材料力學(xué)第九章

1、第第九九章章 組合變形組合變形9-1 9-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理9-2 9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合9-3 9-3 斜彎曲斜彎曲9-4 9-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合目錄9-1 9-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理10-11 組合變形 工程實用工程實用:煙囪，傳動軸，吊車梁的立柱煙囪，傳動軸，吊車梁的立柱煙囪：自重引起軸向煙囪：自重引起軸向壓縮壓縮 + + 水平方向的風(fēng)力而引起水平方向的風(fēng)力而引起彎曲彎曲，傳動軸：在齒輪嚙合力的作用下，發(fā)生彎曲傳動軸：在齒輪嚙合力的作用下，發(fā)生彎曲 + + 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 立柱：荷載不過軸線，為偏心壓縮立柱

2、：荷載不過軸線，為偏心壓縮 = = 軸向壓縮軸向壓縮 + + 純彎曲純彎曲9-1 9-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理 構(gòu)件的構(gòu)件的基本變形形式基本變形形式：拉拉伸伸( (壓壓縮縮) )、剪剪切、切、扭扭轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)和彎彎曲。曲。 構(gòu)件往往同時發(fā)生構(gòu)件往往同時發(fā)生兩種或兩種以上兩種或兩種以上的基本變形，的基本變形，如幾種變形所對應(yīng)的如幾種變形所對應(yīng)的應(yīng)力（或變形）屬同應(yīng)力（或變形）屬同一量一量級級，稱為，稱為組合變形組合變形 重點：斜彎曲重點：斜彎曲, , 拉彎組合拉彎組合, , 彎扭組合彎扭組合9-1 9-1 組合變形和疊加原理組合變形和疊加原理2、組合變形的研究方法、組合變形的研究方法

3、疊加原理疊加原理外力分析：外力分析：外力向形心外力向形心( (或彎心或彎心) )簡化并沿主慣性軸簡化并沿主慣性軸 分解分解內(nèi)力分析：內(nèi)力分析：求每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力求每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險面。圖，確定危險面。畫危險面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險畫危險面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險點的強度條件。點的強度條件。包括：包括： 軸向拉伸軸向拉伸( (壓縮壓縮) )和彎曲和彎曲 偏心拉（壓）偏心拉（壓）, ,截面核心截面核心1. 橫向力與軸向力共同作用 對于對于EI較大的桿，橫向力引起的撓度與橫截面的較大的桿，橫向力引起的撓度與橫截面的尺寸相比很小，因此，尺寸相比很小，因此

4、，由軸向力引起的彎矩可以略由軸向力引起的彎矩可以略去不計去不計。 可可分別計算分別計算由由橫向力橫向力和和軸向力軸向力引起的桿橫截面上引起的桿橫截面上的正應(yīng)力，的正應(yīng)力，按疊加原理按疊加原理求其代數(shù)和，即得在拉伸求其代數(shù)和，即得在拉伸( (壓縮壓縮) )和彎曲組合變形下，桿橫截面上的正應(yīng)力和彎曲組合變形下，桿橫截面上的正應(yīng)力。 9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合圖示矩形截面梁，在其縱對稱面內(nèi)有橫向力圖示矩形截面梁，在其縱對稱面內(nèi)有橫向力F和和軸向拉力軸向拉力Ft共同作用，共同作用，以此說明桿在以此說明桿在拉伸與彎拉伸與彎曲組合變形曲組合變形時的強度計時的強度計算算。9-2 拉

5、伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合FtF2hh2 xyzFt 在拉力在拉力Ft作用下，桿各個橫截面上有作用下，桿各個橫截面上有相同的軸力相同的軸力FN= =Ft , , 拉伸正應(yīng)力拉伸正應(yīng)力 t在在各橫截面上的各點處均相等各橫截面上的各點處均相等 AFFtNtA在橫向力在橫向力F作用下，桿跨中截面上的作用下，桿跨中截面上的彎矩為最大，彎矩為最大，Mmax=Fl/4。跨中截面?？缰薪孛媸菞U的危險截面。該截面上的最大是桿的危險截面。該截面上的最大彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 WFlWM4maxb 按按疊加原理，桿件的最大正應(yīng)力是危疊加原理，桿件的最大正應(yīng)力是危險截面下邊緣各點處的拉應(yīng)力險截面下邊緣

6、各點處的拉應(yīng)力, ,值為值為 t=FAN =bMmaxWmaxM當(dāng)bt9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合tt,maxtbA4FFlW 正應(yīng)力沿截面高度的變化情正應(yīng)力沿截面高度的變化情況還取決于況還取決于 b b、 t t值的相對大值的相對大小?？赡艿姆植歼€有小?？赡艿姆植歼€有： 注意注意:當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時，當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時，桿內(nèi)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力必須分別滿足桿桿內(nèi)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力必須分別滿足桿件的拉、壓強度條件。件的拉、壓強度條件。 危險點處為單軸應(yīng)力狀態(tài)，故可將最大拉應(yīng)力與危險點處為單軸應(yīng)力狀態(tài)，故可將最大拉應(yīng)力與材

7、料的許用應(yīng)材料的許用應(yīng)力相比較，以進行強度計算。力相比較，以進行強度計算。 當(dāng)t=bb當(dāng)t9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合例例1 1 一折桿由兩根無縫鋼管焊接而成，已知兩鋼管一折桿由兩根無縫鋼管焊接而成，已知兩鋼管的外徑均為的外徑均為140mm，壁厚均為，壁厚均為1010mm。試求折桿危。試求折桿危險截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。險截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。 解解：求支反力求支反力, ,由平衡方程由平衡方程kN5, 0BAAFFF 作折桿的受力圖作折桿的受力圖, ,折桿及折桿及受力對稱，只需分析一半受力對稱，只需分析一半即桿即桿AC 將將FA分解分解, , 得桿的得

8、桿的軸力軸力FN、彎矩彎矩M M (x)xxFM(x)FFAyAx)kN4(kN3NAxFFAyABCmmfgFBx10kNBFAFFAABCa1.6m1.6m1.2m10kN9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合 最大彎矩在最大彎矩在 C 處的處的m-m橫截面，橫截面，m-m 截面為截面為危險截面危險截面 mkN8m2maxAyFM 按按疊加原理，最大拉應(yīng)力疊加原理，最大拉應(yīng)力 t和最大壓應(yīng)力和最大壓應(yīng)力 c分分別在桿下邊緣的別在桿下邊緣的 f 點和上邊緣的點和上邊緣的 g 點處，其值點處，其值分別為分別為 WMFANmax, cmax, t根據(jù)已知的截面尺寸根據(jù)已知的截面尺寸

9、 2422m108 .40)(4dDAABCmmfgFBx10kN9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合)(6444dDI36m101242/DIW代入應(yīng)力表達式得代入應(yīng)力表達式得MPa2 .658 .63max, cmax, t9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合2. 2. 偏心拉伸偏心拉伸( (壓縮壓縮) ) 當(dāng)直桿受到與桿的軸線平行當(dāng)直桿受到與桿的軸線平行但不重合但不重合的拉力或的拉力或壓力作用時，即為偏心拉伸或偏心壓縮壓力作用時，即為偏心拉伸或偏心壓縮。 如鉆床的立柱、廠房中支承吊車梁的柱子。如鉆床的立柱、廠房中支承吊車梁的柱子。F1F29-2 拉伸或壓縮

10、與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合 以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受距離截面形以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受距離截面形心為心為 e ( (稱為偏心距稱為偏心距) )的偏心拉力的偏心拉力F為例，來說明為例，來說明. . 將偏心拉力將偏心拉力 F 用用靜力等靜力等效力系效力系來代替。把來代替。把A A點處點處的拉力的拉力F向截面形心向截面形心O1 1點點簡化，簡化，得到軸向拉力得到軸向拉力F和和兩個在縱對稱面內(nèi)的力兩個在縱對稱面內(nèi)的力偶偶Meyey、Mezez。FezFeyFyMFzM, 因此，桿將因此，桿將發(fā)生軸向拉伸和在兩個縱對稱面發(fā)生軸向拉伸和在兩個縱對稱面O1xy、O1xz內(nèi)的純彎曲。內(nèi)

11、的純彎曲。 在任一橫截面在任一橫截面n-n上任一點上任一點 C(y,z) 處的正應(yīng)力分別為處的正應(yīng)力分別為z1yOeFA(y ,z )FFO1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy, yC( z)9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合軸力軸力FN=F 引起的正應(yīng)力引起的正應(yīng)力AFFAN彎矩彎矩My=Mey 引起的正應(yīng)力引起的正應(yīng)力yFyyIzFzIzM彎矩彎矩Mz=Mez 引起的正應(yīng)力引起的正應(yīng)力zFzzIyFyIyM 按疊加法，得按疊加法，得C點的點的正應(yīng)力正應(yīng)力zFyFIyFyIzFzAFA為橫截面面積；為橫截面面積；Iy、Iz分別為橫截面對分別為橫截面對y軸、軸、z軸

12、的軸的慣性矩。慣性矩。 9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合利用慣性矩與慣性半徑間的關(guān)系利用慣性矩與慣性半徑間的關(guān)系 22,zzyyiAIiAIC點的點的正應(yīng)力表達式變?yōu)檎龖?yīng)力表達式變?yōu)?21zFyFiyyizzAF 取取 =0 ，以，以y0、z0代代表中性表中性軸上任一點的坐軸上任一點的坐標(biāo)，標(biāo)，則可得則可得中性軸方程中性軸方程010202yiyzizzFyFyOz中性軸9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合 可見，在偏心拉伸可見，在偏心拉伸( (壓縮壓縮) )情況下，中性軸是一條情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線。不通過截面形心的直線。 求出中性軸在求出

13、中性軸在y、z兩軸上的截距兩軸上的截距 FyzFzyziayia22, 對于周邊無棱角的截面，可作兩對于周邊無棱角的截面，可作兩條與條與中性軸平行的直線中性軸平行的直線與橫截面的與橫截面的周邊相切，兩切點周邊相切，兩切點D1、D2，即為橫即為橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的在的危險點危險點。相應(yīng)的應(yīng)力即為最大。相應(yīng)的應(yīng)力即為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。 中性軸D (y ,z2 22 )2azayOzyD (y ,z )1119-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合 對于周邊具有棱角的截面，其危險點必定在截面對于周邊具有棱角的

14、截面，其危險點必定在截面的棱角處。如，矩形截面桿受偏心拉力的棱角處。如，矩形截面桿受偏心拉力F作用時，作用時，若桿任一橫截面上的內(nèi)力分量為若桿任一橫截面上的內(nèi)力分量為FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，則與各內(nèi)力分量相對應(yīng)的正應(yīng)力為：，則與各內(nèi)力分量相對應(yīng)的正應(yīng)力為：按疊加法疊加得按疊加法疊加得OD2D1 AFyzyOzhbD1D2 FWzFyzyOD2D1 FyFWz中性軸yzOD1 t,maxD2c,max9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合 可見，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別在截面的可見，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別在截面的棱角棱角D1、D2處，其值為處，其值為zFyF

15、WFyWFzAFmax, cmax, t危險點處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，其強度條件為危險點處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，其強度條件為 cmaxc,tmaxt,9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合MPa75. 8200200103503max2AF11max1zWMAFMPa7 .113 .02 .06503503 .02 .03500002解：解：兩柱均為兩柱均為壓應(yīng)力壓應(yīng)力 例例3 圖示不等截面與等截面桿，受力圖示不等截面與等截面桿，受力F=350kN，試，試分別求出兩柱內(nèi)的絕對值最大正應(yīng)力。分別求出兩柱內(nèi)的絕對值最大正應(yīng)力。圖（1）圖（2）F300200200F200200MFFd9-2

16、拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合例例4 圖示立柱，欲使截面上的最大拉應(yīng)力為零，圖示立柱，欲使截面上的最大拉應(yīng)力為零，求截面尺寸求截面尺寸h及此時的最大壓應(yīng)力。及此時的最大壓應(yīng)力。 解：（解：（1）內(nèi)力分析）內(nèi)力分析 mNMkNFN.60002003015030120（2）最大拉應(yīng)力為零的條件）最大拉應(yīng)力為零的條件 0150106000615010150233maxhhWMAFNt解得解得 h=240mm 9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合 120kN 30kN 200 150 h （3）求最大壓應(yīng)力）求最大壓應(yīng)力 MPaWMAFNc33. 824015010600

17、0624015010150233max9-2 拉伸或壓縮與彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合平面彎曲平面彎曲斜彎曲斜彎曲9-3 9-3 斜斜 彎彎 曲曲cossinyzFFFF(1) (1) 內(nèi)力分析內(nèi)力分析坐標(biāo)為坐標(biāo)為x x的任意截面上的任意截面上()()cos()()sinzyyzMF lxF lxMF lxF lx固定端截面固定端截面maxmaxcossinzyMFlMFlx9-3 9-3 斜斜 彎彎 曲曲(2) (2) 應(yīng)力分析應(yīng)力分析 x x 截面上任意一點（截面上任意一點（y y，z z）正應(yīng)力正應(yīng)力yzzyM zM yIIcossin()()zyyzF lxII9-3 9-3 斜斜

18、 彎彎 曲曲中性軸上中性軸上00cossin()()0zyyzF lxII00tantanzyyIzI 00cossin0zyyzII中性軸方程中性軸方程9-3 9-3 斜斜 彎彎 曲曲maxmaxmaxyztyzMMWWD1點：max,ttD2點：max,cc強度條件：強度條件：固定端截面固定端截面maxmaxmaxyzcyzMMWW maxtmaxc9-3 9-3 斜斜 彎彎 曲曲撓度：22zyfffatantanyzyzIIff正方形zyII affzfy33yyzF lfEI33zzyF lfEI矩形yzIIa斜彎曲斜彎曲平面彎曲平面彎曲9-3 9-3 斜斜 彎彎 曲曲 以圓截面桿在彎

19、扭組合時的強度計算問題以圓截面桿在彎扭組合時的強度計算問題曲拐曲拐, AB, AB段為等直實心段為等直實心圓截面桿圓截面桿, ,作受力簡化作受力簡化, ,作作M、T圖圖BAFlaFABMe=Fa_圖TFa_FlM圖9-4 9-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合F力使力使AB桿發(fā)生彎曲，外力偶矩桿發(fā)生彎曲，外力偶矩Me=Fa使它發(fā)生扭轉(zhuǎn)使它發(fā)生扭轉(zhuǎn)由彎矩、扭矩圖知，由彎矩、扭矩圖知，危險危險截面截面為固定端截面為固定端截面A，危險截面上與彎矩和扭矩危險截面上與彎矩和扭矩對應(yīng)的對應(yīng)的正應(yīng)力、切應(yīng)力正應(yīng)力、切應(yīng)力為為A截面的上、下兩個點截面的上、下兩個點C1 1和和C2 2是是危險點危險點C1 1

20、點的應(yīng)力狀態(tài)，取點的應(yīng)力狀態(tài)，取單元體單元體得得-二向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)C12CCC34A1C2C3CC4C1FABMe=Fa_圖TFa_FlM圖9-4 9-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合可用相應(yīng)的強度理論對其校核，如第四強度理論，第三可用相應(yīng)的強度理論對其校核，如第四強度理論，第三強度理論。在這種特定的平面應(yīng)力狀態(tài)下，這兩個強度強度理論。在這種特定的平面應(yīng)力狀態(tài)下，這兩個強度理論的相當(dāng)應(yīng)力的表達式可得（前面強度理論講過）理論的相當(dāng)應(yīng)力的表達式可得（前面強度理論講過）強度條件為強度條件為按應(yīng)力狀態(tài)分析的知識，按應(yīng)力狀態(tài)分析的知識， C1 1點三個主應(yīng)力為點三個主應(yīng)力為 22314212

21、0222422334rr3422229-4 9-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合注意到注意到 =M/W、 = T/Wp, 相當(dāng)應(yīng)力改寫為相當(dāng)應(yīng)力改寫為 上式同樣適用于上式同樣適用于空心圓截面桿空心圓截面桿，對其它的彎，對其它的彎扭組合，可同樣采用上面的分析方法扭組合，可同樣采用上面的分析方法。WW2pWTMWTWMr222p234WTMWTWMr222p2475. 039-4 9-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合統(tǒng)一形式：統(tǒng)一形式： WMrr其中：其中： 2224222375. 0TMMMTMMMyzryzr9-4 9-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合外力分析：外力分析：外力向形心簡化并外力向形心簡化并分解。分解。內(nèi)力分析：內(nèi)力分析：每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險面。內(nèi)力圖，確定危險面。建立強度條件。建立強度條件。彎扭組合問題的求解步驟：彎扭組合問題的求解步驟：2223WTMMzyr75. 02224WTMMzyr9-4 9-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合例例 5 5 傳動軸左端的輪子由電機帶動，傳入的扭