高等數(shù)學(xué)課件：v-11-3 冪級數(shù)

1、11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第三節(jié)第三節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂法二、冪級數(shù)及其收斂法三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算四、小四、小 結(jié)結(jié)11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.1.定義定義: :設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項項) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). .,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù)11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)2.

2、2.收斂點與收斂域收斂點與收斂域: :如果如果Ix 0, ,數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 10)(nnxu收斂收斂, ,則則稱稱0 x為為級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點點, ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點點. .所有發(fā)散點的全體稱為所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點點的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué))()(limxsxsnn 函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)項級數(shù)的部分和余項余項)()()(xsxsxrnn (x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注注: 函數(shù)項級數(shù)在函數(shù)項級數(shù)在某點某點 x 的收

3、斂問題的收斂問題, ,實質(zhì)上是實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題的收斂問題.3.3.和函數(shù)和函數(shù): : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收斂斂域域上上, ,函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為為函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù). .( (定義域是定義域是?) ),(xsn11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)求求級級數(shù)數(shù)nnnxn)11()1(1 的的收收斂斂域域. 解解由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x當(dāng)當(dāng),20時時或或于是于是 xx原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂., 1

4、1 x即即例例1 111-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué), 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x即即,02時時于是于是 x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.,0時時當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級數(shù)級數(shù)收斂收斂;,2時時當(dāng)當(dāng) x 11nn級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散;)., 0)2,( 故級數(shù)的收斂域為故級數(shù)的收斂域為, 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :形形如如nnnxxa)(00 的的級級數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級級數(shù)數(shù). .,000nnnxax 時時當(dāng)當(dāng)其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).2.2.收斂性收斂性: :,12

5、0 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù);,1收收斂斂時時當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域)., 11,( 發(fā)發(fā)散散域域11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則 它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切 x 處處絕絕對對收收斂斂; ; 如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足 不不等等式式0 xx 的的一一切切 x 處處發(fā)發(fā)散散. . 證明證明, 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收

6、斂 nnnxa11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10時時當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級級數(shù)數(shù) nnnxa11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué),)2(0時時發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有一一點點1x適適合合01xx 使使級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)0 xx 時時應(yīng)應(yīng)收收斂斂,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾.由由(1)結(jié)論結(jié)論x R R幾何說明幾何說明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域o問

7、題問題: 是否一定存在一個劃分收斂與發(fā)散的分界數(shù)是否一定存在一個劃分收斂與發(fā)散的分界數(shù)?11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)定義定義: : 正數(shù)正數(shù) R 稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間., 0 R),RR ,(RR .,RR 規(guī)定規(guī)定, R收斂區(qū)間收斂區(qū)間0 x;收收斂斂區(qū)區(qū)間間),( .問題問題

8、: : 如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?),(RR (1) 冪冪級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)非凡的數(shù)學(xué)家非凡的數(shù)學(xué)家阿貝爾阿貝爾阿貝爾（阿貝爾（Abel,NielsAbel,Niels Henrik, Henrik,1802-18291802-1829）挪威數(shù)學(xué)家。挪威數(shù)學(xué)家。18021802年年8 8月月5 5日日生于芬島，生于芬島，18291829年年4 4月月6 6日日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個孩子之一。盡管家里很貧困，父親六個孩子之一。盡

9、管家里很貧困，父親還是在還是在18151815年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的一所年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的一所中學(xué)里讀書，中學(xué)里讀書，1515歲時優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡歲時優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡（Bernt Michael HolmboBernt Michael Holmbo 1795-1850 1795-1850）發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)）發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才，對他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚學(xué)天才，對他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。的興趣。1616歲時阿貝爾寫了一篇解方程的論文。歲時阿貝爾寫了一篇解方程的論文。11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)丹麥數(shù)學(xué)家戴根（丹麥數(shù)學(xué)家戴根（C

10、arl Ferdinand DegenCarl Ferdinand Degen 1766-1825 1766-1825）看過這篇論文后，為阿貝爾的數(shù)學(xué)才華而驚嘆，看過這篇論文后，為阿貝爾的數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時數(shù)學(xué)界正興起對當(dāng)時數(shù)學(xué)界正興起對橢圓積分橢圓積分的研究，于是他給的研究，于是他給阿貝爾回信寫到：阿貝爾回信寫到：“. .與其著手解決被認(rèn)為非常難與其著手解決被認(rèn)為非常難解的方程問題，不如把精力和時間投入到對解析解的方程問題，不如把精力和時間投入到對解析學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就是很好的學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會取得成功題目，相信你會取得成功.”.”。于

11、是阿貝爾開始轉(zhuǎn)。于是阿貝爾開始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。向?qū)E圓函數(shù)的研究。11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 阿貝爾阿貝爾1818歲時，父親去世了，這使生活變得更加歲時，父親去世了，這使生活變得更加貧困。貧困。18211821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里斯蒂安尼亞大學(xué)。斯蒂安尼亞大學(xué)。18231823年，他發(fā)表了第一篇論文，是年，他發(fā)表了第一篇論文，是關(guān)于用關(guān)于用積分方程積分方程求解古老的求解古老的“等時線等時線”問題的。這是問題的。這是對這類方程的第一個解法，開了研究積分方程的先河。對這類方程的第一個解法，開了研究積分方程的先河。18241824

12、年，他解決了年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性用根式求解五次方程的不可能性問問題。這一論文也寄給了格丁根的題。這一論文也寄給了格丁根的高斯高斯，但是高斯連信，但是高斯連信都未開封。都未開封。 18251825年，他去柏林，結(jié)識了業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者克萊年，他去柏林，結(jié)識了業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者克萊爾（爾（Auguste Leopold CrelleAuguste Leopold Crelle 1780-1856 1780-1856）。他與斯坦納）。他與斯坦納建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志志。這個雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾。這個雜志頭三卷發(fā)表了阿貝

13、爾2222篇包括篇包括方程論方程論、無窮級數(shù)無窮級數(shù)、橢圓函數(shù)論橢圓函數(shù)論等方面的論文。等方面的論文。 11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 1826 1826年，阿貝爾來到巴黎，他會見了年，阿貝爾來到巴黎，他會見了柯西柯西、勒讓勒讓德德、狄利赫萊狄利赫萊和其他人，但這些會面也是虛應(yīng)故事，和其他人，但這些會面也是虛應(yīng)故事，人們并沒有真正認(rèn)識到他的天才。阿貝爾又太靦腆，人們并沒有真正認(rèn)識到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?。雖然沒有像克不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?。雖然沒有像克萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅持?jǐn)?shù)學(xué)的研究工作。萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅持?jǐn)?shù)學(xué)的研究工作

14、。撰寫了撰寫了“關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)”的的論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪堡的信中，論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪堡的信中，非常自信地說：非常自信地說：“. .已確定在下個月的科學(xué)院例會上已確定在下個月的科學(xué)院例會上宣讀我的論文宣讀我的論文, ,由柯西審閱由柯西審閱, ,恐怕還沒有來得及過目?？峙逻€沒有來得及過目。不過，我認(rèn)為這是一件非常有價值的工作，我很想能不過，我認(rèn)為這是一件非常有價值的工作，我很想能盡快聽到科學(xué)院權(quán)威人士的意見，現(xiàn)在正昂首以盡快聽到科學(xué)院權(quán)威人士的意見，現(xiàn)在正昂首以待待. .?！?1-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)

15、學(xué) 可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西柯西把論文放進(jìn)抽把論文放進(jìn)抽屜里，一放了之。（這篇論文原稿于屜里，一放了之。（這篇論文原稿于19521952年在佛羅年在佛羅倫薩重新發(fā)現(xiàn)）阿貝爾等到年末，了無音信。一氣倫薩重新發(fā)現(xiàn)）阿貝爾等到年末，了無音信。一氣之下離開了巴黎，在柏林作短暫停留之后于之下離開了巴黎，在柏林作短暫停留之后于18271827年年5 5月月2020日回到了挪威。他原希望回國后能被聘為大日回到了挪威。他原希望回國后能被聘為大學(xué)教授，但是他的這一希望又一次落空。他靠給私學(xué)教授，但是他的這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度當(dāng)過人補(bǔ)課謀生，一度當(dāng)過代課教師代課教

16、師。由于過渡疲勞和。由于過渡疲勞和營養(yǎng)不良，在旅途上感染了營養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核肺結(jié)核。這在當(dāng)時是不。這在當(dāng)時是不治之癥治之癥, ,但他一邊與病魔作斗爭一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研但他一邊與病魔作斗爭一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究究, , 該病一直折磨阿貝爾直到該病一直折磨阿貝爾直到18291829年去世。年去世。11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)阿貝爾和雅可比（阿貝爾和雅可比（Carl Gustav JacobiCarl Gustav Jacobi 1804-1851 1804-1851）是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。這是作為橢圓積分的是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。這是作為橢圓積分的反函數(shù)而為他所發(fā)現(xiàn)的

17、。這一理論很快就成為十九世反函數(shù)而為他所發(fā)現(xiàn)的。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中的重要領(lǐng)域之一，他對數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及紀(jì)分析中的重要領(lǐng)域之一，他對數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法加法定理、雙周期性定理、雙周期性。此外，在交換群、。此外，在交換群、二項級數(shù)二項級數(shù)的嚴(yán)格的嚴(yán)格理論、理論、級數(shù)求和級數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。這些工作使等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動者。在這個時候，阿貝爾他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動者。在這個時候，阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲的所的名聲隨著克萊爾雜志的

18、廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲的所有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見這篇橢圓函數(shù)的論文，而且有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見這篇橢圓函數(shù)的論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作的蠢事之后，非常吃驚，在知道了巴黎科學(xué)院所作的蠢事之后，非常吃驚，在18291829年年3 3月月1414日寫信給巴黎科學(xué)院表示抗議：日寫信給巴黎科學(xué)院表示抗議：11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)“.“.這在我們生活的這個世紀(jì)中，恐怕是數(shù)學(xué)中最重這在我們生活的這個世紀(jì)中，恐怕是數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向要的發(fā)現(xiàn)，雖然向老爺們老爺們的研究院提交此論文達(dá)的研究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒有得到諸位先生的注意，這是為兩年之久，但一直沒有得到諸位先生的注意，這

19、是為什么呢？什么呢？.”.”。而由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對。而由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對于這一切一無所知。阿貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連于這一切一無所知。阿貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無策了。醫(yī)生也束手無策了。18291829年年4 4月月5 5日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于4 4月月6 6日上午日上午1111點去世。作為命運(yùn)捉弄人的是，在他去世點去世。作為命運(yùn)捉弄人的是，在他去世后的第二天，克萊爾寫信給阿貝爾后的第二天，克萊爾寫信給阿貝爾“. .我國教育部決我國教育部決定招聘您為柏林大學(xué)教授定招聘您為柏林大學(xué)教授. .，一個月之內(nèi)就能發(fā)出招，一

20、個月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書聘書. .?！边@封信還提到，希望阿貝爾能盡量用最好這封信還提到，希望阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費(fèi)用支出。他的親人們聽到這的藥物治療，不要考慮費(fèi)用支出。他的親人們聽到這一消息，禁不住淚流滿面。一消息，禁不住淚流滿面。11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 克萊爾在他的克萊爾在他的學(xué)報學(xué)報中所寫的紀(jì)念文章里這樣中所寫的紀(jì)念文章里這樣贊揚(yáng)阿貝爾：贊揚(yáng)阿貝爾：“阿貝爾在他的所有著作中都打下了阿貝爾在他的所有著作中都打下了天才天才的烙印和表現(xiàn)出了不起的思維能力的烙印和表現(xiàn)出了不起的思維能力。我們可以說他能夠。我們可以說他能夠穿透一切障礙深入問題的根底，具有似乎無堅不摧的

21、氣穿透一切障礙深入問題的根底，具有似乎無堅不摧的氣勢勢. .。他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，。他又以品格純樸高尚以及罕見的謙遜精神出眾，使他人品也像他的天才那樣受到人們不同尋常的愛戴。使他人品也像他的天才那樣受到人們不同尋常的愛戴?！钡菙?shù)學(xué)家們另有他法紀(jì)念他們中的偉人，因為我們常但是數(shù)學(xué)家們另有他法紀(jì)念他們中的偉人，因為我們常說說阿貝爾積分、阿貝爾積分方程、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾阿貝爾積分、阿貝爾積分方程、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾群、阿貝爾級數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別群、阿貝爾級數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾收斂判別法、阿貝爾可和性法、阿貝爾可和性。很少有幾個數(shù)學(xué)家能使他的名字同。

22、很少有幾個數(shù)學(xué)家能使他的名字同數(shù)學(xué)中的這么多概念和定理聯(lián)系在一起。誰也不難想象，數(shù)學(xué)中的這么多概念和定理聯(lián)系在一起。誰也不難想象，要是他活到正常壽命的話該有多少貢獻(xiàn)啊。要是他活到正常壽命的話該有多少貢獻(xiàn)啊。11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)證明證明應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué),)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值審斂法由比值審斂法,1|時時當(dāng)當(dāng) x,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa,1|時時當(dāng)當(dāng)

23、x,|0發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnxa開始開始并且從某個并且從某個 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa發(fā)發(fā)散散從從而而級級數(shù)數(shù);1 R收斂半徑收斂半徑11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué), 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnxa.0收收斂斂絕絕對對從從而而級級數(shù)數(shù) nnnxa; R收斂半徑收斂半徑,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù))|01(0收收斂斂使使知知將將有有點點否否則則由由定定理理 nnnxax. 0 R收斂半徑收斂半徑定理證畢定理證畢.11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)

24、學(xué)例例2 2 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當(dāng)當(dāng) x,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 故收斂區(qū)間是故收斂區(qū)間是1 , 1( .11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)nnna limnn lim, , R級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , oR 收收斂斂區(qū)區(qū)間間),( .;)()2(

25、1 nnnx;!)3(1 nnnx11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0時時當(dāng)當(dāng) x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為(0,1.11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)求求冪冪級級數(shù)數(shù) 1122nnnx的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間. 解解 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx2

26、2lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x例例3 311-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué), 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算1.1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): :(1) (1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa,0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2

27、100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) 11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)(2) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)(3) (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)注注：相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多：相除后的收斂

28、區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多2.2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): :11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)(2) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間 ),(RR 內(nèi)內(nèi)可可積積,且且對對),(RRx 可可逐逐項項積積分分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna注注：收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變.結(jié)論結(jié)論：積分運(yùn)算和極限運(yùn)算可交換積分運(yùn)算和極限運(yùn)算可交換11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)(3) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)

29、區(qū)間間 ),(RR 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), 并并可可逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna注注：收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變收斂半徑不變，收斂區(qū)間可能改變.11-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)求求級級數(shù)數(shù) 11)1(nnnnx的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間和和函函數(shù)數(shù). 解解,)1()()2(11 nnnnxxs設(shè)設(shè), 0)0( s顯顯然然)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當(dāng)當(dāng) x,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(11 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散所以收斂區(qū)間為所以收斂區(qū)間為(1,1.例例4 411-3 冪級數(shù)冪級數(shù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)),1ln()(xxs ),1ln()0()(xsxs 即即兩端積分得兩