第十五章拉格朗日方程

1、第一節(jié)第一節(jié) 動(dòng)力性普遍方程動(dòng)力性普遍方程第二節(jié)第二節(jié) 拉格朗日方程拉格朗日方程本章重點(diǎn)：動(dòng)力學(xué)普遍方程的應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程的應(yīng)用。拉格朗日函數(shù)的計(jì)算。拉格朗日函數(shù)的計(jì)算。拉格朗日方程的應(yīng)用拉格朗日方程的應(yīng)用。第十四章第十四章 拉格朗日方程拉格朗日方程 達(dá)朗伯原理+虛位移原理=動(dòng)力學(xué)普遍方程 第一節(jié)第一節(jié) 動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程一運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)系，其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速度為ai，質(zhì)量為mi，根據(jù)達(dá)朗伯原理，在每一瞬時(shí)作用在該質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力Fi，約束力FNi以及慣性力FIi= -mai組成平衡力系，即Fi + FNi+ (m ai) = 0 (i=1，2，n) 0)(1iiiniiamrF0)

2、()()(1niiiiiziiiiyiiiixzzmFyymFxxmF 應(yīng)用虛位移原理，給質(zhì)點(diǎn)系任一組虛位移dri (i=1，2，n) 0)(1NiiiniiiamrFF假定質(zhì)點(diǎn)系所受的約束是理想約束，動(dòng)力學(xué)普遍方程 為：例例14-1 調(diào)速器以勻角速度w繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛性系數(shù)為k簧無(wú)伸縮。上臂的懸掛軸與轉(zhuǎn)動(dòng)軸相距為e。已知飛球的彈簧被固定在調(diào)速器上臂的A，B兩點(diǎn)，當(dāng)=0時(shí)彈C，D質(zhì)量均為m1,套筒質(zhì)量為m2，各臂長(zhǎng)均為l，其自重不計(jì)。試求角速度w與張角之間的關(guān)系。21II)sin(lemFFDC0)()(21IIEBADCDDCCygmxxFyygmxFxF解：解： 取系統(tǒng)為研究對(duì)象。由動(dòng)力學(xué)

3、普遍方程式得系統(tǒng)的自由度為1，取 為廣義坐標(biāo)-2-2g1ICID1gg2Ecos2lyE-2-2g1ICID1gg2Ecos2lxxBA)sin(lexCcoslyCsinlexDcoslyD)sin2(lexAsin2lexBcoslxxDCsin2lyEsinlyyDCsinklF 0cossinsin)( 2cos)sin(222121klglmmllem0tan)sin(2cos)(21212lemklgmm求得-2-2g1ICID1gg2E將各變分代入動(dòng)力學(xué)普遍方程彈性力 例例14-2 兩個(gè)半徑均為r的均質(zhì)圓輪，中心用連桿相連，為m1，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J，連桿質(zhì)量為m2，求連桿運(yùn)

4、動(dòng)的在傾角為的斜面上作純滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)輪子質(zhì)量皆加速度。g1g2I1g1I2I1IIrJaJM/I0sin)2(2)2(21I2I1IsgmmMsFF0sing)2(2)2(21221smmsrJsammgJrmmrmma2)2(sin)2(221221 解解 取剛體系統(tǒng)為研究對(duì)象， amF22I；amF11I，系統(tǒng)自由度為1 ，沿斜面取廣義坐標(biāo)，給ds注意到 rs /，所以上式可寫成解得 s由動(dòng)力學(xué)普遍方程式得aear例例14-3 三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面運(yùn)動(dòng)， A和B的質(zhì)量 解解: 取系統(tǒng)為研究對(duì)象。 各為mA與mB，斜面的角度為f，摩擦略去不計(jì)。試求三棱柱B的加速度。分析運(yùn)動(dòng)，加

5、慣性力系統(tǒng)自由度為2 ，取廣義坐標(biāo)x、s，xsBBBamFIBAeAAamamFeIrrIamFAA gIIgIggIIIggIIIgIIgIggIIIggIII0cosrIeIIBABABBxFxFxF0cosrABABBamamam0, 0ABsx0sincosIIAAAeAArAsgmsFsF0sincosgmamamABArA)sin( 2sin22BAABmmgma0, 0BAxs令再令由動(dòng)力學(xué)普遍方程式得由動(dòng)力學(xué)普遍方程式得解得 第二節(jié)第二節(jié) 拉格朗日方程拉格朗日方程0)(1iiiniimrF), 2 , 1(1niqqNjjjiirr動(dòng)力學(xué)普遍方程 ), 2 , 1(),(21n

6、iqqqtNii rr), 2 , 1(0111NjqqmqnijNjjiiNjjiiirarF), 2 , 1(0)(111NjqqmqjNjjiniiijiniirarF代入動(dòng)力學(xué)普遍方程式得交換上式的求和順序，), 2 , 1(0)(111NjqqmqjNjjiniiijiniirarF廣義主動(dòng)力廣義主動(dòng)力 nijiijQqF1rFjiniiijqmFra )(1IjjjiniiijqEqEtqmFkk1Iddra廣義慣性力廣義慣性力將廣義慣性力轉(zhuǎn)化為用動(dòng)能表示NjjjjjQqqEqEtF1kk0dd), 2 , 1(ddkkNjFqEqEtjQjj由虛位移的獨(dú)立性，可得 拉格朗日方程拉

7、格朗日方程，一組廣義坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程，簡(jiǎn)稱拉氏方程拉氏方程。), 2 , 1(pNjqEFjjQ), 2 , 1(ddkkNjqEqEqEtjPjjpkEEL對(duì)于保守系統(tǒng) 拉氏方程可改寫為 將動(dòng)能Ek與勢(shì)能Ep之差用拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L L表示，即令0/pjqE), 2 , 1(0)( )(ddpkpkNjqEEqEEtjj), 2 , 1(0ddNjqLqLtjj因勢(shì)能只是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，不含廣義速度，即拉氏方程可表為 質(zhì)點(diǎn)系所受的力是有勢(shì)力時(shí)的拉格朗日方程質(zhì)點(diǎn)系所受的力是有勢(shì)力時(shí)的拉格朗日方程： 解題步驟：解題步驟：1.判別系統(tǒng)的自由度，選取廣義坐標(biāo)。判別系統(tǒng)的自由度，選

8、取廣義坐標(biāo)。2.將動(dòng)能表為廣義速度、廣義坐標(biāo)的函數(shù)。將動(dòng)能表為廣義速度、廣義坐標(biāo)的函數(shù)。3.對(duì)于保守系統(tǒng)，將勢(shì)能表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，計(jì)算對(duì)于保守系統(tǒng)，將勢(shì)能表為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，計(jì)算拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L L 。對(duì)于一般系統(tǒng)，計(jì)算廣義力。對(duì)于一般系統(tǒng)，計(jì)算廣義力。4.求導(dǎo)數(shù)。計(jì)算求導(dǎo)數(shù)。計(jì)算jqEkjqEkjqEtkdd， ，jqLjqLjqLtdd， ，5.建立建立拉格朗日方程拉格朗日方程OMArR為m2，半徑為r的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半為R的固定大齒輪純例例14-4 在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。均質(zhì)系桿OA的質(zhì)量為m1，它可繞端點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端裝有質(zhì)量滾動(dòng)。當(dāng)系桿受力偶M的作用

9、時(shí)，求系桿的角加速度。 解解: 機(jī)構(gòu)具有一個(gè)自由度，選系桿的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。2222222)(2121)(21rrRrmrRmOMArR系統(tǒng)的動(dòng)能 221k)(92(61rRmmE 221k)(92(61ddrRmmEt0kE)2121(2122220kAAAJvmJE221)(3121rRm2221)(92(121rRmm廣義力MMWFFQ OMArRQFEEtkkddMrRmm 221)(92(61221)(92(6rRmmM 代入拉氏方程 解得： 統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。例例14-5 橢圓擺由物塊和擺錘用直桿鉸連而成，物塊可沿光滑水平面滑動(dòng)，擺桿可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。設(shè)物塊和擺錘的質(zhì)量分別為m1，

10、m2；擺桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量不計(jì)。試建立系解解 ： 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，以x和f為廣義坐標(biāo)，OxyfABsinlyBsinlxxBcoslyBcoslxxBxxA系統(tǒng)的動(dòng)能cos21)(212222221x lmlmxmmOxyfAB)(2222221kBBAyxmxmE22221)sin()cos(22llxmxm以A塊質(zhì)心所在水平面為勢(shì)能零位置，系統(tǒng)的勢(shì)能為 cos22pglmgymEB拉格朗日函數(shù) coscos21)(2122222221glmx lmlmxmmL代入拉氏方程，OxyfAB00cos)(dd2121lmxmmt0 xLcos)(2121lmxmmxL0sincos)(222121 lmlmxmm0)(dd11xLxLt0sinsin)cos(dd22222glmx lmx lmlmtcos222x lmlmLsinsin22glmx lmL0sinsincos221222glmx lmx lmlm OxyfAB代入拉氏方程，0)(ddLLt小小 結(jié)結(jié)0)(