平行四邊形典型問題分類解析

1、平行四邊形典型問題分類解析為了開闊同學(xué)們的視野，特就一些平行四邊形典型問題分類選解幾例，希望同學(xué)們從中得到啟示.1.證明線段垂直例1已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC,M為AB的中點(diǎn)，求證：CMLDM.分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，不僅對(duì)角相等，而且相鄰角的角也互補(bǔ)，這就為證明垂直提供了充分的條件.又有已知中AB=2BC和M為AB的中點(diǎn)，可以得到相等的角.其中有內(nèi)錯(cuò)角相等，也有等邊對(duì)等角性質(zhì)的應(yīng)用，使/CDM+/DCM=90,可使問題得到解決.證明：在平彳T四邊形ABCD中，AB/CD,AD=BC,/AMD=/CDM,/BMC=/DCM,.AB=2BC,M是AB的中點(diǎn)，AD=AM=

2、BM=BC./ADM=/AMD,/BMC=/BCM /ADM=/CDM,ZBCM=/DCM, ./CDM=1ZADC,ZDCM=1ZBCD.22又/ADC+ZBCD=180，./CDM+ZDCM=90,即/DMC=90 CMXDM.評(píng)析：本題通過利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)，證明了CM、DM所在的三角形兩銳角互余，由三角形內(nèi)角和定理得出/DMC=90,從而得到結(jié)論.這是證明兩線段互相垂直的常用方法.2 .證明線段平行例2如圖，AB、CD交于點(diǎn)O,AC/DB,AO=BO,E、F分別為OC、OD的中點(diǎn)，連結(jié)AF、BE,求證：AF/BE.分析：從已知條件可證4AOCABOD,得到OC=OD,又有

3、E、F為OC、OD中點(diǎn)，則OE=OF,判定四邊形AFBE為平行四邊形，即有AF/BE.證明：連結(jié)BF、AE,AC/DB,，/C=ZD.CD,在AOC和BOD中，有AOCBOD,AOBO.AOCABOD,.OC=OD.又E、F為OC、OD的中點(diǎn)，OE=OF,四邊形AFBE是平行四邊形，AF/BE.精選文檔評(píng)析：學(xué)習(xí)了平行四邊形以后，又多了一種證明平行線的方法.3 .證明線段相等如圖，ABC中，AB=AC,P是BC上的一點(diǎn),PE/AC,PF/AB,分別交AB、AC于E、F,請(qǐng)猜出線段PE、PF、AB之間存在什么關(guān)系，并證明你的猜想.分析：從已知條彳中不難證明PF=AE,PE=BE,從而PE、PF、

4、AB之間滿則關(guān)系式PE+PF=AB,即猜想結(jié)論：PE+PF=AB.證明：PE/AC,BPE=/C.AB=AC,./B=/C,./BPE=/B,PE=BE.PE/AC,PF/AB,四邊形AEPF是平行四邊形，PF=AE.BE+AE=AB,PE+PF=AB.評(píng)析：在解決此類探索性問題時(shí)，一般通過對(duì)已知條件的分析、比較、概括探索出結(jié)論，這就是對(duì)猜想問題的常用解題思路.4 .求線段的長(zhǎng)度例4如圖，在四邊形ABCD中，AB=6,BC=8,/A=120,/B=60,/C=150，求AD的長(zhǎng).由/A和/B的關(guān)系可以判定AD/BC,這樣不妨過點(diǎn)C分析：要求AD的長(zhǎng)度，需要借助輔助線把問題轉(zhuǎn)化,作AB的平行線，

5、構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，然后利用角之間的關(guān)系與平行四邊形的性質(zhì)，使問題得以解決.解：點(diǎn)C作CE/AB交AD于E,/A+ZB=180,AD/BC,，四邊形ABCE是平行四邊形.AE=BC=8,CE=AB=6,/BCE=/A=120.又./BCD=150,，/DCE=30.而/D=360120-60-150=30,./D=/DCE=30,DE=CE,AD=8+6=14.評(píng)析：在判定AD/BC后，輔助線的添加是解題的關(guān)鍵，雖然輔助線的添加在解題時(shí)沒有一定規(guī)律可循，但可以通過分析已知條件與待求結(jié)論，從中得到啟發(fā)，從而正確地作出輔助線.精選文檔證題技巧一面積法由于等底等高的三角形的面積等于平行四邊形面積的一

6、半；相似三角形面積的比等于相似比的平方；等高三角形面積的比等于底的比，等底三角形面積的比等于高的比；同底（或等底）等高（同高）的三角形的面積相等.因止匕，題目中如有平行線、角平分線或等底等高的三角形時(shí)，可試用面積法處理。例1已知:如圖1.ABCD,F、E分別在BC、CD上，口6，人5于6,BHXAE于H,若DG=BH,則AF=AE證明：連結(jié)BE、DF1cS>AABE二FS-ABCDS1aadf=2Suabcd二Saabe=Saadf;DG±AFBH±AEc1一Saabe=2AE.BHSaadf=1AF.DG2;DG=BHAF=AE圖1例2如圖2,OO1和OO2外切于點(diǎn)

7、P,AB過點(diǎn)P交OO1和OO2于A、B,BH切OO2于B,交OO1于C、H,(1)求證：BCPsHAP精選文檔(2)若AP：PB=3：2且C為AB中點(diǎn)，求HA：BC證明(1)過點(diǎn)P作兩圓的公切線交BH于點(diǎn)E由切線長(zhǎng)定理知BE=PE所以/2=/3由弦切角定理知/4=/5又/4=/3所以/5=/2又/1是圓內(nèi)接四邊形APCH的外角，所以/1=/A所以BCPsHAP(2)因?yàn)锳BCPAHAP所以SaHAP因?yàn)镠AP和4BHP同高.SpbclHA;2BC、J所以SaHAPAPPBSpbh八匕HBP和BCP同高.且C為BH的中點(diǎn),所以,SaBCPSapbhBCr-1BH=12所以,SaHAP所以,HABCy寫出y與xSaPBC例3已知:如圖3,SkABC=20DE/BC,之間的函數(shù)關(guān)系式解：/DEIIBC/.AADEABCS"der_AD_22=xSaabc2Saade=20xXAADE和