直線方程習題課

1、直線方程習題課 題型探究 重點突破題型一直線的點斜式方程例1求滿足下列條件的直線的點斜式方程.(1)過點P(4，3)，斜率k3；解析答案解直線過點P(4，3)，斜率k3，由直線方程的點斜式得直線方程為y33(x4).(2)過點P(3，4)，且與x軸平行；解析答案反思與感悟解與x軸平行的直線，其斜率k0，由直線方程的點斜式可得直線方程為y(4)0(x3)，即y40.(3)過P(2，3)，Q(5，4)兩點.又直線過點P(2，3).直線的點斜式方程為y3(x2).1.求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)定斜率k寫出方程yy0k(xx0).2.點斜式方程yy0k(xx0)可表示過點P(x0，y

2、0)的所有直線，但xx0除外.反思與感悟解析答案跟蹤訓練1(1)過點(1， 2)， 且傾斜角為135 的直線方程為 .解析ktan 1351，由直線的點斜式方程得y2(x1)，即xy10.xy10解析答案(2)已知直線l過點A(2，1)且與直線y14x3垂直，則直線l的方程為 .由點斜式方程知其斜率k4.即x4y60.x4y60解析答案題型二直線的斜截式方程例2根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程.(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；解由直線方程的斜截式可知，所求直線方程為y2x5.(2)傾斜角為150，在y軸上的截距是2；解析答案(3)傾斜角為60，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.反思與感悟直

3、線與y軸的交點到原點的距離為3，直線在y軸上的截距b3或b3.反思與感悟1.本例(3)在求解過程中，常因混淆截距與距離的概念，而漏掉解“y x3”.2.截距是直線與x軸(或y軸)交點的橫(或縱)坐標，它是個數(shù)值，可正、可負、可為零.解析答案跟蹤訓練2已知直線l1的方程為y2x3，l2的方程為y4x2，直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同，求直線l的斜截式方程.解由斜截式方程，知直線l1的斜率k12，又因為ll1，所以l的斜率kk12.由題意，知l2在y軸上的截距為2，所以l在y軸上的截距b2，由斜截式，得直線l的方程為y2x2.解析答案題型三直線過定點問題例3求證：不論m為何值，直線l：

4、y(m1)x2m1總過第二象限.證明方法一直線l的方程可化為y3(m1)(x2)，直線l過定點(2，3)，由于點(2，3)在第二象限，故直線l總過第二象限.方法二直線l的方程可化為m(x2)(xy1)0.無論m取何值，直線l總經(jīng)過點(2，3).點(2，3)在第二象限，直線l總過第二象限.反思與感悟反思與感悟證明直線過定點的基本方法：方法一點斜式的應用，方法二代數(shù)方法處理恒成立問題的基本思想.解析答案跟蹤訓練3已知直線y(32k)x6不經(jīng)過第一象限，求k的取值范圍.函數(shù)與方程思想數(shù)學思想例4已知直線ykxb，當3x4時，8y13.求此直線方程.解析答案解后反思分析利用直線ykxb與一次函數(shù)的關系

5、，并借助一次函數(shù)的圖象和性質解題.解記f(x)kxb(k0).當k0時，f(x)在3，4上單調遞增，此時直線方程為y3x1.當k0時，f(x)在3，4上單調遞減，解析答案解后反思解后反思此時直線方程為y3x4.綜上所述，所求直線方程為y3x1或y3x4.解析答案解后反思例5已知直線l過點(1，2)和(a，b)，求其方程.返回忽略點斜式使用范圍致錯易錯點分析本題可利用點斜式求直線方程，注意對字母a進行討論.解當a1時，直線l與x軸垂直，直線l的方程為x1；解后反思本題常見的錯誤是沒有對a進行分類討論，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用點斜式寫直線方程.在利用點斜式或斜截式求直線方程時，要注意直

6、線方程的點斜式y(tǒng)y0k(xx0)的斜截式y(tǒng)kxb都是在斜率k存在的前提下才能使用的，要認真分析，避免漏解.返回 當堂檢測解析答案1.已知直線l的方程為2x5y100，且在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則|ab|等于()A.3 B.7 C.10 D.5解析直線l的方程為2x5y100，令y0，得a5，令x0，得b2，所以|ab|52|3.A解析答案2.過點(1，3)且垂直于直線x2y30的直線方程為()A.2xy10 B.2xy50C.x2y50 D.x2y70A解析所求直線與已知直線垂直，因此其斜率為2，故方程為y32(x1)，即2xy10.解析答案3.過點(1，0)且與直線x2y20

7、平行的直線方程是()A.x2y10 B.x2y10C.2xy20 D.x2y10A解析答案4.直線(2m2m3)x(m22m)y4m1在x軸上的截距為1，則m的值是() A解析答案5.已知直線l的傾斜角是直線yx1的傾斜角的2倍，且過定點P(3，3)，則直線l的方程為 .解析直線yx1的斜率為1，所以傾斜角為45，又所求直線的傾斜角是已知直線傾斜角的2倍，所以所求直線的傾斜角為90，其斜率不存在.又直線過定點P(3，3)，所以直線l的方程為x3.x3 題型探究 重點突破題型一直線的兩點式方程例1已知A(3，2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC邊的方程；解析答案解BC邊過兩

8、點B(5，4)，C(0，2)，即2x5y100.故BC邊的方程為2x5y100(0 x5).(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.解析答案反思與感悟解設BC的中點為M(x0，y0)，又BC邊上的中線經(jīng)過點A(3，2).故BC邊上的中線所在直線的方程為10 x11y80.解析答案跟蹤訓練1(1)已知直線l經(jīng)過點A(2，1)，B(2，7)，求直線l的方程；解因為點A與點B的橫坐標相等，所以直線l沒有兩點式方程.故所求直線方程為x2.(2)已知點P(3，m)在過點A(2，1)，B(3，4)的直線上，求m的值；解由兩點式方程，得過A，B兩點的直線方程為又因為點P(3，m)在直線AB上，所以3m10，得

9、m2.解析答案(3)三角形的三個頂點分別是A(1，0)，B(3，1)，C(1，3)，求三角形三邊所在的直線的方程.解析答案題型二直線的截距式方程例2求過點(4，3)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線l的方程.解設直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b.若ab，則ab1，直線的方程為xy10.若ab，則a7，b7，直線的方程為xy70.當ab0時，直線過原點，且過點(4，3)，直線的方程為3x4y0.綜上知，所求直線l的方程為xy10或xy70或3x4y0.反思與感悟反思與感悟1.當直線與兩坐標軸相交時，一般可考慮用截距式表示直線方程，用待定系數(shù)法求解.2.選用截距式時一定要注意條件，直線不能過

10、原點.解析答案跟蹤訓練2(1)求在x，y軸上的截距分別是3，4的直線方程；化簡得4x3y120.解析答案(2)求過點A(3，4)，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線l的方程.即4x3y0.綜上，直線l的方程為xy10或4x3y0.解析答案解后反思例3求過點A(4， 2)， 且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線l的方程.返回分類討論思想數(shù)學思想分析直線l在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，應考慮直線過原點和不過原點兩類，分別設出方程，再由直線l過點(4，2)求得直線方程.解當直線過原點時，它在x軸、y軸上的截距都是0，滿足題意.解析答案解后反思因為直線在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，所以|a|b

11、|. 解后反思由聯(lián)立方程組，化簡得直線l的方程為xy6或xy2，即直線l的方程為xy60或xy20，綜上，直線l的方程為x2y0 xy60，xy20.解后反思截距式方程不能表示過原點的直線，因而在未明確截距與0的關系時，要分截距為0和不為0兩大類來討論.另外截距有正有負，求解問題時要注意.返回 當堂檢測解析答案1.已知2x13y14，2x23y24，則過點A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線l的方程是()A.2x3y4 B.2x3y0C.3x2y4 D.3x2y0解析(x1，y1)滿足方程2x13y14，則(x1，y1)在直線2x3y4上.同理(x2，y2)也在直線2x3y4上.由兩點確定

12、一條直線，故過點A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線l的方程是2x3y4.A解析答案2.過點A(2，1)，B(3，3)的直線方程為()A.4x5y130 B.4x5y30C.5x4y50 D.5x4y80B解析直線過點(2，1)和(3，3)，化簡得4x5y30.解析答案3.過點P(4，3)且在坐標軸上截距相等的直線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條B解析當直線過原點時顯然符合條件；把點P(4，3)代入方程得a1.因而所求直線有2條.解析答案4.過點(5，2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是()A.2xy120B.2xy120或2x5y0C.x2y10D.x2y

13、90或2x5y0D解析當y軸上截距b0時，設直線方程為ykx.整理，得x2y90.故選D.解析答案5.下列四個結論：解析中兩個方程的定義域不同；中傾斜角為90的直線沒有點斜式方程，也沒有截距式方程，傾斜角為0的直線沒有截距式方程.直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90，則其方程是xx1；直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是yy1；所有的直線都有點斜式和截距式方程.正確的為_.(填序號) 題型探究 重點突破題型一直線的一般形式與其他形式的轉化例1(1)下列直線中，斜率為 ，且不經(jīng)過第一象限的是()A.3x4y70 B.4x3y70C.4x3y420 D.3x4y420解析答案所以只

14、有B項正確.B解析答案反思與感悟D解析答案跟蹤訓練1一條直線經(jīng)過點A(2，2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，求此直線方程.即x2y20或2xy20.解析答案題型二直線方程的應用例2已知直線l的方程為3x4y120，求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過點(1，3)，且與l平行；(2)過點(1，3)，且與l垂直.反思與感悟解析答案又l過點(1，3)，反思與感悟即3x4y90.反思與感悟即4x3y130.方法二(1)由l與l平行，可設l的方程為3x4ym0.將點(1，3)代入上式得m9.所求直線的方程為3x4y90.(2)由l與l垂直，可設l的方程為4x3yn0.將(1，3)代入上式得n

15、13.所求直線的方程為4x3y130.反思與感悟一般地，直線AxByC0中系數(shù)A、B確定直線的斜率，因此，與直線AxByC0平行的直線方程可設為AxBym0，與直線AxByC0垂直的直線方程可設為BxAyn0.這是經(jīng)常采用的解題技巧.解析答案跟蹤訓練2a為何值時，直線(a1)x2y40與xay10.(1)平行；(2)垂直.解當a0或1時，兩直線既不平行，也不垂直；(1)當兩直線平行時，由k1k2，b1b2，所以當a1或2時，兩直線平行.(2)當兩直線垂直時，由k1k21，題型三由含參一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍例3(1)若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一條直線，則實數(shù)m滿足_.解

16、析若方程不能表示直線，則m25m60且m23m0.解析答案所以m3時，方程表示一條直線.m3(2)當實數(shù)m為何值時，直線(2m2m3)x(m2m)y4m1.傾斜角為45；解因為已知直線的傾斜角為45，所以此直線的斜率是1，解析答案在x軸上的截距為1.解因為已知直線在x軸上的截距為1，解析答案反思與感悟跟蹤訓練3已知直線l：5ax5ya30.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；解析答案直線l必過第一象限.(2)為使直線l不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍.解析答案直線不過第二象限，直線的斜率a3.a的取值范圍為3，).解析答案解后反思例4設直線l的方程為(m22m3)x(2m2m1)y(

17、2m6)0，若此直線的斜率為1，試確定實數(shù)m的值.返回一般式求斜率考慮不全致誤易錯點分析由直線方程的一般式，可轉化為斜截式，利用斜率為1，建立方程求解，但要注意分母不為0.當m1時，式不成立，不符合題意，故應舍去；解后反思解后反思本題易出現(xiàn)的錯誤是在由一般式轉化為斜截式后，直接得到式，而忽略了式.因為本例中斜率已存在且為1，故式應有意義，所以分母應不為0.返回 當堂檢測解析答案1.若方程AxByC0表示直線，則A、B應滿足的條件為()A.A0 B.B0C.AB0 D.A2B20解析方程AxByC0表示直線的條件為A、B不能同時為0，即A2B20.D解析答案2.已知ab0，bc0，則直線axbyc通過()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限C由此可知直線通過第一、三、四象限.解析答案3.過點(1，0)且與直線x2y20平行的直線方程是()A.x2y10 B.x2y10C.2xy20 D.x2y10A解析答案4.若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，則實數(shù)m等于()B解析答案5.已知兩條直線yax2和3x(a2)y10互相平行，則a_.解析兩條直線yax2和3x(a2)y10互相平行，解得a3或a1.3或1課堂小結1.根據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，則k1