最大似然例題及原理應(yīng)用

1、例7.1設(shè)總體X的概率密度為 式中 >1是未知參數(shù)， 是來自總體 的一個(gè)容量為 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，分別用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法求 的估計(jì)量。分析因?yàn)榭傮w 的分布只含有一個(gè)未知參數(shù)，所以用矩估計(jì)法首先求出 解  由矩估計(jì)法知，令 得參數(shù) 的矩估計(jì)量    。似然函數(shù)為 對(duì) =1,2,n，對(duì) 取對(duì)數(shù)，則有 令 ，所以參數(shù) 的最大似然估計(jì)量為 注本題說明，對(duì)總體未知參數(shù)的估計(jì)，盡管利用同一樣本值，但采用不同的估計(jì)方法，其結(jié)果未必相同。對(duì)應(yīng)練習(xí)設(shè)總體X服從參數(shù)p的幾何分布，其分布律為 ， 是總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試求：(1)p的矩估計(jì)量；(2)p的最大

2、似然估計(jì)量。提示因?yàn)榭傮w分布中只含有一個(gè)參數(shù)p，所以求p的矩估計(jì)量關(guān)鍵是求出總體 的均值 。例7.2設(shè)某種元件的使用壽命 的概率密度為 式中 >0為未知參數(shù)，又設(shè) 是 的一組樣本觀察值，求參數(shù) 的最大似然估計(jì)值。解似然函數(shù) 對(duì)于 ， =1,2,n， ( )>0，取自然對(duì)數(shù)，則有 從而 所以 在 ， =1,2,n時(shí)單調(diào)增加。取 時(shí)，對(duì) ， ， =1,2,n成立。 取到最大值，故 的最大似然估計(jì)值為  注本題雖然能給出似然方程，但似然方程無解，故不存在駐點(diǎn)，應(yīng)在邊界點(diǎn)上考慮函數(shù)最大值。對(duì)應(yīng)練習(xí)設(shè) 為總體 的一個(gè)樣本，已知總體 的密度函數(shù)為 式中 >0, , 是未知參數(shù)，

3、求 , 的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量。提示因?yàn)榭傮w 的分布中含有兩個(gè)未知參數(shù)，用矩法估計(jì)時(shí)，首先求出 和 ，令 ， ，可求得 , 的矩估計(jì)量。例7.3某自動(dòng)包裝機(jī)包裝洗衣粉，其重量服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽查12袋測(cè)得其重量(單位g)分雖為1 001,1 004,1 003,1 000,997,999,1 004,1 000,996,1 002,998,999。(1)求平均袋重 的點(diǎn)估計(jì)值；(2)求方差 的點(diǎn)估計(jì)值；(3)求 的置信度為95%的置信區(qū)間；(4)求 的置信度為95%的置信區(qū)間；(5)若已知 9，求 的95%的置信區(qū)間。解(1) (2) (3) 未知，則 的置信度為1 的置信區(qū)間為 依題意： 故 的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)為(998.577,1 001.923)。(4) 未知， 的置信度為95%的置信區(qū)間為 查表  故 的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)為(3.479,19.982)。(5)當(dāng) 9為已知時(shí)，關(guān)于 的置信度為95%的置信區(qū)間為 。查表  故 的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)為(998.553,1 001.14)。對(duì)應(yīng)練習(xí)設(shè)兩總體 相互獨(dú)立， ， ，從 中分別抽取容量為n1=85， n2=60的樣本，且算得 82， 76，