理論力學-3-力系的平衡

1、理論力學課堂教學軟件（3）Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology第一篇第一篇 靜力學靜力學第第3章章 力系的平衡力系的平衡 第一篇第一篇 靜力學靜力學 3.1 3.1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 3.1 3.1 平衡

2、與平衡條件平衡與平衡條件 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 平衡：平衡：物體相對慣性參考系物體相對慣性參考系靜止靜止或作或作等速直線等速直線運動的狀運動的狀態(tài)。態(tài)。平衡是運動的一種特殊情形。平衡是運動的一種特殊情形。平衡是相對于確定的參考系而言的平衡是相對于確定的參考系而言的。剛體系統(tǒng)：剛體系統(tǒng)：由若干個剛體組成的系統(tǒng)。由若干個剛體組成的系統(tǒng)。 3.1 3.1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 慣性參考系：慣性參考系：固聯(lián)地球上的參考系。固聯(lián)地球上的參考系。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。 平衡方程的概念平衡方程的概念 力系的平衡

3、力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡剛體和剛體系統(tǒng)平衡的充要條件。“力系平衡力系平衡”條件：條件：力系的力系的主矢主矢和力系和力系對任對任一點一點的的主矩主矩都等于零。都等于零。 3.1 3.1 平衡與平衡條件平衡與平衡條件 力系的平衡：力系的平衡：對剛體不產生任何作用效應的力系。對剛體不產生任何作用效應的力系。R10FFnii 10FnOOiiMM 平衡方程的充要條件平衡方程的充要條件 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 3.2 3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程 平衡方程的一般形式平衡方程的一般形式 空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 ,R21On

4、MFFFF0M0FOR,平衡平衡空間任意力系簡化空間任意力系簡化0000RzyxFFFF0)(0)(0)(0FFFMzyxOMMM空間任意力系空間任意力系平衡的充分必要條件：平衡的充分必要條件：即：即：力系中各力在三個坐標軸上投影的代數和等于零，且力系中各力在三個坐標軸上投影的代數和等于零，且各力對三個軸的矩的代數和也等于零。各力對三個軸的矩的代數和也等于零。上述上述6 6個平衡方程都是互相獨立的。個平衡方程都是互相獨立的。 平衡方程的一般形式平衡方程的一般形式 按力的作用線分布：按力的作用線分布：平面力系平面力系和和空間力系空間力系；按力的作用線關系：按力的作用線關系：匯交力系匯交力系、平行

5、力系平行力系和和任意力系任意力系。力系的分類力系的分類 空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 空間匯交力系：空間匯交力系：所有力的作所有力的作用線都相交于一點的力系。用線都相交于一點的力系。如果三個力的投影方程滿足如果三個力的投影方程滿足 空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 那么三個力矩方程便自然滿足，那么三個力矩方程便自然滿足，因此平衡方程僅為上述三個。因此平衡方程僅為上述三個。 000zyxFFF空間力偶系：空間力偶系：力偶作用面位于力偶作用面位于不同平面的力偶系。不同平面的力偶系。平衡方程中的三個力的投影式平衡方程中的三個力的投影式自然滿足，其平衡方程為：自然滿足，其平衡方程為： 空間

6、力系的特殊情形空間力系的特殊情形 0)(0)(0)(FFFzyxMMM空間平行力系：空間平行力系：所有力的作用線所有力的作用線相互平行的力系。相互平行的力系。自然滿足。于是自然滿足。于是, ,平衡方程為：平衡方程為： 0FzM0zF 00FFxyMM00yxFF,若坐標系的軸與各力平行，則若坐標系的軸與各力平行，則6 6個平衡方程中個平衡方程中 空間力系的特殊情形空間力系的特殊情形 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 平面力系平衡方程的

7、其他形式平面力系平衡方程的其他形式 平面力系：平面力系：所有力的作用線所有力的作用線都位于同一平面的力系。都位于同一平面的力系。自然滿足，且自然滿足，且0zF 00FFxyMM0FzM0FOMyxzO 平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 F1F2FnM 于是，平面力系平衡于是，平面力系平衡方程的一般形式為：方程的一般形式為： 其中矩心其中矩心O為力系作用面為力系作用面內的任意點。內的任意點。 yxzO 000FoyxMFF上述方程是三個獨立方程，最多只能解三個未知力，稱上述方程是三個獨立方程，最多只能解三個未知力，稱為為“一矩式一矩式”平面力系平衡方程。平面力系平衡方程。 平

8、面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 求解靜力學平衡方程問題的過程與步驟求解靜力學平衡方程問題的過程與步驟:1.1.對象對象2.2.受力受力3.3.方程方程 處理具體問題時的注意點處理具體問題時的注意點主動力主動力約束力約束力解：解：對象：對象：剛架整體剛架整體 受力受力：如圖如圖 方程：方程：求圖示剛架的約束力。求圖示剛架的約束力。APabqAPqFAyFAxMA#, 0, 0qbFqbFFAxAxx#, 0, 0PFPFFAyAyy #2, 02, 0bqbPaMbqbPaMMAAAF例題例題1 1 平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 求圖示梁的支座約束力。

9、求圖示梁的支座約束力。解：解：對象：對象：梁梁 受力：受力：如圖如圖 方程：方程：由（1）（2）解得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx#cos, 0cos, 0qqPFPFFAxAxx 10sin, 0qPFFFBAyy 20sin, 0qbaPaFmMBAF#sinaPbmFAyq#sinabaPmFBq例題例題2 2 平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的一般形式 Fx = 0 , MA = 0 , MB = 0 。 A、B 連線不垂直于連線不垂直于x 軸軸滿足第二式？滿足第二式？滿足第三式？滿足第三式？滿足第一式？滿足第一式？BAxFR“二矩式二矩式”BAFRBFRAF

10、RBAxFR 平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的其他形式 MA = 0， MB = 0 , MC = 0。A、B、C 三點不三點不在同一條直線上在同一條直線上CBACFR“三矩式三矩式” 3.3 3.3 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 滿足第一式？滿足第一式？滿足第二式？滿足第二式？滿足第三式？滿足第三式？BFRAFRBAFRCBAFR采用采用“平面平衡方程平面平衡方程”求解平衡問題時的注意事項求解平衡問題時的注意事項:處理具體問題時的注意點處理具體問題時的注意點 三組方程：三組方程：“一矩式一矩式”、 “二矩式二矩式”、 “三矩三矩式式” 。 根據具體問題，選擇其中的一種形式

11、，列三個平衡根據具體問題，選擇其中的一種形式，列三個平衡方程，求解三個未知力。方程，求解三個未知力。 不存在第四個方程，它是不獨立的，是前三個的線不存在第四個方程，它是不獨立的，是前三個的線性組合。性組合。 盡可能地使每一個方程只含有一個未知力，避免聯(lián)盡可能地使每一個方程只含有一個未知力，避免聯(lián)立求解，便于計算。立求解，便于計算。 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 圖示結構中，圖示結構中，A、B、C三處均為鉸鏈約束。橫桿三處均為鉸鏈約束。橫桿AD在在D處承受處承受集中載荷集中載荷FP，結構各部分尺寸均示于圖中，已知，結構各部分尺寸均示于圖中，已知F

12、P和和l。試求。試求A、C處約束力。處約束力。FP 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：如圖如圖FAyFAxFPFCB 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 方程：方程： 02, 0lFdFMpCBAF 0, 0lFlFMpAyBF0cos, 0CBAxxFFF#22pCBFF#pAyFF#222pCBAxFFF 02, 0lFlFMpAxcF#2pAxFF三矩式？三矩式？ 例題例題3 3 平面剛架的所有外力的作用平面剛架的所有外力的作用線都位于剛架平面內。線都位于剛架平面內。A處為處為固定端約束。若圖中固定端約束。若圖中q、FP、M

13、、l等均為已知。等均為已知。試試求：求：A處的約束力。處的約束力。 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 解：解：對象：對象：平面剛架平面剛架 受力：受力：如圖如圖FAyMAqFAx 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 方程：方程： , 023, 0lqllFMMMpAAF#232qllFMMpA, 0, 0qlFFAxx#qlFAx, 0, 0pAyyFFF#pAyFF驗證所得結果的正確性的方法驗證所得結果的正確性的方法可以將作用在平衡對象上的所有力對平面內可以將作用在平衡對象上的所有力對平面內任意點（包括剛架上的點和剛架外的點）取任意點（包括剛架上的點和剛架外的點）取矩。

14、若這些力矩的代數和為零，則表示所得矩。若這些力矩的代數和為零，則表示所得結果是正確的，否則就是不正確的。結果是正確的，否則就是不正確的。 例題例題4 4 已知：已知：塔式起重機塔式起重機FP=700kN, ,W=200kN ( (最大起重量最大起重量) )，尺寸如圖。，尺寸如圖。求：求：1.保證滿載和空載時不致翻倒，平衡塊保證滿載和空載時不致翻倒，平衡塊FQ=？2.當當FQ=180kN時，時，求滿載時軌道求滿載時軌道A、B給起重機輪子的約束力？給起重機輪子的約束力？ 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 FQFPAB0AFkN 75QF限制條件：限制條件：解：解：1.求平衡塊求平衡塊（

15、2）空載時）空載時（W=0）0)(FAM0) 22(2) 26(BPQFFF限制條件為：限制條件為：0BF解得：解得：kN 350QF因此保證空、滿載均不倒，因此保證空、滿載均不倒，FQ應滿足如下關系：應滿足如下關系：kN 350kN 75Q F解得：解得： 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 0FBM021222226QWFFFPAFQFPAB（1）滿載時滿載時FAFB對象：對象：整個塔吊；整個塔吊；受力：受力：如圖；如圖；0) 212(42) 26 (PQWFFFB0)(FAM0PQWFFFFBA2.求當求當FQ=180kN，滿載，滿載W=200kN時，時，FA ,FB為多少為多

16、少解得：解得： 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 0yFFQFPABFAFB由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： kN210AFkN870BFzxyOCABD4530W AB、AC、AD三桿由活動三桿由活動鉸連接于鉸連接于A處，處，B、C、D均為均為固定球鉸支座。在固定球鉸支座。在A處懸掛重處懸掛重物，重物的重量物，重物的重量W W為已知。為已知。試求：試求：三桿的受力。三桿的受力。6045 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 zxyOCABD4530W6045受力：受力：如圖如圖方程：方程： 1045cos60sin, 0ADABxFFF 206

17、0cos, 0WFFADy 3045cos60sin, 0ADACzFFFzABFADFACF(1)(2)(3)(1)(2)(3)聯(lián)立，得到聯(lián)立，得到#2WFAD#26WFAC#26WFAB 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 解：解：對象：對象：A鉸鉸 水力渦輪發(fā)電機的主軸。水力推動渦水力渦輪發(fā)電機的主軸。水力推動渦輪轉動的力偶矩輪轉動的力偶矩Mz=1200 N.m。錐齒輪錐齒輪B處處受到的力分解為三個分力：圓周力受到的力分解為三個分力：圓周力Ft，軸，軸向力向力Fa和徑向力和徑向力Fr。三者大小的比例為。三者大小的比例為Ft : Fa : Fr=1 : 0.32 : 0.17。已

18、知渦輪連同軸和已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為錐齒輪的總重量為W=12kN，其作用線沿，其作用線沿軸軸Cz；錐齒輪的平均半徑；錐齒輪的平均半徑OB=0.6m。試求：試求：止推軸承止推軸承C和軸承和軸承A處的約束力。處的約束力。 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 解：解：對象：對象： “軸錐齒輪渦輪軸錐齒輪渦輪”組成的系統(tǒng)組成的系統(tǒng) 0)(FzM0tzMFOB得到作用在錐齒輪上的圓周力得到作用在錐齒輪上的圓周力 N2000tF受力：受力： 如圖如圖 3.4 3.4 平衡方程的應用平衡方程的應用 方程：方程：再由三個力的數值比，得到再由三個力的數值比，得到 N640aFN340rF最后

19、應用空間力系的平衡方程，可以寫出最后應用空間力系的平衡方程，可以寫出 0zF0aFPFCz 0)(FyMt340AxFF 0)(FxM06 . 043arFFFAy 0yF0rFFFCyAy 0 xF0tFFFCxAx由此解得由此解得 N325AyFN7 .14CyFkN67. 2AxF667NCxF kN6 .12CzF 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 靜定問題：靜定問題：平衡問題中，未知力的個數正好等于獨立平平衡問題中，未知力的個數正好等于獨立平衡方程的數目。相應的結構稱為衡方程的數目。相應的結構稱為靜定結構靜定結構。 工程上

20、，為了提高結構的強度和剛度，或者為了滿工程上，為了提高結構的強度和剛度，或者為了滿足其他工程要求，常常在靜定結構上再附加一個或幾個足其他工程要求，常常在靜定結構上再附加一個或幾個約束。約束。 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 靜不定問題靜不定問題（超靜定問題）：（超靜定問題）：平衡問題中，未知約束力平衡問題中，未知約束力的個數大于獨立平衡方程的數目。這類問題稱為或相應的個數大于獨立平衡方程的數目。這類問題稱為或相應的結構稱為的結構稱為靜不定結構靜不定結構（超靜定結構）（超靜定結構）。 靜不定次數：靜不定次數：靜不定問題中，未知量的個數與獨立的平靜不定問題中，未知量的

21、個數與獨立的平衡方程數目衡方程數目之差。之差。關于靜不定問題的基本解法將在材料力學中介紹。關于靜不定問題的基本解法將在材料力學中介紹。 多余約束：多余約束：與靜不定次數對應的約束，對于結構保持靜與靜不定次數對應的約束，對于結構保持靜定是多余的，因而稱為多余約束。定是多余的，因而稱為多余約束。靜定（未知數三個）靜定（未知數三個）靜不定（未知數四個）靜不定（未知數四個） 3.5 3.5 靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 FAxFAyFB思考題思考題1：下面結構是靜定結構還是靜不定結構呢？下面結構是靜定結構還是靜不定結構呢？BBFAxFAyFAxFAyPPPPFPFPF 3.5 3.5

22、靜定和靜不定問題的概念靜定和靜不定問題的概念 思考題思考題2：判斷各圖的超靜定次數。判斷各圖的超靜定次數。 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 第第3章章 力系的平衡力系的平衡 剛體系統(tǒng)剛體系統(tǒng)（rigid multibody system）：）： 由兩個或兩個以由兩個或兩個以上的剛體所組成的系統(tǒng)。上的剛體所組成的系統(tǒng)。剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：僅僅考察系統(tǒng)的僅僅考察系統(tǒng)的整體整體或某或某個個局部局部（單個剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未（單個剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未知力。知力。 為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概念加為了解決剛體系

23、統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概念加以擴展，即：以擴展，即：當整個系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內每個物體都平當整個系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內每個物體都平衡。衡。 根據這一重要概念，應用平衡方程，即可求解剛體根據這一重要概念，應用平衡方程，即可求解剛體系統(tǒng)的平衡問題。系統(tǒng)的平衡問題。當研究物體系統(tǒng)的平衡時，研究對象當研究物體系統(tǒng)的平衡時，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個物體?？梢允钦w，也可以是局部，也可以是單個物體。 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 例題例題1 1 結構由桿結構由桿AB與與BC在在B處鉸接而成。結構處鉸接而成。結構A處為固定端，處為固定端，C處為處為輥軸支座。結構在輥軸支

24、座。結構在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作處作用有外加力偶，其力偶矩為用有外加力偶，其力偶矩為M。若。若q、l、M等均為已知，試求等均為已知，試求A、C二處的約束力。二處的約束力。 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 Bu u 分析：分析：靜不定問題靜不定問題? ? u 平衡條件！平衡條件！yx建立坐標！建立坐標！ 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：圖圖（a） 方程：方程：（a） , 0 xF#0AxF02, 0RCAyyFlqFF 0422, 0lFMllqMMRCAAF(1)(

25、2)(3) 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 FRCFAxFAyMA對象：對象：桿桿BC受力：受力：圖圖（b）方程：方程：（b） , 022lFMllqMRCBF#24lMqlFRC(4)將（將（4 4）代入（）代入（2 2），得：），得：#247lMqlFAy(5)將（將（4 4）代入（）代入（3 3），得：），得：#32MqlMA(6) 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 , 0 xF#0AxF02, 0RCAyyFlqFF 0422, 0lFMllqMMRCAAF(1)(2)(3)FRCFBxFByB練習練習1 求圖示多跨靜定梁的支座約束力。求圖示多跨靜定梁

26、的支座約束力。FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBqCDCBAD解：解：對象：對象：CD梁 受力：受力：如右圖 方程：方程：對象：對象：整體受力：受力：如右圖方程：方程：#0, 0AxxFF, 04, 0DBAyyFqFFFF132BFFq1122AyFFq , 086442, 0DBAFqFFMF #23, 02333, 0qFqFMDDCF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 CBq22FAD13求圖示結構固定端的約束力。求圖示結構固定端的約束力。CBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx對象：對象：AB梁梁受力：受力：如右圖如右圖方程：方程：解：解：對

27、象：對象：BC梁梁 受力：受力：如右圖如右圖 方程：方程：#, 0, 0bMFFMbFMBCC 10, 0BAxxFFFF#, 0, 0qaFqaFFAyAyy 202, 0aFaqabaFMMBAAFBBFF 將將 代入代入(1)(2)，得到，得到#bMFFAx#AM 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 例題例題2 2例題例題3 3圖示三鉸拱固定鉸支座水平方向有沒有約束力？圖示三鉸拱固定鉸支座水平方向有沒有約束力？解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：如圖如圖 方程：方程：FAxFAyFCxFCy , 0FAM#2, 02PPFPFaFbaPaFbaPcycy , 0FCM

28、#2, 02PPFPFbaPaFbaPaFAyAy解：解：對象：對象：右半拱右半拱 受力：受力：如圖如圖 方程：方程：FBxFByFCxFCy , 0FBM#2, 0PFbaaPFaFaFPbcxcycx, 0 xF 10CxAxFF#2PFbaaPFAx代入（代入（1），得），得 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 aa2a2aPbbPPPP圖示結構，試求鉛直桿圖示結構，試求鉛直桿AO上的鉸鏈上的鉸鏈A、C和和O所受的力。所受的力。受力：受力：如圖如圖方程：方程： , 02, 0)(OyBaFMF#0OyF（1 1） 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 解：解：a

29、aaaF對象：整體對象：整體F解：解：對象：對象：整體整體對象：對象：桿桿CD受力：受力：如圖如圖方程：方程：0, 0)(aFFaMCyEF#CyCyFFF（2 2） 0,2, 0)(aFFaMCxOF#2CxCxFFF（3 3） 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 #0OyF（1 1） 解：解：aaaaFO對象：桿對象：桿AO受力：圖（受力：圖（c）方程：方程：02, 0)(CxOxAaFaFMF（4） 0, 0OxCxAxxFFFF（5） 0, 0OyCyAyyFFFF（6） 將（將（3）代入（）代入（4），得：），得： #FFOx（7） 將（將（3）和（）和（7）代入（）代

30、入（5），得：），得： #FFAx（8） 將（將（1）和（）和（2）代入（）代入（6），得：），得： #FFAy（9） 各桿各桿自重不計，自重不計，在在A、E、F、G處均為處均為鉸接，鉸接，B處為光滑接觸。在處為光滑接觸。在C、D兩處分兩處分別作用力別作用力P1和和P2，且，且P1P2500 N。求：求：F處的約束力。處的約束力。2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：如右圖如右圖 方程：方程： NFFPPMBBA1000, 0462, 012F 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 解得：解得：

31、FFxFGyFBFGBFGxFFyFFx對象：對象：桿桿BG受力：受力：如右圖如右圖方程：方程：P1P2ADEFGBCFAxFAyFB #500, 022, 022NPFFPMFyFyEF , 0224, 0FxFyBGFFFMF#1500NFFxP2DEFFEyFFyFEx對象：對象：桿桿DF受力：受力：如右圖如右圖方程：方程： 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 構架在構架在H，G，E處為鉸鏈連接，已知處為鉸鏈連接，已知P和和Q，不計構件自重和摩擦。，不計構件自重和摩擦。試求：試求：固定鉸支座固定鉸支座A和和C的約束力以及桿的約束力以及桿E F上銷釘上銷釘K的約束力。的約束力

32、。 （a）FAxFCxFAyFCyFTFKFHxFHyHKF（b）FKFDyFDxFCxFCyCGK（c）#4)2( 3QPFCy#467QPFAy#2PFK#46QPFCx#42PQFAx0)(FAM0)(FCM0)(FHM0)(FGM0 xF 10CxAxFFQ 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 練習練習2 2 兩根鉛直梁兩根鉛直梁AB、CD與水平梁與水平梁BC鉸接，鉸接，B、C、D均為光滑鉸均為光滑鉸鏈，鏈，A為固定支座，各梁的長度均為為固定支座，各梁的長度均為l2 m2 m，受力情況如圖所示。已，受力情況如圖所示。已知水平力知水平力F6 6kN，M4 4 kNm，q3

33、3 kN/ /m。求固定端。求固定端A及鉸鏈及鉸鏈C的約束力。的約束力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解：解：對象：對象：BC 受力：受力：如右圖如右圖 方程：方程： #2, 0, 0kNlMFlFMMCyCyBF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 FCDFCxFCyFDxFDyABCDF2l/3l/2 Mq0對象：對象：CD受力：受力：如右圖如右圖方程：方程： #432, 032, 0kNFFlFlFMCxCxDF #6, 0321, 00mkNMlFlFllqMMMACxCyAAF#1, 021, 00kNFFlqFFAxCxAxx對象：對象

34、：ABC受力：受力：如右圖如右圖方程：方程：Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA#2, 0, 0kNFFFFFCyAyCyAyy 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 三無重桿三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接，如圖鉸接，B處處為光滑接觸，為光滑接觸，ABCD為正方形，在為正方形，在CD桿距桿距C三分之一處作用一垂直力三分之一處作用一垂直力P。求：求：鉸鏈鉸鏈 E處的約束力。處的約束力。PlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFB0, 0AxxFFPFPFFFAyBAyy31, 0, 0 PFlPlFMBBA32, 032, 0F解：解：對象：對象：整體整體 受力：受力：

35、如右圖如右圖 方程：方程： 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 方法方法1 1：分別以分別以BD和和AC為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。用用FE1、FE2表示的約束力和用表示的約束力和用FEx、FEy表表示的約束反力本質上是同一個力。示的約束反力本質上是同一個力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB #3222, 022, 022PFFlFlFMBEBEDF #32, 022, 011PFlFlFlFMEEAyAxCF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 下面用不同的方法求鉸鏈下面用不同的方法求鉸鏈 E 的受力。的

36、受力。PDCABEFAxFAyFBEPD2l/3CB方法方法2 2：先以先以DC為研究對象。為研究對象。再以再以BDC為研究對象。為研究對象。類似地，亦可以類似地，亦可以DC為研究對象，求為研究對象，求FDy，再以再以ACD為研究對象求解。為研究對象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy#31, 0, 0PFFFPFFEyBCyEyy #32, 032, 0PFlPlFMCyCyDF #, 0322, 0PFlPlFlFMExEyExCF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 PDCABEFAxFAyFB方法方法3 3：分別以分別以ACD和和AC為

37、研究對象。為研究對象。聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結果。聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結果。類似地，亦可以類似地，亦可以BDC和和BD為研究對象，為研究對象，進行求解。進行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyFExFEyFCxFCy 103222, 0lPlFlFlFMEyExAxDF 2022, 0lFlFlFlFMEyExAyAxCF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 ABCD練習練習3 3 三根等長同重均質桿三根等長同重均質桿( (重重W) )如圖在鉛垂面內如圖在鉛垂面內以鉸鏈和繩以鉸鏈和繩EF構成正方形。已知：構成正方形。已知：E、F

38、是是AB、BC中點，中點，AB水平，求繩水平，求繩EF的拉力。的拉力。解法解法1 1：取取AB分析，受力如圖。不妨設桿長為分析，受力如圖。不妨設桿長為l。再以整體為研究對象，受力如圖。再以整體為研究對象，受力如圖。ABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy 1045sin22, 0lFlWlFMTAyBF 203, 0WFFFDyAyy 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 最后以最后以DC為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)得：得：42TFWFCyFCxDCFDxFDyW 302, 0l

39、WlFMDyCF聯(lián)立求解聯(lián)立求解(4)(4)、(5)(5)、(6)(6)即可的同樣結果。即可的同樣結果。最后以整體為研究對象，受力如圖。最后以整體為研究對象，受力如圖。ABCDWWWFAxFAyFDxFDy解法解法2 2：先以先以BC為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。再以再以DC為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。FCxFCyFBxFByBCWFTFCyFCxDCFDxFDyW 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 40245sin, 0lFlFMTCxBF 50, 0CxDxxFFF 6022, 0WllWlFMDxAFABEDax1234EACBD練習練習4

40、4 編號為編號為1 1、2 2、3 3、4 4的四根桿件組成平面結構，的四根桿件組成平面結構，其中其中A、C、E為光滑鉸鏈，為光滑鉸鏈，B、D為光滑接觸，為光滑接觸，E為為中點，各桿自重不計。在水平桿中點，各桿自重不計。在水平桿 2 2 上作用一鉛垂向上作用一鉛垂向下的力下的力 F，試證明無論力，試證明無論力 F 的位置的位置 x 如何改變，其如何改變，其豎桿豎桿 1 1 總是受到大小等于總是受到大小等于F 的壓力。的壓力。F解：解：本題為求二力桿（桿本題為求二力桿（桿1 1）的內力）的內力FA1或或FC1。為。為此先取桿此先取桿2 2、4 4及銷釘及銷釘A為研究對象，受力如圖。為研究對象，受

41、力如圖。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中上式中FND和和FNB為未知量，必須先求得；為此再為未知量，必須先求得；為此再分別取整體和桿分別取整體和桿2 2為研究對象。為研究對象。FNB 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 ABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整體為研究對象，受力如圖。取整體為研究對象，受力如圖。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平桿取水平桿2為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。NBFxFb代入（代入（a）式得）式得1AFF FA1為負值，

42、說明桿為負值，說明桿1 1受壓，且與受壓，且與x無關。無關。FFNDFCyFCx 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 F2F1ABCD4.54.53422練習練習5 5 構架尺寸如圖所示構架尺寸如圖所示( (尺寸單位為尺寸單位為m) )，不計各桿件自重，載荷，不計各桿件自重，載荷F1=120 kN, F2=75 kN。求。求AC及及CD兩桿所受的力。兩桿所受的力。F2F1ABCFCDFAxFAyFAD解：解：1 1、取三角形、取三角形ABC分析，其中分析，其中A、C處應帶有銷釘：處應帶有銷釘：()0:AMF214327.51240:55CDCDFFFF 43145.83kNCDF

43、 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2 2、取、取BC分析，注意在分析，注意在C處應帶有銷釘。處應帶有銷釘。()0:BMF122444.5990:5124CDCAFFF 179.19 kNCAF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 練習練習6 6 求圖示三鉸剛架的支座約束力。求圖示三鉸剛架的支座約束力。解：解：對象：整體對象：整體 受力：如圖受力：如圖 方程：方程：將將(3)(3)代人代人(2)(2)，得：，得：CBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF 10, 0Bx

44、AxxFFFF 20, 0qaFFFByAyy 3#4321, 0223, 0qaFFaFaqaFaMByByAF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 對象：對象：AC受力：如圖受力：如圖方程：方程：()0:0CAxAyMF aF aF1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF(4)將將FAy代人代人(4)，得，得將FAx代人(1)，得0:0 xAxBxFFFF(1) 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 xyzABCDE3030G均質長方形板均質長方形板ABCDABCD重重G=200NG=200N，用球，用球形鉸鏈

45、形鉸鏈A A和和碟形鉸鏈碟形鉸鏈B B固定在墻上，固定在墻上，并用繩并用繩ECEC維持在水平位置，求繩的維持在水平位置，求繩的拉力和支座的反力。拉力和支座的反力。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ解：解：以板為研究對象，受力如圖，以板為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標。建立如圖所示的坐標。030sin30cos:0TXXFBAx030cos:02TYFAy030sin:0GTZZFBAz 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100030sin:0)(2

46、1ABGABZABTMBxF030sin:0)(21ADTADGMyF0:0)(ABXMBzF 3.6 3.6 剛體系統(tǒng)平衡問題剛體系統(tǒng)平衡問題 初學者常常不習慣根據約束的性質分析約束力，初學者常常不習慣根據約束的性質分析約束力，而是根據不正確的而是根據不正確的直觀直觀判斷確定約束力。判斷確定約束力。 錯在哪里？錯在哪里？ 受力分析的重要性受力分析的重要性 錯在哪里？錯在哪里？ 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程 平面單個剛體的平衡問題計算平面單個剛體的平衡問題計算 平面剛體系統(tǒng)的平衡問題計算平面剛體系統(tǒng)的平衡問題計算本章復習重點本章復習重點本章作業(yè)第第1次次P6869 ：32, 36第第2

47、次次P7072：310，312，315補充習題：補充習題：1，2，3Nanjing University of Technology附錄附錄1 1： 第第3 3章章習題解答習題解答作業(yè)中存在的問題作業(yè)中存在的問題2、受力圖問題。、受力圖問題。1）無受力圖、畫在原圖無受力圖、畫在原圖，受力圖要畫在，受力圖要畫在“分離體分離體”上（原處打上（原處打“？”）。）。2）受力圖）受力圖要完整要完整（畫上所有的力，包括不要求解的力）。（畫上所有的力，包括不要求解的力）。3）受力圖和研究對象要一一對應，不同對象不能畫在一起，要分開）受力圖和研究對象要一一對應，不同對象不能畫在一起，要分開畫。畫。4）分布荷載

48、要）分布荷載要畫在力的作用線上畫在力的作用線上。3、方程問題。、方程問題。1）根據受力圖列方程，對象要明確，）根據受力圖列方程，對象要明確，要讓別人能看懂要讓別人能看懂。2）根據）根據公式公式列方程（一矩式、二矩式、三矩式），要明確寫出來，明列方程（一矩式、二矩式、三矩式），要明確寫出來，明確它們使用條件，每一組確它們使用條件，每一組只有三個獨立方程只有三個獨立方程，代入數據寫出具體表達式。，代入數據寫出具體表達式。3）區(qū)分矢量和標量。區(qū)分矢量和標量。方程是方程是矢量方程矢量方程在各個坐標軸上的在各個坐標軸上的投影方程投影方程，為，為代數量（標量）代數量（標量）。4）列方程要會聯(lián)立，）列方程要

49、會聯(lián)立，不能簡單的寫最后結果不能簡單的寫最后結果。1、對象選擇問題。、對象選擇問題。一定要一定要明確對象明確對象，清楚結構，根據指定的對象、，清楚結構，根據指定的對象、畫對應的受力圖、列對應的方程，要畫對應的受力圖、列對應的方程，要“一一對應一一對應”，讓別人能看明白讓別人能看明白。EDFDDBFF32 圖示為一繩索拔樁裝置。繩索的圖示為一繩索拔樁裝置。繩索的E、C兩點拴在架子上，點兩點拴在架子上，點B與拴在樁與拴在樁A上的繩索上的繩索AB連接，在點連接，在點D加一鉛垂向下的力加一鉛垂向下的力F，AB可視為鉛垂，可視為鉛垂，DB可視可視為水平。已知為水平。已知 = 0.1rad，力，力F =

50、800N。試求繩。試求繩AB中產生的拔樁力（當中產生的拔樁力（當 很很小時，小時，tan ）。）。CBFBDBFABF解：解：對象：對象：D點；受力：如左圖；方程：點；受力：如左圖；方程：, 0yF0sinPFFED, 0 xF0cosDBEDFFP10tanFFFDB3 32 2FP對象：對象：B點；受力：如右圖；方程：點；受力：如右圖；方程：, 0yF0cosABCBFF, 0 xF0sinDBCBFFkN#801 . 010tanPFFFFDBDBAB附錄附錄1 1： 第第3 3章章習題解答習題解答36 梁梁AB用三根桿支承，如圖所示。已知用三根桿支承，如圖所示。已知F1=30kN，F2

51、 = 40kN，M=30kNm, q = 20kN/m，試求三桿的約束力。，試求三桿的約束力。（1）解：解：對象：圖（對象：圖（a）中梁）中梁 受力：如圖所示受力：如圖所示 方程：方程：, 0 xF, 060cos60cos1FFCkN#30CF, 0)(FBM, 035 . 160sin3460sin8821qFFMFFCAkN#22.63AF0)(FAM035 . 660sin5482qFFMFCBkN#74.88BF3 36 6FAFCFB附錄附錄1 1： 第第3 3章章習題解答習題解答310 試求圖示多跨梁的支座約束力。已知：試求圖示多跨梁的支座約束力。已知：（a）M = 8kNm，

52、q = 4kN/m； （注：原題此處（注：原題此處M） （c）FCFBxFBy（d）FAxFAyFCMA3 31010, 0)(FBMkN#18CF, 0)(FAMm#kN16AM, 0yFkN#6AyF, 0 xF#0AxF解：解：對象：對象：BC梁；受力：如（梁；受力：如（c）圖；方程：）圖；方程：對象：整體；受力：如（對象：整體；受力：如（d）圖；方程：）圖；方程：附錄附錄1 1： 第第3 3章章習題解答習題解答310 試求圖示多跨梁的支座約束力。已知：試求圖示多跨梁的支座約束力。已知：（b）M = 40kNm，q = 10kN/m。 （e）FCxFCyFD（f）FAxFAyFDFB3

53、310100)(FCMkN15DF0)(FAMkN40BF0yFkN15AyF0 xF0AxF附錄附錄1 1： 第第3 3章章習題解答習題解答312 圖示為汽車臺秤簡圖，圖示為汽車臺秤簡圖，BCF為整體臺面，杠桿為整體臺面，杠桿AB可繞軸可繞軸O轉動，轉動，B、C、D三處均為鉸鏈。桿三處均為鉸鏈。桿DC處于水平位置。試求平衡時砝碼重處于水平位置。試求平衡時砝碼重W1與汽與汽車重車重W2的關系。的關系。 3 31212 1, 02WFFByy 20, 01aFlWMByO由式（1）、（2），得 #21laWWAOBW1OxFOyFBxFByFCBW2BxFByFCDF附錄附錄1 1： 第第3 3

54、章章習題解答習題解答315 圖示構架中，圖示構架中，由桿由桿AB、CE和和BC在在A、B、C、D、E處鉸接而成。處鉸接而成。物體重物體重1200N，由細繩跨過滑輪，由細繩跨過滑輪E而水平系于墻上，尺寸如圖所示。如不計桿和滑輪的而水平系于墻上，尺寸如圖所示。如不計桿和滑輪的自重，試求支承自重，試求支承A和和B處的約束力，以及桿處的約束力，以及桿BC的的受力受力FBC 。ABCEWBRFAyFAxFTFrD解：解：對象：整體對象：整體 受力：如右圖受力：如右圖 方程：方程：#1200, 0, 0NWFFFFFTAxTAxx #1050, 025 . 14, 0NFrWrFFMRBTRBAF#150, 0, 0NFWFFFAyRBAyy3 31515附錄附錄1 1： 第第3 3章章習題解答習題解答ABCEWBRFAyFAxFTFrDCEWBCFTFDDxFDyF對象：對象：CE桿和滑輪桿和滑輪受力：如右圖受力：如右圖方程：方程： #1500, 05 . 1532, 0NFrWrFFMBCTBCD