大學(xué)物理 第一章 矢量分析

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版1第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版2本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度

2、1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版31. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量

3、代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育

4、電子音像出版社 出版出版4zzyyxxAeAeAeAcoscoscosAAAAAAzyx)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版5（1）矢量的加減法）矢量的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊

5、形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版6（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點積

6、）矢量的標(biāo)積（點積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/ A BAB第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版7（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeB

7、ABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)分量表示為直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版8（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACB

8、A)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版91.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeye第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢

9、量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版101. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee,位置矢量位置矢量 線元矢量線元矢量 xzydlzdlxdlydlOzeyexerzyxddlle l線元矢量可表示成它在三個坐標(biāo)方向，所增加微分元的矢量和。直角坐標(biāo)系中：ddddyzlexeyezx從坐標(biāo)原點指向空間位置點的矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子

10、科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版11面元矢量面元矢量ddSn S nSddd dxxSe y zdd dzzSe x ydd dyySex z在直角坐標(biāo)系中，與三個坐標(biāo)單位矢量相垂直的面積元分別為：體積元體積元zyxVddddx yz直角坐標(biāo)系的體積元直角坐標(biāo)系的體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教

11、育電子音像出版社 出版出版122. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版13ddsindd

12、d2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版144. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)

13、系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系xeyeeeoz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系zeeree第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量

14、分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版15本節(jié)重點本節(jié)重點回顧矢量的基本計算回顧矢量的基本計算熟練掌握三種常用坐標(biāo)系熟練掌握三種常用坐標(biāo)系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版16兩個相隔一定距離的物體之間的相互作用：兩個相隔一定距離的物體之間的相互作用： 超距作用超距作用以太論以太論場

15、場1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版17q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場為如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場標(biāo)量場。 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場：流速場、重力場重力場、電場、磁場等。、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)，稱為如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反

16、之為時變場時變場。時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： 、),(tzyxu),(tzyxF 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)域上定義了一個場場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場、),(zyxu),(zyxF靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版

17、社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版181.1. 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值線標(biāo)量場的等值線( (面面) )等值面等值面: : 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面的特點等值面的特點：意義意義: : 形象直

18、觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版19當(dāng)當(dāng)點點M沿射線沿射線 趨近于趨近于 時時,比值比值l 0M0()()u Mu Ml 的極限稱為標(biāo)量場在點的極限稱為標(biāo)量場在點 處沿處沿 方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù), ,記作記作000()()limlMu Mu Mull l 0MM0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 2. 方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念

19、l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減??；方向減??； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版20直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)的計算公式：直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)的計算公式：0coscoscos|Muuuulxyz 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 證明：證明： 0uu Mu Mu

20、uuxyzolxyz 如函數(shù)如函數(shù)u(x,y,z)在在M0點可微點可微 oluuxuyuzlxlylzll00coscoscos|limMluuuuullxyz 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版213. 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度（ 或或 ）graduu梯度的概念梯度的概念：max|lugrad uel在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：coscoscosuuuulxyzcoscoscosxyzxyzuuueeeeeexy

21、zlG e cos,lGG e 由梯度定義可知：由梯度定義可知：xyzuuugradueeexyz標(biāo)量場標(biāo)量場u u在點在點M M處的梯度為一個矢量，其方向沿處的梯度為一個矢量，其方向沿u u變化率最大的方向，大小等于其最大變化率變化率最大的方向，大小等于其最大變化率第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版22梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：zueyuexueuzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 哈密頓算符哈密頓算符 xyzeeexyz

22、zuuuueeez 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 sinruuuueeerrr 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版23標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯

23、度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版24 解解 (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P點的梯度為點的梯度為PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyx

24、eeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量描述了空間標(biāo)量場。試求：場。試求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ooo60cos45cos60coszyxleeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢

25、量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版25表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為對于給定的對于給定的P P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxle

26、eeeyexeel212 yx第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版26而該點的梯度值為而該點的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點處標(biāo)量函數(shù)點處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)

27、電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版27本節(jié)重點本節(jié)重點熟練掌握標(biāo)量場梯度的意義及計算方法熟練掌握標(biāo)量場梯度的意義及計算方法第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版281.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。),(d),(d),(dzyxFz

28、zyxFyzyxFxzyx矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版292. 矢量場的通量矢量場的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念ddnSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法

29、向單位矢量；ddFS 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SnSSeFSFdd矢量矢量 穿過面積元穿過面積元 的通量，定義為：的通量，定義為：dSF矢量矢量 穿過曲面穿過曲面S的通量為：的通量為：F第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版300通過閉合

30、曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果通量的物理意義通量的物理意義第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版313. 矢量場的散度矢量場的散度0( , , ) d ( , , )limSVF x y zSdiv F x y zV 閉合曲面的通量從閉合曲

31、面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。 如何研究場域內(nèi)，每一點處的通量特性呢？或者說是通量如何研究場域內(nèi)，每一點處的通量特性呢？或者說是通量源的分布特性？源的分布特性？ 某一點的散度，描述了該點單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的某一點的散度，描述了該點單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量。也即該點通量源的密度。通量。也即該點通量源的密度。F第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電

32、子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版32直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 即流出即流出 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點的體積元點的體積元 V 為一直平行六面體，如圖所示。則為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計算在直角坐標(biāo)系中計算zzxyPF02xxx02xxx和和02xx x兩面元的通量為：兩面元

33、的通量為：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版33于是根據(jù)定義求得散度為：于是根據(jù)定義求得散度為： 同理，可計算出應(yīng)流出另兩組側(cè)面的通量，最后得：同理，可計算出應(yīng)流出另兩組側(cè)面的通量，最后得：0d limySxzVFSFFFdiv FVxyz zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd div FF 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫

34、編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版34圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zFyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版

35、354. 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）dSFS體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S矢量通過曲面矢量通過曲面S的通量的通量dVF V ddSVFSF V （S圍成體積圍成體積V內(nèi)的通量源）內(nèi)的通量源） 對通量源密度進(jìn)行體積分對通量源密度進(jìn)行體積分（S圍成體積圍成體積V內(nèi)的通量源）內(nèi)的通量源） 該式為矢量場的散度的體該式為矢量場的散度的體積分與該矢量場的閉合曲積分與該矢量場的閉合曲面積分之間的變換關(guān)系，面積分之間的變換關(guān)系，在電磁理論中應(yīng)用非常廣在電磁理論中應(yīng)用非常廣泛！泛！第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)

36、電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版36本節(jié)重點本節(jié)重點矢量場通量的意義及計算方法矢量場通量的意義及計算方法矢量場散度的計算方法矢量場散度的計算方法散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版371.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時磁感應(yīng)線要么同時穿入和

37、穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的矢量線是閉合的，它對于量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的矢量線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。積分不為零。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版381.

38、 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流ClzyxFd),(環(huán)流的定義：環(huán)流的定義：( , , ) dCSH x y zlJ dS 磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系：磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系： CFdl矢量場矢量場 沿閉合路徑沿閉合路徑C C的環(huán)流。的環(huán)流。F矢量場矢量場 沿場中一條閉合路徑沿場中一條閉合路徑C C的曲線積分的曲線積分F第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版39SCMFne環(huán)流面密度的定義：環(huán)流面密度的定義：0drotlimCnSF

39、lFS 稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。ne特點特點：其值與面元其值與面元 的法線方向有關(guān)。的法線方向有關(guān)。S 在矢量場在矢量場 中的任一點中的任一點M處作一面處作一面元元 ，取，取 為此面元的法向單位矢量。為此面元的法向單位矢量。 當(dāng)面元當(dāng)面元 保持以保持以 為法向分量而向點為法向分量而向點M無無限縮小時限縮小時FSneneS第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版40以表示旋度

40、以表示旋度rotFSCMdlnerotF2. 矢量場的旋度矢量場的旋度矢量場矢量場 在點的旋度是一個矢量在點的旋度是一個矢量F大小：該點最大環(huán)流密度的值大?。涸擖c最大環(huán)流密度的值方向：取得最大環(huán)流密度的面元的法線方向方向：取得最大環(huán)流密度的面元的法線方向nrot F和方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系類似：沿任一方向和方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系類似：沿任一方向的環(huán)流面密度等于旋度沿該方向的投影。的環(huán)流面密度等于旋度沿該方向的投影。（旋度在該方向的分量）（旋度在該方向的分量）rotrotnnFeF旋度的定義：旋度的定義： 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電

41、子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版41旋度的計算公式：旋度的計算公式： 在直角坐標(biāo)系中，由旋度的定義可得旋度的計算公式為：在直角坐標(biāo)系中，由旋度的定義可得旋度的計算公式為：yyxxzzxyzFFFFFFrotFeeeyzzxxyxyzxyzeeexyzFFFF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版423. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯

42、斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消該定理表明矢量場的旋度在曲面上的面積分，等于矢量該定理表明矢量場的旋度在曲面上的面積分，等于矢量場沿限定曲面的閉合曲線上的線積分，場沿限定曲面的閉合曲線上的線積分，即即CSF dlF dS 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版

43、社高等教育電子音像出版社 出版出版43本節(jié)重點本節(jié)重點矢量場環(huán)流的意義及計算方法矢量場環(huán)流的意義及計算方法矢量場的旋度及計算方法矢量場的旋度及計算方法斯托克斯定理斯托克斯定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版441. 矢量場的源矢量場的源散度源散度源旋度源旋度源1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場2. 矢量場按源的分類矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場僅有散度源而無旋度源的矢量場僅有散度源而無旋度源的矢量場0F又因為

44、，標(biāo)量場梯度的旋度恒等于又因為，標(biāo)量場梯度的旋度恒等于00u 因此，無旋場總可以表示為某一標(biāo)量場的梯度，即因此，無旋場總可以表示為某一標(biāo)量場的梯度，即Fu 函數(shù)函數(shù)u稱為無旋場稱為無旋場 的標(biāo)量位函數(shù)，簡稱標(biāo)量位的標(biāo)量位函數(shù)，簡稱標(biāo)量位F重要恒等式重要恒等式第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版45例如：靜電場例如：靜電場0EE標(biāo)量位函數(shù)的引入，使得我們可以通過對標(biāo)量場的研究標(biāo)量位函數(shù)的引入，使得我們可以通過對標(biāo)量場的研究

45、來得到相應(yīng)的矢量場。這在某些情況下可以大大簡化計來得到相應(yīng)的矢量場。這在某些情況下可以大大簡化計算過程。算過程。可以通過研究標(biāo)量電位可以通過研究標(biāo)量電位 來得到電場強度來得到電場強度 的分布的分布E第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版46d0CSFlF dS 可知無旋場的曲線積分與路徑無關(guān)，是保守場?？芍獰o旋場的曲線積分與路徑無關(guān)，是保守場。由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的環(huán)流等于由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路

46、徑的環(huán)流等于0無旋場的特點：無旋場的特點： 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版47因此，無散場總可以表示為某一矢量場的旋度，即因此，無散場總可以表示為某一矢量場的旋度，即FA （2）無散場）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場0F又因為，矢量場旋度的散度恒等于又因為，矢量場旋度的散度恒等于00A 重要恒等式重要恒等式函數(shù)函數(shù) 稱為無散場稱為無散場 的矢量位函數(shù)，簡稱矢量位的矢量位函數(shù)，簡稱矢量

47、位FA 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版48無散場的特點：無散場的特點：由散度定理可知，無散場通過任何閉合曲面由散度定理可知，無散場通過任何閉合曲面S的通量等的通量等于于0d0SVFSF dV第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版494. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版501.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1. 拉普拉斯運算拉普拉斯運算