力學(xué)漆安慎習(xí)題解答

1、1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3x2 4x 10(ax b)/(a bx)力學(xué)1/JX 7si nx 8cosx 100sin J1x2sin x ee x 100xh因水平坐標(biāo)x而變，h=,度量x和h的單位為米。問(wèn)何處的高度將2 .已知某地段地形的海拔高度 取極大值和極小值，在這些地方的高度為多少？解：先求出h(x)對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)：令 dh/dx=O,解得在 x=0,10,-10處可能有極值。 d2h/dx2|x=«0,.x=0 是極大值點(diǎn)，h(0)=100;v d2h/dx2|x=iA0,. x=10是極小值點(diǎn)，h(10)=米;顯然，x=-10亦是極小值點(diǎn)，h(-10)=h(10

2、).3. 求下列不定積分解：4. 求下列定積分/2解:sin xdxcosx|0 106.計(jì)算由y=3x和y=x所圍成的平面圖形的面積。解：如圖所示，令3x=x,得兩條曲線交點(diǎn)的x坐標(biāo)：x=0,3面積7 .求曲線y=x+2,y=2x,x=0和x=2諸線所包圍的面積。解：面積A8.物體沿直線運(yùn)動(dòng)的速度為v=v+at,V0和a為常量，求物體在t1至t2時(shí)間內(nèi)的位移。t2解：位移 S(v0 at )dtt11. 2. 3. 4. 5. 6. 7.略8 .二矢量如圖所示 A=4,B=5,a =25o, 3 =，直接根據(jù)矢量標(biāo)積定義和正交分解法求 A B。解：直接用矢量標(biāo)積定義：用正交分解法：Ax=4c

3、os a =Ay=4sin a =, Bx=5cos(90o+ 3 )= - 5sin3 =43 = -3,By=5sin(90o+ 3 )=5cos A BAxBxAyBy3.6 ( 3)1.7 449.已知 A ? J? B? 2?21?,求A與B的夾角。解：由標(biāo)積定義A BABcos(A,B)cos(A, B)醤，而10.已知A B 3i?5? I?, A B4i? 4? I?求A與B的夾角。解：將已知兩式相加，可求得A3.5i? 0.5?；再將已知兩式相減，可求得3.5,B 0.5i? 4.5? I?AJ3.520.5288.24X =。cos(A, B) 器 0.0308,夾角(A,

4、B)11.已知A B C 0,求證A B BA.證明：用已知等式分別叉乘 A,B,C,有ABBBCB0, AC0.A, B B,C C均為零，A BPRQ的面積12.計(jì)算以 P (3,0,8)、Q (5,10,7)、解：據(jù)矢積定義，R (0,2,-1)為頂點(diǎn)的三角形的面積。*|PR P Q|, PROROP =13.化簡(jiǎn)下面諸式解：(A B C)(C AB) A (A B C) B? (? k) ? (i?I?)I? (i? I)(2A B) (C A) (B C) (A B)14.計(jì)算下面諸式解： i? (J? k) k (? ? (k A (B A) B (A A) 0?i15求證：(A

5、B) (AC) B)(B C)證明：(A B) (A C)B)16.已知A (1 2t2)i?etJ? k,d2A求 dt解:籌 4(1 2t2)i? eJ? k4ti? etj?17.已知A3e t i? (4t3t)? tk,B4t2i? 3t?,解：A BAxBxAy ByAzBz第二章基本知識(shí)小結(jié)1.基本概念r r (t) V2drdv d rdtdt dt2（向右箭頭表示求導(dǎo)運(yùn)算，向左箭頭表示積分運(yùn)算，積分運(yùn)算需初始條件：t to,rro,v Vo)2.直角坐標(biāo)系r xi?yj? zl?r Jx2 y2r與x,y,z軸夾角的余弦分別為y/ r, z/ r.Vxi? Vy?Vzk,&#

6、171;Vx2Vy2Vz2x,y,z軸夾角的余弦分別為Vx/v,Vy/V,Vz/V.ax?ayJ? azk?2ay2azx,y,z軸夾角的余弦分別為ax / a,ay / a, az / a.3自然坐標(biāo)系r r(s)；dsdtV |v |y'Jx4極坐標(biāo)系rri?,VVr? V ? VVv/ V 25相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)于兩個(gè)相對(duì)平動(dòng)的參考系r rro,t t'（時(shí)空變換）v v' V0（速度變換）a a' a。（加速度變換）若兩個(gè)參考系相對(duì)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則為伽利略變換，在圖示情況下，則有:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為: r (32t)? 5? r (23t)? (4t1）?,求質(zhì)

7、點(diǎn)軌跡并用圖表示解： x 32t, y5,軌跡方程為y 5的直線.3t, y 4t 1，消去參數(shù)t得軌跡方程4x3y點(diǎn)軌 位移。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)r e2t?跡；求自動(dòng)學(xué)方程為e2t?21?.求質(zhì)t= -1到t=1質(zhì)點(diǎn)的解：由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可知:2te ，y2,xy1，所以，質(zhì)點(diǎn)是在 z=2平面內(nèi)的第一像限的一條雙曲線上運(yùn)動(dòng)。 r r(1) r( 1) (e 2e2)? (e2e2)J?7.2537i? 7.2537?。所以，位移大小:4t2? （2t 3）j?.求質(zhì)點(diǎn)軌跡；求質(zhì)點(diǎn)自t=0至t=1的位移.解:x 4t2, y 2t 3，消去參數(shù)t 得:x (y 3)2r(1) r(0)4? 5? 3? 4?

8、2?R14100m, 133.7后測(cè)得R24240m,229.3 , R1,R2 均在鉛率的近似值和飛行方向(a角)直面內(nèi)，求飛機(jī)瞬時(shí)速解：v vR2R1t，在圖示的矢量定理，可求得:據(jù)正R/si n( 12)R2/S in (180一圓柱體沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，拋物線軌道為 0 TARa三角形中，應(yīng)用余弦rTyy=x2/200 （長(zhǎng)度：毫米）。x經(jīng)過(guò)時(shí)間2ms后，圓柱體移到x=234mm處。求圓柱第一次觀察到圓柱體在 x=249mm處, 體瞬時(shí)速度的近似值。解:由于 t很小，所以，v其中，t2ms, r x? y?x x2x1 234 24915(x/ t)i? ( y/ t)?7.5i?18.

9、1?°其大小|v I J( 7.5)2(18.1)219.6mm/ms;與x軸夾角X 108m/s.解：聲音傳播情況如圖所示， 北京人聽(tīng)到演奏聲音所需時(shí)間: 廣州人聽(tīng)到演奏聲音所需時(shí)間: 火車進(jìn)入彎道時(shí)減速，駛，3min 后以 70km/h列車的平均加速度。最初列車向正 速率向北偏西vt t對(duì)矢量三角形應(yīng)用余弦定理:|t17m340m/svi=2320km,3 X 108m/s北40V2- _v 1269 0.07m/s2，由正弦定理：t 3 60sinvsin30北以90km/h速率行30。方向行駛，求r Rcosti? Rsi nt? 2tl?, R為正常數(shù)，求 t=0, n /

10、2時(shí)的速度和加速度。3t? 4.5t2? 6t3l?,求t=0,1時(shí)的速度和加速度（寫出正交分解式）。解：vdv/dt/2dr / dt Rsint? Rcost? 2k?Rcosti? Rsint?.R? 21? a |t/2v |t 0R?R? 2l?a It 0Ri?dr /dt 3i? 9t? 18t2l?解：質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)的速度dx/dt，在x-t圖像中為曲 都是直線，因此三種運(yùn)動(dòng)都是與x軸正向夾角為a,則速度對(duì)于對(duì)于對(duì)于a種運(yùn)動(dòng): b種運(yùn)動(dòng): c種運(yùn)動(dòng):t(s)a dv/dt 9? 36tk?;線斜率。由于三種圖像 勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線v tgx/ tx=acost,a為正常數(shù)，求質(zhì)

11、點(diǎn)速度和加速度，并討論運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)（有無(wú)周期性，運(yùn)動(dòng)范圍,速度變化情況等)解: x a cost, vx dx/dt as in 1,ax dvx /dta cost顯然，質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間按余弦規(guī)律作周期性運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)范圍:跳傘運(yùn)動(dòng)員的速度為v, v鉛直向下，B1 e q,q為正常量，求其加速度，討論時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)(即178)速度、加速度的變化趨勢(shì)。解：因?yàn)関>0, a>0,所以，跳傘員做加速直線運(yùn)動(dòng)，但當(dāng) 過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間后，跳傘員將做勻速直線運(yùn)動(dòng)。v3, a7 0,說(shuō)明經(jīng)直線運(yùn)行的咼速列車在電子計(jì)站。列車原運(yùn)行速率為vo=18Okm/h ,圖所示。求列車行至 x=時(shí)的加速度。解：算機(jī)控制下減速進(jìn)其

12、速率變化規(guī)律如Vocos( x/5), dv/dx5V0 sin sX.dv dx ,. dv122dx dTv dx10V0 Sin 5 x ,aA=,求物體B的加速度。 解：設(shè)整個(gè)繩長(zhǎng)為B龜Ag將 vo=18Okm/h,x=代入aAL,取圖示坐0x標(biāo) o-x,貝y 3xa+(-4xb)=對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)數(shù),3aA=4aB,所以 aB = 3aA/4=3 x 4 =3g/8o-x正方向移動(dòng)2m,運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何？初速度有無(wú)變化？將計(jì)時(shí)2將坐標(biāo)原點(diǎn)沿 起點(diǎn)前移1s,運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何？初始坐標(biāo)和初速度發(fā)生怎樣的變化？加速度變不變？解：x=101+312, v=dx/d1=10+61 , a=dv/d1

13、=6 , 1=0 時(shí)，x=0,v=10將坐標(biāo)原點(diǎn)向x軸正向移動(dòng)2m,即令x'=x-2, x=x'+2,則運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：x'=10t+3t2-2, / v'=dx7dt=10+6t，二 v'=v將計(jì)時(shí)起點(diǎn)前移1s,即令1'=1+1 , 1=1'-1 ,則運(yùn)動(dòng)學(xué)方程變?yōu)椋簒 = 10(1'-1) + 3(1'-1) 2 = 101' -10 + 31'2 - 61' + 3 = 41' + 31' 2 -7v'=dx/dt'=4+6t' , 1'=0 時(shí)，

14、x= -7, v'=4，加速度 a 不變。質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度ax = 21 (cms-2)，求在下列兩種情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，出發(fā)后 6s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、在此期間所走過(guò)的位移及路程。初 速度v0=0:初速度v0的大小為9cm/s，方向與加速度方向相反。解：dvxaxd1 21d1,vxdvx12 tdt,0 v。0時(shí)，vx t2,it3;x(6)3 62 72cm v09 時(shí)，vx t29,113 9t令vx=0,由速度表達(dá)式可求出對(duì)應(yīng)時(shí)刻1=3，由于3秒前質(zhì)點(diǎn)沿x軸反向運(yùn)動(dòng)，3秒后質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，所以路程：x = -3 Sint,求t1=3至t2=

15、5時(shí)間內(nèi)的位移。x5解：dx Vxdt3sintdt,dx 3 sintdtX33一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)加速度的變化規(guī)律為ax= -Aw cos3 t.在 t=0 時(shí)，vx=0,x=A,其中A, 3均為正常數(shù)。求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。ax dVx/dt2A cos t,2dVx A cos tdtvx0dVxtcos tdt0t0cos td( t)VxxdxAsintA sin0Acos t 10dx/ dt,tdtdxtA sin0A(cos t1),A sin tdttd( t)x Acos t0,且坐標(biāo)x=0,假設(shè)其加速度為 規(guī)律。ax = - bvx2，b=常量，求飛機(jī)速度和坐標(biāo)隨時(shí)

16、間的變化Vx2解: dvx axdtbvx dt, vxVo2dvxtb dt,0Vx1 |V0bt2的加速度上坡，另一自行車同時(shí)以 兩人相遇？?jī)扇讼嘤鰰r(shí)各走過(guò)多長(zhǎng)的路程？解：以上坡者出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)沿其前進(jìn)方向建立坐標(biāo) 2表示下坡者。h的初速度和s2的加速度下坡，問(wèn)：經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間o-x，用腳標(biāo)1表示上坡者，用腳標(biāo)兩人的加速度實(shí)際上是相同的:a1 a20.2m /s2根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式：令X1=x2，可求得相遇時(shí)間：對(duì)于上坡者，在相遇期間做的 動(dòng)，據(jù)上坡者的速度表達(dá)式：V1=，令t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后卻再下坡。因此， 路程：對(duì)于下坡者，因?yàn)樽鰡畏较蛑本€運(yùn)動(dòng)，所以3

17、0s內(nèi)走過(guò)的路程： t=24s,火車第一節(jié)車廂的末尾從此人的前面通過(guò)，問(wèn)第七節(jié)車廂駛過(guò)他面前需要多 長(zhǎng)時(shí)間？火車做勻加速運(yùn)動(dòng)。解：設(shè)每節(jié)車廂長(zhǎng)為 L,以地為參考系，以人所在點(diǎn)為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo) 節(jié)車廂的前端點(diǎn)為研究對(duì)象， 標(biāo)x=0,速度v=0,據(jù)勻加速運(yùn)5t=,.-*v10a片V20195-a2x I at2，令 x=L,求得:2 2二 x Lt2 /242t=195/=30s不一定是單方向直線運(yùn)V1=0 ,求得對(duì)應(yīng)時(shí)刻 上坡者在 30s內(nèi)走過(guò)的o-x，以第- t=0時(shí)，前端點(diǎn)的坐 動(dòng)公式：2L 2L2 2 ，(t) 24令x=6L,可求得第6節(jié)車廂尾端通過(guò)人時(shí)所需時(shí)間 令x=7L,可求得第7

18、節(jié)車廂尾端通過(guò)人時(shí)所需時(shí)間 因此，第7節(jié)車廂通過(guò)人所需時(shí)間：在同一鉛直線上相隔 h的兩點(diǎn)以同樣速率 V0上拋 早t0秒被拋出，求此二石子何時(shí)何處相遇？解：以地為參考系，建立圖示坐標(biāo)o-y。據(jù)題意，y1=h,速度 V1=V0； t=t0時(shí)，下面石子坐標(biāo) y2=0, v2=v0 解法1:根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，可知 解法2 :可根據(jù)速度、加速度的導(dǎo)數(shù)定義和初始條 然后求解。解：以電梯為參考系，小孩相對(duì)電梯做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，t6：t7：設(shè)t=0時(shí)，上面石子坐標(biāo)0.石子，但在高處的石子件，通過(guò)積分得到、,他從起跳到再次落到地板所需時(shí)間，是他從最高處自由下落到地板所需時(shí)間的2倍。由自由落體運(yùn)動(dòng)公式：h

19、4gt2,可求得從最高出落到地板所需時(shí)間:t J2g/h V2 9.8/0.5 0.32s，所以小孩做豎直上拋所需時(shí)間為，在此時(shí)間內(nèi)電梯對(duì)地下落距離:L = Xt=0dvdr質(zhì)點(diǎn)在時(shí)，v解:adto-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其加速度為a cost? sin t ?,位置和速度的初始條件為:? r i?，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并畫出軌跡。? sin ti?vdt (vcost? sin tf)dt, dv(cost 1)? si nt?rSinti? cost?)dt, drti? costdt0cost?ti? sintdt0t? sintdt0t? costdt0i? （cost在同一豎直面內(nèi)的同一水平

20、線上 射角同時(shí)拋出兩球，欲使兩小球相遇時(shí)都在 B兩點(diǎn)間的距離。已知小球在 A點(diǎn)的發(fā)射速 解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)系，取 點(diǎn)間距離為S,初始條件如圖所示。據(jù)斜拋規(guī)律有：滿足題中條件，在最高點(diǎn)相遇，必有°發(fā)射速率150m/s，炮彈擊中傾角為 點(diǎn)到發(fā)射點(diǎn)的距離 0A.解：以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo) 為（見(jiàn)教材）： 本題，a =60°, V0=150m/s, A 點(diǎn)坐標(biāo) 以：1)i? si nt? costi? si nt?A、 BVAy=VBy=0,XA=XB30的山坡上的目標(biāo),兩點(diǎn)分別以300、60o為發(fā) 自己的軌道的最高點(diǎn)，求A、 度VA=米/秒。發(fā)射時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，兩

21、發(fā)射點(diǎn)正在山腳，求彈著斜拋物體的軌跡方程應(yīng)滿足軌跡方程，所x2g 2xa V0g2y XAtg 60 一22Xa2v0 cos 60另外，根據(jù)圖中幾何關(guān)系，可知:XAOAcos30 4OAyA OAsi n30?OA，代入中,有:°俯沖時(shí)，在763m的高度投放炸彈，炸彈在離開(kāi)飛機(jī)時(shí)擊中目標(biāo)，不計(jì)空氣阻力： 轟炸機(jī)的速率是多少？炸彈在飛行中通過(guò)的水平距離是多少？炸彈擊中目標(biāo)前一瞬間 的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少？設(shè)炸彈初速度（即轟解：以投放點(diǎn)為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)o-xy.炸機(jī)速度）為 Vo.由于炸彈在飛行過(guò)程中的加y53 °V0速度ag?，所以炸彈在x方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)

22、，在 y方向做豎直令t=，y=763m，由可求得轟炸機(jī)的速將Vo代入中，可求得炸彈擊中目標(biāo)時(shí)速度的水平分量： 令t=5，由可求得炸彈擊中目標(biāo)時(shí)速度的豎直分量：拋射體達(dá)到最大高度且正以速率V沿水平方向運(yùn)動(dòng)；觀測(cè)員到拋射體的直線距離是l;觀測(cè)員觀測(cè)拋體的視線與水平方向成0角。問(wèn)：拋射體命中點(diǎn)到觀測(cè)者的距離D等于多少？何種情況下拋體飛越觀察員的頭頂以后才命中目標(biāo)？何種情況下拋體在未達(dá)到下拋運(yùn)動(dòng)，有率：觀察員以前就命中目標(biāo)？解：以拋體所達(dá)最大高度處為 立圖示坐標(biāo)0-xy，拋體以速度 v做 設(shè)命中時(shí)間為ti，由自由落體公式：命中點(diǎn) x 坐標(biāo)為：Xi vtivj2l sin / g，由圖中幾何關(guān)系，觀測(cè)者

23、的x坐計(jì)時(shí)起點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)， 建 平拋運(yùn)動(dòng).標(biāo)：x2l cos。所以，觀測(cè)者與命中點(diǎn)間的距離:當(dāng) X1<x2，3 /g lcos, lcos金時(shí)，則拋體在飛越觀察員后才命中目標(biāo)。 lcos&F時(shí)，則拋體在未達(dá)到觀察員當(dāng) X1>X2,前即命中目標(biāo)。時(shí)，列車在圖中 O點(diǎn), 以后前進(jìn)至1200m處的速率及加速度。解：S=80t-t2 v=dS/dt=80-2t 令S=1200，由可求得對(duì)應(yīng)時(shí)間： 將t=60代入中，v=-40,不合題意，中，v=40m/s，此即列車前進(jìn)到1200m 火車以200米/小時(shí)的速度駛?cè)雸A300米。司機(jī)一進(jìn)入圓弧形軌道立即減速，2 (m,s)，t=0此圓弧形

24、軌道的半徑r=1500m，求列車駛過(guò) O點(diǎn)S東an習(xí)a T舍去；將t=20代入 處的速率。形軌道，其半徑為減速度為2g。求火車在何處的加速度最大？最大加速度是多少？解:沿火車運(yùn)動(dòng)的圓形軌道建立弧坐標(biāo)0-S, t=0時(shí)，s=0,v=v0=200km/h=s。據(jù)題意aT = -2g,v=v0+aTt=v0 -2g t, an=v2/R=(v0 -2gt)2/R。二 a=(aT2+an2)1/2=4g2+(v0 gt)4/R21/2,顯然，t=0 時(shí)，J4g2 v, / R222.1m/s2斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道上運(yùn)動(dòng)， 半徑為150m ,斗車速率為50km/h ,切向加速 度。a最大，

25、a max當(dāng)斗車達(dá)到圖中所示位置時(shí),軌道曲率度a T =,求斗車的加速2解：a 0.4g0.4 9.83.92m/s加速度a與切向單位矢量？夾角：飛機(jī)在某高度的水平面上飛行，機(jī)身的與正西夾15o角，風(fēng)以100km/h的速率自西南方向是自東北向西南， 向東北方向吹來(lái)，與正南夾450角，結(jié)果飛機(jī)向正西方向運(yùn)動(dòng)，求飛機(jī)相對(duì)于風(fēng)的速度及相對(duì)于地面的速度。 北解:v機(jī)地 v機(jī)風(fēng) v風(fēng)地，由矢量圖A第一次渡河矢量B片 120m-*|-V/V機(jī)地sin30V機(jī)風(fēng)v風(fēng)匚其中sin 135 sin 15v風(fēng)地v機(jī)地地=100km/h=s，二可求得:東V風(fēng)V機(jī)風(fēng)卡車在平直路面上以恒速度30米/秒行駛，在此車上射出

26、一 個(gè)拋體，要求在車前進(jìn) 60米時(shí)，拋體仍落回到車上原拋出點(diǎn)，問(wèn)拋體射出時(shí)相對(duì)于卡車的 初速度的大小和方向，空氣阻力不計(jì)。解：以卡車為參考系，設(shè)拋體初速為v。，由于要落回原拋出點(diǎn)，故方向只能豎直向上， 即拋體相對(duì)車只能作豎直上拋運(yùn)動(dòng)。取向上方向?yàn)檎?，拋體相對(duì)車任意時(shí)刻速度v = v - g t 由題意，拋體落回原地所需時(shí)間t = 60/30 = 2(s)，落到車上時(shí)的速度v = - v0，把數(shù)值代入中，可求得 v0 = m/s.河的兩岸互相平行，一船由A點(diǎn)朝與岸垂直的方向勻速駛?cè)?，?jīng)10min到達(dá)對(duì)岸C點(diǎn)。若船從A點(diǎn)出發(fā)仍按第一次渡河速率不變但垂直地到達(dá)彼岸的B點(diǎn)，需要。已知BC=120m.求

27、:河寬L;第二次渡河時(shí)船的速度U ；水流速度v.解：以船為運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，水為動(dòng)系，岸為靜系，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)公式由第一次渡河矢量圖可知：v=BC/t1=120/600=s,U = L / t1，L = U t1.由第二次渡河矢量圖可知：cos a =3 2/ u ， v = U sina(6).把、代入，求得cos aSin a =(1-cos2a )1/2=3/5(7)u = X 5/3 = 1/3 (m/s). 再把u的數(shù)值代入，求得L = 600/3 =3 2 = L / t2，=t1/t2=600/750=4/5,把、代入，求得200(m).答：河寬200米，水流速度米/秒；第二次渡河時(shí)，船對(duì)水

28、的速度是1/3米，與河岸垂直方向所成角度a =arccos(4/5)=36o52'.0 =30。的位置向東北方向以速率20km/h行駛，求此瞬時(shí)甲車相對(duì)乙車的速度。解：由相對(duì)運(yùn)動(dòng)公式:V1V12V2 ,Vi2 Vi V2，顯然矢量三角形為等邊三角形，w*vl2 所以，vi2=20km/h , 幻vi方向向東偏南601牛頓運(yùn)動(dòng)定律適用于慣性系、第三章基本知識(shí)小結(jié) 質(zhì)點(diǎn)，牛頓第二定律是核心。矢量式：Fdvma mdtd2rm2dt2Fx分量式：Fmax,maFydvmdtmay, Fz,Fn manmaz （直角坐標(biāo)）2,口-（弧坐標(biāo)）2動(dòng)量定理適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系。導(dǎo)數(shù)形式:dpd

29、t微分形式:Fdtdp積分形式:1(Fdt) P（注意分量式的運(yùn)用）則質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。即3動(dòng)量守恒定律適用于慣性系、質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系。 若作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和始終為零，（注意分量式的運(yùn)用）4在非慣性系中，考慮相應(yīng)的慣性力，也可應(yīng)用以上規(guī)律解題。在直線加速參考系中:ma。在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中:2r,k 2mV5.質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理mrcmi n mvcmiVimacmiai F mac（注意分量式的運(yùn)用）質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為r (6t21)i? (3t2 3t 1)?(單位:米，秒），求證質(zhì)點(diǎn)受恒力而運(yùn)動(dòng)，并求力的方向解: / a d2r/dt212i? 6?,大小。F

30、 ma 24i? 12?為一與時(shí)間無(wú)關(guān)的恒矢量,質(zhì)點(diǎn)受恒力而運(yùn)動(dòng)。F=（242+122）1/2 =15 N，力與x軸之間夾角為:質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：r a cos t ? bsi n t ?, a,b, w為正常數(shù)，證明作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)。證明： ad2r /dt22 (acos t? bsin tQ2r2F ma m r , 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力總指向原點(diǎn)。在脫粒機(jī)中往往裝有振動(dòng)魚鱗篩，一方面由篩孔漏出谷粒，一方面逐出秸桿，篩面微微傾斜，是為了從較低的一邊將秸桿逐出，因角度很小，可近似看作水平，篩面與谷粒發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)才可能將谷粒篩出，若谷粒與篩面靜摩擦

31、系數(shù)為，問(wèn)篩沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和篩面發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)？解：以地為參考系，設(shè)谷物的質(zhì)量為m,所受到的最大靜摩擦力為fomg ,物能獲得的最大加速度為a f /m 0 g 0.4 9.8_ _ _ 23.92 m/s篩面水平方向的加速度至少等于米/秒2,能使谷物與篩面發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。么上疊放著兩塊木板,mi和m2間的摩擦系數(shù)為卩解：以地為參考系，隔離1,其中,分別應(yīng)用3 imi卩2m o11121 '質(zhì)量各為mi ,m2,如圖所示， m2和桌面間的摩擦系數(shù)為卩問(wèn)沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出來(lái)。mi、m2,其受力與運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，2,y Ni'=Ni,fi&

32、#39;=2i=i Ni, 2N2 2nf ,選a圖示 頓二定律，_*"*aiNi坐標(biāo)系o-xy，對(duì)mi,m2* fiNi'm2giNimiaiNimig0FiNi2N2mQa?N2 Nim2gaiiga2Fmg2m2g要把木板從下面抽出來(lái)，必須滿足a2ai，即mlg解方程組斜面傾角為 a ,質(zhì)量為 斜面的加速度及其對(duì)斜質(zhì)量為m2的斜面可在光滑的水平面上滑動(dòng)，mi的運(yùn)動(dòng)員與斜面之間亦無(wú)摩擦，求運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于面的壓力。解：以相對(duì)地面向右作加速直線運(yùn)動(dòng)的斜面為參考系（非慣性系，設(shè)斜面相對(duì)地的加速度為a2），取mi為研究對(duì)象,2其受力及運(yùn)動(dòng)情況如左圖所示，其中Ni為斜面對(duì)人的支撐力，

33、f*為慣性力，ma；即人對(duì)斜"度，方向顯然沿斜面向下，選如圖所示的坐標(biāo)系o'-x'y',應(yīng)用牛頓第二定律建立方'再以地為參考系，取 a為研究對(duì)象，其受力及運(yùn)動(dòng)情況如右圖所示，選圖示坐標(biāo) 應(yīng)用牛頓第二定律建立方程：gm2g度，方mim20-xy,0Ni sinm2a2N2m2gNi cos(1 )、( 2 )、( 3 )聯(lián)立，即可求得：milm2Fm1m2cosNim2misin2 ga' m2(m1 m2)s in在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為 求在力F的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力, 長(zhǎng)。解：以地為參考系，動(dòng)情況如圖示，其中：fi= T1

34、(Ni+m2g)= 1 (mi+m2)g.點(diǎn)應(yīng)用牛二定律：+可求得:F 2migmim2將a代入中,可求得：Tmi,m2，物體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都為不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦，卩，繩不可伸Ni ifi migm1(F 2migg)m2N2* FNim2g隔離mi,m2,受力及運(yùn)Ni=mig, f2=卩 N2=在水平方向?qū)蓚€(gè)質(zhì)i,m2,m3，且兩兩不相等.若物體 數(shù)為1,求三個(gè)物體的加速度及繩內(nèi)的 量，不計(jì)軸承摩擦，繩不可伸長(zhǎng)。解：以地為參考系，隔離示，其中：fi= 1 Ni= 1 mig, f2= 1 的位移加B的位移除2等于C的位/2= a3.對(duì)A,B,C分別在其加速度方向 律

35、：，聯(lián)立，可求得：A,B,C,N2=NiTfia3aiC-rim3gN2*f2A,B與桌面間的摩擦系 張力，不計(jì)繩和滑輪質(zhì)受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖m2g, T'=2T,由于 A移，所以(ai+a2)上應(yīng)用牛頓第二定i,m2的物體(miM m2),天平右端的托盤上放有砝碼 平才能保持平衡？不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦，繩不伸長(zhǎng)。解：隔離 mi,m2及定滑輪，受力及運(yùn)動(dòng)情 第二定律：m2g a2.問(wèn)天平托盤和砝碼共重若干，天況如圖示，應(yīng)用牛頓T' mg m,a m2g T' m2a T2T'由可求得:所以，天平右端的總重量應(yīng)該等于T,棒球質(zhì)量為，用棒擊棒球的力隨時(shí)間的變球

36、被擊前后速度增量大小為70m/s，求力的最計(jì)重力。平才能保持平衡。 化如圖所示，設(shè)棒 大值，打擊時(shí)，不T'止，t=20s 時(shí)，y = y1, v =作用，作豎直上拋運(yùn)v=O,y=O; t=4 20s動(dòng)，設(shè)達(dá)最大高度時(shí)的坐標(biāo) 第二階段的動(dòng)力學(xué)方程為： 第三階段運(yùn)動(dòng)學(xué)方程令v=0,由（1 ）求得達(dá)最大高度y2=ymax=5030+1672=6702（m）ax2, a為正常數(shù)，小環(huán)套于彎管上。彎管角速度 位置相對(duì)彎管靜止？若為圓形光滑彎管，情況如何？y=y2.F- mg = m dv/dty2時(shí)所用時(shí)間（t-20 ）=32,d Y，丫2Y1，0代入(2)中，得 y2-yi=5030多大，小環(huán)

37、可在管上任解：以固定底座為參考系， 設(shè)彎管的角速度 運(yùn)動(dòng)情況如圖示：a為小環(huán)處切線與 x軸夾角, 加速度大小a=3 2x,方向垂直指向y軸。在圖示坐標(biāo)下應(yīng)用牛頓二定律的分量式：/得：tg所2ax 2x/g,若彎管為(R y)2 R2tg dy/dx代入中，得:2a =3 x/g；由數(shù)學(xué)知識(shí)：以2 2ag,J2agf半徑為R的圓形，x2, Ry(R221/2x ) ,yi(R22 x)1/2 ( 2x) xX/Jr22 x2 /x/g,圓x為3,小環(huán)受力及 壓力N與切線垂直,tg a =dy/dx=2 ax;程為：x2R (R22 1/2x )(R-y)2= R2 ,即北京設(shè)有供實(shí)驗(yàn)用的高速列車

38、環(huán)形鐵路,xh轉(zhuǎn)半徑為9km，將要建設(shè)的京滬列車時(shí)速 250km/h ,若在環(huán)路上作此項(xiàng)列車實(shí)驗(yàn)且欲使鐵軌不受側(cè)壓力, 比內(nèi)軌高多少？設(shè)軌距.解：以地為參考系，把車廂視為質(zhì)點(diǎn)，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示：車廂速度外軌應(yīng)v=250km/h=s ,h/l加速度a=v2/R；設(shè)軌矩為I,外軌比內(nèi)軌高h(yuǎn),有cos Ml2h2 /I, sin選圖示坐標(biāo)o-xy，對(duì)車箱應(yīng)用牛頓第二定律:Ncos nJi2 h2/l mg ，Nsin Nh/I mv2 /R /得：Jl2 h2/h gR/v2，兩邊平方并整理，可求得 h：100m的水平圓形彎道上行駛，公路內(nèi)外側(cè)傾斜 然坐標(biāo)，汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為s=+20t (m)，

39、自t=5s開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，方向垂直的摩擦力是由公路內(nèi)側(cè)指向外側(cè)還是由外側(cè)直向內(nèi)側(cè)？解：以地為參考系，把汽車視為質(zhì)點(diǎn)，受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示： v=ds/dt=+20 , v| t=5 = X 52+20=s, an=v2/R=100=33 設(shè)摩擦力f方向指向外側(cè)，取圖示坐標(biāo)得X 10kN,在半徑為o-xy,15，沿公路取自問(wèn)公路面作用于汽車與前進(jìn)tg(manf cos )/(mgf sin應(yīng)用牛頓第二定律:gtg an9.8tg153330.430,0 ,說(shuō)明摩擦力方向與我們事先假設(shè)方向相反，指向內(nèi)側(cè)。E E?，又有與之垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B?。現(xiàn)有帶電粒子以速度 V V?進(jìn)入場(chǎng)中,問(wèn)具有何種速度的粒子

40、方能保持沿x軸運(yùn)動(dòng)？此裝置用于選出具有特定速度的粒子，并用量綱法則檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果。解：帶電粒子在場(chǎng)中受兩個(gè)力的作用：電場(chǎng)力向上 粒子若沿x軸勻速運(yùn)動(dòng)，據(jù)牛頓定律：F1=qE,方向向下；磁場(chǎng)力 F2=qvB,方向qE qvB 0, vE/BxEdim v MT 1 ,dim BNA T 1NA 1M 1MTB0B0中，并開(kāi)始做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周后1,S2 “合格”速度的粒子再進(jìn)入與速度垂直的磁場(chǎng) 打在熒光屏上.試證明粒子質(zhì)量為：m=qBB0r/E, r和q分別表示軌道半徑和粒子電荷。0磁場(chǎng)中受到洛侖茲力的作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心加速度為an=v2/r，由牛頓第二定律：“失重”的感覺(jué)。解：mg m

41、2r,Jg/rJ9.8/16 0.78rad /sA=，圓柱B重1000N,半徑Rb=，都放置在寬度 L=的槽內(nèi)，各接觸點(diǎn)都是光滑的，求 B間的壓力及A、B柱與槽壁和槽底間的壓力。A、NabABALmBgMiabNb'A、cos分析，可知，sin a = /-a力情況如示AB選圖示坐標(biāo)，運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)平衡方程，有C m).bNab sin(0B=L-RB=b cosmAgo n3jx0(4)通過(guò)對(duì) ABC的=30o, cos a =J3/2,分別代入(1 )、(2)、( 3)、(4)中，即可求得：NB = N , N b'= 1500 N , N圖表示哺乳動(dòng)物的下頜骨，假如肌肉提供的

42、力于牙齒的力為F,假設(shè)F，F(xiàn)和F2共點(diǎn)，求F1和F2的關(guān)系以及與F的關(guān)系。 解：建立圖示坐標(biāo) o-xy，應(yīng)用共點(diǎn)力A = N , N AB = 577 N.Fi和F2均與水平方向成 45 °,食物作用Fx 0,Fy 0x方向， y方向， a,求各線內(nèi)張力。若四根線均不等 弦，能算出線內(nèi)張力嗎？解：設(shè)四根繩子的張力為 T1, T2, T3, T4,T1=T2=T3=T4=T；設(shè)結(jié)點(diǎn)下邊的拉力為F,結(jié)點(diǎn)應(yīng)用平衡條件：F1COSa -F2COSa =0, F1= F2Rsin a +F2sin a - F=0,x平衡條件長(zhǎng)，知諸線之方向余顯然4Tcosa -W=0 , T=W/(4cos

43、a )若四根線均不等長(zhǎng)，則 即使知道各角的方向余弦，由于對(duì)稱，顯然，F(xiàn)=W.在豎直方向上對(duì)工T2工T3工T4 ,也無(wú)法求解，此類問(wèn)題在力學(xué)中稱為靜不定問(wèn)題。由于有四個(gè)未知量，因此,a沿傾角為a的斜面 車保持靜止，求懸線與豎直方向的夾角(分 求解)。解： 作用，小車以勻加速度(1)以地為參考系(慣性系)， 加速度a沿斜面向下，向下運(yùn)動(dòng)，擺錘相對(duì)小 別自慣性系和非慣性系小球受重力W和線拉力T的建立圖示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用牛頓第二定律：Tsinmacosmg T cosmasi n解得 tg a cos /(g a sin )，小球除受重力 W、拉力T外，還受慣性力f*的作(2)以小車為參考系(非慣性

44、系)用(見(jiàn)上圖虛線表示的矢量)，小球在三個(gè)力作用下靜止，據(jù)牛頓第二定律:T sin macos 0a cos解得tg mg T cosmas in0g asin升降機(jī)內(nèi)有一裝置如圖示，懸掛的兩物體的質(zhì)量各為輪質(zhì)量，不計(jì)軸承處摩擦，繩不可伸長(zhǎng)，求當(dāng)升降機(jī)以加速度 體的加速度各是多少？繩內(nèi)的張力是多少？解：以升降機(jī)為參考系，隔離mi,m2,受力及運(yùn)動(dòng)情況如圖示 ai'=a2'=a'為mi、m2相對(duì)升降機(jī)的加速度.以向下為正方向，由牛頓二定律，有：mi ,m2且 miMm2,若不計(jì)繩及滑a （方向向下）運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩物,T為繩中張力，fi*=mia,f2*=m2a.m1am1a&

45、#39;1解得:m2a m2 a'(0 m2) a (m2 mjgm1 m2T 2mi m2(g a)/(mi m2)mi、m2的加速度分別為ai、a2，根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的加速度公式,aia1' aa2a? a 與成標(biāo) 量式：ai a' a, a?a' a ,將a代入，求得：ai2m2a (m2 m1)ga2m1 m22mia (m2 mjgm m2)當(dāng)小球擺至最高位置時(shí)， 釋放框架使它沿軌道自由下落，如圖擺錘相對(duì)于框架如何運(yùn)動(dòng)？當(dāng)小球擺至平衡位置時(shí)，釋放框架，如圖 何運(yùn)動(dòng)？小球質(zhì)量比框架小得多。解：以框架為參考系，小球在兩種情 設(shè)小球質(zhì)量為 m,框架相對(duì)地自由落體

46、 球所受的慣性力f*=mg ,方向向上，小球 兩種情況下，對(duì)小球分別應(yīng)用牛頓第二定小球擺至最高位置時(shí)釋放框架 ，小 所以法向加速度 an=v2/l=0（l為擺長(zhǎng)）；由 0 -f*sin 0 =0,所以切向加速度 at=0.小 零，加速度為零，因此小球相對(duì)框架靜止。小球擺至平衡位置時(shí)釋放框架，小 為零，法向加速度 an=v2/l 0, T=man ; 外力作用，所以切向加速度 a T =0,因此， 相對(duì)框架做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。摩托車選手在豎直放置圓筒壁內(nèi)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。 數(shù)為，求摩托車最小線速度（取非慣性系做）解：設(shè)摩托車在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的最小角 本身為參考系，車受力情況如圖示，在豎直方向應(yīng)用平衡條件

47、，在水平方向應(yīng)用平衡條件，/得：0g2r最小線速度 VII IIII IIa,問(wèn)框架自由下落時(shí)，b，小球相對(duì)框架如II a II T f* 況下的受力如圖所示： 的加速度為g,因此小 所受重力 W=mg.在 律：球相對(duì)框架速度 v=0, 于切向合力 Ft =Wsin球相對(duì)框架的速度為球相對(duì)框架的速度不 在切向方向小球不受 小球速度的大小不變，即小球在拉力T的作用下筒內(nèi)壁半徑為,f*=m 3 2r運(yùn)動(dòng)狀oN = mg N = m 3 2 rr Jrg/ 0 J3.O 9.8/0.67m/s輪胎與壁面靜摩擦系速度為3,以摩托車 態(tài)靜止。力的作用：向下的重 上的靜摩擦力fo,此外 向如圖所示。把這些 形式不變，小盤正是 動(dòng)。為400m/s，打擊遠(yuǎn)的fc*fK*o目標(biāo)，問(wèn)該彈受地球自轉(zhuǎn)影響否？如受影響，偏離目標(biāo)多少(自己找其它所需數(shù)據(jù))？解：以地球?yàn)閰⒖枷?，?dǎo)彈除受重力作用外，氏慣性力