解析函數(shù)的Taylor展式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1解析函數(shù)的解析函數(shù)的Taylor展式展式一、泰勒定理( )11( )1( ),(4.9)2()!nnnfcdfaian其中其中1 定理定理4.14( ),:,( )f zDaDKzaRDf zK設(shè)在區(qū)域 內(nèi)解析只要圓含于則在 內(nèi)能展成冪級數(shù)0( )() ,(4.8)nnnf zcza:,0;0,1,2,)aR n(且展式是惟一的且展式是惟一的.積分形式積分形式微分形式微分形式第1頁/共33頁證明,zK :,0,;aRz使 在內(nèi)由柯西積分公式由柯西積分公式 , 有有1( )( ),2ff zdiz11()()zaza由于由于111zaaaDa.KKz.內(nèi)任意點內(nèi)任意點a圓周R0111nn

2、uuu第2頁/共33頁( ),fa以上有界函數(shù)乘上式兩邊得10( )( )() ,()nnnffzaza,在上關(guān)于 仍一致收斂14.7,2 i故由定理上式兩邊沿積分 并乘以得,在上關(guān)于 一致收斂01() ,1nnzazaaa故故,當(dāng)時1;zazaa0111nnuuu第3頁/共33頁下證唯一性,設(shè)另有展式0( )() ,:,nnnf zczazKzaR由定理由定理4.13知知( )1( )!nncfan;nc故展式唯一故展式唯一.由z的任意性，定理前半部分得證。 0()nnza0() ;nnza1( )2fdiz0n注注:顯然顯然(4.8)的收斂半徑大于或等于的收斂半徑大于或等于R.( )f z

3、 11( )2()nfdia()nzanc( )( )!nfan第4頁/共33頁2 定義定義4.6(4.8)( ),f zaTaylor稱為在點 的展式(4.9),Taylor稱為其系數(shù)(4.8).Taylor而等號右邊的級數(shù)則稱為級數(shù)0( )() ,(4.8)nnnf zcza泰勒展開式泰勒展開式泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)( )11( )1( ),(4.9)2()!nnnfcdfaian第5頁/共33頁3 刻劃解析函數(shù)的第四個等價定理刻劃解析函數(shù)的第四個等價定理 定理定理4.15( ):( ),f zDf zDazaTaylor函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)解析的充要條件為在 內(nèi)任一點 的鄰域內(nèi)可展成冪級數(shù) 即級數(shù)(

4、 ),nf zzaRTaylorcCauchy若在解析 則其系數(shù)滿足不等式注注( ),(0,0,1,2,)z annMax f zcR n第6頁/共33頁二二 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況 定理定理4.160()0,nnnczaR如冪級數(shù)的收斂半徑且0( )() ,:;nnnf zczazKzaR( ):.f zCzaR則在其收斂圓周上至少有一個奇點( ),( ),.F zzaRf zC即不可能有這樣函數(shù)存在 它在內(nèi)與恒等 而在 上處處解析第7頁/共33頁證明證明( )F z倘若這樣的存在,CO這時 上的每一點都是某圓 的中心( ),OF z而在圓 內(nèi)是

5、解析的由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理,我們可以在這些圓我們可以在這些圓O中選取有限個圓將中選取有限個圓將C覆蓋覆蓋,這有限個圓構(gòu)成一個區(qū)域這有限個圓構(gòu)成一個區(qū)域G,0,CG用表 到的最短距離( ):F zKKzaR在較圓 大的同心圓內(nèi)是解析的,( ),F zKTaylor于是在中可展為級數(shù)( )( ),zaRF zf z但因在中0( )() ,:;nnnF zczazKzaR第8頁/共33頁0()( ),nnnczaF zTaylor因此也是的級數(shù)R而它的收斂半徑不會小于,這與假設(shè)相矛盾這與假設(shè)相矛盾.注注1:該定理給出了確定收斂半徑該定理給出了確定收斂半徑R的方法的方法.( ),( );f z

6、abf za設(shè)在點 解析 是的奇點中距中心 最近的一個奇點0()nnnbaRcza則就為冪級數(shù)的收斂半徑.( )( )!nnFacn( )( )!nnfacn0( )()nnnF zcza0( )()nnnf zcza第9頁/共33頁 例例12011nnnc zzz設(shè),求其收斂半徑.解解210,zz 由15;2z 得它們是和函數(shù)的兩個奇點它們是和函數(shù)的兩個奇點,故知收斂半徑為故知收斂半徑為51.2R注注2:即使冪級數(shù)在其收斂圓上處處收斂即使冪級數(shù)在其收斂圓上處處收斂,其和函數(shù)其和函數(shù)在收斂圓周上仍然至少有一個奇點在收斂圓周上仍然至少有一個奇點.例例1z 在上絕對且一致收斂.1( ).f z但為

7、的奇點111( )( 1)(1)nnnzf zn n( )(1)ln(1).f zzz其實11( )( 1)nnnzfzn第10頁/共33頁注注3 該定理一方面建立了冪級數(shù)的收斂半徑與此冪該定理一方面建立了冪級數(shù)的收斂半徑與此冪數(shù)所代表函數(shù)的性質(zhì)間的關(guān)系數(shù)所代表函數(shù)的性質(zhì)間的關(guān)系,同時同時,還表明冪級數(shù)的還表明冪級數(shù)的理論只有在復(fù)數(shù)域內(nèi)才能弄得完全明白理論只有在復(fù)數(shù)域內(nèi)才能弄得完全明白.如如1x 為什么僅當(dāng)時有展式2462111xxxx 在實數(shù)域內(nèi)無法弄清在實數(shù)域內(nèi)無法弄清,但在復(fù)數(shù)域上來講但在復(fù)數(shù)域上來講21,1ziz 在復(fù)平面上有兩個奇點1.R 故收斂半徑第11頁/共33頁三、一些初等函數(shù)

8、的泰勒展式三、一些初等函數(shù)的泰勒展式,( ),(),( ),nnTaylorf zzaTaylorczaaf zTaylor由解析函數(shù)展式的唯一性 要求解析函數(shù)在的級數(shù) 可以采用任何可能的方法去找一個形如的冪級數(shù) 只要它在 的一個鄰域內(nèi)收斂于則這個冪級數(shù)就是所求的級數(shù).常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .1.直接法直接法:由泰勒定理計算系數(shù)由泰勒定理計算系數(shù)( )1( ),0,1,2,!nncfann ( ) .f za將函數(shù)在展開成冪級數(shù)第12頁/共33頁例例1. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21

9、nnnznznzzze, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因為因為ze. R所以級數(shù)的收斂半徑所以級數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因為因為解解第13頁/共33頁仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展開開式式在在與與可可得得 zzz第14頁/共33頁2. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo),

10、積分積分等等)和其它數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的泰勒展求函數(shù)的泰勒展開式開式.間接法的優(yōu)點間接法的優(yōu)點: : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比因而比直接展開更為簡潔直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .第15頁/共33頁例例21 0 .1zz求在的泰勒展開式解解由等比級數(shù)的求和公式有由等比級數(shù)的求和公式有211,11nzzzzz 注注:從上式有從上式有2311( 1),11nnzzzzzz 2462211( 1),11nnzzzzzz 第16頁/共33頁例例3 sin 0 .zz 求在的泰勒展開式1sin()2i

11、zizzeei 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi解解0( ),!niznizen0(),!niznizen1sin()2izizzeei而而因為因為所以所以;z .z 第17頁/共33頁附附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z第18頁/共33頁,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,

12、1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第19頁/共33頁例例4 4. )1 (1 2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解211( 1)1nnzzzz 由1 z3、典型例題、典型例題, 11)1(12 zzz上有一奇點上有一奇點在在由于由于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級數(shù)的冪級數(shù)可展開成可展開成 z上式兩邊逐項求導(dǎo)上式兩邊逐項求導(dǎo), zz11)1 (122111 23( 1),nnzznz 1.z 第20頁/共33頁例例5 5

13、. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對數(shù)函數(shù)的主值求對數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點是它的一個奇點平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實軸剪開的向左沿負(fù)實軸剪開的在從在從 z 1 .zz所以它在內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)如圖如圖,1 Ro1 1xy解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z第21頁/共33頁zzzzzznnnd)1(d11000 即即231ln(1)( 1)231nnzzzzzn 1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項積分逐項積分, 得得, 0 1 的曲線的曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂

14、圓設(shè)設(shè)zzC (1)0LnzzTaylor注各分支在的展式為231(ln(1)2( 1)231nnkzzzzk izn 1 z第22頁/共33頁例例6 6. 231)( 的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第23頁/共33頁例例7 7( )(1)0,.f zzzTaylor求在的展開式為復(fù)數(shù)解解(1)( )(1)1,Lnzf zze支點為-( )1,f zz 故在內(nèi)能分出單值解析分支取主值支取主值支ln(1)( )(1),z

15、g zze0,z 在處展開0( )0( ),( )ln(1)fzg zef zz為此令按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得0( )0( )( ),fzg zef z00( )11( )1fzf zze0(1)( )( ),fzg ze第24頁/共33頁連續(xù)求導(dǎo)得連續(xù)求導(dǎo)得0()( )( )( )(1)(1),n fzngzne 得得Taylor系數(shù)為系數(shù)為0(0)1,cg( )(0)(1)(1),1,2,!nngncnnn (1),z于是的主值支展開式為2(1)(1)12!zzz 0kkkC z(1)(1)!nnzn 1 z第25頁/共33頁例例8 8sin.zezz將展成 的冪級數(shù)解解所

16、以所以2311sin0(1 0)(0 1 0)()2!3!zezzzz 故其故其Cauchy積也絕對收斂積也絕對收斂,z 兩級數(shù)在內(nèi)絕對收斂因為因為0,!nznzen210sin( 1)(21)!nnnzzn231,3zzz.z 第26頁/共33頁例例9 9tan0.zzTaylor求在點的展開式解解sintan,;cos2zzzzz在內(nèi)解析且能展為 的冪級數(shù)因為因為3521sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn 242cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn 所以所以,把級數(shù)按升冪排列把級數(shù)按升冪排列,用直式做除法得用直式做除法得3512tan,315zzzz.2z第27頁/共33頁例例10 10 .0arctan的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因為因為1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn第28頁/共33頁例例1111.cos2的的冪冪級級數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因為因為 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2c