專題21概率與統(tǒng)計(jì)綜合-2019年高考理數(shù)母題題源系列(全國(guó)Ⅰ專版)(解析版)

1、專題21概率與統(tǒng)計(jì)綜合母題呈現(xiàn)【母題來源一】【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠， 隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈 的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0

2、分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為“和3, 一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，R(i =0,1小|,8)表示用藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 Po = 0 , P8 =1, Pi = api,+bpi +cpi由(i =1,2,|,7),其中 a = P(X = 1), b = P(X=0), c = p(x =1) .假設(shè) 口 =0.5, P =0.8 .(i)證明：PtPi (i =0,1,2,111,7)為等比數(shù)列；(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.1【答案】(1)分布列見解析；(2)證

3、明見解析，(ii) P4 =，解釋見解析.257【解析】X的所有可能取值為 1,0,1.P(X =-1)=(1-c()P,P(X =0) =otP +(1 -«)(1 -P),P(X =1)=«(1-P),所以X的分布列為X-101P(1-«)p+(1-«)(1-P)«(1-P)(2) (i)由(1)得 a =0.4,b =0.5, c =0.1 .因此 Pi =0.4pu +0.5 R +0.1p* 故 0.1(Pi+-Pi) =0.4(Pi R),即 Pi+ - Pi =4( Pi R-).又因?yàn)?Pi P0 = Pi ¥ 0 ,

4、(ii)由(i)可得所以Pt Pi( i =0,i,2|,7)為公比為4,首項(xiàng)為Pi的等比數(shù)列.P8=P8- P7P7 -P6I HPi-P0P0二(P8 - P7 ) ( P7-P6)HI (Pi - P0)2884 -iPi -3由于P8=i ,故Pi84 -i所以P4=( P4 -P3)( P3- P2)( P2-Pi)(Pi - P0)=44 -iPi =3257P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí)，i認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4 =比0.0039 ,257此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理.【母題來源二】【20

5、i8年高考全國(guó)I卷理數(shù)】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0< P<i),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(i)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為 f(p),求f (P)的最大值點(diǎn)P0 .(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了 20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(i)中確定的P0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.(i)

6、若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X ,求EX ；(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【答案】(i) 0.i; (2) (i) 490, (ii)應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【解析】(1) 20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為 f(p)=c2op2(1p)18.因此 f (p) =c2o2p(1 p)18 18p2(1 p)17=2C20P(1 p)17(110p).令 f (p)=0,得 p=0.1,當(dāng) pw (0,0.1)時(shí)，f (p)>0；當(dāng) pw (0.1,1)時(shí)，f'(p)<0.所以f(p

7、)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.(2)由(1)知，p =0.1 .(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知 Y： B(180,0.1), X =20父2+25丫，即 X =40 + 25Y .所以 EX =E(40 +25Y) =40 + 25EY =490.(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX >400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【母題來源三】【2017年高考全國(guó)I卷理數(shù)】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取 16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生

8、產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N (%仃2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常， 記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(N-3仃尸+3。)之外的零件數(shù)，求P(X之1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2) 一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(N -3仃，卜+3。)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i )試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(ii )下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：10.049.9510.129.969.9610.019.929.9810.269.9110.13，、-1經(jīng)計(jì)算得x = Z Xj =9.97,16 id10.029.2

9、210.0410.059.951 161s = , £ (x -X)2 =Jx2 -16X2)定0.212,其中為為抽取的第i .16 y,16 y個(gè)零件的尺寸，i =1,2, -,16.用樣本平均數(shù)X作為卜的估計(jì)值 用，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為仃的估計(jì)值<?,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的 生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除 (玲-3史博+35)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)N和仃(精確到0.01).附：若隨機(jī)變量 Z服從正態(tài)分布 N（N,t!2）,則P（N3。<Z十30） = 0.997 4,0.997 416 ft 0.959 2, Jo.008 -0.09 .【答案】（1） P（X &

10、gt;1）0.0408, EX =0.0416; （2） （ i ）見解析，（ii ） N的估計(jì)值為10.02,仃的估 計(jì)值為0.09 .【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件知一個(gè)零件的尺寸在（N-3o,N+3b）之內(nèi)的概率為 0.9974,則零件的尺寸在（N3巴N+3。）之外的概率為0.0026,而XB（160.0026），進(jìn)而可以求出X的數(shù)學(xué)期望.（2）（i）判斷 監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在 （N-3仃尸+ 3。）之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）根據(jù)題設(shè)條件算出口的估計(jì)值和 仃的估計(jì)值，剔除（?一3。？+3G之外的數(shù)據(jù)9.22,算出剩下

11、數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為N的估計(jì)值，剔除（丹3夕，用+3夕）之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為仃的估計(jì)值.【解析】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在（N -3。，N+3仃）之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在（N-3。1十3仃）之外的率為0.0026,故XB（16,0.0026）.因此 P（X >1） =1 P（X =0） =1 -0.997416 之 0.0408 .X 的數(shù)學(xué)期望為 EX =16x0.0026 = 0.0416.（2） （i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在（R -3仃，卜+3仃）之外的概率只有 0.0026, 一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在 （口-3仃，口

12、+3仃）之外的零件的概率只有 0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這 種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢 查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.（ii）由X=9.97,s球0.212 ,得N的估計(jì)值為 怦= 9.97,仃的估計(jì)值為 夕=0.212, 由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在（錚-36,怦+ 36）之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除（川-3電惇+ 3。）之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 （169.97 -9.22） = 10.02 , 15因此N的估計(jì)值為10.02.16Z Xi2 =1630.2122+

13、16卜9.972 * 1591.134 ,剔除（36,惇+ 36）之外的數(shù)據(jù) 9.22,i 1122剩下數(shù)據(jù)的樣本萬差為(1591.134 -9.22 15父10.02 )之0.008 ,15因此燈的估計(jì)值為 J0.008球0.09 .【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反映隨機(jī)變量取值的平均水平.求解離散型 隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí)，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機(jī)變量的所有取值，然后 根據(jù)概率類型選擇公式，計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率，列出對(duì)應(yīng)的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分 布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的 3。原則.【命題意圖】(1)理

14、解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并 能解決一些實(shí)際問題.(2) 了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.(3) 了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義(4)考查閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析 等核心素養(yǎng).【命題規(guī)律】從近幾年高考試題可以看出，本知識(shí)點(diǎn)越來越注重對(duì)試題的理解以及數(shù)學(xué)建模能力的考查，綜合性強(qiáng)，多與統(tǒng)計(jì)知識(shí)相結(jié)合 以2019年試題為例，不但考查離散型隨機(jī)變量的分布列，還涉及數(shù)列的證明與求解，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真讀題，讀懂題意，才

15、能利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來解決【方法總結(jié)】(一)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差：(1)求離散型隨機(jī)變量 X的分布列的步驟：理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個(gè)值的概率；寫出X的分布列.(2)與排列、組合有關(guān)分布列的求法.可由排列、組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列.與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法.可由頻率估計(jì)概率，再求出分布列.與互斥事件有關(guān)分布列的求法.弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)分布列的求法.先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)概率，再列出分布列.(3)求解離散型隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、

16、方差的定義求E(X ),D(X 腳可.(二)利用均值、方差進(jìn)行決策：均值能夠反映隨機(jī)變量取值的平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉，由此可對(duì)實(shí)際問題作出決策判斷；若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策(三)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的常見類型及解題策略：(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好 n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率即可.(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率.(四)關(guān)于正態(tài)曲線在

17、某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：(1)熟記 P( (i(<XW葉 c), P(2 c<X<|i+ 2 c), P(1 3 o<XW葉 3()的值.(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1.(3)正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關(guān)于 N對(duì)稱，P(x)=P(x<R )=0.5 B母題題源精粹組卷網(wǎng)1 .【河北省示范性高中 2019屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植尸對(duì)一塊地的n(n'= N )個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播 3粒種子，每粒種子發(fā), 1芽的概率均為-,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言，

18、如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需2要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.(1)當(dāng)n取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？(2)當(dāng)n=4時(shí)，用X表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求 X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)當(dāng)門=5或門=6時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為；(2)見解析.16【解析】(1)對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率c11 C3 I22 / 有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為 C3 115C 1欲彳C c I -n -、n最大，只需4CnJ_n1-C：C3e、r*因?yàn)閚 N,所以 n =5,6,當(dāng)n =5時(shí),C3316當(dāng)n=6時(shí),c35所以當(dāng)門=5或門=6時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大

19、概率為一161(2)由已知，X的可能取值為0, 1, 2, 3, 4, X-B.4,一,2所以X的分布列為X01234P116143814116X的數(shù)學(xué)期望E(X)【名師點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布，主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)算，屬于中檔題.(1)將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成 n的函數(shù)，考查函數(shù)隨n的變化情況，即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大.(2) n=4時(shí)，X的所有可能的取值為 0, 1, 2, 3, 4.分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列,求期望即可.2 .【山西省2019屆高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練(三)數(shù)學(xué)試題】某紡織廠為了生產(chǎn)一種高端布料，準(zhǔn)備從100朵棉花，

20、分別測(cè)量了農(nóng)場(chǎng)購進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)棉花，廠方技術(shù)人員從A農(nóng)場(chǎng)存儲(chǔ)的優(yōu)質(zhì)棉花中隨機(jī)抽取了其纖維長(zhǎng)度(單位：cm)的均值，收集到100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，并制成如下頻數(shù)分布表:氏度23,空)25,27)19 jn31斗,力15537)49162414105(1)求這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)將收集到的數(shù)據(jù)繪制成直方圖可以認(rèn)為這批棉花的纖維長(zhǎng)度XN(N,。2),其中卜之又,仃2定52.利用正態(tài)分布，求 P(X-2a )；紡織廠將 A農(nóng)場(chǎng)送來的這批優(yōu)質(zhì)棉進(jìn)行二次檢驗(yàn)，從中隨機(jī)抽取20朵測(cè)量其纖維均值y(i =1,2川|,20 )的數(shù)據(jù)如下：*蹩打力*戶A*24.13

21、1,R32.7弱22R429 1MWy»7bJu7b* ，小30 ft25.2l?£)27 1359:* 卻429.52QQ若20個(gè)樣本中纖維均值 Y a N -2。的頻率不低于中 P(X >-2cy ),即可判斷該批優(yōu)質(zhì)棉花合格，否則認(rèn)為農(nóng)場(chǎng)運(yùn)送是摻雜了次品，判斷該批棉花不合格.按照此依據(jù)判斷 A農(nóng)場(chǎng)送來的這批棉花是否為合格的優(yōu)質(zhì)棉花，并說明理由.附：若 Z N (也仃2 ),則 P( -a <Z +仃)= 0.6827, P(N 2。< Z < N + 2仃)=0.9543.J2.28 : 3.504 .【答案】(1)平均數(shù)為31,方差為12.2

22、8； (2)0.97715；該批優(yōu)質(zhì)棉花合格，理由見解析 . 1【解析】(1) x=父(4父24+9父26+16父28 +24父30 + 18父32 + 14父34+10父36*5乂38)=31 , 100212_2._2_.222s(4 79 516 324 1 18 1 14 310 55 7 )=12.28.100(2)棉花的纖維長(zhǎng)度 X N 尸2 ),其中3 =31戶土712.28 3.504 ,1利用正態(tài)分布，則 PXL-2 二=1 -1-0.9543 =0.97715.因?yàn)?2 2。=31 -23.504 天23.992 ,故 P(Y >艮-2仃)=P(Y >23.99

23、2尸 1>0.97715,故滿足條件，所以認(rèn)為該批優(yōu)質(zhì)棉花合格.【名師點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布中36原則及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用、平均值、方差的計(jì)算，考查分析推理，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題(1)將數(shù)據(jù)代入公式，即可求解.(2)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及條件，即可求解； N 2。=31 2 M3.504 % 23.992 ,分析表中數(shù)據(jù)可得 P(Y>-2a )= P(Y> 23.992) = 1 >0.97715 ,滿足條件，即可作出判斷200元，統(tǒng)一零售價(jià)每件 300元，兩家超3 .【安徽省江淮十校 2019屆高三年級(jí)5月考前最后一卷數(shù)學(xué)試題】某銷售公司在當(dāng)?shù)谹、B兩家超市各有一個(gè)銷售點(diǎn)

24、，每日從同一家食品廠一次性購進(jìn)一種食品，每件市之間調(diào)配食品不計(jì)費(fèi)用.若進(jìn)貨不足，食品廠以每件 250元補(bǔ)貨；若銷售有剩余，食品廠以每件150元回收.現(xiàn)需決策每日購進(jìn)食品數(shù)量，為此搜集并整理了A、B兩家超市往年同期各 50天的該食品銷售記錄，得到如下數(shù)據(jù):以這些數(shù)據(jù)的頻數(shù)代替兩家超市的食品銷售件數(shù)的概率，記X表示這兩家超市每日共銷售食品件數(shù)，n銷售件數(shù)891011頻數(shù)20402020表示銷售公司每日共需購進(jìn)食品的件數(shù)(1)求X的分布列;(2)以銷售食品利潤(rùn)的期望為決策依據(jù)，在 n=19與n = 20之中選其一，應(yīng)選哪個(gè)?【答案】(1)見解析；(2) n =19.【解析】(1)由已知得一家超市銷售

25、食品件數(shù)12 118, 9, 10, 11的概率分別為一，一，.5 5 5 5X 的取值為 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.1 11P X =16 =一父一=一；5 5 251 24P X =17 =一父一父2 = ；5 5252 2 116P X =18 =-x-+-x-x2=；5 5 5 5251 21 16P(X =19 ) = -m父2 +m 父2 = ； 5 55 52511215P (X =20)=_m_+mm2=；555525112P X =21 =-x-x2 ;；55251 11P X =22 5 5 25X16171819202122P125425625

26、625525225125(2)當(dāng)n =19時(shí)，記¥為A, B銷售該食品利潤(rùn)，則 Y的分布列為丫11450160017501900195020002050P125425625625525225125所以X的分布列為1466521八E (Y ) = 1450 m +1600 黑1750 M +1900 父+1950 父+ 2000 H+ 2050 x- =1822;25252525252525當(dāng)n =20時(shí)，記丫2為A, B銷售該食品利潤(rùn)，則 Y2的分布列為丫21400155017001850200020502100P1466521252525252525251466521E 丫2 =1

27、4001550170018502000 一 2050 2100 一 = 1804.25252525252525因?yàn)?E(Y )>E(Y2 ),故應(yīng)選n =19.【名師點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.(1)由已知可得一家超市銷售食品件數(shù)為8, 9, 10, 11,得X的取值為16, 17, 18, 19, 20, 21,求出相應(yīng)的概率即可；(2)分別列出n=19, n=20的分布列，求出相應(yīng)的期望，比較即可.4 .【福建省龍巖市2019屆高三5月月考數(shù)學(xué)試題】今年3月5日，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)作的政府工作報(bào)告中， 提到要 懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒

28、學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”教育部日前公布的教育部 2019年部門預(yù)算中透露，2019年教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇，預(yù)算為800萬元.國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)、教育部2014年印發(fā)的博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評(píng)議意見為 不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為 存在問題學(xué)位論文”有 且只有1位專家評(píng)議意見為 不合格”的學(xué)位論文，將再送 2位同行專家進(jìn)行復(fù)評(píng)，2位復(fù)評(píng)專家中有1 位以上(含1位)專家評(píng)議意見為 不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為 存在問題學(xué)位論文”設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評(píng)議為 不合格”的概率均為p(0 <

29、p <1),且各篇學(xué)位論文是否被評(píng)議為不合格”相互獨(dú)立(1)記一篇抽檢的學(xué)位論文被認(rèn)定為存在問題學(xué)位論文”的概率為f(p),求f(p);(2)若擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為900元，需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為1500元；除評(píng)審費(fèi)外，其它費(fèi)用總計(jì)為 100萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢論文為6000篇，問是否會(huì)超過預(yù)算？并說明理由.【答案】(1) f (p)=3p5+12p417p3+9p2 ; (2)若以此方案實(shí)施，不會(huì)超過預(yù)算 . 2 23 3【解析】(1)因?yàn)橐黄獙W(xué)位論文初評(píng)被認(rèn)定為 存在問題學(xué)位論文”的概率為C3 P (1-p)+C3 P ,一篇學(xué)位論文復(fù)評(píng)被認(rèn)定為存在問題學(xué)位論

30、文”的概率為C；p(1-p)2%-(1-p)21,所以一篇學(xué)位論文被認(rèn)定為存在問題學(xué)位論文”的概率為f (p 產(chǎn)c3p2(1 p)+c3p3 +C13P(1 p j 1 (1 p)2232 一,2 1= 3p2(1-p)+p3+3p(1-p) L1-(1-p)-3p5 12p4 -17p3 9p2.(2)設(shè)每篇學(xué)位論文的評(píng)審費(fèi)為 X元，則X的可能取值為900, 1500.且 P(X =1500 ) = C3P(1 p 2,_12P(X =900 ) = 1 -C3p(1 _p ),所以 E(X ) = 900 m -1-C3p(1-p fl+1500xC3p(1-p ) = 900 + 180

31、0p(1-p f .-2令 g (p 尸 p(1 -p ) , p J0,1),則 g '( p ) = (1 - p 2 -2 P(1 -p )=(3p -1 X p -1 ).當(dāng) pw10，1 | 時(shí)，g(p)>0, g(p )在；0,3 | 上單調(diào)遞增；當(dāng) pw 3,1 時(shí)，g'(p)<0, g(p )在；1上單調(diào)遞減,所以g ( p )的最大值為g14I I =327所以實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為4100 6000900 1800 -27/ 10" =800 (萬元).綜上，若以此方案實(shí)施，不會(huì)超過預(yù)算考查隨機(jī)變量的期望的求法,【名師點(diǎn)睛】本題主要考查

32、互斥事件的概率和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力(1)先求出一篇學(xué)位論文初評(píng)被認(rèn)定為存在問題學(xué)位論文”的概率，再求出一篇學(xué)位論文復(fù)評(píng)被認(rèn)定為存在問題學(xué)位論文”的概率，再把它們相加即得解；2(2)先求出E(X ) = 900+1800P(1-p),再求出其最大值，比較最大值和預(yù)算的大小即得解.5 .【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】 某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020(1)若將頻率

33、視為概率， 從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取 4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率;(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)(2)用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考方案1：不分類賣出，單價(jià)為 20元/kg .方案2：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(jià)(元/kg)16182224從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？(3)用分層抽樣的方法從這 100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再從抽取的10個(gè)水果中隨機(jī)抽取 3個(gè)，X表示抽取的是精品果的數(shù)量，求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望 E(X ).【答案】(1) 也；(2)第一種方案；(3)見解析.625,* .-201【解析】(1)設(shè)從100

34、個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到禮品果的事件為A,則P(A) = /0=，100 51現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取 4個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為 X ,則XB.4,一,5，恰好抽到2個(gè)禮品果的概率為：P(X=2)=C2(2)設(shè)方案2的單價(jià)為匕，則單價(jià)的期望值為:134216 54 88 48E =16 18 22 24 = = 20.61010101010:'EU>20,，從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第一種方案(3)用分層抽樣的方法從100個(gè)水果中抽取10個(gè)，則其中精品果 4個(gè),非精品果6個(gè).現(xiàn)從中抽取3個(gè)，則精品果的數(shù)量 X服從超幾何分布，所有可能的取值為:0,123,C3則P X =0 =號(hào)=

35、Cio16；P(X=1'=CCi=1 P(X=2) = CC1L(X - I )一 3 一 P(八一2)-3C102C103 P/Y 加 C36P(X=3尸礫30二X的分布列如下:X01231131P62103011316.E X 5【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布求解概率、數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用、超幾何分布的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)抽取方式確定隨機(jī)變量所服從的分布類型，從而可利用對(duì)應(yīng)的概率公式求解出概率.(1)計(jì)算出從100個(gè)水果中隨機(jī)抽取一個(gè)，抽到禮品果的概率；則可利用二項(xiàng)分布的概率公式求得所求概率;(2)計(jì)算出方案2單價(jià)的數(shù)學(xué)期望，與方案 1的

36、單價(jià)比較，選擇單價(jià)較低的方案;(3)根據(jù)分層抽樣原則確定抽取的 10個(gè)水果中，精品果 4個(gè)，非精品果6個(gè)，則X服從超幾何分布,利用超幾何分布的概率計(jì)算公式可得到每個(gè)X取值對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列；再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求得結(jié)果6.【山東省泰安市教科研中心 2019屆高三考前密卷數(shù)學(xué)試題】 某中學(xué)高一期中考試結(jié)束后，從高一年級(jí)1000名學(xué)生中任意抽取 50名學(xué)生，將這50名學(xué)生的某一科的考試成績(jī)(滿分 150分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并作出樣本成績(jī)的頻率分布直方圖(如圖)顆率比0J02O ani, uoie U.UH O.U12 0.010 uno OOfrb flOfjjUQ I21W I對(duì)應(yīng)

37、做（1）由于工作疏忽，將成績(jī)130, 140）的數(shù)據(jù)丟失，求此區(qū)間的人數(shù)及頻率分布直方圖的中位數(shù)；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（2）若規(guī)定考試分?jǐn)?shù)不小于120分為優(yōu)秀，現(xiàn)從樣本的優(yōu)秀學(xué)生中任意選出3名學(xué)生，參加學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流會(huì).設(shè)X表示參加學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)的學(xué)生分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生人數(shù)，求 X的分布列及期望；（3）視樣本頻率為概率.由于特殊原因，有一個(gè)學(xué)生不能到學(xué)校參加考試，根據(jù)以往考試成績(jī)，一般這名學(xué)生的成績(jī)應(yīng)在平均分左右.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，說明他若參加考試，可能得多少分？（每組數(shù)據(jù)以區(qū)問的中點(diǎn)值為代表）【答案】（1） 8, 117.14; （2）見解析；（3） 115.4.【解析】（1）這50名學(xué)生

38、成績(jī)?cè)诟鲄^(qū)間的頻率及人數(shù)如下：60, 70）的頻率為0.02,人數(shù)為1, 70, 80）的頻率為0.04,人數(shù)為2,80, 90）的頻率為 0.02,人數(shù)為1, 90, 100）的頻率為0.14,人數(shù)為7,100, 110）的頻率為 0.18,人數(shù)為 9, 110, 120）的頻率為 0.14,人數(shù)為7,120, 130）的頻率為 0.2,人數(shù)為10, 140, 150）的頻率為 0.1,人數(shù)為5,.130, 140）的頻率為0.16,人數(shù)為8,中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右面積相等，設(shè)中位數(shù)為 m, 60, 110）的頻率和為：0.02+0.04+0.02+0.14+0.18 =0.4, 1

39、10, 120）的頻率為 0.14,（m-110） X0.014=0.5-0.4= 0.1,解得 m= 820 = 117.147，頻率分布直方圖的中位數(shù)為117.14.（2）考試分?jǐn)?shù)不小于120分的優(yōu)秀學(xué)生有23人，X表示參加教學(xué)交流會(huì)的不小于130分的學(xué)生人數(shù)的取值為0,P (X= 0)P (X= 1)1, 2, 3,C30 _ 120C；31771C13c10C235851771 'X0123P12017715857802616117711771P (X=2)=C13C10C237801771P (X= 3)Cl33C33261611- x的分布列為:E (X)c 120,585

40、=0 - 1 177117712幽3至 177116130031771(3)平均分 W= 65X0.02+75X0.04+85X0.02+95X0.14+105X0.18+115X0.14+125X0.2+135X0.16+145X0.1 =115.4,，該學(xué)生可能得分為115.4分.【名師點(diǎn)睛】本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)、離散型隨機(jī)變量概率分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查頻率分布直方圖、古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.(1)先求出這50名學(xué)生成績(jī)?cè)诟鲄^(qū)間的頻率及人數(shù)，由此能求出130, 140)的頻率為0.16,人數(shù)為8,從而能求出中位數(shù).(2)考試分?jǐn)?shù)不小于120分

41、的優(yōu)秀學(xué)生有23人，X表示參加教學(xué)交流會(huì)的不小于130分的學(xué)生人數(shù)，其取值為0, 1,2, 3,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E(X).(3)利用頻率分布直方圖能求出平均分.7.【河南省新鄉(xiāng)市2019屆高三第三次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題】以下是新兵訓(xùn)練時(shí)，某炮兵連8周中炮彈對(duì)同一目標(biāo)的命中的情況的柱狀圖：(1)計(jì)算該炮兵連這8周中總的命中頻率 po,并確定第幾周的命中頻率最高;(2)以(1)中的Po作為該炮兵連甲對(duì)同一目標(biāo)的命中率，若每次發(fā)射相互獨(dú)立，且炮兵甲發(fā)射5次,記命中的次數(shù)為X ,求X的方差；(3)以(1)中的Po作為該炮兵連炮兵對(duì)同一目標(biāo)的命中率，試問至少要用多少枚這樣的炮彈同時(shí)

42、對(duì)該目標(biāo)發(fā)射一次，才能使目標(biāo)被擊中的概率超過0.99?(取lg0.4 = 0.398)【答案】(1) P0 =0.6,第8周的命中頻率最高；(2) 1.2； (3) 6枚.【解析】(1)這8周總命中炮數(shù)為 40 + 45 + 46+49 + 47 + 49 + 53+52 = 381,總未命中炮數(shù)為 32 + 34 + 30 + 32 + 35 + 33 + 30 + 28 = 254,c 381p0 0.6 ,381 254, * 52 53* > 一,28 30，根據(jù)表中數(shù)據(jù)易知第 8周的命中頻率最高.(2)由題意可知 XB(5,0.6),則 DX =5 0.6 1 -0.6 =1.

43、2.(3)設(shè)至少要用n枚這樣的炮彈，由 1 (1 P0 )n >0.99 ,即 1 0.4n >0.99 ,得 0.4n <0.01 ,n >log0.40.01 =lg0.01lg0.42lg0.420.398故至少要用6枚這樣的炮彈同時(shí)對(duì)該目標(biāo)發(fā)射一次，才能使目標(biāo)被擊中的概率超過0.99.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率的計(jì)算，考查二項(xiàng)分布的方差的計(jì)算，考查指數(shù)不等式的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力(1)先求出這8周總命中炮數(shù)和總未命中炮數(shù)，再求這 8周中總的命中頻率 p0,比較第7周和第8周的命中率得到第8周的命中頻率最高；(2)利用二項(xiàng)分布

44、求 X的方差；(3)解不等式1(1p0nA0.99得解.8 .【湖北省黃岡中學(xué) 2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題】10月1日，某品牌的兩款最新手機(jī) (記為W型10月1日當(dāng)天，隨機(jī)調(diào)查了 5號(hào)，T型號(hào)）同時(shí)投放市場(chǎng)，手機(jī)廠商為了解這兩款手機(jī)的銷售情況，在機(jī)中至少有一部為 W型號(hào)手機(jī)的概率;1部，求抽取的2部手（2）現(xiàn)從這5個(gè)手機(jī)店中任選 3個(gè)舉行促銷活動(dòng)，用 X表示其中W型號(hào)手機(jī)銷量超過 T型號(hào)手機(jī)銷量的手機(jī)店的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量 X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）經(jīng)測(cè)算，W型號(hào)手機(jī)的銷售成本n （百元）與銷量; （部）滿足關(guān)系刈=3；+4.若表中W型號(hào)手 機(jī)銷量的方差S2 =m（m >0）,

45、試給出表中5個(gè)手機(jī)店的 W型號(hào)手機(jī)銷售成本的方差 S2的值.（用m表示，結(jié)論不要求證明）3八一-2【答案】（1） ; （2）見解析；（3） S2=9m.5【解析】（1）將從A, B這兩個(gè)手機(jī)店售出的新款手機(jī)中分別隨機(jī)抽取的1部手機(jī)記為甲和乙，依題意，有P M1 =126 12P M2 =3,且事件M1、M2相互獨(dú)立.5記事件 隼手機(jī)為T型號(hào)手機(jī)”為M1 ,記事件 Z手機(jī)為T型號(hào)手機(jī)”為M2設(shè)抽取的2部手機(jī)中至少有1部為W型號(hào)手機(jī)”為事件M ,一2 3 3則 P（M）=1-P M1M2 . 1 - -=.3 5 5即抽取的2部手機(jī)中至少有1部為W型號(hào)手機(jī)的概率為 35（2）由表可知： W型號(hào)手機(jī)

46、銷量超過 T型號(hào)手機(jī)銷量的手機(jī)店共有 2個(gè),故X的所有可能取值為：0, 1, 2,c0c3 且 p（x =0）=十C5P(X =2)=c2c3c510，所以隨機(jī)變量 X的分布列為:X012P11035310 c 1 , 3 c 3 6故 E(X)=01 2 =.10510 5 S2=9m.【名師點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，以及方差的 性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.(1)將從A , B這兩個(gè)手機(jī)店售出的新款手機(jī)中分別隨機(jī)抽取的1部手機(jī)記為甲和乙，記事件 用手機(jī)為T型號(hào)手機(jī)”為M1，記事件2手機(jī)為T型號(hào)手機(jī)”為M2 ,分別求出P(M1P(M2 )的值，根據(jù)

47、相互獨(dú)立事件的公式求出P(M1M 2 ),最后利用對(duì)立事件概率公式求出抽取的2部手機(jī)中至少有1部為W型號(hào)手機(jī)的概率；(2)由表可知：W型號(hào)手機(jī)銷量超過 T型號(hào)手機(jī)銷量的手機(jī)店共有2個(gè)，故X的所有可能取值為：。,1, 2,分別求出P(X =0), P(X =1),P(X =2)的值，寫出隨機(jī)變量 X的分布列，并根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算 公式求出E(X)；(3)根據(jù)方差的性質(zhì)和變量的關(guān)系即可求出方差S2的值.9 .【湖南省益陽市桃江縣第一中學(xué)2019屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)試題】某工廠預(yù)購買軟件服務(wù)，有如下兩種方案:方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠60元，對(duì)于提供的軟件服務(wù)每次 10元;方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務(wù)不超過 15次，不另外收費(fèi)，若超過15次,超過部分的軟件服務(wù)每次收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元.(1)設(shè)日收費(fèi)為y元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為 x