材料力學(xué) 課件 彎曲變形

1、2022-5-131 第六章第六章彎曲變形彎曲變形 1 1明確明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念，深刻理解撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念，深刻理解梁撓曲線近似微分方程的建立。梁撓曲線近似微分方程的建立。 2 2掌握掌握計算梁變形的計算梁變形的積分法積分法和和疊加法疊加法。 3 3了解梁的了解梁的剛度條件剛度條件。基本要求基本要求2022-5-1326-1 6-1 引引 言言一工程實際中的彎曲變形一工程實際中的彎曲變形2022-5-1331 1撓曲線撓曲線：梁在彎矩作用下發(fā)生彎曲變形。如果在彈：梁在彎矩作用下發(fā)生彎曲變形。如果在彈性范圍內(nèi)加載，梁的軸線在梁彎曲后變成一連續(xù)光滑曲線。性范圍內(nèi)加載，梁的軸線在梁

2、彎曲后變成一連續(xù)光滑曲線。這一連續(xù)光滑曲線稱為彈性曲線這一連續(xù)光滑曲線稱為彈性曲線，或撓，或撓度曲線度曲線，簡稱彈性線或撓曲線。，簡稱彈性線或撓曲線。二基本概念二基本概念yxOyxO2022-5-134 2 2撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角 wyxO2022-5-135EIM1y規(guī)定規(guī)定：向上的撓度為正，向下的撓度為負(fù)。向上的撓度為正，向下的撓度為負(fù)。 逆時針轉(zhuǎn)角為正，順時針轉(zhuǎn)角為負(fù)。逆時針轉(zhuǎn)角為正，順時針轉(zhuǎn)角為負(fù)。撓曲線方程：撓曲線方程：w = w（x）轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：q q = = q q（x）2022-5-136qtanddxwqxwddy2022-5-137EIM123222dd1dd1xw

3、xw6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程 2022-5-1381dd2xwEIMxw22dd23222dd1dd1xwxw2022-5-139EIMxw22ddEIMxw22ddEIMdxwd22撓曲線微分方程撓曲線微分方程僅適用于線彈性范圍內(nèi)的小變形的平面彎曲問題。僅適用于線彈性范圍內(nèi)的小變形的平面彎曲問題。xwOMM2022-5-13106-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形CdxEIMdxdwx)(qDCxdxdxEIMxw)()(EIxMdxwd)(22轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程2022-5-1311AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

4、AAA0Aw0Aw0 Aq qAwARALwwARALq qq q ARALww 彈簧變形彈簧變形積分常數(shù)積分常數(shù)C、D由由邊界條件邊界條件和梁段間和梁段間光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件或或中間絞鏈連續(xù)條件中間絞鏈連續(xù)條件確定。確定。位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件2022-5-1312 確定約束力確定約束力, ,判斷是否需要分段以及分幾段判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截

5、面的撓度與轉(zhuǎn)角 分段寫出彎矩方程分段寫出彎矩方程分段點：集中力、集中力偶、分布載荷起止點、分段點：集中力、集中力偶、分布載荷起止點、EI不同不同2022-5-1313xyxFAB2022-5-1314解：解：)()(xlFxMlFFxwEI CxlFxFwEI22DCxxlFxFEIw2326由邊界條件：由邊界條件：0 , 00wwx時，得：得：CD 0 xyxFAB2022-5-1315梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：)2(2lxEIxFq)3(62lxEIxFw最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：EIFlB22maxqqEIFlvwB33ma

6、xxyxFAB2022-5-1316FabABlCxyx1x22022-5-1317解：解：11)(xlFbxMAC段：11xlFbwEI 12112CxlFbwEI1113116DxCxlFbEIw)()(222axFxlFbxMCB段：)(222axFxlFbwEI 2222222)(2CaxFxlFbwEI222323226)(6DxCaxFxlFbEIwFabABlCxyx1x2lFbFRAlFaFRB2022-5-1318由連續(xù)和光滑條件：由連續(xù)和光滑條件：0011wx時，得：得：得：得：由邊界條件：由邊界條件：212121 ,wwwwaxx時，12112CxlFbwEI111311

7、6DxCxlFbEIw2222222)(2CaxFxlFbwEI222323226)(6DxCaxFxlFbEIw2121 , DDCC022wlx時，0 21 DD)(6 2221bllFbCCFabABlCxyx1x22022-5-1319梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：)3(621221xbllEIFbqAC段段)(6212211xbllEIFbxwCB段段)(3)3(62222222axblxbllEIFbq)()(632222222axblxxbllEIFbwFabABlCxyx1x2最大轉(zhuǎn)角：最大轉(zhuǎn)角：)(6bllEIFabAq)(6allEIFab

8、Bq當(dāng)當(dāng)ab時，時，q qB為最大轉(zhuǎn)角。為最大轉(zhuǎn)角。2022-5-1320FabABlCxyx1x2)3(621221xbllEIFbqAC段段)(6212211xbllEIFbxwCB段段)(3)3(62222222axblxbllEIFbq)()(632222222axblxxbllEIFbw最大撓度：最大撓度： 當(dāng)當(dāng)q q=0時，時，w為極值。為極值。當(dāng)當(dāng)ab時，時，q q =0的截面在的截面在AC段。段。)(3balEIFabCq3220blx322max)(39blEIlFbw2022-5-13216-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 在材料服從胡克定律和小變形的條件

9、下，由小撓在材料服從胡克定律和小變形的條件下，由小撓度曲線微分方程得到的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)度曲線微分方程得到的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系。因此，當(dāng)梁承受復(fù)雜載荷時，可將其分解成幾種系。因此，當(dāng)梁承受復(fù)雜載荷時，可將其分解成幾種簡單載荷，利用梁在簡單載荷作用下的位移計算結(jié)果，簡單載荷，利用梁在簡單載荷作用下的位移計算結(jié)果，疊加后得到梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。疊加后得到梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。疊加方法疊加方法疊加原理疊加原理載荷疊加、變形疊加載荷疊加、變形疊加2022-5-13222022-5-1323EIqlB2431qEIqlwC4842EIqlwC1643EIqlwC

10、384541EIqlB1632qEIqlB333qEIqlBCiB48113qqEIqlwwCiC3841142022-5-13242022-5-1325EIFawC331EIFaC221qEIFalC32qEIlFaawCC3222q)32(6alEIFaCq)(32alEIFawC2022-5-1326)(622xlEIlmxwAB段撓曲線和轉(zhuǎn)角方程：段撓曲線和轉(zhuǎn)角方程：)3(622xlEIlmqEIFalwD162EIFalD24q得：得：2022-5-1327F2 2022-5-1328F2 FFFlFFl2022-5-1329F2 FFFlEIFlwB331EIFlB221qEIFl

11、CB4212qqEIFllwwCCB1253112qEIFlCB2223qqEIFllwwCCB433223qEIFlwwwwBBBB233321EIFlBBBB452221qqqq2022-5-13302022-5-1331EIqlC631qEIqlwC841248128234222lEIqlEIqllwwBBCqEIqlC4832qEIqlCiC4873qqEIqlwwCiC384414方法一：方法一：2022-5-1332)3(62xlEIdxqxdwCEIqldCllC48732qqEIqldwwllCC3844142方法二：方法二：xxqdxACdxBdwCdq qCEIdxqxdC

12、22q2022-5-1333q qA1wBq qAEIqaA2431q22)2(3)2(32233aEIaFEIaFEIaqawBawBAA1qqEIqawB48114EIqaA23q2022-5-1334MeF+2022-5-1335)( 331EIFaCV)( 2)2(22EIaFaCV)( 373EIFaCV)( 3)2(3EIaFCH2022-5-1336)( 331EIFaC)( 2tCGIFala)( 333EIFlC321CCCC2022-5-13376-5 6-5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁 F2022-5-13383相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，得到受力

13、在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，得到受力和變形與靜不定梁完全相同的相當(dāng)系統(tǒng)。和變形與靜不定梁完全相同的相當(dāng)系統(tǒng)。2靜定基靜定基 將靜不定梁上的多余約束除去后所得到的將靜不定梁上的多余約束除去后所得到的“靜定基靜定基本系統(tǒng)本系統(tǒng)”。1靜不定梁靜不定梁約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁。約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁。AFB一靜不定梁的概念一靜不定梁的概念2022-5-1339 3在靜定基上計算多余約束處的變形后，代入變形在靜定基上計算多余約束處的變形后，代入變形協(xié)調(diào)條件，協(xié)調(diào)條件，建立補充方程建立補充方程，解出多余約束反力。，解出多余約束反力。 2建立變形協(xié)調(diào)條件建立變形協(xié)調(diào)條件；

14、將相當(dāng)系統(tǒng)與靜不定梁相比較，在多余約束處，找將相當(dāng)系統(tǒng)與靜不定梁相比較，在多余約束處，找到變形協(xié)調(diào)條件。到變形協(xié)調(diào)條件。1判斷梁的靜不定次數(shù)判斷梁的靜不定次數(shù)，解除多余約束，建立靜定基；，解除多余約束，建立靜定基；二靜不定梁的解法二靜不定梁的解法2022-5-13402022-5-1341解解：加固前，：加固前，AB梁的最大撓度梁的最大撓度)( 33EIFlwB加固后加固后wC1wC2)( 48)25(31EIlFFwCC)( 3)2(32EIlFwCC由由wC1 = wC2 ，得，得FFC45此時此時AB梁的最大撓度：梁的最大撓度：)( 64134853333EIFlEIlFEIFlwCB僅

15、為前者的僅為前者的60.9%。2022-5-1342maxmaxqq www許用撓度許用撓度q q許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角梁的剛度條件梁的剛度條件2022-5-1343BEIlaFB3Pq Bqq111mmm10111m100.52063101802120643-493d2022-5-13441 1、如卸荷裝置、中心架、如卸荷裝置、中心架（或跟刀架）（或跟刀架）一改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩的數(shù)值。一改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩的數(shù)值。6-6 6-6 提高彎曲提高彎曲剛度的一些措施剛度的一些措施 2022-5-13453 3、縮小跨距、縮小跨距2 2、合理安排梁的約束與加載方式、合理安排梁的約束與加載方式二選擇合理的截面形狀。二選擇合理的截面形狀。 三合理選擇材料三合理選擇材料 2022-5-1346本本 章章 小小 結(jié)結(jié)1撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)方向確定撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)方向確定2掌握用積分法求梁的撓曲線和轉(zhuǎn)角方程掌握用積分法求梁的撓曲線和轉(zhuǎn)角方程積分常數(shù)根據(jù)積分常數(shù)根據(jù)邊界條件邊界條件和和連續(xù)條件連續(xù)條件確定確定。3根據(jù)彎矩圖確定撓曲線的形狀根據(jù)