自動控制原理5

1、第五章頻率域方法第5章 頻域分析法頻域分析法基本要求51 頻率特性52 典型環(huán)節(jié)的頻率特性53 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性54 頻率穩(wěn)定判據(jù)55 系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)的關(guān)系56 開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)階躍響應(yīng)的關(guān)系基本要求 1. 正確理解頻率特性的概念。正確理解頻率特性的概念。2. 熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線。曲線及對數(shù)頻率特性曲線。3. 熟練掌握由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的開環(huán)對熟練掌握由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線及開環(huán)對數(shù)相頻曲線的方法。數(shù)幅頻漸近特性曲線及開環(huán)對數(shù)相頻曲線的方法。4. 熟練掌

2、握由具有最小相位性質(zhì)的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅熟練掌握由具有最小相位性質(zhì)的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)的方法。頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)的方法。 5. 熟練掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)及其熟練掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)及其它們的應(yīng)用。它們的應(yīng)用。6. 熟練掌握穩(wěn)定裕度的概念及計算穩(wěn)定裕度的方法。熟練掌握穩(wěn)定裕度的概念及計算穩(wěn)定裕度的方法。7. 理解閉環(huán)頻率特性的特征量與控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定理解閉環(huán)頻率特性的特征量與控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。性關(guān)系。8. 理解開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系及三頻段的理解開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系及三頻段的概念，會用三頻段的分析方法對

3、兩個系統(tǒng)進(jìn)行分析與概念，會用三頻段的分析方法對兩個系統(tǒng)進(jìn)行分析與比較。比較。 一、控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的一、控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出51 頻率特性( )sinrr tAt輸入信號：輸入信號：22)(sAsR其拉氏變換式其拉氏變換式 閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)： nmmnnmmssssbsbasbsbsRsCs100輸出輸出1( )niiiCBDC ssssjsj1( )()( )( )ins tj tj tiitsc tC eDeBec tc t拉氏反變換得 jsDjsBssCssCsAssssbsbsRssCnnrnmm112210 tct是系統(tǒng)的瞬態(tài)分量，最后趨于零。

4、 tcs是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量。 2222212jwrrjjrjsrjsreAjjAejjAjjsjsjsAsjssAsB同理：同理：22jjreAjwD將B、D代入（55）則()()22()( )(2jtjjtjsrjc tA ee()cos()2rjAtj ()sin()rjAtj)sin(tAc（56） 式中式中()crAjA()j 從式（56）看出，線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量是和輸入同頻率的正弦信號。穩(wěn)態(tài)輸出的幅值穩(wěn)態(tài)輸出的相位二、頻率特性的定義二、頻率特性的定義 線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出振幅與輸入振幅之比，稱為系統(tǒng)的幅

5、頻率特性；出振幅與輸入振幅之比，稱為系統(tǒng)的幅頻率特性；穩(wěn)態(tài)輸出相位與輸入相位之差，稱為系統(tǒng)的相頻穩(wěn)態(tài)輸出相位與輸入相位之差，稱為系統(tǒng)的相頻率特性。率特性。 jtjtjAAjAAArrrc二、頻率特性的定義二、頻率特性的定義 線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，輸出的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比，稱為系統(tǒng)的頻率特頻率特性性（即為幅相頻率特性，簡稱復(fù)相特性）。（即為幅相頻率特性，簡稱復(fù)相特性）。()( )|() | ()|jjs jsjje 頻率特性表達(dá)式為例子例子 以以RC網(wǎng)絡(luò)為例網(wǎng)絡(luò)為例 其傳遞函數(shù)其傳遞函數(shù)11)()(TjsGjG

6、js11)(TssG)(tan211)(1TjeT11)()(TjsGjGjs頻率特性頻率特性例子例子 以以RC網(wǎng)絡(luò)為例網(wǎng)絡(luò)為例)(tan211)(1TjeT11)()(TjsGjGjs頻率特性頻率特性幅頻特性:相頻特性: 112TjGA TjGarctan三、頻率特性的幾種表示方法三、頻率特性的幾種表示方法1 1、幅頻特性、相頻特性、幅相特性、幅頻特性、相頻特性、幅相特性)()()(jGjGjG)()(jeA0:)(A)( =，為系統(tǒng)的幅頻特性幅頻特性。為系統(tǒng)的相頻特性。相頻特性。圖52RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性曲線 112TA Tarctan圖53 RC網(wǎng)絡(luò)的幅相特性曲

7、線幅相頻率特性曲線又稱奈奎斯特(Nyquist)曲線 112TA Tarctan2。對數(shù)頻率特性。對數(shù)頻率特性 對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德（對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德（Bode)圖，包圖，包括對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻兩條曲線括對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻兩條曲線( ) 20lg ( ) (lg )LA對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性：( ) (lg ) 對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性:圖54 對數(shù)坐標(biāo)刻度圖)(dB)(L 注意注意縱坐標(biāo)是以幅值對數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的；縱坐標(biāo)是以幅值對數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的； 橫坐標(biāo)按頻率對數(shù)標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是實際的橫坐標(biāo)按頻率對數(shù)標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是實際的 值，是不均勻的。值，是不均勻

8、的。 這種坐標(biāo)系稱為半對數(shù)坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)系稱為半對數(shù)坐標(biāo)系。在橫軸上，對應(yīng)于頻率每增大在橫軸上，對應(yīng)于頻率每增大1010倍的范圍，稱為十倍的范圍，稱為十倍頻程倍頻程(dec)(dec)，如，如1-101-10，5-505-50，而軸上所有十倍頻，而軸上所有十倍頻程的長度都是相等的。程的長度都是相等的。為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引進(jìn)斜率的概念，為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引進(jìn)斜率的概念，即橫坐標(biāo)每變化十倍頻程（即變化）所對應(yīng)的縱坐即橫坐標(biāo)每變化十倍頻程（即變化）所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分貝數(shù)的變化量。標(biāo)分貝數(shù)的變化量。采用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點較多，主要表現(xiàn)在： 由于橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，將低頻段相對展寬了(

9、低頻段頻率特性的形狀對于控制系統(tǒng)性能的研究具有較重要的意義)，而將高頻段相對壓縮了。可以在較寬的頻段范圍中研究系統(tǒng)的頻率特性。 由于對數(shù)可將乘除運算變成加減運算。當(dāng)繪制由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖時，只要將各環(huán)節(jié)對數(shù)坐標(biāo)圖的縱坐標(biāo)相加、減即可，從而簡化了畫圖的過程。 在對數(shù)坐標(biāo)圖上，所有典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性乃至系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性均可用分段直線近似表示。這種近似具有相當(dāng)?shù)木_度。若對分段直線進(jìn)行修正，即可得到精確的特性曲線。 若將實驗所得的頻率特性數(shù)據(jù)整理并用分段直線畫出對數(shù)頻率特性，很容易寫出實驗對象的頻率特性表達(dá)式或傳遞函數(shù)。0)(jeKKjG5 52 2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)

10、節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）一、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）KA)(KLlg20)(0)(1)幅頻特性2)相頻特性3)對數(shù)幅相特性幅相特性：傳遞函數(shù)：KsG)(圖55 比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖頻率特性曲線圖55 比例環(huán)節(jié)的BODE圖頻率特性曲線二、積分環(huán)節(jié)二、積分環(huán)節(jié)21)(jejG幅相特性ssG1)(傳遞函數(shù)1( )( )90A 幅頻特性相頻特性圖56 積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖幅相特性曲線1( )( )90A 圖56 積分環(huán)節(jié)的BODE圖幅頻、相頻特性曲線對數(shù)頻率特性對數(shù)頻率特性9020)(lg)(L積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性分別為：1dB0decdB/2090積分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻曲線在處通過線，

11、斜率為；對數(shù)相頻特性為直線。 三、慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）三、慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）11)(TssG傳遞函數(shù)TjeTTjjG1tan21)(111)(221( )1( )arctanATT 幅頻特性：相頻特性：圖58 慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖 幅相特性曲線221( )1( )arctanATT jYXTjTjTjG221111)(2211TXXTTTY2212222121YX慣性環(huán)節(jié)幅相特性曲線是一個以(12，j0)為圓心、12為半徑的半圓。證明如下： 其中 XYT代入式 整理后可得 2211TX慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性符合圓的方程，圓心在實軸上1/2處，半徑為1/2。XY為正值時，只能取負(fù)值，這意味著曲線

12、限于實軸的下方，只是半個圓。圖58 慣性環(huán)節(jié)的幅頻、相頻特性曲線221( )1( )arctanATT 對數(shù)頻率特性對數(shù)頻率特性 11lg2022TAL1lg2022TTG1tan 當(dāng), 1T 0L當(dāng), 1T TLlg20, 1T圖59 慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線四、振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）四、振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）2222)(nnnsssG傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)222222()()2()2nnnnnnG jjjj 頻率特性頻率特性1.幅頻特性、相頻特性、幅相特性幅頻特性、相頻特性、幅相特性22222222()()( 2)112nnnnnA 2112tan)(nn圖511 諧振頻率212mn諧振峰值21(

13、)21mmA 0ddAm諧振頻率和諧振峰值mA212arctan222211nnejGnn圖512 振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性Matlab程序ks=0.4 0.6 0.8;om=10;for i=1:3 num=om*om; den=1 2*ks(i)*om om*om; nyquist(num,den); axis(square);hold on;end2.2.對數(shù)頻率特性對數(shù)頻率特性222)2()(1lg20)(nnL2)(12arctan)(nn對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性圖513 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻漸進(jìn)特性222)2()(1lg20)(nnL2)(12arctan)(nn圖513 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅

14、頻漸進(jìn)特性2.2.對數(shù)頻率特性對數(shù)頻率特性 Matlab程序ks=0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0;om=10;for i=1:length(ks) num=om*om; den=1 2*ks(i)*om om*om; bode(num,den);hold on;endn振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性不僅與有關(guān)，而且與阻尼比有關(guān)，因此在轉(zhuǎn)折頻率附近一般不能簡單地用漸近線近似代替，否則可能引起較大的誤差。五、微分環(huán)節(jié)五、微分環(huán)節(jié)ssG)(2)(jejjG圖5-15極坐標(biāo)圖圖5-15BODE圖六、一階微分環(huán)節(jié)六、一階微分環(huán)節(jié)1)( ssG1112tanje)(j)j(G圖516 12120t

15、an)()(lg)(L2112tan)()(nnjG七、二階微分環(huán)節(jié)七、二階微分環(huán)節(jié)12)(2nnsssG12)(2nnjjjGnnj212222221)()(nnjGA2112nntan)(圖517 二階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性22120nlg)(L)(tan(211)(111)(TjeTTjjG八、一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)八、一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)11)(TssG圖518)(tan(211)(111)(TjeTTjjG非最小相位環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié) 定義：傳遞函數(shù)中有右極點、右零點的環(huán)節(jié)定義：傳遞函數(shù)中有右極點、右零點的環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)），稱為（或系統(tǒng)），稱為非最小相位環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié)（或系（或系統(tǒng)）。統(tǒng)）。 由

16、圖由圖518看出，一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的幅頻與看出，一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的幅頻與慣性環(huán)節(jié)的幅頻完全相同，但是相頻大不一慣性環(huán)節(jié)的幅頻完全相同，但是相頻大不一樣。相位的絕對值大，故樣。相位的絕對值大，故一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)又一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)又稱非最小相位環(huán)節(jié)稱非最小相位環(huán)節(jié)。11Tj)j(G11Tj)j(G九、延遲環(huán)節(jié)九、延遲環(huán)節(jié) sesRsCsG 1A jG 0L延遲環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系為延遲環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系為 c tr t5 53 3 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 一、開環(huán)幅相特性曲線一、開環(huán)幅相特性曲線 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián) 123G sG s G s

17、G s313()1()iijG jiiG jG je開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性系統(tǒng)開環(huán)幅頻與相頻分別為系統(tǒng)開環(huán)幅頻與相頻分別為 31()iiAG jGj 123 331120lg()20lg()20lg()iiiiLG jG jG j1、開環(huán)幅相特性曲線、開環(huán)幅相特性曲線（1）當(dāng)）當(dāng) niisTKsG11系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不包含積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)圖520 系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線時，時， 20j0j001jTKjG, 1n1時，當(dāng)時，當(dāng)若GKG 22j0j001j1jTKjG, 2n21時，當(dāng)時，當(dāng)若GKGT（2）當(dāng)）當(dāng) niimiisTsKsG1111圖521 取m=1,n=3時系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線

18、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分子有一階微分環(huán)節(jié)，其開環(huán)幅相特性曲線出現(xiàn)凹凸時，時， 2n-m02n2m0j0j00nm2202320j0j0011j1T1KG1s1s1T1sKG, 3, 1m32113211時，當(dāng)時，當(dāng)個慣性環(huán)節(jié)：個一階微分環(huán)節(jié)和當(dāng)有時，當(dāng)時，當(dāng)若GKGGKGjTTjjjTTssn（3）當(dāng)）當(dāng) 1TssKsG圖522 含有積分環(huán)節(jié)時的開環(huán)幅相特性曲線開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)時，頻率趨于零時，幅值趨于無窮大。時，時， 230j22j001TjKG1TsKG, 2220j2j001TjKG1TsKG, 122時，當(dāng)時，當(dāng)若時，當(dāng)時，當(dāng)若GGjjssGGjjss2.系統(tǒng)開環(huán)幅相的特點 當(dāng)頻率當(dāng)頻

19、率 0 時，其開環(huán)幅相特性完全由時，其開環(huán)幅相特性完全由比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)決定。比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)決定。 當(dāng)頻率當(dāng)頻率 時，若時，若nm，G(j )|=0相角為相角為(m-n)/2。 若若G(s) 中分子含有中分子含有s因子環(huán)節(jié)，其因子環(huán)節(jié)，其G(j)曲線隨曲線隨 變化時發(fā)生彎曲。變化時發(fā)生彎曲。 G(j) 曲線與負(fù)實軸的交點，是一個關(guān)鍵曲線與負(fù)實軸的交點，是一個關(guān)鍵點。點。 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1)(15 . 0()21 ()(2ssssksGk試概略繪出系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。2v180)0(jGk2700)(jGk)5 . 0()5 . 21 (1)25. 01 ()(2222

20、2jkjGk解 系統(tǒng)型別（2）終點 （3）與坐標(biāo)軸的交點，零點極點分布圖如圖5-22(a)所示。顯然（1）起點二、開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制二、開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制 4321 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻之和，相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。 441120lg()20lg()20lg()iiiiLG jGjGj 例例51 繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與相頻特性曲線。繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與相頻特性曲線。) 1)(11 . 0 (10)(sssG解：1111 . 0110) 1)(11 . 0 (10)(sssssG系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 100.110.1arctan10.1lg2010

21、.112)G111arctan1lg20112)G02010lg20lg20101)G3323322222111慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率LssLssdBjGLs 開環(huán)由三個典型環(huán)節(jié)組成，每個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與開環(huán)由三個典型環(huán)節(jié)組成，每個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻特性均是已知的。將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻曲線相頻特性均是已知的。將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻曲線繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻。繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻。例例52) 15 . 0(105. 0111110)20)(1()2(100)(sssssssssG(0.51)s51011s211s310.051s

22、4五個基本環(huán)節(jié) s/rad1T1arctan1lg2011)32lg201lg201)202010lg20lg2010) 13332332221111轉(zhuǎn)折頻率LsGLssGdBALsG s/rad20.51T10.5arctan10.5lg2010.5s5s/rad200.051T10.05arctan10.05lg2010.051)4554255444244轉(zhuǎn)折頻率）轉(zhuǎn)折頻率LGLsG) 15 . 0(105. 0111110)20)(1()2(100)(sssssssssG)s(sss)s)(s( s)s()s(G121201111102012100繪制開環(huán)系統(tǒng)的波特圖繪制開環(huán)系統(tǒng)的波特圖

23、 將寫成典型環(huán)節(jié)之積；將寫成典型環(huán)節(jié)之積； 找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率；找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率； 畫出各環(huán)節(jié)的漸近線；畫出各環(huán)節(jié)的漸近線； 在轉(zhuǎn)角頻率處修正漸近線得各環(huán)節(jié)曲線；在轉(zhuǎn)角頻率處修正漸近線得各環(huán)節(jié)曲線； 將各環(huán)節(jié)曲線相加即得波特圖。將各環(huán)節(jié)曲線相加即得波特圖。一般規(guī)則：例例53) 12 . 0(121110) 12() 12 . 0(10)(sssssssG s/rad50.21T110.2lg2010.2s)4s/rad5 . 0T112lg20121)3lg201lg201)22010lg20lg2010) 1442543323322111轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率LGLsGLssGdBALsG例

24、例54 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線，求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。線，求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 111121sssKsG12c1ccK0dB120lg20lg20lgK0dBKc等于數(shù)幅頻漸進(jìn)特性疊加后時，三個環(huán)節(jié)疊加的對當(dāng)來求：可用已知的截止頻率開環(huán)增益5 54 4 頻率穩(wěn)定判據(jù)頻率穩(wěn)定判據(jù)一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)圖517 反饋控制系統(tǒng) sNsMsG11 sNsMsH22開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) sNsNsMsMsHsG2121閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)121212( )( )( )( )1( ) ( )( )( )( )( )M

25、s N sG ssG s H sN s N sM s M s sNsNsMsMsNsNsHsGsF2121211令令將將F(s)寫成零、極點形式，則寫成零、極點形式，則 niiniipszssF11輔助函數(shù)F(s)具有如下特點：其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根。其零點的個數(shù)與極點的個數(shù)相同。輔助函數(shù)與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)只差常數(shù)1。)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF niiniipszssF11 2sF由 niiniipszssF111.1.幅角原理幅角原理1.1.幅角原理幅角原理如果封閉曲線如果封閉曲線 內(nèi)有內(nèi)有Z個個F(s)的的零點，有零點，有P個個F(s)的極點，則的極

26、點，則s依依 順時針轉(zhuǎn)一圈時，在順時針轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)平面上，平面上，F(xiàn)(s)曲線繞原點反時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)曲線繞原點反時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R為為P和和Z之差，即之差，即RPZss若若R為負(fù)為負(fù),表示表示F(s)曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。過的圈數(shù)。 s平面平面 s 映射映射 F(s) 正虛軸正虛軸 j ( :0) F(j ) ( : 0) 負(fù)虛軸負(fù)虛軸 j ( : 0) F(j ) ( : 0) 半徑半徑 的半圓的半圓 ( 1, j0)點點2. .奈式判據(jù)奈式判據(jù)圖5-29 包括全部右半平面地封閉曲線 平面。 s）就包含了整個右半為奈奎斯特路(段組組成的封閉曲3這樣，。0變化到- 由

27、 ：js 負(fù)虛軸 iii； 2/-變化到2/ 由R ， ： Res為無限大的右半圓半 ii； 變到0由 ：js 正虛軸 i段3由以下曲線 平面。設(shè)面s擴(kuò)展為整個右半 閉曲線點數(shù)，平面內(nèi)的所有零點、極 位于右半 為了確定輔助函數(shù)j徑稱頻率，半圓徑頻率組成現(xiàn)將2. .奈式判據(jù)奈式判據(jù) F(j )和和G(j )H(j )只相差常數(shù)只相差常數(shù)1。 F(j )包圍原點就包圍原點就是是G(j )H(j )包圍包圍(-1，j0)點。點。GH平面平面0F平面平面 1對于對于G(j )H(j ) : 0 ，開環(huán)極坐標(biāo)圖；，開環(huán)極坐標(biāo)圖； : 0，與開環(huán)極坐標(biāo)圖以，與開環(huán)極坐標(biāo)圖以 軸鏡像對稱；軸鏡像對稱； F平

28、面平面( 1, j0)點就是點就是GH平面的坐標(biāo)原點。平面的坐標(biāo)原點。 奈氏判據(jù)：奈氏判據(jù)：已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s 右半平面根右半平面根的個數(shù)為的個數(shù)為P，開環(huán)奈氏曲線（開環(huán)奈氏曲線（ : 0 ）包圍）包圍( 1，j0)點的圈數(shù)為點的圈數(shù)為R，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在 s 右半平面根右半平面根的個數(shù)為的個數(shù)為Z，且有且有 Z = P R 若若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若Z 0，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。定的。 或或當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線不包圍當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線不包圍( 1，j0)點時，則閉環(huán)系統(tǒng)

29、是穩(wěn)定的。點時，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線包圍當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線包圍 ( 1，j0)點點P圈時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圈時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.奈式判據(jù)奈式判據(jù))()(0sGsksGvk0+開環(huán)有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)開環(huán)有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng) 由于開環(huán)極點因子由于開環(huán)極點因子1/ s ，既不，既不在的在的s 左半平面，也不在的左半平面，也不在的s 右半右半平面，開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。在這種平面，開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。在這種情況下，不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)。情況下，不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)。 j 0 如果要應(yīng)用奈氏判據(jù)，可把零根視為穩(wěn)定根。因此，如果要應(yīng)用奈氏判據(jù)，可把零根視為穩(wěn)定根

30、。因此，在數(shù)學(xué)上作如下處理：在平面上的在數(shù)學(xué)上作如下處理：在平面上的s s=0=0鄰域作一半徑無鄰域作一半徑無窮小的半圓，繞過原點。窮小的半圓，繞過原點。0 2.奈式判據(jù)奈式判據(jù))()(0sGsksGvk 2,2, 0:0, 0, 0:2,2, 0:sHsGcsHsGbsHsGaeKeKsHsGjj在在GH平面上開環(huán)極坐標(biāo)圖在平面上開環(huán)極坐標(biāo)圖在 =0時，時，小半圓小半圓映射到映射到GH平面上是一個平面上是一個半徑為無半徑為無窮大，從窮大，從 = 0 到到 = 0+順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)v 180 的大圓弧的大圓弧。如此處理之后，就可。如此處理之后，就可以根據(jù)奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。以根據(jù)

31、奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。ImRe0 =0+ 增補(bǔ)線增補(bǔ)線 =0- 用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般只須繪制用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般只須繪制 從從 0時時的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍(-1，j0 )點的圈數(shù)點的圈數(shù)N（逆時針（逆時針為正，順時針為負(fù)）和開環(huán)傳遞函數(shù)在為正，順時針為負(fù)）和開環(huán)傳遞函數(shù)在s 右半平面根的個數(shù)右半平面根的個數(shù)P，根據(jù)公式根據(jù)公式 Z = P 2N 來確定閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)，如果來確定閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)，如果Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的穩(wěn)定的。否則，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。否則，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果開環(huán)傳

32、遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個數(shù)為如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個數(shù)為N，則繪，則繪制開環(huán)極坐標(biāo)圖后，應(yīng)從制開環(huán)極坐標(biāo)圖后，應(yīng)從 =0+對應(yīng)的點開始，補(bǔ)作一個半徑對應(yīng)的點開始，補(bǔ)作一個半徑為為 ，逆時針方向旋轉(zhuǎn)，逆時針方向旋轉(zhuǎn)v 90 的大圓弧增補(bǔ)線，把它視為奈氏的大圓弧增補(bǔ)線，把它視為奈氏曲線的一部分。然后再利用奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。曲線的一部分。然后再利用奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.奈式判據(jù)（實際方法）奈式判據(jù)（實際方法）例例5 55 5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。5211000)(ssssG

33、 2 . 0arctan5 . 0arctanarctan22212 . 015 . 01100jG12 . 015 . 01100sG) 1jesss曲線畫出系統(tǒng)開環(huán)幅相特性 定。點，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)，幅相曲線包圍即開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)，可確定由開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性根據(jù)奈氏判據(jù)判別閉環(huán)j010PsG)2Z=P-2N=0-2(-1)=2, 不穩(wěn)定例例5 56 6 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別K=0.5K=0.5和和K=2K=2時的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。時的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。1)(sKsG1)分別作出分別作出K=0.5和和K=2時開環(huán)幅相特性曲線時開環(huán)幅

34、相特性曲線2)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，P1。 K=0.5時，繞(-1,j0)點轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為0，Z=P-2N=1,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 K=2時，繞(-1,j0)點反時針轉(zhuǎn)過圈數(shù)為1/2， Z=P-2N=1-2(1/2)=0, 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖532 系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線例例5 57 7 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試應(yīng)用奈氏判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。試應(yīng)用奈氏判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。1)(2TssKsG曲線畫出系統(tǒng)開環(huán)幅相特性) 1 的半圓。半徑為向反時針方向補(bǔ)畫一個的點開始在開環(huán)幅相特性曲線上有兩個積分環(huán)節(jié)，需要開環(huán)傳遞函數(shù)0sG)2。的個數(shù)閉環(huán)特征方程正實部根定。點，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)，曲線包圍了

35、，而開環(huán)開環(huán)正極點數(shù)21202NPZj01jG0P)3ReIm0 1(+)( ) 由圖可知，幅相曲線由圖可知，幅相曲線不包圍不包圍( 1，j0)點。此結(jié)點。此結(jié)果也可以根據(jù)果也可以根據(jù) 增加時幅增加時幅相曲線自下向上相曲線自下向上(幅角減幅角減小小)和自上向下和自上向下(幅角增加幅角增加)穿越實軸區(qū)間穿越實軸區(qū)間(， 1)的的次數(shù)決定。次數(shù)決定。 N = N N 自實軸區(qū)間（自實軸區(qū)間（， 1 1）開始向下的穿越稱為半次正穿越，自實軸）開始向下的穿越稱為半次正穿越，自實軸區(qū)間（區(qū)間（， 1 1）開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。）開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。二、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)二、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)奈

36、氏判據(jù)也可敘述為：在開環(huán)幅相特性 曲線，沿 增加的方向，對（1， ）的負(fù)實軸段正、負(fù)穿越次數(shù)之差等于 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 /2P/2NNP jHjG二、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)二、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（p=0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在 的所有頻段內(nèi)， 正負(fù)穿越 線的次數(shù)差為0。dBL0)()(180注意：在開環(huán)對數(shù)幅頻特性大于零的頻段內(nèi)，相頻特性曲線由下（上）往上（下）穿過負(fù)1800線為正（負(fù)）穿越。N+（N-）為正（負(fù)）穿越次數(shù)，從負(fù)1800線開始往上（下）稱為半個正（負(fù)）穿越。圖534 幅相曲線（a)及對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線(b)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是：在開環(huán)對數(shù)幅頻 的頻段內(nèi)，對

37、應(yīng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線對 線的正、負(fù)穿越次數(shù)之差為 。即 為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)位于 右半平面的極點數(shù)。 20lg()0G j/2P/2NNPPs當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)有積分環(huán)節(jié)時，對應(yīng)在對數(shù)相頻曲線上 處，用虛線向上補(bǔ)畫 ，在計算正負(fù)穿越將補(bǔ)畫的虛線看成對數(shù)相頻曲線的一部分。 02例58 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。) 11 . 0 (10)()(sssHsG解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖。 由開環(huán)傳遞函數(shù)由開環(huán)傳遞函數(shù)可知可知P=0。圖535所以閉環(huán)穩(wěn)定002NNNP例例5 51010 已知系統(tǒng)開環(huán)

38、傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。試用對數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。)1002(300)()(2ssssHsG解：解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖圖圖537 在在 處振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻值為處振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻值為n120lg20lg2 0.1 142dB閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)不穩(wěn)定。202( 1)2ZPN閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為c)(jGg曲線與負(fù)實軸交點處的頻率稱為相角交界頻率 曲線與單位圓交點處的頻率稱為截止頻率 )(jG三、穩(wěn)定裕度三、穩(wěn)定裕度衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。三、穩(wěn)定裕度三、穩(wěn)定裕度衡量閉

39、環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。相位裕度極坐標(biāo)圖1)()(jHjG的矢量與負(fù)實軸的夾角。0lg20GH)(即對數(shù)坐標(biāo)圖上處與的差 )(180)180()(cc模穩(wěn)定裕度模穩(wěn)定裕度h：)(gA幅值裕度是指（1，j0）點的幅值1與 之比，用h表示 )(1gAh在對數(shù)坐標(biāo)圖上20lg20lg()()gghAL )(gL即h的分貝值等于 與0dB之間的距離（0dB下為正）2h40dBh6lg20c 相角裕度的物理意義在于：穩(wěn)定系統(tǒng)在截止頻率處若相角再遲后一個角度，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；若相角遲后大于，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。hg)(gAh幅值裕度的物理意義在于：穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)增益再增大倍，則

40、處的幅值等于1，曲線正好通過（1，j0），點系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若開環(huán)增益增大倍以上，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。一般要求：)5)(1()(0sssKsG100K例5-11 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求時系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。解 15) 151)(1(5)(00KKsssKsG250 KK)(L繪制開環(huán)增益時的曲線 當(dāng)2K時) 20 (21211)5(12)(2222222ccccccccA2c5 .198 .157 .54905arctanarctan90180)(1801cccjG0)5arctan(arctan90180)(180gggjGarctanarctan(5)90ogg90t

41、an5152ggg0512g236. 25 gdBAhgggg9 . 8793. 221)5(1)(1221得 ，即 。5 55 5 系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)的關(guān)系 圖示單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖示單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ( )( )1( )G ssG s()()1()G jjG j圖540返回子目錄返回子目錄)1)(1()(21 sTsTsKsGPAOAPAOAj)(PAOAM)(PAOA)()()()(1)()( jeMjGjGj OAjG )( )()( jM )()( j p22222211 MMYMMXjYXjG )( PAOA)(等等M圓

42、圓 為為常數(shù)的軌跡常數(shù)的軌跡設(shè)設(shè) )()()( MjjYXjYXGGM 11)( 整理得整理得 等等 圓方程圓方程M)()1(2222 MYXYX 一、等一、等M圓圖和等圓圖和等N圓圖圓圖 根據(jù)開環(huán)幅相曲線，應(yīng)用等根據(jù)開環(huán)幅相曲線，應(yīng)用等M圓圖，可以作出閉環(huán)幅頻特性曲圓圖，可以作出閉環(huán)幅頻特性曲線，應(yīng)用等線，應(yīng)用等N圓圖，可以作出閉環(huán)相頻特性曲線。圓圖，可以作出閉環(huán)相頻特性曲線。OAPjYXjG )( 設(shè)設(shè) jYXjYXGGj 11)( 2222412121NNNYX 整理得整理得 等等 圓方程圓方程N(yùn)2222)1(YXjYYXX 22arctan)(YXXY22)(tanYXXYN 等等N圓

43、圓 為為常數(shù)的軌跡常數(shù)的軌跡一、等一、等M圓圖和等圓圖和等N圓圖圓圖二、尼科爾斯圖（二、尼科爾斯圖（N.b.Nichols) 如果將開環(huán)頻率特性表示為如果將開環(huán)頻率特性表示為 jeAjG則則 sin20lg20lgsinA 11coscoslg20lg20222MMA做變換得由等M線和等 線組成的圖，稱為尼科爾斯圖。 如圖545所示。圖545 尼科爾斯圖三、利用閉環(huán)幅頻特性分析和估算三、利用閉環(huán)幅頻特性分析和估算 系統(tǒng)的性能系統(tǒng)的性能 在已知閉環(huán)系統(tǒng)在已知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，可穩(wěn)定的條件下，可以只根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)以只根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性曲線，對幅頻特性曲線，對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)過系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)過程進(jìn)

44、行定性分析和程進(jìn)行定性分析和定量估算。定量估算。圖548 閉環(huán)幅頻特性曲線定性分析定性分析(0)M1）零頻的幅值）零頻的幅值 反映系統(tǒng)在階躍反映系統(tǒng)在階躍信號作用下是否存在靜差。信號作用下是否存在靜差。 ；態(tài)誤差，在階躍信號下沒有靜當(dāng)；態(tài)誤差，在階躍信號下沒有靜當(dāng)0e10M0e10Mssss2）諧振峰值）諧振峰值 反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性。此值大說明動態(tài)過程超調(diào)量大，平穩(wěn)性差，反之平穩(wěn)性好。此值大說明動態(tài)過程超調(diào)量大，平穩(wěn)性差，反之平穩(wěn)性好。mM平穩(wěn)性差小有峰值，二階系統(tǒng)：有峰值，一階系統(tǒng)：幅頻曲線沒%M,121M 0%m2m3）帶寬頻率）帶寬頻率 反映系統(tǒng)的快速性反映系統(tǒng)的快速性b下降到下降到0.707 對應(yīng)對應(yīng)的頻率值的頻率值 )( M0Mb 11)(TssTb1 bcsTt 333 一階系統(tǒng)：一階系統(tǒng)：快速性越好,sbt707. 0)2()()(22222 bnbnnbM 42244221 nb422442215 . 3 sbt2222)(nnnsss 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 221 nr