參數(shù)估計(jì)內(nèi)部培訓(xùn)

1、什么是參數(shù)估計(jì) 當(dāng)在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后，如何通過這組數(shù)據(jù)信息，對(duì)總體特征進(jìn)行估計(jì)，也就是如何從局部結(jié)果推論總體的情況，稱為總體參數(shù)估計(jì)。l 參數(shù)估計(jì)可分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。參參數(shù)數(shù)估估計(jì)計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值用某一數(shù)值作為參數(shù)的近似值在要求的精度范圍內(nèi)指出參數(shù)所在的在要求的精度范圍內(nèi)指出參數(shù)所在的區(qū)間區(qū)間統(tǒng)計(jì)推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)的定義點(diǎn)估計(jì)是指在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，直接用一個(gè)特定點(diǎn)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)幾種方法：l用樣本矩來代替總體矩,從而得到總體分布中參數(shù)的一種估計(jì)：矩法估

2、計(jì).并不需要事先知道總體是什么分布。l最大似然法：它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法 ，基本思想 ：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的事件有較大的概率。尋找使概率極大化的參數(shù)就是很自然的想法了,極大似然法就是基于這樣的想法.點(diǎn)估計(jì)二、良好估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性：即用多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值，其偏差的平均數(shù)為0。有效性：當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，無偏估計(jì)變異小者有效性高，變異大者有效性低，即方差越小越好。一致性：當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)值應(yīng)能夠越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)，估計(jì)值越來越精確，逐漸趨近于真值。充分性：指一個(gè)容量為n的樣本統(tǒng)計(jì)量，是否充分地反映了全部n個(gè)數(shù)據(jù)所反映總體

3、的信息。區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤三、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤區(qū)間估計(jì)的定義根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量，利用抽樣分布的原理，在一定的可靠程度上，估計(jì)出總體參數(shù)所在的范圍，即以數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落入的范圍。例子：若設(shè)X表示明年小麥畝產(chǎn)量,則估計(jì)結(jié)果為置信區(qū)間與顯著性水平置信區(qū)間：也稱置信間距，指在一定可靠程度上，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長(zhǎng)度。置信界限（臨界值）：置信區(qū)間的上下兩端點(diǎn)值。顯著性水平：指估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用符號(hào) 表示。有時(shí)也稱為意義階段、信任系數(shù)等。置信度（置信水平）： 。-1P(800X1000)=80%點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤區(qū)間估計(jì)的原理與標(biāo)準(zhǔn)誤區(qū)間估計(jì)是根據(jù)樣

4、本分布理論，用樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算區(qū)間長(zhǎng)度，解釋總體參數(shù)落入某置信區(qū)間可能的概率。區(qū)間估計(jì)存在成功估計(jì)的概率大小及估計(jì)范圍大小兩個(gè)問題。妥協(xié)辦法：在保證置信度的前提下，盡可能提高精確度。規(guī)定正確估計(jì)的概率即置信度為0.95和0.99，則顯著性水平為0.05和0.01。小概率事件在一次抽樣中不可能出現(xiàn)。區(qū)間估計(jì)的原理是樣本分布理論。在計(jì)算區(qū)間估計(jì)值解釋估計(jì)的正確概率時(shí)，依據(jù)的是該樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律及樣本分布的標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本分布可提供概率解釋，而標(biāo)準(zhǔn)誤的大小決定區(qū)間估計(jì)的長(zhǎng)度。一般情況下，加大樣本容量可使標(biāo)準(zhǔn)誤變小。舉例。之間正確的概率為在或者說之間，數(shù)被包含在任何一個(gè)平均的機(jī)會(huì)有，也就是說體參數(shù)

5、這一間距之內(nèi)將包含總的平均數(shù)那么所有平均數(shù)中有之間，落在的推理：所有平均數(shù)中有。的之間包含所有或者說之間，落在的有根據(jù)正態(tài)分布：?；驑?biāo)準(zhǔn)誤，寫作稱均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差（簡(jiǎn)平均數(shù)的離散程度即平，樣本平均數(shù)的平均數(shù)漸近正態(tài)分布，此時(shí)，分布或本平均數(shù)的分布為正態(tài)當(dāng)總體方差已知時(shí)，樣95%96.196.195%96.195%96.195%95%96.196.195%)XXXXXXXXXXSEXuSEXuuSEXSEuXXSEuSEuXnSESEuu區(qū)間估計(jì)的圖示 x95% 的樣本的樣本 -1.96 x +1.96 x99% 的樣本的樣本 - 2.58 x + 2.58x68%的樣本的樣本 -1 x +1

6、x置信區(qū)間與置信水平 .,1.,計(jì)不準(zhǔn)的概率表示參數(shù)估估計(jì)的可靠概率是參數(shù)參數(shù)估計(jì)的把握性給出了置信度也是隨機(jī)的置信區(qū)間由于樣本的隨機(jī)性說明：1、區(qū)間估計(jì)沒有給出參數(shù)的估計(jì)值2、置信區(qū)間越長(zhǎng)，置信度越大，包含參數(shù)的概率越大，但誤差越大；置信區(qū)間越短，誤差可能會(huì)越小，但包含參數(shù)的概率也越小，置信度越低3、因此，在保證一定置信度條件下，建立盡可能小的置信區(qū)間。0/2z/2/2z/2總體平均數(shù)的估計(jì)一、總體平均數(shù)估計(jì)的計(jì)算步驟：利用抽樣的方法抽取樣本，計(jì)算出樣本的平均值 和標(biāo)準(zhǔn)差S：計(jì)算樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤 ：當(dāng)總體方差已知時(shí)，樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算為：當(dāng)總體方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算為：

7、確定顯著性水平和置信水平根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布確定查何種分布表，確定理論值XXSEnSEX1nSSEnX總體平均數(shù)的估計(jì)確定置信區(qū)間：解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。XXXXXXXXSEtXSEtXSEtXSEtXtSEZXSEZXSEZXSEZXZ2222222222,:,:,記為置信區(qū)間為時(shí)當(dāng)理論值為記為置信區(qū)間為時(shí)當(dāng)理論值為舉例1：總體方差已知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時(shí)，（無論樣本容量n的大小，從該總體抽取的樣本分布均成正態(tài)分布。）對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)可以依正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)。例1 已知某市6歲正常男童體重的總體方差為6.55公斤，從該市隨機(jī)抽取15 名6歲男童，其平均體重為2

8、0.4公斤，試求該市6 歲男童平均體重的95%和99%的置信區(qū)間。一 解：95%的置信區(qū)間的顯著性水平=0.05，因此，的95%的置信區(qū)間為:即:的99%的置信區(qū)間為:即:故該市6歲男童平均體重的95%的置信區(qū)間為19.11，21.69；99%的置信區(qū)間為18.7，22.1。66. 087. 356. 21555. 6nSEX96. 12Z66. 096. 14 .2066. 096. 14 .2069.2111.1966. 058. 24 .2066. 058. 24 .201 .227 .18舉例2：總體方差已知時(shí)，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí)（只有當(dāng)樣本容量n30時(shí),此時(shí)樣本抽

9、樣分布漸近正態(tài)分布。這時(shí)可依正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)，否則不能對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)。）例2 已知某區(qū)15 歲男生立定跳遠(yuǎn)的方差為 ，現(xiàn)從該區(qū)抽取58名15歲男生，測(cè)得該組男生立定跳遠(yuǎn)的平均數(shù)為198.4cm，試求該區(qū)15歲男生立定跳遠(yuǎn)平均成績(jī)的95%和99%的置信區(qū)間。解：由題意知：由于樣本容量（n=58）大于30 ，該樣本的抽樣分布為漸進(jìn)正態(tài)分布。因此，的95%的置信區(qū)間為： 198.41.962.75198.41.962.75即 193.01203.79的99%的置信區(qū)間為： 198.42.582.75198.42.582.75即 191.3205.5故有95%的可能落入193.01，203.79

10、內(nèi)，有99%的可能落入191.3，205.5內(nèi)。cm8 .43675. 26 . 79 .20588 .436nSEX總體方差未知，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布, ,且方差( ) 未知2. 使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量3. 總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為0/2/2t/2(n1)t/2(n1) t 分布l t 分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布 xt 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t 分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t (df = 13)t (df = 5

11、)z舉例3：總體方差未知，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)1、當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時(shí)（無論樣本容量n的大小，從該總體抽取的樣本所形成的分布均服從自由度為n-1的t分布，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)可依t分布進(jìn)行估計(jì)）例3 從某市抽取20 名7 歲女童，經(jīng)測(cè)量，這20 名女童的平均身高為116cm，標(biāo)準(zhǔn)差為5cm，試求該市7歲女童總平均身高的95%和99%的置信區(qū)間。解：由題意知，其總體方差未知，但其總體分布為正態(tài)分布，則此樣本均數(shù)的分布服從t分布，可以依t分布對(duì)總平均身高進(jìn)行估計(jì)。29.11971.11215. 1861. 211615. 1861. 2116:%9941.11859.11315. 1093. 211

12、615. 1093. 2116:%95861. 2;093. 2:191201;15. 1195119201. 019205. 0即的置信區(qū)間為的即的置信區(qū)間為的因此，值表可知查tttndfnSSEX舉例4：總體方差未知，對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí)（只有當(dāng)樣本容量n30時(shí)，此時(shí)樣本抽樣分布服從自由度為n-1的t分布，這時(shí)可依t 分布對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)，否則不能對(duì)總體 平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)。）例4 某校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)考試，從中抽取40名考生，經(jīng)計(jì)算，這40 名考生的平均成績(jī)?yōu)?2分，標(biāo)準(zhǔn)差為7 分，試求全體考生平均成績(jī)的95%和99%的置信區(qū)間。解:由題意知,其總體方差未知，其總體分布也未

13、知，但n=4030， 因此可以依t分布對(duì)全體考生平均成績(jī)進(jìn)行估計(jì)。03.8597.7812. 1704. 28212. 1704. 282:%9926.8474.7912. 1021. 28212. 1021. 282:%95,704. 2;021. 2:391401;12. 1397140201. 040205. 0即的置信區(qū)間為的即的置信區(qū)間為的因此值表可知查tttndfnSSEX總體標(biāo)準(zhǔn)差與總體方差的估計(jì)一、總體標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì) 估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差的步驟與估計(jì)總體平均數(shù)的步驟大致相同。但有兩點(diǎn)需要說明：從抽樣分布的討論已知，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的抽樣分布在n30時(shí)為漸近正態(tài)分布，總體標(biāo)準(zhǔn)差可依正態(tài)分布

14、來估計(jì)。當(dāng)n30，可依正態(tài)分布估計(jì)17.2003.11:77. 158. 26 .1577. 158. 26 .15:%9905.1915.12:77. 196. 16 .1577. 196. 16 .15:%95,77. 194. 88 .158039406 .152121即的置信區(qū)間為的即的置信區(qū)間為的因此nnnSnSSEnS總體方差的估計(jì)l 根據(jù)對(duì)抽樣分布的討論可知， 分布的特征之一是從正態(tài)分布總體中，隨機(jī)抽取容量為n的樣本， 其樣本方差與總體方差比值的分布為 分布。即：681158:48)48(1221212222122122222222122222nnnnSnSnnSnSSnnSXX

15、或間確定總體方差的置信區(qū)值與樣本方差來，我們可利用理論由公式22總體方差的區(qū)間估計(jì)（不受樣本容量限制） 2 21- /2 /2 2 /2 /2總體方差1- 的置信區(qū)間自由度為n-1的2舉例6：總體方差的估計(jì)例6 在某市進(jìn)行的一次智力測(cè)驗(yàn)中，隨機(jī)抽取20名12歲學(xué)生，經(jīng)計(jì)算其智力測(cè)驗(yàn)的方差為72.25，試求該市12歲學(xué)生智力測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)總體方差的95%和99%的置信區(qū)間。解：由于智力測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)一般認(rèn)為服從正態(tài)分布， 由該總體中抽出的樣本在估計(jì)總體方差時(shí)符合 分布。226.21144.37:,84. 625.72206 .3825.7220:%9918.16292.43:,91. 825.72209 .

16、3225.7220:%9584. 6, 6 .38;91. 8, 9 .32:,1912012222222995.2201.12201.2975.2205.12205.2即的置信區(qū)間為的即的置信區(qū)間為的則值表得查時(shí)ndf舉例7：總體方差的估計(jì)例7 根據(jù)例6的資料， 用估計(jì)總體方差的辦法來估計(jì)該區(qū)英語(yǔ)統(tǒng)考成績(jī)的總標(biāo)準(zhǔn)差的95%和99%的置信區(qū)間。解：已知n=40，S=15.6，df=n-1=39，查 值表得：269.2107.12:;26.47073.145:%9997.1981.12:;95.39816.164:%9526.470.73.145:,7 .2036.243408 .6636.24340:%9995.39816.164:,4 .2436.243403 .5936.24340:%957 .20, 8 .66; 4 .24, 3 .59),40(2222222201.12201.2205.1220