第三章晶格振動與晶體的熱學性質ppt課件

1、03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質第三章第三章 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 晶格振動的研究晶格振動的研究 晶體的熱學性質晶體的熱學性質 固體熱容量固體熱容量 熱運動是晶體宏觀性質的表現(xiàn)熱運動是晶體宏觀性質的表現(xiàn) 杜隆珀替經驗規(guī)律杜隆珀替經驗規(guī)律01/11 一摩爾固體有一摩爾固體有N個原子，有個原子，有3N個振動自由度，按能個振動自由度，按能 量均分定律，每個自由度平均熱能為量均分定律，每個自由度平均熱能為kT摩爾熱容量摩爾熱容量()VTECT3ENkT總的內能總的內能03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動晶格振動 研究固體宏

2、觀性質和微觀過程的重要基礎研究固體宏觀性質和微觀過程的重要基礎晶格振動晶格振動 晶體的熱學性質、電學性質、光學性質、超晶體的熱學性質、電學性質、光學性質、超 導電性、磁性、結構相變有密切關系導電性、磁性、結構相變有密切關系 實驗表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降實驗表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降摩爾熱容量摩爾熱容量 與溫度無關與溫度無關33VCNkR 杜隆珀替經驗規(guī)律杜隆珀替經驗規(guī)律03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質原子的振動原子的振動 晶格振動在晶體中形成了各種模式的波晶格振動在晶體中形成了各種模式的波 簡諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨立簡諧振動哈密

3、簡諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨立簡諧振動哈密 頓量之和頓量之和 這些諧振子的能量量子，稱為聲子這些諧振子的能量量子，稱為聲子 晶格振動的總體可看作是聲子的系綜晶格振動的總體可看作是聲子的系綜 用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的 振振 動模式動模式 這些模式是相互獨立的，模式所取的能量值是分立的這些模式是相互獨立的，模式所取的能量值是分立的03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質3.1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 簡諧近似簡諧近似 只考慮最近鄰原子之間的相互作用只考慮最近鄰原子之間的相互作用)(tn研究對象研究

4、對象 由由N個質量為個質量為m的原子組成的晶體的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量偏離平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置( )nnnRRt(1, 2, 3)niinR第第n個原子的平衡位置個原子的平衡位置3個方向上的分量個方向上的分量原子位移宗量原子位移宗量03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質( )itN個原子的位移矢量個原子的位移矢量)3, 43, 2, 1(Nii 體系的勢能函數(shù)在平衡位置按泰勒級數(shù)展開體系的勢能函數(shù)在平衡位置按泰勒級數(shù)展開NjijijiNiiiitemsHighVVVV31,023100)(21)(取取00V平衡位置平衡位置0)(0iV 不計高階

5、項不計高階項系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的勢能函數(shù)230,11()2Niji jijVV 05/1103_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的哈密頓量NjijijiNiiiVmH31,02312)(2121系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的勢能函數(shù)NjijijiVV31,02)(21系統(tǒng)的動能函數(shù)系統(tǒng)的動能函數(shù)NiiimT31221 含有坐標的交叉項含有坐標的交叉項03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質引入簡正坐標引入簡正坐標NQQQQ3321, 原子的坐標和簡正坐標通過正交變換聯(lián)系起來原子的坐標和簡正坐標通過正交變換聯(lián)系起來NjjijiiQam31假設存在線性變換

6、假設存在線性變換系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的哈密頓量NiiiNiiQQH31223122121拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)NiiiNiiQQVTL31223122121正則動量正則動量iiiQQLp03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的哈密頓量NiiiNiiQpH31223122121正則方程正則方程iiHpQ 3N個獨立無關的方程個獨立無關的方程20,1, 2, 3,3iiiQQiN簡正坐標方程解簡正坐標方程解sin()iiQAt簡正振動簡正振動 所有原子參與的振動，振動頻率相同所有原子參與的振動，振動頻率相同 振動模振動模 簡正坐標代表所有原子共同參與的一個振動簡

7、正坐標代表所有原子共同參與的一個振動iiiQQLp正則動量正則動量03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質只考察某一個振動模只考察某一個振動模)sin(tAmaQmajiijjiijiNjjijiiQam31系統(tǒng)能量本征值計算系統(tǒng)能量本征值計算正則動量算符正則動量算符iiQip系統(tǒng)薛定諤方程系統(tǒng)薛定諤方程),(),()2121(31313122312NNNiiiNiiQQEQQQpsin()jjQAt03_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質),(),()(213131312231222NNNiiiNiiQQEQQQQ任意一個簡正坐標任意一個簡正坐標)()(2122222iiiiiiQQQQ 諧振子方程諧振子方程能量本征值能量本征值iiin)21(本征態(tài)函數(shù)本征態(tài)函數(shù))()2exp()(2iiniinHQ/iiQ)(inH 厄密多項式厄密多項式10/1103_01_簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質NiiiNiinE3131)21(NiinNQQQQQi313321)(),(系統(tǒng)能