S023P023S1；23P123S1；23P223S1 1s2p 1s2s 1s1s5.7 原子的能級(jí)是單層和三重結(jié)構(gòu)，三重結(jié)構(gòu)中J的的能級(jí)高。其銳線系的三重線的頻率，其頻率間隔為。試求其頻率間隔比值。解：原子處基態(tài)時(shí)兩個(gè)價(jià)電子的組態(tài)為。的銳線系是電子由激發(fā)的能級(jí)向能級(jí)躍遷產(chǎn)生的光譜線。與氦的情況類似，對(duì)組態(tài)可以形成的原子態(tài)，也就是說對(duì)L=1可以有4個(gè)能級(jí)。電子由諸激發(fā)能級(jí)上躍遷到能級(jí)上則產(chǎn)生銳線系三重線。根據(jù)朗德間隔定則，在多重結(jié)構(gòu)中能級(jí)的二相鄰間隔同有關(guān)的J值中較大的那一個(gè)成正比，因此，所以。5.8 原子基態(tài)的兩個(gè)價(jià)電子都在軌道。若其中一個(gè)價(jià)電子被激發(fā)到軌道，而其價(jià)電子間相互作用屬于耦合。問此時(shí)原子可能有哪