數(shù)學(xué)分析課件：第六章3節(jié) 微積分的基本定理

1、3 3 微積分的基本定理微積分的基本定理 一、變上限積分函數(shù)一、變上限積分函數(shù)1.1.，定義定義設(shè)設(shè) xadttfxFbaxbaRf)()( , , 2.2.定理定理1 1,)(,baCxFbaRf 則則若若積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)abxyohx 00 x,)(00hMdttfhxx 0)()(lim000 xFhxFh.,)(,0baCxFx 任意性任意性由由)()(00 xFhxF 0000)()()(xahxxhxadttfdttfdttfMtfbaf )(,有界有界在在證明：證明：,00bahxx 積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性質(zhì)積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性質(zhì)證證dttfhxFhxa )()()()(x

2、FhxFF dttfdttfxahxa )()( dttfdttfdttfxahxxxa )()()(,)( hxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得，hfF)(,hxx xh , 0),( fhF )(limlim00 fhFhh ).()( xfxF abxyohx )( xFx補(bǔ)充補(bǔ)充 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtd

3、tedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF020( )()( )( ),( )xxf xxt f t dtFxf t dt)0(, 0)(xxf由于, 0)(0 xdttf0() ( )0,xt f t Q且不恒為, 0)()(0 x

4、dttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).微積分基本定理微積分基本定理證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)(xf因為)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令定理定理3 3（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積

5、分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之 間的聯(lián)系間的聯(lián)系.定理定理 4 4（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .CxxF )()(,bax 證證二、牛頓萊布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明：

6、baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時時，5)( xf, 102152

7、dxxdx原式原式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面積面積xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 , ,baCf 證明若證明若. )()(, ),( baabfdxxfba 使使則則證明：證明：baaFbFdxxf, )()()(因為)()(

8、)()(xfxFxfxF 的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，是是),)()()()(abfabFaFbF ).)()(abfdxxfba 即即例例9 93.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfxF)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()( xfxF )()()(aFbFdxxfba 三三 小結(jié)小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系作業(yè) 習(xí)題6.3 1(2)(3)2(1)(3)467思考題思考題思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 定理定理4 4（Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式）公式）注注 (1)求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量. ,fxa b假假設(shè)設(shè)在在可可積積 ,.a bF x且且在在存存在在原原函函數(shù)數(shù)則則有有 =( )( )ababbaFfx dxFxF xbF a微積分基本定理微積分基本定理另一種敘述, a b對對于于區(qū)區(qū)間間等等分分的的分分割割：11( )( )()()niiiF