近世代數(shù)習(xí)題解答(張禾瑞)二章

1、近世代數(shù)習(xí)題解答第二章群論1群論1. 全體整數(shù)的集合對(duì)于普通減法來說是不是一個(gè)群？證 不是一個(gè)群，因?yàn)椴贿m合結(jié)合律2. 舉一個(gè)有兩個(gè)元的群的例子 .證 G二1,-1對(duì)于普通乘法來說是一個(gè)群.3. 證明，我們也可以用條件1,2以及下面的條件4,5來作群的定義：4 . G至少存在一個(gè)右單位元e,能讓ae= a 對(duì)于G的任何元a都成立5 . 對(duì)于G的每一個(gè)元a,在G里至少存在一個(gè)右逆元a-1,能讓aa，二e證（1） 一個(gè)右逆元一定是一個(gè)左逆元，意思是由aa=e 得a_1a=e因?yàn)橛?G有元a能使a Ja = e所以（aa）e = 屯）備）=a（aaa =aea，= aa，= e即 a a = e（2

2、）一個(gè)右恒等元e 一定也是一個(gè)左恒等元，意即由 ae = a 得 ea = aea 二（aa）a 二 a（aa）二 ae 二 a即 ea 二 a這樣就得到群的第二定義（3）證 ax = b可解取 x 二 aa（ab）二（aa）b 二 be 二 b這就得到群的第一定義反過來有群的定義得到4，,5,是不困難的.2單位元，逆元，消去律1. 若群G的每一個(gè)元都適合方程x2二e,那么G就是交換群.證 由條件知G中的任一元等于它的逆元,因此對(duì)a,b：=G有ab = (ab) = ba-1 = ba .2. 在一個(gè)有限群里階大于2的元的個(gè)數(shù)是偶數(shù).證 先證a的階是n則a J的階也是n. an = e= (a

3、)n = (an)1 = e-1 = e 若有mn使(a)m=e 即(am)，二e因而 am=e，. am=e 這與a的階是n矛盾-a的階等于aJ的階1 1 2(2) a的階大于2,則a=a 若a二a=a二e 這與a的階大于2矛盾(3) a = b 貝y a J - b J_ 1總起來可知階大于2的元a與 a雙雙出現(xiàn)，因此有限群里階大于2的元的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)3. 假定G是個(gè)數(shù)一個(gè)階是偶數(shù)的有限群，在G里階等于2的元的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)證 根據(jù)上題知，有限群G里的元大于2的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；因此階-2的元的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù)，但階是1的元只有單位元，所以階 a , a和a的階是不是一定相同？不一定相同_1J3例

4、如G二1,- 2G =1對(duì)普通乘法G，G都作成群，且 (x1 (這里x是G的任意元，1是G的元)由 J可知 G sG1i . 3 _ 1 _ i 3但 1I 31 I 3的階都是3.2 2而1的階是1.5變換群1. 假定.是集合的一個(gè)非一一變換,.會(huì)不會(huì)有一個(gè)左逆元二使得，二；？ 證我們的回答是回有的 A =1,2,3,.顯然是一個(gè)非變換但1T121t 12 12t 33t 23t 44t 34t 52. 假定A是所有實(shí)數(shù)作成的集合證明.所有A的可以寫成 x ax b,a,b是有理數(shù)，a = 0形式的變換作成一個(gè)變換群這個(gè)群是不是一個(gè)交換群 ？證(1) . :x ax bx ex d汀“：e(

5、ax b) d 二 eax eb dea,eb d是有理數(shù) ca = 0； 是關(guān)閉的(2)顯然時(shí)候結(jié)合律(3) a =1 b =0 貝y ； ： x x-:-jT-Jax bi1+/ b、:x x ()a a= ；：所以構(gòu)成變換群又 d Xr X 12 :x 2xV 2 ： X 2(x1)2 “ ： x 2x 1 故12 1因而不是交換群3. 假定S是一個(gè)集合 A的所有變換作成的集合，我們暫時(shí)仍用舊符號(hào):a a= (a)來說明一個(gè)變換.證明，我們可以用.仁2： ar匚.2(a) =2(a)來規(guī)定一個(gè)S的 乘法，這個(gè)乘法也適合結(jié)合律，并且對(duì)于這個(gè)乘法來說；還是S的單位元.證:a 1(a)2： a

6、 ：2(a)那么 12： a 1 2(a)二 1 2(a)顯然也是A的一個(gè)變換.現(xiàn)在證這個(gè)乘法適合結(jié)合律：(12)3： a ( 1 2) 3(a) Ki .2【3(a)1( 2 3)：a d 2 3(a)=餡2【3(a)故 (1 2)3 =訥(2 3)再證；還是S的單位元；:a a = ；(a)T:a (a) = (a)；：a ；(a) = .(a)ST = TS4. 證明一個(gè)變換群的單位元一定是恒等變換。證設(shè)；是是變換群G的單位元G , G是變換群，故.是變換，因此對(duì)集合A的任意元a，有A的元b , b a = (b)；(a)二；(a) = ； (b) = (b) = a丁E(a) =a另證

7、 &(xT(x)根據(jù)1.7.習(xí)題3知n七(x) =x；(x)二 x5. 證明實(shí)數(shù)域上一切有逆的n n矩陣乘法來說，作成一個(gè)群。證 G =實(shí)數(shù)域上一切有逆的n n矩陣1 1A,B G 則B A是AB的逆是G的單位元。從而 A,B G對(duì)矩陣乘法來說，G當(dāng)然適合結(jié)合律且 E (n階的單位陣)故 G作成群。6置換群1. 找出所有S的不能和(；23)交換的元證S3不能和(器)交換的元有(123),(223),(；23)這是難驗(yàn)證的2. 把S3的所有的元寫成不相連的循環(huán)置換的乘積解：S3的所有元用不相連的循環(huán)置換寫出來是，(12), (13), (23), (123), (132).3.證明:(1)兩個(gè)不

8、相連的循環(huán)置換可以交換(i2ik)_(ikikj h)證(応：皿心)=(寫艄竄：=(i1i/ ikik 1ik 2 imi m 1.Ln)i2i i1i k 2ik 3 5 1im 1- - i n (ii.i (i j . . j (帀2 ikik 1ik 2 im im 1. in、(屮2 iJk 1 imim1 in、乂 (ik 1ik 2 im ) (i1i2呱丿=(帀2ik 2i k 3ik dm 1 in 丿(i2i3i/k 廠仏廠 丿i i i iii ii=(爲(wèi)：工：訂m；n),故皿ik)(ik昇 im) = (i“im)(hi2ik) (2)(応 ik)(ikikijn (i

9、1),故(応ik)S(ikikh).i1i2 ikik j1i 2 imim 1 in)(i 1 i2 ikik 2i k y i k 1im 1 in )3.證明一個(gè)證設(shè)二2JtK 一循環(huán)置換的階是K.=(訃2iQ = (；：；：).i,)i i2 k 二kJt :設(shè)h k,if i k、二(ik Jf：) 乂)那么=(：二%)珂1)5. 證明Sn的每一個(gè)元都可以寫成 (12),(13),，(1n)這n-1個(gè)2循環(huán)置換 中的若干個(gè)乘積。證 根據(jù)2.6.定理2。 Sn的每一個(gè)元都可以寫成若干不相干循環(huán)置換的乘積而我們又能證明1i2 Ik) =(l1l2)(l1l3)(|山)同時(shí)有(id) =(

10、1i1)(1ii)(1i1),這樣就得到所要證明的結(jié)論。則二2二住加i3 i11,if - ik二乂 ikk _1)7循環(huán)群1. 證明一個(gè)循環(huán)群一定是交換群。證 G (a) am , an Gm n mF n m n m貝 U a a a a a a2. 假設(shè)群的元a的階是n,證明ar的階是-這里d =(r, n)是r和n的最大公因子d證 因?yàn)椋╮,n ）=d 所以 r=dn，n= dg,而= 13假設(shè)a生成一個(gè)階n是的循環(huán)群G。證明a也生成G，假如(r, n) = 1(這就是說r和n互素)證a生成一個(gè)階n是的循環(huán)群G，可得生成元a的階是n,這樣利用上題即得所證,或者，由于(r,n) =1有s

11、r tn =1a =asr tn =asratn =(ar)n 即 a (ar)故(a) =(a)r4假定G是循環(huán)群，并且 G與G同態(tài)，證明G也是循環(huán)群。證有2。4。定理1知G也是群，設(shè) G 且(a a ( 是同態(tài)滿射)b G則存在b G使(b) b b = ak因而G s Gkk故(ak) =ka即(b) = a因而b = a 即？= (?)5 假設(shè)G是無限階的循環(huán)群，G是任何循環(huán)群，證明G與G同態(tài)。證i)設(shè)G是無限階的循環(huán)群，-_TG =(a)sG 二辺 令(a ) = a且(as a ) =a 二 a a = :(as) (a )所以G s Gii)設(shè)G = (a)而a的階是n。_ki令

12、-：ahl a當(dāng)且只當(dāng) hi 二 nq ki,0乞K n易知匸是G到G的一個(gè)滿射1_kiah2 ； ah2 二 nq2 k20 乞 k2 n設(shè) & k2 = nq 卜則qh1 k = n 盹)卜卜二 n(q q? q) k那么 ah1ah2 a a=a = a二 a aG s G8子群1 找出S3的所有子群證 S3= (1),(12),(13),(23),(123),(132)的子群一定包含單位元(1)。i) S3本身及只有單位元(1)都是子群ii) 包含(1)和一個(gè)2 一循環(huán)的集合一定是子群因(1)(ij)二(ij),(ij)2二H2=(1),(12), H3 =(1),(13), H4=(

13、1),(23)亦為三個(gè)子群iii)包含(1)及兩個(gè)3循環(huán)置換的集合是一個(gè)子群(ijk)(ijk) , (ijk)(ikj)=(1)出=(1),(123),(132)是子群，S 有以上 6 個(gè)子群,今證只有這6個(gè)子群，iv)包含(1)及兩個(gè)或三個(gè)2循環(huán)置換的集合不是子群因(ij )(ik) = (ijk )不屬于此集合V )若一集合中3 循環(huán)置換只有一個(gè)出現(xiàn)一定不是子群因(ijk)(ikj)Vi)一個(gè)集合若出現(xiàn)兩個(gè) 3循環(huán)置換及一個(gè)2循環(huán)置換不是子群因(ij )(ijk) =(ik)誠)3循環(huán)置換及2循環(huán)置換都只有兩個(gè)出現(xiàn)的集合不是子群因若(ij),(ik)出現(xiàn) 則(ij)(ijkO =(jk)

14、故S有且只有6個(gè)子群。2證明；群G的兩個(gè)子群的交集也是 G的子群。證HH2是G的兩個(gè)子群，H =比 H2H顯然非空a,bH 則a,bH, 同時(shí)a,bH21 1因Hi,H2是子群，故ab = Hi，同時(shí)ab = H2 所以 abJ H1 H2 二 H故H是G的子群3 取S的子集S =(12),(123) , S生成的子群包含哪些個(gè)元？ 一個(gè)群的兩個(gè)不同的子 集不會(huì)生成相同的子群？證(12)2 二 S(123)2 =(132) S(12)(123) =(13) S(12)(132)= (23) S 從而 S 二群的兩個(gè)不同的子集會(huì)生成相同的子群S 二(123) S 生成的子群為 (1),(123)

15、,(132)S2 =(132)S 生成的子群為 (1),(123),(132)4 證明，循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。證G= ( a )是循環(huán)群，H是G的子群設(shè) ak H，而 O h k 時(shí) ak H。任意 b H 則 b G 因而 b 二 am m二 kq，r O_rkm kq T kq ra a a akq因am H , a 二(ak)q所以H二(ak)是循環(huán)群.5. 找出模12的剩余類加群的所有子群證剩余類加群是循環(huán)群故其子群是循環(huán)群G=0,1,11(i ) (1) =(5) =(7) =(11) =G(丘)H(0)(說)()=(【10)即 H 0,2,4,6,8,10(卜)(3)=(9)即出

16、二0,3,69(v ) (4) =(8)即 H4 二0,4,8(vi) (6)即 H0,6有且只有以上6個(gè)子群6. 假定H是群G的一個(gè)非空子集，并且H的每一個(gè)元的階都有限，證明，H作成子群的充要條件：a,b H推出abH證必要性顯然充分性a,bH推出abH ,(*)所以只證a，H推出即可.a H , a的階有限設(shè)為mam=e 即 aam e所以aA-amJ由(*)可知am二H ,因而a J H這樣H作成G的子群.9子群的陪群1. 證明階是素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群證：設(shè)群G的階是素?cái)?shù)P,則可找到a G而a = e,則a的階p ,根據(jù)2.9.定理3知n p,但P是素?cái)?shù)，故 ,n = p那么aa1, a

17、2ap 4是G的P個(gè)不同元，所以恰是P的不同元，故n = p .2. 證明階是pm的群(p是素?cái)?shù))一定包含一個(gè)階是 p的子群.證：設(shè)階是pm的群為G , m是正整數(shù)，可取a G ,而a e,pn_1根據(jù)2.9.定理3, a的階是pn而nm,進(jìn)一步可得ap的階為p .nH =(ap )是階為p的G的子群.3. 假定a和b是一個(gè)群G的兩個(gè)元，并且ab二ba，又假定a的階是m ,b的階n是并且(mn) =1.證明：ab的階是mn證 am =e,bn 二 e. (ab)m = amnbm = e.設(shè)(ab)，=e.mrmr mrmr貝U (ab) a b b e二 n|mr,(m, n) =1故 n|

18、r.(ab)nr =anrbnr =e= m|n r ,(m ,n)=1故 m|r 又(m,n) =1二 mqra,x,x 來因此ab的階是mn.4. 假定是一個(gè)群G的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并且對(duì)于G的任意三個(gè)元說,ax ax = x x證明與G的單位元e等價(jià)的元所作成的集合為H證 由于是等價(jià)關(guān)系，故有ee即e H.a,b,H ,則a e, b e1 1因而 ae aa , be bb由題設(shè)可得ea,eb由對(duì)稱律及推移律得 b J a J再由題設(shè)得abe即abJ H這就證明了 H是G的一個(gè)子群.5. 我們直接下右陪集 Ha的定義如下：Ha剛好包含G的可以寫成ha (h H)G的每一個(gè)元屬于而且只

19、屬于一個(gè)右陪集. 證任取a G則a = ea Ha這就是說，G的每一個(gè)元的確屬于一個(gè)右陪集若 x Ha,x Hb 則 x = h!a,x=h2b.貝U ha =町6因而 a =h/h2b,b nhzha-14= ha 二 hh h2b,hb 二 hh2 ha=Ha Hb, Hb Ha 故 Ha=Hb這就證明了，G的每一個(gè)元只屬于一個(gè)右陪集.6. 若我們把同構(gòu)的群看成是一樣的，一共只存在兩個(gè)階是 4的群，它們都是交換群.證設(shè)G是階為4的群.那么G的元的階只能是1,2,4.1若G有一個(gè)元的階為4，則G為循環(huán)群；若G有一個(gè)元的階為2,則除單位元外，其他二元的階亦均未 2.就同構(gòu)的觀點(diǎn)看階為 4的群，

20、只有兩個(gè)；由下表看出這樣的群的確存在.循環(huán)群01230012311230223 0133012非循環(huán)群eabceeabcaaecbbbceaccbae循環(huán)群是交換群，由乘法表看出是交換群10不變子群、商群1. 假定群G的不變子群N的階是2，證明,G的中心包含N .證設(shè) N 二e,nN是不變子群，對(duì)于任意a G有ana N若 an a =e 則 an = a ， n=e 矛盾 ana= n 貝U an = na即n是中心元又 e是中心元顯然.故G的中心包含N.2. 證明，兩個(gè)不變子群的交集還是不變子群令證NN2 ,則N是G的子群.n N = n N,及n N2, ana1 N,ana N2二 a

21、na N 故N是不變子群.3. 證明：指數(shù)是2的子群一定是不變子群.證設(shè)群H的指數(shù)是2則H的右陪集為He, HaH的左陪集為eH,aHHe =eH由 He Ha =eH aH 易知 Ha =aH因此不論x是否屬于H均有Hx = xH4. 假定H是G的子群,N是G的不變子群，證明HN是G的子群。證任取 hnHN, h2n2 HN（訕）（呦2）= hm）壓 *（h2（hn） =n e Nh =h N（hn宀 hn HN.至于HN非空是顯然的!HN是G的子群.5.列舉證明,G的不變子群N的不變子群1未必是G的不變子群（取G=!）證取G = S4,N1 , 12 34,13 24, 14 23 /M

22、二 U ,14 23 】易知N是G的子群，汕是N的子群我們說碼是if 的不變子群.,，這是因?yàn)? !.卩123431 2 3 4Ji 2此即說明細(xì)3 N,aG,n N.因?yàn)镹是階為4的群，所以為交換群i44，故其子群Ni是不變子群.但Ni卻不是G的不變子群，原因是：341-14 23 3 13 24 入-4 J6. 一個(gè)群G的可以寫成a b ab!形式的元叫做換位子證明：i）所有的有限個(gè)換位子的乘積作成的集合C是G的一個(gè)不變子群；ii）G/C是交換群;iii）若N是G的一個(gè)不變子群，并且G/N是交換群，那么N二C證i）e顯然是有限個(gè)換位子的乘積；1 1e=e e ee故e C（有限個(gè)換位子的乘

23、積廠（有限個(gè)換位子的乘積）=有限個(gè)換位子的乘積，故C對(duì)G的乘法是閉的.由于ab4a ba4ba1是換位子，故（有限個(gè)換位子的乘積）的逆仍為（有限個(gè) 換位子的乘積）即有c，二C，故C是子群；c C, g C由 gcgJ C 有 gcg JcJ c C即gcg J C 所以c是不變子群.(ii) x、y G c C1 1x y xy =c 就有 xy 二 yxc故 xy yxC 1因而 xyC = yxC即(xC)(yC) =(yC)(xC)所以G N是交換子群；(iii) 因G/N是交換子群就有(xN)(yN) =(yN)(xN)(xy)N = (yx) Nxy yxNxy = yxn n N1 1因此 x y xy N又由于N是子群,所以N包含有限個(gè)換位子的乘積，即 N 二 C .11同態(tài)與不變子群1. 我們看一個(gè)集合A到集合A的滿射 ,證明，若S是S的逆象，S 定是S的象;但若S的S的象，s不 1定是 S的逆象證i )在 之下的象一定是S;若有S的元s在 之下的象s- S,則s有兩個(gè)不同的象，故矛盾又S的逆象是S兩者合起來，即得所證ii )設(shè) A 二1,2,3,4,5,6， A 二1,21 12 2