第七章-參數(shù)估計

1、第七章 參數(shù)估計 例例8-1：從某市隨機抽取小學(xué)三年級學(xué)生：從某市隨機抽取小學(xué)三年級學(xué)生50名，測名，測得平均身高為得平均身高為140cm，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差4。試問該市小學(xué)。試問該市小學(xué)三年級學(xué)生的平均身高大約是多少？三年級學(xué)生的平均身高大約是多少？例例8-2：某教師用韋氏成人智力量表測：某教師用韋氏成人智力量表測80名高三學(xué)生，名高三學(xué)生，M=105。試估計該校高三。試估計該校高三學(xué)生智商平均數(shù)大約為多少？學(xué)生智商平均數(shù)大約為多少？ 思思 考考什么是參數(shù)估計什么是參數(shù)估計 當(dāng)在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后，如何通過當(dāng)在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后，如何通過這組數(shù)據(jù)信息，對總體特征進行估計，也就是這

2、組數(shù)據(jù)信息，對總體特征進行估計，也就是如何如何從局部結(jié)果推論總體從局部結(jié)果推論總體的情況，稱為的情況，稱為總體參總體參數(shù)估計數(shù)估計。 參數(shù)估計：參數(shù)估計： 樣本樣本統(tǒng)計量統(tǒng)計量總體總體參數(shù)參數(shù)估計估計參數(shù)估計的方法估估 計計 方方 法法點點 估估 計計區(qū)間估計區(qū)間估計一、點估計一、點估計1、含義：直接用、含義：直接用樣本統(tǒng)計量的值樣本統(tǒng)計量的值作為總體作為總體參數(shù)的估計值，即：參數(shù)的估計值，即： 例：例：假設(shè)從某市隨機抽取假設(shè)從某市隨機抽取113六歲男童，測得六歲男童，測得平均身高為平均身高為110.7公分。試估計該市所有六歲公分。試估計該市所有六歲男童的平均身高是多少？男童的平均身高是多少？

3、X7 .1107 .110X第一節(jié)第一節(jié) 點估計、區(qū)間估計與標(biāo)準(zhǔn)誤點估計、區(qū)間估計與標(biāo)準(zhǔn)誤 二、良好估計量的標(biāo)準(zhǔn)二、良好估計量的標(biāo)準(zhǔn) 1.1.無偏性無偏性 無偏估計量：用多個樣本的統(tǒng)計量作為總體參數(shù)無偏估計量：用多個樣本的統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的估計值，其的估計值，其偏差的平均數(shù)偏差的平均數(shù)為為0。 2.2.有效性有效性 當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計不止一個統(tǒng)計量時，無偏當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計不止一個統(tǒng)計量時，無偏估計估計變異小者變異小者有效性高，變異大者有效性低，即有效性高，變異大者有效性低，即方差越小越好方差越小越好。 0X 3.3.一致性一致性 當(dāng)當(dāng)樣本容量無限增大樣本容量無限增大時，估計值應(yīng)能夠越來

4、越接時，估計值應(yīng)能夠越來越接近它所估計的總體參數(shù)，近它所估計的總體參數(shù)，估計值估計值越來越精確，逐越來越精確，逐漸漸趨近于真值趨近于真值。 4.4.充分性充分性 一個容量為一個容量為n的的樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量，是否充分地反映了，是否充分地反映了全部全部n個數(shù)據(jù)個數(shù)據(jù)所反映總體的信息。所反映總體的信息。,大nX三、區(qū)間估計 （一）區(qū)間估計的定義（一）區(qū)間估計的定義1.根據(jù)估計量以根據(jù)估計量以一定可靠程度一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的推斷總體參數(shù)所在的區(qū)區(qū)間范圍間范圍，用，用數(shù)軸上的一段距離數(shù)軸上的一段距離表示未知參數(shù)可能落表示未知參數(shù)可能落入的范圍。入的范圍。置信區(qū)間置信區(qū)間：也稱置信間距，是指

5、在某一置信度時，總：也稱置信間距，是指在某一置信度時，總體參數(shù)所在的體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度區(qū)域距離或區(qū)域長度。置信度置信度：被估計參數(shù)落在置信區(qū)間內(nèi)的：被估計參數(shù)落在置信區(qū)間內(nèi)的概率。概率。 用用 1- 表示，表示，又名置信水平、置信系數(shù)等。又名置信水平、置信系數(shù)等。置信界限置信界限：置信區(qū)間的：置信區(qū)間的上下兩端點值上下兩端點值。 2 2、置信區(qū)間、置信區(qū)間置信度常用值置信度常用值 1- =0.95 1- =0.993、顯著性水平 顯著性水平顯著性水平：估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間時，：估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間時，可能可能犯錯誤的概率犯錯誤的概率，用符號，用符號 表示表示。 置信度置信度

6、：被估計參數(shù)：被估計參數(shù)落在置信區(qū)間內(nèi)落在置信區(qū)間內(nèi)的的概率，概率， 1- 表示表示 例例:0.95置信區(qū)間（置信區(qū)間（1- ）指總體參數(shù)落在該區(qū)間內(nèi)）指總體參數(shù)落在該區(qū)間內(nèi)，估計正確的概率為，估計正確的概率為95%，而估計錯誤的概率為，而估計錯誤的概率為5%（ =0.05）顯著性水平常用值顯著性水平常用值 =0.05 1- =0.95 =0.01 1- =0.99 （三）區(qū)間估計的原理與標(biāo)準(zhǔn)誤（三）區(qū)間估計的原理與標(biāo)準(zhǔn)誤 區(qū)間估計是根據(jù)區(qū)間估計是根據(jù)抽樣分布理論抽樣分布理論，用抽樣分布的標(biāo)，用抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤準(zhǔn)誤(SE)計算區(qū)間長度，解釋總體參數(shù)落入某置計算區(qū)間長度，解釋總體參數(shù)落入某置信區(qū)

7、間可能的概率。信區(qū)間可能的概率。 區(qū)間估計存在成功估計的區(qū)間估計存在成功估計的概率大小概率大小及估計及估計范圍大范圍大小小兩個問題。兩個問題。 統(tǒng)計分析一般采取的辦法：在統(tǒng)計分析一般采取的辦法：在保證置信度的前提保證置信度的前提下，盡可能提高精確度。下，盡可能提高精確度。 規(guī)定正確估計的概率（置信度為規(guī)定正確估計的概率（置信度為0.95或或0.99），），顯著性水平即錯誤的概率為顯著性水平即錯誤的概率為0.05或或0.01。0.05或或0.01屬于小概率事件，屬于小概率事件，小概率事件在一次抽樣中小概率事件在一次抽樣中是不可能出現(xiàn)的是不可能出現(xiàn)的 平均數(shù)的區(qū)間估計平均數(shù)的區(qū)間估計第二節(jié)第二節(jié)

8、總體均數(shù)的估計總體均數(shù)的估計一、定義一、定義二、方法二、方法 樣本均數(shù)樣本均數(shù)總體均數(shù)總體均數(shù)估計估計 t 分布法：分布法：2未知未知正態(tài)法：正態(tài)法： 2已知已知（一）正態(tài)法：（一）正態(tài)法： 2已知已知 總體正態(tài)，總體正態(tài)，n不論大?。徊徽摯笮?； 總體非正態(tài)，總體非正態(tài)，n30；1 1、應(yīng)用條件、應(yīng)用條件2 2、估計總體平均數(shù)的步驟、估計總體平均數(shù)的步驟 求樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差求樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差nX 求置信區(qū)間求置信區(qū)間： 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 求均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤求均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤： 確定置信水平或顯著性水平（確定置信水平或顯著性水平（ =0.05、0.01） 查正態(tài)分布表：查正態(tài)分布表：1- =0.95 Z

9、=1.96 1- =0.99 Z=2.58(1)/2(1)/2XXXX+ZZ /2/2XXXX+ZZ 【例例7-1】 已知母總體為正態(tài)分布，已知母總體為正態(tài)分布，=7.07=7.07，從這個總體中，從這個總體中隨機抽取隨機抽取n1=10和和n2=36的兩個樣本，分別計算出的兩個樣本，分別計算出 ， ，試問總體參數(shù)，試問總體參數(shù)的的0.95和和0.99置信區(qū)間置信區(qū)間。178X279X 解：解： 平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤： 117.072.2410Xn227.071.1836Xn 用用n1=10的樣本估計總體參數(shù)的樣本估計總體參數(shù)： 0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間 0.99的置信區(qū)間的置信區(qū)

10、間78 1.962.24791.96 1.1876.781.3782.58 2.24792.58 2.2472.283.8 根據(jù)根據(jù)n2=36的樣本估計總體參數(shù)的樣本估計總體參數(shù)： 0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間 0.99的置信區(qū)間的置信區(qū)間76.781.378 1.96 1.1879 1.96 1.18792.58 1.18792.58 1.1875.782.04 【例例7-2】 有一個有一個49名學(xué)生的班級，某學(xué)科歷年考試成績的名學(xué)生的班級，某學(xué)科歷年考試成績的 ，又知今年某次考試成績是，又知今年某次考試成績是85分，試推論該班某分，試推論該班某學(xué)科學(xué)習(xí)的真實成績分?jǐn)?shù)。學(xué)科學(xué)習(xí)的真實成績分?jǐn)?shù)

11、。 = 解：解： 定置信水平為定置信水平為0.95，查正態(tài)表得，查正態(tài)表得Z(1 )/2=1.96。50.7149Xn85 1.96 0.7185 1.96 0.7183.686.4（二）（二）t 分布法：分布法：2未知未知 總體正態(tài)，總體正態(tài)，n 不論大??；不論大小； 總體非正態(tài)，總體非正態(tài)，n30（漸近正態(tài)法）（漸近正態(tài)法）1 1、應(yīng)用條件、應(yīng)用條件2 2、估計總體平均數(shù)的步驟、估計總體平均數(shù)的步驟 求樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差求樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差 求置信區(qū)間求置信區(qū)間： 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 求均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤求均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤： 確定置信水平或顯著性水平（確定置信水平或顯著性水平（ =0.05、0.01） 查

12、查t值表值表1n1SnSnX(1)/2(1)/2XXXX+tt /2/2XXXXtt 【例例7-3】 假設(shè)假設(shè)2 2未知，未知，n1=10， =78，s1=8，n2=36， =79，s2=9，問其總體參數(shù)，問其總體參數(shù)的的0.95置信區(qū)間是多置信區(qū)間是多少？少？1X2X 解：平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤解：平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤 0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間 當(dāng)當(dāng)n1=10時，時，df1=n-1=9，t0.05/2=2.26211111182.67110 1nXssnn22222191.52136 1nXssnn 當(dāng)當(dāng)n2=36時，時，df2=35，t0.05/2=2.04271.9684.04 792.042 1

13、.52792.042 1.5275.982.1782.2622.67782.2622.67 【例例7-4】 某班某班49人期末考試成績?yōu)槿似谀┛荚嚦煽優(yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差分，標(biāo)準(zhǔn)差s=6，假，假設(shè)此項考試能反映學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，試推論該班設(shè)此項考試能反映學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，試推論該班學(xué)生學(xué)習(xí)的真實成績分?jǐn)?shù)。學(xué)生學(xué)習(xí)的真實成績分?jǐn)?shù)。 解：解： t0.05/2(40)=2.021 0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間852.021 0.86683.2586.75第三節(jié)第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計 一、標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計一、標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計 根據(jù)抽樣分布的理論，當(dāng)根據(jù)抽樣分布的理論，當(dāng)樣本容量為

14、樣本容量為n30時，時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布為漸近正態(tài)分布樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布為漸近正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差的平，標(biāo)準(zhǔn)差的平均數(shù)：均數(shù)： 標(biāo)準(zhǔn)差分布的標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差分布的標(biāo)準(zhǔn)差： 置信區(qū)間可寫作：置信區(qū)間可寫作：sX1/21/2nnssZsZnsnns221 【例例7-5】 有一隨機樣本有一隨機樣本n=31，sn-1=5，問該樣本之總體標(biāo)，問該樣本之總體標(biāo)準(zhǔn)差的準(zhǔn)差的0.95置信區(qū)間。置信區(qū)間。 解：此題解：此題n30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布可視為漸近，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布可視為漸近正態(tài)分布，即正態(tài)分布，即Z0.05/2=1.96。 0.95的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：50.6352 315 1.96 0.6355 1

15、.96 0.6353.766.24 二、方差的區(qū)間估計二、方差的區(qū)間估計 根據(jù)根據(jù)2分布：分布： 自正態(tài)分布的總體中，隨機抽取容量為自正態(tài)分布的總體中，隨機抽取容量為n的樣本，其的樣本，其樣本方差與總體方差比值的分布為樣本方差與總體方差比值的分布為2分布，這樣可直分布，這樣可直接查接查2表確定其比值的表確定其比值的0.95與與0.99置信區(qū)間。置信區(qū)間。222122221nXXnsns 總體方差的總體方差的0.95與與0.99置信區(qū)間：置信區(qū)間： 查查df=n1的的2表確定表確定 與與 。2/22211222/21/211nnnsns2()/2 【例例7-6】 已知某測驗分?jǐn)?shù)的樣本已知某測驗分

16、數(shù)的樣本n=10， ，問該，問該測驗分?jǐn)?shù)總體方差測驗分?jǐn)?shù)總體方差2 2的的0.95和和0.99置信區(qū)間是多置信區(qū)間是多少？少？21=0.286ns 解：計算解：計算0.95的置信區(qū)間，此時的置信區(qū)間，此時 =0.05 查查2 表，表，df=9時，時， ， 20.025 919 20.975 92.729 0.2869 0.286192.720.1350.95 （2）計算）計算0.99的置信區(qū)間，此時的置信區(qū)間，此時 =0.01 查查2 表，表，df=9時，時， ， 20.005 923.6 20.995 91.7329 0.2869 0.28623.61.7320.111.49 【例例7-7】

17、 n=31，sn-1=5問的問的0.95置信區(qū)間？置信區(qū)間？ 解：先求方差的置信區(qū)間，當(dāng)解：先求方差的置信區(qū)間，當(dāng)df=30，查，查2表，表， 不等號兩邊都開平方，取正平方根，結(jié)果為不等號兩邊都開平方，取正平方根，結(jié)果為 20.0254720.97516.822230 530 54716.8215.9644.63.996.68 三、二總體方差之比的區(qū)間估計三、二總體方差之比的區(qū)間估計 根據(jù)根據(jù)F分布的意義，從總體方差為分布的意義，從總體方差為 與與 的兩總體中，的兩總體中，分別隨機抽取容量為分別隨機抽取容量為n1與與n2的兩樣本，計算其樣本方差之的兩樣本，計算其樣本方差之比比 ，服從，服從F分

18、布分布(df1=n11, df2=n21)。因為樣本。因為樣本方差只是方差只是 與與 的無偏估計，所以其樣本方差之比的無偏估計，所以其樣本方差之比 ，多數(shù)圍繞總體方差之比，多數(shù)圍繞總體方差之比 上下波動，少數(shù)有所偏離上下波動，少數(shù)有所偏離，形成，形成F分布。分布。2122122121=nnsFs2122122121nnss2122 如果兩總體方差如果兩總體方差 ，其樣本方差之比多數(shù)，其樣本方差之比多數(shù)應(yīng)在應(yīng)在1上下擺動。因此，對二總體方差相等的區(qū)上下擺動。因此，對二總體方差相等的區(qū)間估計用間估計用 。2122=122212= 根據(jù)根據(jù)F分布，可估計二總體方差之比的置信區(qū)間分布，可估計二總體方差之比的置信區(qū)間： 若二總體相等，上式可寫作：若二總體相等，上式可寫作：1122222111/2222/21211nnnnssFFss11222211/222/