自動控制原理第五

1、5-1.引言 1、應(yīng)用Nyquist判據(jù)，可以根據(jù)開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不必皆閉環(huán)特征方程； 2、研究頻率特性（尤其二階系統(tǒng)），把系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化與過渡過程性能指標(biāo)結(jié)合起來； 3、頻率特性有明確的物理意義，可以用實驗測定； 4、頻率響應(yīng)分析法不僅適用于線性系統(tǒng)，還可以用于一些非線性系統(tǒng)； 5、在設(shè)計中可以明確地抑制高頻噪聲。頻率響應(yīng)法是工程中常用于分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)的一種方法，它有如下特點：5-2.頻率特性一、基本概念RreceCrcceedtdeT其中 T=RC11)()(TssEsErc故有：若tAersin則22sAEr22111222222221111)(sssTTA

2、sATssETATTATc)sin(11cos1sin11)(2222222222TarctgtTAeTTAtTTAtTAeTTAteTtTtc瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量)sin(1lim22TarctgtTAectRC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性2211TRC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性Tarctg均為的函數(shù)。RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性數(shù)據(jù)表-90-78.7-76-71.5-63.5-45-26.60020.450.710.89102211TTarctgT21T1T2T3T5T4幅頻特性與相頻特性圖0T1T2T3T4T510T1T2T3T4T5-90設(shè)4422)(mmmbbba4422)(nnnaaac5

3、5331)(mmmbbbb55331)(nnnaaad也可以寫作：)()()(jGjejGjG其中：)()()()()(2222dcbajG)()()()()()()()()(dbcadacbarctgjGnnnnmmmmajajajabjbjbjbjG)()()()()()()(11101110)()()()()(jdcjbajG則其中：若將其表達為可以推出：是的奇函數(shù)。 )(jG)(jG是的偶函數(shù)，)(a和)(c是的偶函數(shù)，)(a和)(d是的奇函數(shù)。 諧波作用于線性定常穩(wěn)定系統(tǒng)，其輸出的穩(wěn)態(tài)值仍然是與輸入同頻率的諧波函數(shù)，但是輸出的幅值與相位有變化。其幅值變化因子為：)(jG，相移為：)(

4、jG可以證明：jssGjG)()(因此，描述系統(tǒng)特性的方法有如下三種：微分方程，傳遞函數(shù)，頻率特性其關(guān)系如p173圖5-4二、頻率特性的幾何表示法1、幅頻特性與相頻特性 幅頻特性是輸出諧波的幅值與輸入諧波幅值之比隨諧波頻率變化的情況； 相頻特性是輸出諧波對于輸入的相位滯后。2、幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線簡稱幅相圖或極坐標(biāo)圖。 幅相頻率特性曲線的特點是把看成參變量，將頻率特性的幅頻特性和相頻特性同時表現(xiàn)在復(fù)平面上。 以復(fù)平面實軸正方向為相角的零度線，逆時針方向定義角度的正方向；以復(fù)平面原點為幅頻特性的參考點，對每一頻率值，由相頻特性)(jG確定其方向，以幅頻特性)(jG為離原點的距離，從而

5、確定了復(fù)平面上的一點；隨變化，就組成了一條軌跡 幅頻特性曲線（幅相圖）。對于前面討論過的RC網(wǎng)絡(luò)如下圖：2211)(TjGTarctgjG)(由于11)(TssG根據(jù))(jG)(jG和奇偶特性，可以畫出0一段幅相圖。00ReIm3、對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖） 對數(shù)頻率特性曲線橫坐標(biāo)表示頻率，按對數(shù)分度單位是弧度秒； 對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是分貝，記作dB。對數(shù)幅頻特性函數(shù)的定義：)(lg20)(jGL 對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度。采用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點是：1、可以將幅值的乘除化為圖中的加減；2、可以用簡便的方法繪

6、制近似對數(shù)幅頻曲線；3、將試驗數(shù)據(jù)畫成對數(shù)幅頻曲線可獲得系統(tǒng)表達式。4、對數(shù)幅相曲線（Nichols圖） 對數(shù)幅相曲線的橫、縱坐標(biāo)都是均勻分度，橫坐標(biāo)表示頻率特性的相角，縱座標(biāo)表示頻率特性的幅值的分貝數(shù)，如上述RC網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)幅相曲線如p175圖。5-3.典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性一、典型環(huán)節(jié)如圖，開環(huán)傳遞函數(shù)為：)(sG)(sc)(sR)(sHnnnnmmmmasasasabsbsbsbsHsG11101110)()(事實上，可以將G(s)H(s)分解為一些因子的乘積。1、比例環(huán)節(jié)K)(ty)(tx)()(tKxty比例環(huán)節(jié)的頻率特性是KjG)(頻率特性的幅相曲線（極坐標(biāo)）圖上是實軸上K這一點

7、。jK0比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為：KLlg20)(0)(和Klg20)(dB0.1 1 10 10000.1 1 10 1002、積分環(huán)節(jié) 1s)(tx)(ty211)(jejjG)(1)(txpty，ssG1)(，顯然，幅頻特性與成反比，相頻特性恒為-900090)(lg20)(，L對數(shù)幅頻特性是直線，斜率為-20。20lg)(ddL 該線橫坐標(biāo)lg 每增加單位長度，L()就減少20dB，記作 -20dB/dec（-20dB /十倍頻程），該線與零分貝交點為 =1。對數(shù)相頻曲線是-900的水平線。1101 . 0)(dBj11000j積分環(huán)節(jié)的幅相特性為：積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性

8、和相頻特性如下：1101 . 0100o90)(3、微分環(huán)節(jié)s)(tx)(ty2)(jejjG)()(tpxty，ssG)(，微分環(huán)節(jié)的幅相特性為：0j對數(shù)幅頻特性和相頻特性為：090)(lg20)(，L對數(shù)幅頻特性是直線，斜率為20。20lg)(ddL對數(shù)幅頻特性與相頻特性如右圖：1101 . 0)(dBj1 . 00901104、慣性環(huán)節(jié)11Ts)(tx)(ty)()()1(txtypT其微分方程的解為 ：)0(1)(tetyTt當(dāng) x(t) = 1(t)，由于其階躍響應(yīng)不是立即達到，響應(yīng)具有慣性，因而慣性環(huán)節(jié)由此得名。慣性環(huán)節(jié)的特性取決于時間常數(shù)。TjTjG11)(11)(TssG，幅相

9、曲線如右：10j0慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性：22)(1lg20)(11lg(20)(TTLTarctg)(TjjG11)(若取，可得右圖：1101 . 0)(dB1000451 . 01090101000451)1(arctgT當(dāng)T1時，)( 3)21lg(20)1(dBTL在工程上，往往采用如下的簡便作圖法：221lg20)(TL將分兩段來近似：(1) 當(dāng)1/T時，近似地不計及 T2 這一項：01lg20)(LT1顯然，當(dāng)時，這種近似較為準(zhǔn)確。(2)當(dāng)1/T時，近似地則不計及 1 這項：)lg20lg20(lg20)(TTLdecdB /20此時，該近似直線的斜率為，于零分貝線交于T

10、11T（即處）。T1顯然，當(dāng)時，這種近似較為準(zhǔn)確。用上述近似法稱漸進線作伯德圖法，顯然,在=1/T處，誤差最大。)(dBT1-3dBdecdB/0decdB/20而近似則將其視為0故在交接頻率處，用漸進線作圖將帶來-3dB的誤差。)(311lg20)(dBL此時，精確值為：5、一階微分環(huán)節(jié)1Ts)(tx)(ty)()1()(txTpty)1()(TjTjG1)( TssG，其幅相曲線為：0jT1其Bode圖為（設(shè)T=1)：1101 . 0)(dB1000451 . 01090101006、振蕩環(huán)節(jié)222222411)(nnjG10 01)(21)(2，nnnsssG時當(dāng)時當(dāng)112112)(22

11、22nnnnnnarctgarctgjG顯然00)0(，0180)(可作出如p179圖5-12：00當(dāng)220212且nr)(jG取最大值。稱)(rrjGM為諧振峰。其Bode圖的近似表達如右：1101 . 0)(dB1000901 . 01018010100decdB/407、時滯環(huán)節(jié))( 1 )()(TtTtxtyTjTsejGesG)()(，)(3 .57)()(1)(度弧度，TTjGjG)()(sResCTsj01j1dB0)(dB二、開環(huán)幅相曲線的繪制)1)(1()(21sTsTKsG例：繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率幅相曲線，其中：001800)(0)0(jGKjG，解：)1)(1()(2121s

12、TsTTTKjG零型系統(tǒng)若包含n個慣性環(huán)節(jié)時，0當(dāng)0900)(njG00)0( KjG時，當(dāng)例：)1)(1)(1()(321sTsTsTsKsG試分析開環(huán)幅相曲線特點并求曲線與負實軸交點。解：)1)(1)(1()(321321sTsTsTsTTTKjG003600)(90)0(jGjG，02322222123212321)1)(1)(1 ()()0(ReTTTTTTTTTKjG)1)(1)(1 ()(1)(Im2322222121332212TTTTTTTTTKjjG0jRe求負實軸交點可以用試探法，一般也可令G(j)虛部為0，解得，再求實部。13322110)(ImTTTTTTjGx再代入實

13、部：)1)(1)(1()()(2322222123212321TTTTTTTTTKjGxxxxx5-4 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) 1、應(yīng)用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性其中開環(huán)頻率 特性可部分實驗求?。?2、便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)的改變對穩(wěn)定性的影響； 3、可以研究包含延時環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性； 4、可以推廣到非線性研究。Nyquist判據(jù)的特點：Nyquist判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。一、輔助函數(shù)F(s) 1、其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根； 2、其零極點個數(shù)相同； 3、F(s) 和 G(s)H(s) 只差常數(shù)。)(sG)(sH)(sR)(sE)(sC)()()()()()()(21

14、2121sMsMsNsNsNsMs設(shè)：)()()()()()(2211sNsMsHsNsMsG，則：)()()()()()(2121sNsNsMsMsHsG定義一個輔助函數(shù)：)()()()(1)()()()()()()(11212121jnjinipszssHsGSNsNsMsMsNsNsF定義一個輔助函數(shù)：輔助函數(shù) F(s) 有如下特點：F(s) 函數(shù)的特點： 0)(jG)(sF01二、映射定理 在 s 平面上任選一復(fù)數(shù) s，通過復(fù)變函數(shù) F(s) 的映射關(guān)系在 F(s) 平面上可以找到 s 相應(yīng)的象。 若在 F(s) 的零極點分布圖上，選擇A點，使 s 從A點開始移動，繞 F(s) 的零點

15、 Zi 順時針依曲線s（ s不通過任何零極點）轉(zhuǎn)一周回到A，相應(yīng)地，F(xiàn)(s)也可從 B 點出發(fā)回到 B，也畫出一條封閉曲線 F。0jAs s0jB FF若 s 依 s變化時，F(xiàn)(s) 相角的變化為)(sF)()()()()()()(2121nnpspspszszszssF 則有：0jAs s0jB FFizs 從圖中可以看出，除2)(izssF之外，其它各項均為零。F(s)= -2 表示 s 的象F 從 B 點開始再回到 B點繞著原點順時針轉(zhuǎn)了一圈。幅角定理： 若封閉曲線 s 內(nèi)有 z 個F(s)零點，p 個F(s)極點，則 s 依 s 順時針轉(zhuǎn)一圈時，在 F(s) 平面上，F(xiàn)(s) 曲線繞原

16、點反時針轉(zhuǎn)的圈數(shù) R 為 p 與 z 之差，即 R= p - z同理，若 s 繞F(s)的極點順時針轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)上s的象 F繞原點反時針轉(zhuǎn)一圈。由此，可得映射的幅角定理：0jAs s0jB FF三、Nyquist 判據(jù) 若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線不包圍（-1，j0）點； 若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定（在 s 右半平面有 p 個開環(huán)極點），則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線反時針方向包圍（-1，j0）點 p/2 次。Nyquist 判據(jù)可分為兩種情況：證明：將s 取為虛軸和右半平面半徑為無窮的圓，幅角原理的 p 和 z 則表示了位于右半 s 平面的開環(huán)極點和零點的個數(shù)。0

17、j sBACK 故 s 沿 s 順時針環(huán)繞一圈時，在 F(s) 平面上 F 繞原點反時針圈數(shù)為 R = p z0j s若系統(tǒng)穩(wěn)定，則 F(s) =1+ G(s)H(s)在 s 平面的右半部（即 s所圍區(qū)域內(nèi)）沒有零點。即環(huán)繞 F(s)原點數(shù)為 R= p-z|z=0= p為進一步簡化，我們不作 F(s) 曲線，僅畫 G(s)H(s) 曲線，由前所述，F(xiàn)(s) 與 G(s)H(s) 僅差單位 1，G(s)H(s) 曲線是將 F(s) 平移（左移）一個單位而得，從 G(s)H(s) 圖上看，F(xiàn)(s) 原點相當(dāng)于 G(s)H(s)圖上的（-1，j0）點。0j1因此，在 G(s)H(s) 圖上，若希望系

18、統(tǒng)穩(wěn)定，G(s)H(s) 的曲線環(huán)繞（-1，j0）點次數(shù)為 R = p 0，這里 p 為開環(huán)系統(tǒng)在右 s 平面的極點數(shù)。由于我們做幅相圖時，j 取 =0 到 ，因而僅是 s 的部分路徑（對于的半圓倒無妨，反正它退化在 G(s)H(s) 平面上的原點鄰域，與（-1，j0）點并無關(guān)系）因此，我們得出第二點結(jié)論。定理證畢 。0j s試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)1)(1()()(21sTsTKsHsG解：該系統(tǒng)開環(huán)幅相圖如右，由圖中 G(s)H(s) 的 G(j)H(j) 曲線不包圍 （-1，j0）點可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定。0j-1事實上，本題中，只要 K，T1，T2 均大于零，G(j)H

19、(j) 的幅角只會在 0 -1800內(nèi)變化，不會與負實軸相交，因而不會包圍（-1，j0）點，因此只要 K，T1，T2 均為正數(shù)，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。如前所述，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)時，設(shè)：)()()(1)()(1111011uuuvwwwvasassbsbsbsHsGssHsG 當(dāng) = 0 時，090)0()0(1jHjGv，0180)0()0(2jHjGv，090)0()0(vjHjG即對 型系統(tǒng)，有：0js1abc為避免s經(jīng)過 G(s)H(s) 的極點，可采用一無限小的圓弧來繞過這些位于虛軸上的開環(huán)極點，從而可以應(yīng)用 Nyquist 判據(jù)。繞過原點處的極點會產(chǎn)生何種影響呢?S 平面上

20、原點映射到 G(s)H(s) 平面上的無窮遠處，而s 從 s 上的 a點移至 c 點時，0js1abcjvvvjeKeKsHsG1111)()()(其中：uwuuuuwwwwssabasasasbsbsbsbsHsGK 111111001101lim)()(lim201，在 a 點，故090)()(vsHsG090)()(vsHsG在 c 點2，故在 b 點0，故00)()(sHsG可見，1小圓弧在 G(s)H(s) 上的映射是半徑無窮大的v/2 的圓，其方向為順時針。再考慮到 G(j)H(j) 幅相曲線從 =0 至 ，1 圓弧僅考慮 bc，故在應(yīng)用 Nyquist 判據(jù)時，遇到開環(huán)傳遞函數(shù)有

21、原點處極點（即有積分環(huán)節(jié)）的情況，應(yīng)對 G(j)H(j) 從頻率 0+ 對應(yīng)的點開始，反時針方向補畫 v/4 個無窮大半徑的圓。0js1abc)1 ()(2TssKsG例：某單位反饋系統(tǒng)試用 Nyquist 判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)幅相圖如右，由于有二階積分環(huán)節(jié)，補畫半圓。可見，幅相曲線包圍（-1，j0）點一次，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。0j0+ = -1例：試判斷下列系統(tǒng) K=2 時閉環(huán)是否穩(wěn)定，并確定臨界放大系數(shù)。) 12)(1()()(sssKsHsG)21 (32)12)(1(2)()(22jjjjjHjG解：作 K=2 時的幅相圖可見系統(tǒng)不穩(wěn)定，0j-121令上式虛部

22、等于零，得0212，即將21代入 G(j)H(j) 得：32)21()21(KjHjG132K，令23臨界K可得四、系統(tǒng)穩(wěn)定裕量 工程上要求系統(tǒng)穩(wěn)定，即要求最小相位系統(tǒng)的幅相圖曲線不包括（-1，j0）點，若能保證不但不包括（-1，j0）點，而且離（-1，j0）點有一定距離，則系統(tǒng)在受到環(huán)境溫度、元件參數(shù)變化所影響后，幅相曲線也不會包圍（-1，j0）點，則稱系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量。 穩(wěn)定裕量分相角余量相角余量和幅值余量幅值余量。相角余量相角余量是指在幅值等于1的頻率上，使系統(tǒng)達到穩(wěn)定邊界所富余的相角遲后量： = 1800 + (c)c G(j)H(j) 曲線與單位圓 交點處的頻率（穿越頻率）0j-

23、1c幅值余量幅值余量指 G(j)H(j) 相角等于 1800 時（ G(j)H(j) 與負實軸交點處），幅值G(jg)H(jg) 的倒數(shù)。0j-11/hg)()(1ggjHjGh 相角余量相角余量表示使系統(tǒng)到達穩(wěn)定邊界所允許增加的開環(huán)傳遞函數(shù)的相位滯后。 幅值余量幅值余量表示使系統(tǒng)到達穩(wěn)定邊界所允許增大的開環(huán)傳遞函數(shù)的放大倍數(shù)。如右圖可見：五、Nyquist 判據(jù)在對數(shù)頻率特性中的應(yīng)用 在 G(j)H(j) 平面上的單位圓反映到對數(shù)坐標(biāo)圖上是 0dB 線。在 G(j)H(j) 平面上負實軸反映到坐標(biāo)圖上是 1800 線。 因此，G(j)H(j) 線不包圍（-1，j0）點轉(zhuǎn)換到對數(shù)坐標(biāo)上是：在

24、L() 0dB 的頻段內(nèi)，相頻特性曲線不穿越 1800 線。 因此， Nyquist 判據(jù)用在對數(shù)頻率特性上表達為： 一個反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征正實部根的個數(shù) z ，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半 s 平面極點個數(shù)和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻段內(nèi)，對數(shù)相頻曲線與 -1800 線的正負穿越之差 N=N+-N- 確定，即 z = p-2N，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 N= p/2。 何為N+，N-？請看下例：由幅相圖上看，幅相曲線包圍（-1，j0）點的圈數(shù)為0，此結(jié)論也可以根據(jù) 增加時的幅相曲線穿越負實軸來確定，將由下往上穿越為負穿越（如 C 點），而將由上往下為正穿越（如 B 點），A點不必考慮，僅考

25、慮負實軸上（-，-1）部分（即 0dB 以上部分）。0j-1-+CBA090)(dB00180-+)(CBACBA0j-1-+CBA090)(dB00180-+)(CBACBA把增加時,相角()減少的稱負穿越，把增加時,相角()增加的稱正穿越。同樣地，當(dāng)G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時，在對數(shù)相頻曲線上 為 0+ 的地方，應(yīng)補畫一條從相角 0 度到 G(j0+)H(j0+)的虛線，將虛線的穿越也算入穿越的統(tǒng)計內(nèi)。例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1()()(2TssKsHsG試用對數(shù)頻率判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0180)(dB00270-40dB/dec-60dB/dec1/T)(解：系統(tǒng)伯德圖如右

26、，由于 p=0，故z = 0 - 2(-1) =2所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且可以進一步指明，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程右半 s 平面根的個數(shù)z = 2G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié)，相頻特性從-1800開始，但需從 00 線補畫一虛線在 = 0+ 處，故 N=N+- N-= -1六、對數(shù)幅相特性和系統(tǒng)品質(zhì)的關(guān)系通常把對數(shù)幅、相特性分為低頻區(qū)、中頻區(qū)和高頻區(qū))(L-20dB/dec- 40dB/dec1- 60dB/dec-20dB/dec2c34低頻區(qū)低頻區(qū)高頻區(qū)高頻區(qū)中頻區(qū)中頻區(qū)0- 40dB/dec)(dB1、低頻區(qū) 系統(tǒng)低頻區(qū)的特性決定系統(tǒng)的靜態(tài)性能的好壞； 低頻特性漸進線決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差； 低頻特性漸

27、進線是 0dB/dec 的系統(tǒng)是0型系統(tǒng)； 低頻特性漸進線是 -20vdB/dec 的系統(tǒng)是 v 型系統(tǒng)；)(L-20dB/dec- 40dB/dec1- 60dB/dec-20dB/dec2c34低頻區(qū)低頻區(qū)高頻區(qū)高頻區(qū)中頻區(qū)中頻區(qū)0- 40dB/dec)(dB 1型系統(tǒng)低頻漸進線的斜率是-20dB/dec，作低頻漸進線的延長線與 0dB 線相交，交點的頻率數(shù)值就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)，如下圖：確定 K 值有兩種方法，均基于積分環(huán)節(jié)的如下公式：KjG)(lg20lg20)(KL，) 1 (lg20LK 1、取1時的縱坐標(biāo)分貝值20)1(10LK ，得2、設(shè)低頻漸進線（或其延長線）于 0dB 交于 k，由0lg20lg20)(kkKLkK，得dB0-20dB/dec=1k20lgKdB0-20dB/dec20lgK=1kK 1K 1時