三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理學習教案

1、三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)(xngzh)定理定理第一頁，共26頁。 本節(jié)內(nèi)容是關(guān)于幾何中的一些比例關(guān)系，這幾節(jié)內(nèi)容現(xiàn)在在初中課本中已“淡化”，但是這幾個結(jié)論在高中的“立體幾何”和“平面解析幾何”中有時會用到.因此,在本節(jié)中首先把這幾個定理內(nèi)容介紹給同學們,然后利用(lyng)這三個定理來解決一些題目.其中對于“平行線分線段成比例”介紹幾條稍有難度的題目，而“三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理” 的題目直接圍繞定理展開，難度不大.第1頁/共25頁第二頁，共26頁。平行線分線段平行線分線段(xindun)成成比例定理比例定理三條平行線截兩條直線，截得的對應(yīng)線段三條平行線截兩條直線，截得的

2、對應(yīng)線段(xindun)成比例成比例 定理的基本(jbn)圖形：如圖，因為ADBECF， 所以AB：BC=DE：EF; AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF 也可以說AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF 第2頁/共25頁第三頁，共26頁。推論的基本推論的基本(jbn)圖形圖形:平行線分線段(xindun)成比例定理推論: 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 (或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段(xindun)成比例 第3頁/共25頁第四頁，共26頁。第4頁/共25頁第五頁，共26頁。例例3：用平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線：用平行于三角形一

3、邊且和其他兩邊相交的直線(zhxin)截三角形，所截得的三角形的三邊與原三截三角形，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例角形的三邊對應(yīng)成比例.(文字語言文字語言)已知:如圖,DE/BC分別交AB、AC于點D、E.求證：(符號語言).ADAEDEABACBCCBADEF(圖形(txng)語言)分析：由平行線分線段分析：由平行線分線段(xindun)成比例定理的推論可直成比例定理的推論可直接得到接得到AD:AB=AE:AC.為了證明為了證明AE:AC=DE:BC，需要構(gòu)造一組平行線，使需要構(gòu)造一組平行線，使AE、AC、DE、BC成為成為由這組平行線截得的線段由這組平行線截得的線段.故作故

4、作EF/AB.證明：過點E作EF/AB,交BC于點F,DE/BC, AD:AB=AE:AC.EF/AB, BF:BC=AE:AC.且四邊形DEFB為平行四邊形.DE=BF. DE:BC=AE:AC.ADAEDEABACBC第5頁/共25頁第六頁，共26頁。CBADEG已知:如圖,DE/BC分別(fnbi)交AB、AC于點D、E.求證：.ADAEDEABACBC(圖形(txng)語言)ADDEABBC法2：為了證明 ，需用平行線分線段成比例定理.故作CG/AB,且與DE的延長線交于點G.證明:過點C作CG/AB,且與DE的延長線交于點G.DE/BC, AD:AB=AE:ACCG/AB, DE:D

5、G=AE:AC四邊形DEFB為平行四邊形， DG=BC.ADDEABDG.ADAEDEABACBC第6頁/共25頁第七頁，共26頁。例例1：證明證明(zhngmng)：FDEDFAEDC如圖， 是平行四邊形ABCD邊CD上一點，連結(jié)BF，并延長BF交AD的延長線于點E.求證：ABCD四邊形為平行四邊形CD/ABAD/BC，DEEFAEEB（平行于三角形一邊的直線截其他（平行于三角形一邊的直線截其他(qt)兩邊，兩邊， 所得的對應(yīng)線段成比例）所得的對應(yīng)線段成比例）同理可得同理可得 :EFDFEBDCDEDFAEDC第7頁/共25頁第八頁，共26頁。例例2 2：1,ABCAD,B ,2BACF.:

6、AF=CFDEEEAEE如圖 在中， 為中線上的一點，連結(jié)延長交于點 求證證明證明(zhngmng)：DHAC,BFH作交于點DHBDCFBC（平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(lingbin)(lingbin)相交的直線所截得的三角形的三邊與原三相交的直線所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例。）角形三邊對應(yīng)成比例。） DBC是的中點12DHBDCFBC12DEAE12DHDEAFAE同理可得：DHDHAFCFAFCF第8頁/共25頁第九頁，共26頁。例例3/111ABDCOE如圖，已知：ABCD,AC,BD交于O,OEAB交BC于E.求證：證明證

7、明(zhngmng)：/OEAB(1)OECEABBC/OEDC(2)OEBEDCBC121OEOECEBEBCABDCBCBCBC（）（ ）得：111ABCDOE第9頁/共25頁第十頁，共26頁。玉林玉林(y ln)(y ln)高中數(shù)學科高中數(shù)學科第10頁/共25頁第十一頁，共26頁。三角形內(nèi)角三角形內(nèi)角(ni jio)平分線定理：平分線定理：ABCDABCADBAC在中，若為的平分線，三角形外角三角形外角(wi jio)平分線定理：平分線定理：ABCDE.ABCADACAE在中，為的外角的平分線，ABBDACDC則：三角形外角平分線定理：三角形兩邊(lingbin)之比等于其夾角的外角平分

8、線外分對邊之比。三角形內(nèi)角平分線定理：三角形兩邊之比等于其夾角的平分線內(nèi)分對邊之比。ABBDACDC則：第11頁/共25頁第十二頁，共26頁。三角形內(nèi)心(nixn)性質(zhì)：三角形內(nèi)心：角平分線的交點三角形內(nèi)心：角平分線的交點(jiodin)（內(nèi)切（內(nèi)切圓的圓心）圓的圓心）1、角平分線上的任意點到角兩邊(lingbin)的距離相等；2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊 的和減去斜邊的差的二分之一。第12頁/共25頁第十三頁，共26頁。三角形重心三角形重心(zhngxn)：三角形的三條邊的中：三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心線交于一點。該點叫做三角形的重心(zhngxn)。1

9、、重心(zhngxn)到頂點的距離與重心(zhngxn)到對邊中點的距離之比為2 1；2、重心到三角形3個頂點(dngdin)距離的平方和最?。蝗切沃匦男再|(zhì)：3、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等；4、重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均，即123123(,)33xxxyyyG第13頁/共25頁第十四頁，共26頁。三角形旁心：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊三角形旁心：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心的延長線相切的圓）的圓心(yunxn)，叫做三角形的旁心。，叫做三角形的旁心。1、三角形一內(nèi)角平分線和另外(ln wi)兩頂點處的外角平分線交于一點，

10、該點即為三角形的旁心；2、每個三角形都有三個旁心(pn xn)；三角形旁心性質(zhì)：3、旁心到三邊的距離相等；ABCDE第14頁/共25頁第十五頁，共26頁。第15頁/共25頁第十六頁，共26頁。第16頁/共25頁第十七頁，共26頁。第17頁/共25頁第十八頁，共26頁。第18頁/共25頁第十九頁，共26頁。第19頁/共25頁第二十頁，共26頁。結(jié)論：使用面積法時，要善于從不同的角度去看三角形的底和高。在該證法中，我們看BAD和DAC的面積時，先以BA和AC作底，而以DF、DE為等高。然后以BD和DC為底，而高是同高，圖中并沒有(mi yu)畫出來。你學會這種變換第20頁/共25頁第二十一頁，共2

11、6頁。證明證明(zhngmng)：11,sin22ABDABChSBD hAB ADBAD設(shè)的高為則：11sin22DACSCD hDA ACDACsinsinABDDACSBD hAB ADBADSDC hAC ADDACADBACBACDAC 為的平分線ABBDACDCABDC第21頁/共25頁第二十二頁，共26頁。證明證明(zhngmng)：過C作AD的平行線交AB于點E。 BDCDABAE，1AEC CADACE 1CAD AECACE AEAC BDCDABAC 第22頁/共25頁第二十三頁，共26頁。1.AB=5cmAC=4cmBC=7cmBD=_在 ABC中,AD是 ABC的平分線，則359