五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)公式學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)公式五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)公式第一頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。一、隱函數(shù)存在定理簡(jiǎn)介隱函數(shù)：由方程所確定的函數(shù).隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 則方程 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x)，它滿(mǎn)足條件 ，并有 ),(00yxP, 0),(00yxF)(00 xfy , 0),(00yxFy0),(yxF),(00yx）（ 1 ddyxFFxy 1.一個(gè)方程的情形第1頁(yè)/共31頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。例 驗(yàn)證方程在點(diǎn)能確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)0122 yx)1 , 0(0 x1 y時(shí)的隱

2、函數(shù). )(xfy 解設(shè) ),(yxF122 yx則 xFx2 yFy2 )1 , 0(F0 )1 , 0(yF20 由定理1得：方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)能確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)0122 yx)1 , 0(0 x1 y時(shí)的隱函數(shù). )(xfy 的某鄰域內(nèi)第2頁(yè)/共31頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ，則方程F(x,y,z)=0在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z=f(x,y)，它滿(mǎn)足條件 并有),(),(000zyxPzyxF在點(diǎn)0),(000zyxFz, 0),(000zyxF),(000zyx),(000

3、yxfz zxFFxz zyFFyz(2)第3頁(yè)/共31頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。2、方程組的情形vuvuGGFFvuGFJ),(),(隱函數(shù)存在定理3 設(shè)F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式或稱(chēng)雅可比(Jacobi)式：),(0000vuyxP, 0),(0000vuyxF, 0),(0000vuyxG在點(diǎn) 不等于零，),(0000vuyxP則第4頁(yè)/共31頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。0),(0),(vuyxGvuyxF),(0000vuyx在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具

4、有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) u=u(x,y)，v=v(x,y)，它們滿(mǎn)足條件),(000yxuu ),(000yxvv 并有vvuuvvxxGFGFGFGFvxGFJxu ),(),(1方程組第5頁(yè)/共31頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。vvuuxxuuGFGFGFGFxuGFJxv ),(),(1vvuuvvyyGFGFGFGFvyGFJyu ),(),(1vvuuyyuuGFGFGFGFyuGFJyv ),(),(1(3)第6頁(yè)/共31頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。下面，總假設(shè)隱函數(shù)存在且可導(dǎo)，在此前提下來(lái)討論求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的方法。1、一個(gè)方程的情形(1)0),( yxF

5、設(shè)該方程確定了函數(shù):)(xyy 即0)(, xyxF等式兩端同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 得xF1 +yFdxdy =0解解得得的的條條件件下下在在,0 yF dxdyyxFF 二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法第7頁(yè)/共31頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。(2)0),( zyxF設(shè)該方程確定了函數(shù):),(yxzz 即0),(, yxzyxF等式兩端同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo), 得xF 1 +yF0 =0解得的條件下在,0zF xzzxFF zFxz +等式兩端同時(shí)對(duì) y 求偏導(dǎo), 得xF0 +yF1 =0解得的條件下在,0zF yzzyFF zFyz +第8頁(yè)/共31頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。(3)0)

6、,( uzyxF設(shè)該方程確定了函數(shù):),(zyxuu 即0),(, zyxuzyxF等式兩端同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo), 得xF 1 +yF0 =0解得解得的條件下的條件下在在,0 uF xuuxFF zF0 +類(lèi)似可得uFxu + yuuyFF zuuzFF 第9頁(yè)/共31頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。 xF xydd23),( xyeyxFxy 設(shè)設(shè)解 yF23yyexy xyxexy6 xyxeyyexyxy632 yxFF =dxdyxyyxyexy求求確定了函數(shù)確定了函數(shù)由方程由方程設(shè)設(shè)例例),( 3 1 2 =xyxeyeyxyxy632 第10頁(yè)/共31頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期三

7、：十七點(diǎn) 十八分。例2 22)2( ,)1( ),(0 xzyzxzyxzzxyzez 求求確定了函數(shù)確定了函數(shù)由方程由方程設(shè)設(shè)解 （1）設(shè)xyzezyxFz ),( xF, yz yF, xz zFxyez xzzxFF =xyeyzz =xyeyzz yzzyFF =xyexzz =xyexzz 第11頁(yè)/共31頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。（2）)(xzx )(xyeyzz 22xz =x=2)( xyez xzy )(xyez yzxzez ()y =2)( xyez yxyeyzz )(xyez yz ze(xyeyzz )y 第12頁(yè)/共31頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期三：十

8、七點(diǎn) 十八分。=32232)(22xyeezyzxyzeyzzz 注意., ,不能看作常數(shù)的函數(shù)看作仍要將的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)對(duì)求yxzxxz第13頁(yè)/共31頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。2.方程組的情形0),(0),( ) 1 (zyxGzyxF設(shè)該方程組確定了)( )( xzzxyy方程組兩端同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得1 xF+dxdyFy +dxdzFz01 xG+dxdyGy +dxdzGz 0 即xF +dxdyFy dxdzFz xG +dxdyGy dxdzGz 第14頁(yè)/共31頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。解得解得的條件下的條件下在在,0 zyzyGGFF dxdyzy

9、zyzxzxGGFFGGFF dxdzzyzyxyxyGGFFGGFF zyzyzxzxGGFFGGFF =zyzyxyxyGGFFGGFF 第15頁(yè)/共31頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。 0),(0),( )2(vuyxGvuyxF設(shè)該方程組確定了:),( yxuu 方程組兩端同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo)，得1 xF+xuFu +xvFv 0 1 xG+xuGu +xvGv 0 即xF +xuFu xvFv xG +xuGu xvGv +0 yF+0 yG),( yxvv 第16頁(yè)/共31頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。解得的條件下在,0 vuvuGGFF xuvuvuvxvxG

10、GFFGGFF xvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvxvxGGFFGGFF =vuvuxuxuGGFFGGFF 第17頁(yè)/共31頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。同理,方程組兩邊同時(shí)對(duì) y 求偏導(dǎo),可得0 xF+yuFu +yvFv 0 0 xG+yuGu +yvGv 0即yF +yuFu yvFv yG +yuGu yvGv +1 yF+1 yG第18頁(yè)/共31頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。解得解得的條件下的條件下在在,0 vuvuGGFF yuvuvuvyvyGGFFGGFF yvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvyvyGGFFGGFF =vuvu

11、yuyuGGFFGGFF 第19頁(yè)/共31頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。例3 dxdzdxdyzzyxzzyx, 00322，求，求設(shè)設(shè) 解),(),( xzzxyy 設(shè)設(shè)求求導(dǎo)導(dǎo)，得得方方程程組組兩兩端端同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì) x1+dxdy+dxdz+z2dxdz=01+dxdy+dxdz+y2dxdz=023z 即 dxdy+dxdzz)21( =1 dxdyy2+dxdzz )31(2 =1 第20頁(yè)/共31頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。dxdy的條件下，的條件下，在在031 221 12 zyz解得= 31 221 1 31 121 1 22zyzzz = 4231

12、32 22yzyzzz dxdz= 31 221 1 1 21 1 2zyzy = 4231 21 2yzyzy 第21頁(yè)/共31頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。例4 xvxuvuxyuvyx , 002222，求，求設(shè)設(shè)解).,(),( yxvvyxuu 設(shè)設(shè)求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)，得得方方程程組組兩兩端端同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì) xx2+ (xu v=0yxu +u2xv =0v2 即 xuv +xvu =x2xuu 2+xvv 2=y 0uxv +) 第22頁(yè)/共31頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。xu 的條件下，的條件下，在在02 2 vuuv解得= 2 2 2 2 vuuvvyux

13、 = 22 4 22uvuyxv xv = 2 2 2 2 vuuvyuxv = 22 4 22uvxuvy 第23頁(yè)/共31頁(yè)第二十四頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。? ,),( ),(),(),(yzxzyxzzvuzvuyvux 怎樣求怎樣求確定了函數(shù)確定了函數(shù)若若 方法：由 ),(),( vuyvux 可確定 ),(),(yxvvyxuu (*)式兩邊同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo)，可求得xvxu , (*)式兩邊同時(shí)對(duì) y 求偏導(dǎo)，可求得yvyu , (*),(vuz 又 ),(),(yxvvyxuu xzxvvxuu yzyvvyuu =，例5第24頁(yè)/共31頁(yè)第二十五頁(yè)，編輯于星期三：十七

14、點(diǎn) 十八分。在點(diǎn)(x ,y ,u, v)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù) u=u (x , y )，v=v (x ,y)；例6 設(shè)函數(shù)x=x (u, v), y=y (u, v)在點(diǎn)(u,v)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又0),(),( vuyx)(# ),(),( )1( vuyyvuxx證明方程組證明方程組(2)求反函數(shù)u=u (x ,y) ，v=v( x, y)對(duì)x , y的偏導(dǎo)數(shù).第25頁(yè)/共31頁(yè)第二十六頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。可改寫(xiě)為方程組)(#由隱函數(shù)存在定理3，得 ),(),(vuGFJ0),( vuxx(1)證vuyxG ),( ),(vuyxFvuyy0),( 在點(diǎn)(x ,y ,u, v)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) u=u (x , y )，v=v (x ,y) .vuvuGGFF vyuyvxux vyuyvxux ),(),(vuyx 0 它們是 x = x (u, v), y = y (u, v) 的反函數(shù)。第26頁(yè)/共31頁(yè)第二十七頁(yè)，編輯于星期三：十七點(diǎn) 十八分。設(shè)方程組(#):(2) 解等式兩邊同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo)，得 0)(00)(1 xvvyxuuyxvvxxuux確定了函數(shù) u=u(x,y)，v=v(x,y)0),( vuxxvuyy0),( 即 01