Modeling2009數學建模王新茂

1、數學建模Mathematical Modeling王新茂中國科學技術大學數學系2教學安排2月20日講課2月27日討論3月6日講課3月13日討論3月20日講課3月27日討論4月3日講課4月10日討論4月17日講課4月24日討論5月1日勞動節(jié)5月8日講課5月15日討論5月22日講課5月29日討論6月5日講課6月12日討論6月19日講課6月26日討論6月29日考試開始3參考書目1.數學建模，F.R.Giordano、M.D.Weir、W.P.Fox著，葉其孝、姜啟源等譯，機械工業(yè)出版社，2005。2.問題解決的數學模型方法，劉來福、曾文藝編著，北京師范大學出版社，1999。3.數學建模精品案例，朱道

2、元編著，東南大學出版社，1999。4.數學模型，譚永基、俞文 編著，復旦大學出版社，1995。5.中國大學生數學建模競賽（一、二、三），李大潛主編，高等教育出版社。6.全國大學生數學建模競賽網，http:/4什么是數學建模？ 使用數學方法解決實際問題的過程實際現象實際問題數學模型數學問題數學解答解決方案基于合理的假設通過數學語言來“描述實際現象”“近似實際問題”建模求解建模的目的是“解決實際問題”實踐是檢驗模型好壞的唯一標準應用檢驗注：并非所有實際問題都可通過數學建模求解。5數學建模的一般過程1. 針對實際問題，明確建模目的。2. 抓住主要因素，簡化實際問題。3. 使用數學方法，導出數學模型。

3、 定義變量參數，量化主要因素。 找出主要因素之間的相互聯系。 假設合理、推理嚴密、數據精確、有說服力。4. 使用數學工具，求解數學問題。5. 檢驗修改模型，實施數學結果。 檢驗模型的解釋是否符合客觀規(guī)律。 檢驗計算結果是否與實際數據吻合。 檢驗模型的精度、穩(wěn)定性和靈敏度。6數學建模的常用方法 以客觀規(guī)律的普遍性為基礎，考慮局部規(guī)律的特殊性，從簡單到復雜，逐步建立模型。 根據量綱、比例關系、相似性、平衡原理、變化機理等確立變量之間的相互制約的關系。 收集整理數據，從中歸納出合理的假設。 用微分方程描述連續(xù)變量的變化和相互影響。 用隨機變量描述模型中因素的不確定性。 用圖論語言描述模型的研究對象及

4、其之間的關系，如工作順序、狀態(tài)轉移等。 將復雜的系統(tǒng)分解成若干子系統(tǒng)，分而治之。7數學模型的分類 按實際問題分類人口模型、生態(tài)模型、經濟模型、交通流模型、投入產出問題、郵路問題、選址問題、排隊服務問題 . 按數學方法分類數值計算問題、微分方程問題、優(yōu)化問題、規(guī)劃問題、圖論問題、概率統(tǒng)計問題、系統(tǒng)決策問題 . 按建模目的分類機理模型、仿真模型、預測模型、優(yōu)化模型、決策模型 按問題的確定性分類白箱問題、灰箱問題、黑箱問題8問題1.1：商品的價格與供求數量的關系。問題：產量的增加能否帶來收入的增加？一、初等模型9問題1.2：求豬的長L、寬w、高h、重m之間的關系。模型1：假設豬的形狀是幾何相似的，密

5、度為常值，則mL3。若將豬看成橢圓柱，忽略四蹄，則mwhL。模型2：將豬看作支撐在四蹄上的彈性梁，在重力作用下，下垂高度d，彈性模量為常值，則mwdh3/L3。問題：以上結論是否合理？兩個模型是否一致？兩個模型的優(yōu)缺點是什么？哪個模型比較準確？一、初等模型10一、初等模型問題1.3：求人的身高h、體重m、力量f、靈活性a之間的關系。模型1：假設人體具有幾何相似性，密度為常值，則mh3。將肌肉看成彈性桿，橫截面積s、相對伸長量為常值，彈性模量為常值，則fsh2，a=f/m1/h。問題：以上假設是否合理？如何修改模型？模型2：測量一定人群的身高、體重、力量、靈活性，然后進行數據擬合。問題：如何定量

6、測量靈活性？如何擬合？11一、初等模型問題1.4：如何提高鉛球運動員的成績。模型1：投擲距離s與出手高度h、出手速度v、仰角a有關。若不考慮空氣阻力，則s隨h、v的增大而增大。給定h、v，最佳投擲角度 。模型2：設臂長L、出手時的肩高H為常數， 。模型3：設鉛球重m，可獲得的總能量 為常值。問題：投擲距離還與哪些因素有關？空氣阻力對成績的影響有多大？以上假設是否合理？以上模型是否適用于標槍、鏈球等其它投擲項目？gvghvvs/cos)2sinsin(22ghvgh2arccos21sinLHhmghmv 22112氮肥 產量磷肥 產量鉀肥 產量氮肥 產量磷肥 產量鉀肥 產量1015.18 03

7、3.46 018.98 011.02 06.39015.7523421.36 2432.47 4727.35 2812.7499.484716.7636725.72 4936.06 9334.86 5614.56 9812.46 9316.89410132.29 7337.96 14038.52 8416.27 14714.38 14016.24513534.03 9841.04 18638.44 11217.75 19617.118617.56620239.45 14740.09 27937.73 16822.59 29421.94 27919.2725943.15 19641.26 372

8、38.43 22421.63 39122.64 37217.97833643.46 24542.17 46543.87 28019.34 48921.34 46515.84940440.83 29440.36 55842.77 33616.12 58722.07 55820.1110 47130.75 34242.73 65146.22 39214.11 68524.53 65119.4一、初等模型問題1.5（CMCM92A）：為了研究氮、磷、鉀三種肥料對于土豆和生菜的作用，分別作了三組實驗，結果如下。在考察一種肥料的施用量與產量關系時，另兩種肥料的施用量固定在第7個水平上。問：如何施肥效果最

9、好？(施肥量：公斤/公頃，產量：噸/公頃)13建模思路：1. 確定產量與施肥量的關系。多項式擬合、指數函數擬合、實驗數據的原始誤差、多種肥料的復合效果2. 優(yōu)化農產品的投入產出。考慮化肥對土壤破壞、生態(tài)農業(yè)、綠色食品3. 模型的檢驗與改進。 改進實驗方式、正交設計一、初等模型土豆生菜010020030040010203040500100200300400510152025050100 150 200 250 30010203040500100 200 300 400 500 600 7005101520250100 200 300 400 500 60010203040500100 200 3

10、00 400 500 60051015202514以下問題任選一題：1. 利用下表數據，檢驗并修改問題1.3的模型。作業(yè)一級別抓舉挺舉總成績級別抓舉挺舉總成績56138.5168305489812021762153182.532553102.512922669165197.5357.55811114125177173210377.563116142257851872203956912815828694188232.5417.57513115928610520023643675+139182.5318105+213263.5472.5男子舉重世界紀錄女子舉重世界紀錄152. 利用下表數據，檢驗問

11、題1.4的模型。3. 利用互聯網上的真實數據，對從事某種體育項目的專業(yè)運動員的身高、體重、力量、靈活性建模。作業(yè)一#出手速度出手高度仰角成績114.081.9535.1321.76213.952.0439.0021.70313.952.0439.0021.66413.972.0038.2021.52513.582.0237.7520.76613.512.0038.6920.30713.432.0238.5020.26813.162.0240.2719.4016二、微分方程模型問題2.1：根據以下數據對酵母培養(yǎng)物的生物量建模。模型1：畫出pt圖像、pt圖像、pp圖像。猜測dp/dt=ap-bp2

12、，擬合(pn+1-pn-1)/2=apn-bpn2，得a、b。51015100200300400500600510152040608010020030040050060020406080時間t012345678酵母p9.618.329.047.271.1119.1174.6257.3350.79101112131415161718441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.817二、微分方程模型由微分方程解出的p(t)函數圖像與原始數據非常吻合。問題：對模型 dp/dt = ap-bp2 給以生物學上的解釋。若假設 dp/dt = c0+c1p

13、+c2p2+c3p3，結果是否會更好?51015100200300400500600pt a p0b p0 a b p0at0.5408630.000814439 0.0555255 0.540863t18二、微分方程模型問題2.2：人口的預測和控制。模型1 (Malthus)：假設出生率死亡率為常數，dx/dt = ax。模型2 (logistic)：dx/dt = ax-bx2。模型3 (Leslie)：考慮各年齡段的人口數。xtsdtxsxtxtxtxacacbbabtxtxtxkkkkk),()()()()()()(2112121121連續(xù)模型離散模型19二、微分方程模型問題2.3：傳

14、染病的傳播。模型1：假設總人數n，感染人數x，未采取防病措施，經常與他人接觸。dx/dt = kx(n-x) ，k:接觸率。結論：一段時間之后，所有人都會被感染。204060801002040608010020二、微分方程模型模型2：假設總人數n ，無癥狀感染人數x（經常與他人接觸），有癥狀感染人數y（被隔離治療，治愈后仍可能被感染），已免疫或死亡人數z。dx/dt = k1x(n-x-y-z)-k2x，dy/dt = k2x-k3y，dz/dt = k4y，k1:感染率，k2:發(fā)病率，k3:治愈率，k4:免疫率+死亡率。結論：當k40 時，所有人都會免疫或死亡。當k2k1n時，疫情被迅速撲滅。當k2j。若作業(yè)i沒有預先作業(yè)，添加邊Begin-i。若作業(yè)i沒有后續(xù)作業(yè)，添加邊i-End。原問題化為“用一些從Begin到End的路徑P覆蓋所有頂點1,2,.,n，使得 maxP(iPTi ) 最小”。52五、圖網絡模型問題5.8：根據相互之間的戰(zhàn)績對選手實力進行排名。模型：假設各選手在爭奪一個冠軍稱號。已知選手i對選手j的戰(zhàn)績?yōu)閍ij勝、bij負、cij平。構造得分矩陣S=(sij)和概率轉移矩陣P=(pij)。pij表示在眾選手中，選手j能夠將冠軍稱號從選手i處奪來的概率。 。pi為選手i擁有冠軍稱號的概率。iniiji