第52講互斥事件的概率、條件概率與相

1、1.了解互斥事件的概率、兩個互斥了解互斥事件的概率、兩個互斥事件的概率加法公式，能利用此公式求事件的概率加法公式，能利用此公式求有關(guān)事件的概率有關(guān)事件的概率.2.了解條件概率和相互獨立事件同了解條件概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，理解時發(fā)生的概率，理解n次獨立重復試驗次獨立重復試驗的模型及二項分布的模型及二項分布.1.已知事件已知事件A、B的概率都大于零的概率都大于零,那么那么( )CA.如果如果A與與B互斥，則與也互斥互斥，則與也互斥B.如果如果A、B不是相互獨立事件，那么它們不是相互獨立事件，那么它們一定是互斥事件一定是互斥事件C.如果如果A、B是相互獨立事件，那么它們是相互獨立事件，那

2、么它們一定不是互斥事件一定不是互斥事件D.如果如果A+B是必然事件，那么它們一定是是必然事件，那么它們一定是對立事件對立事件2.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是 ,甲獲勝的概率是甲獲勝的概率是 ,則甲不輸?shù)母怕适莿t甲不輸?shù)母怕适?.1213563.甲、乙兩人獨立解同一道題甲、乙兩人獨立解同一道題,甲解決這道題的甲解決這道題的概率是概率是0.7,乙解決這道題的概率為乙解決這道題的概率為0.8,那么恰那么恰有一人解決這一道題的概率是有一人解決這一道題的概率是( )BA.0.56 B.0.38 C.0.44 D.0.94 只有甲解決這道題的概率為只有甲解決這道

3、題的概率為0.7(1-0.8) =0.14;只有乙解決這道題的概率為只有乙解決這道題的概率為0.8(1-0.7)=0.24.故恰有一人解決這一問題的概率為故恰有一人解決這一問題的概率為0.4+0.24=0.38,選選B.4.在在4次獨立重復試驗中，隨機事件次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)恰好發(fā)生生1次的概率不大于其恰好發(fā)生次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率次的概率,則事件則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率在一次試驗中發(fā)生的概率p的取的取值范圍是值范圍是 .0.4,1) 依題意依題意,得得 p(1-p)3 p2(1-p)2,解得解得p0.4.又又p1,故故0.4p 0 , 稱稱 .為在事件為在事件

4、A發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下,事事件件B發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率.P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+P(An)P(B|A)()( )P A BP A 5.相互獨立事件相互獨立事件 . ，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件. 6.相互獨立事件同時發(fā)生的概率相互獨立事件同時發(fā)生的概率 兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于 每 個 事 件 發(fā) 生 的 概 率 的 積 ， 即于 每 個 事 件 發(fā) 生 的 概 率 的 積 ， 即P(AB)= .一般的一般的,如果事件如果事件A1、A2、 、 An相 互 獨 立相 互 獨 立 , 則

5、 有則 有P(A1A2An)= .事件事件A(或或B)是否發(fā)生對事件是否發(fā)生對事件B(或或A)發(fā)生發(fā)生的概率沒有影響的概率沒有影響P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)7.獨立重復試驗獨立重復試驗 若若n次重復試驗中次重復試驗中, . ,則稱這則稱這n次試次試驗是獨立的驗是獨立的.8.n次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的概率次的概率 如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是次的概率是 . 如果設如果設q=1-p,則則Pn(k)就是就是(

6、p+q)n的展開式的展開式中的第中的第(k+1)項項,故故Pn(k)= pk(1-p)n-k也叫也叫做做 .每次試驗結(jié)果的概率每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果Pn(k)= pk(1-p)n-kknCknC1111二項分布公式二項分布公式例例1 一個口袋里共有一個口袋里共有7個白球個白球4個紅球，現(xiàn)個紅球，現(xiàn)在一次取出三個球，則這三個球中至少有在一次取出三個球，則這三個球中至少有一個紅球的概率是多少？一個紅球的概率是多少？ （方法一）記（方法一）記“三個球中至少有一個三個球中至少有一個紅球紅球”為事件為事件A，“三個球中恰有一個紅球三個球中恰有一個紅球”

7、為事件為事件A1，“三個球中有兩個紅球三個球中有兩個紅球”為事件為事件A2，“三個球全是紅球三個球全是紅球”為事件為事件A3，則，則A=A1+A2+A3,且這三個事件兩兩互斥且這三個事件兩兩互斥,故得故得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= = . (方法二方法二)記記“三個球全是白球三個球全是白球”為事件為事件,且是且是A的對立事件，則的對立事件，則P( )= = , 故得故得P(A)=1-P( )= .1221347474333111111CCCCCCCC2633A37311CC733A2633 在求某些稍復雜的事件的概率在求某些稍復雜的事件的概率時通常有兩種方法：一是將所求事件

8、時通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求出此事件的對立事率的和；二是先求出此事件的對立事件的概率件的概率. 從標有從標有1，2，3，4，5，6，7的的7個個小球中取出一個，記下它上面的數(shù)字，放小球中取出一個，記下它上面的數(shù)字，放回并攪動，再取出一球，記下它上面的數(shù)回并攪動，再取出一球，記下它上面的數(shù)字，若兩個數(shù)字之和大于字，若兩個數(shù)字之和大于11或兩個數(shù)字之積或兩個數(shù)字之積小于小于11就能中獎，問中獎的概率是多少？就能中獎，問中獎的概率是多少？ 從從7個小球中有放回地兩次取球，兩個數(shù)個小球中有放回地兩次取球，兩個數(shù)字之和大

9、于字之和大于11的概率是的概率是 ，兩個數(shù)字之積小于，兩個數(shù)字之積小于11的概率是的概率是 = ,因為兩個數(shù)字之和大于因為兩個數(shù)字之和大于11與與兩個數(shù)字之積小于兩個數(shù)字之積小于11是兩個互斥事件，所以中是兩個互斥事件，所以中獎的概率為獎的概率為 + = .649214937649372749 本題是有放回地取球本題是有放回地取球.如果是不放如果是不放回地取球，則可用數(shù)對標記列舉出來回地取球，則可用數(shù)對標記列舉出來.例例2 在在100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有95件合格品，件合格品，5件件不合格品不合格品.現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件任取一件.試求：試求： (1)第一

10、次取到不合格品的概率；第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率次取到不合格品的概率. 設設A=第一次取到不合格品第一次取到不合格品，B=第第二次取到不合格品二次取到不合格品.(1) P(A)= =0.05.(2)根據(jù)條件概率的定義計算，需要先求出根據(jù)條件概率的定義計算，需要先求出事件事件AB的概率的概率.P(AB)= = ,所以有所以有P(B|A)= = = .510051004991495()( )P ABP 1.在等可能性事件的問題中，求條件在等可能性事件的問題中，求條件概 率 通 用

11、的 方 法 是 利 用 條 件 概 率 公 式概 率 通 用 的 方 法 是 利 用 條 件 概 率 公 式P(B|A)= ,這就需要求出這就需要求出P(AB)和和P(A),用用到原來的概率知識到原來的概率知識.2 . 本 題 中 可 以 計 算 事 件本 題 中 可 以 計 算 事 件 B 的 概 率 為的 概 率 為P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) = + = =0.05,可見，條件可見，條件概率概率P(B|A)P(B).5100()( )P ABP A599499951005100例例3 甲、乙兩人獨立地破譯甲、乙兩人獨立地破譯1個密碼，個密碼，他們能譯出密碼的概率分別

12、為他們能譯出密碼的概率分別為13和和14，試求：試求：（1）兩人都譯出密碼的概率；兩人都譯出密碼的概率；（2）兩人都譯不出密碼的概率；兩人都譯不出密碼的概率；（3）恰有恰有1人譯出密碼的概率；人譯出密碼的概率；（4）至多至多1人譯出密碼的概率人譯出密碼的概率. 設設“甲譯出密碼甲譯出密碼”為事件為事件A，“乙乙譯出密碼譯出密碼”為事件為事件B，則，則A與與B相互獨立相互獨立.(1)P(AB)=P(A)P(B)= = .(2)P( )=P( )P( )=(1- )(1- )= .(3)P=P(A + B)=P(A)P( )+P( )P(B)= (1- )+(1- ) = .(4)P=1-P(AB

13、)=1- = .1314112ABAB1314112BABA131413145121121112 要分清要分清“互斥事件互斥事件”與與“相互獨立相互獨立事件事件”的概念，以及的概念，以及“互斥互斥”與與“獨立獨立”的概念的概念. 如右圖所示，開關(guān)電路中，如右圖所示，開關(guān)電路中，開關(guān)開關(guān)S1、S2、S3開或關(guān)的概率均開或關(guān)的概率均為為 ,且是相互獨立的且是相互獨立的,求燈亮的概求燈亮的概率率.12 設事件設事件A、B、C分別表示分別表示S1、S2、S3關(guān)關(guān)閉，則閉，則S1、S2同時關(guān)閉或同時關(guān)閉或S3關(guān)閉時燈亮，即關(guān)閉時燈亮，即AB 或或 ABC或或 C或或 BC或或A C發(fā)發(fā)生生,故故P=P(

14、AB )+P(ABC)+P( C)+P( BC)+P(A C)=P(A)P(B)P( )+P(A)P(B)P(C)+P( )P( )P(C)+P( )P(B)P(C)+P(A)P( )P(C)=5( )3= ，即燈亮的概率為即燈亮的概率為 .ACBABCA BABCABAB125858 分類討論時要注意不重復不遺漏分類討論時要注意不重復不遺漏.例例4 對某種抗癌新藥的療效進行試驗，對某種抗癌新藥的療效進行試驗，假定該藥對某種癌癥的治愈率為假定該藥對某種癌癥的治愈率為80%，現(xiàn)有現(xiàn)有10名患者同時服用此藥，求其中至名患者同時服用此藥，求其中至少有少有6人被治愈的概率人被治愈的概率(精確到精確到0

15、.01). 記記“一病人被治愈一病人被治愈”為事件為事件A，則，則P(A)=0.8,則至少有則至少有6人被治愈的概率為：人被治愈的概率為：P=P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)= 0.860.24+ 0.870.23+ 0.880.22+ 0.890.2+ 0.810=0.97.610C710C810C910C1010C 甲、乙兩個籃球運動員甲、乙兩個籃球運動員,投籃的命投籃的命中率分別為中率分別為0.5和和0.8,每人投籃兩次每人投籃兩次. (1)求甲投進兩球且乙至少投進一球的求甲投進兩球且乙至少投進一球的概率；概率； (2)若投進一個球得分，未投進得若投

16、進一個球得分，未投進得0分，求甲、乙兩人得分相同的概率分，求甲、乙兩人得分相同的概率. (1)設設“甲投進兩球且乙至少投進一球甲投進兩球且乙至少投進一球”為事件為事件A,“甲投進兩球甲投進兩球”為事件為事件B,“乙至少乙至少投進一球投進一球”為事件為事件C,則則A=BC.由由P(B)=0.50.50.25，P(I)= 0.8(1-0.8)+0.820.32+0.640.96,得得P(A)=P(B)P(C)=0.250.960.24.(2)設設“得分相同得分相同”為事件為事件M,則則P(M)=0.520.82+ 0.5(1-0.5) 0.8(1-0.8)+(1-0.5)2(1-0.8)20.50

17、.64+0.50.32+0.250.040.33.12C12C12C 本題中的本題中的“得分相同得分相同”意指意指“兩人兩人得分均為得分均為0分分”或或“兩人得分均為分兩人得分均為分”或或“兩人得分均為分兩人得分均為分”.1.求復雜的互斥事件的概率求復雜的互斥事件的概率,一般有兩種一般有兩種方法：方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分一是直接求解法，將所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每個事件概率的計算通常為等可能性事后的每個事件概率的計算通常為等可能性事件的概率計算，這時應注意事件是否互斥，件的概率計算，這時應注意事件是否互斥，

18、是否完備；是否完備；二是間接求解法二是間接求解法,先求出此事件的對立事先求出此事件的對立事件的概率件的概率,再用公式再用公式P(A)=1-P( ),若解決若解決“至至多多”“”“至少至少”型的題目，此方法顯得比較方型的題目，此方法顯得比較方便便.A2.解題時注意解題時注意“互斥事件互斥事件”與與“對立對立事件事件”的區(qū)別與聯(lián)系，搞清楚的區(qū)別與聯(lián)系，搞清楚“互斥事件互斥事件”與與“等可能性事件等可能性事件”的差異的差異.3.解概率問題時，一定要根據(jù)有關(guān)概解概率問題時，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷是否為條件概率或等可能事件，念，判斷是否為條件概率或等可能事件，或互斥事件，或相互獨立事件，還是某一或互斥

19、事件，或相互獨立事件，還是某一事件在事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次等次等概率的情況，以便選擇正確的計算方法概率的情況，以便選擇正確的計算方法.4.解題過程中，要明確條件中解題過程中，要明確條件中“至至少少 ” “” “ 至 多至 多 ” “” “ 恰 好恰 好 ” “” “ 都 發(fā)都 發(fā)生生”“”“都不發(fā)生都不發(fā)生”和和“不能發(fā)生不能發(fā)生”等等詞語的意義，以及它們的概率之間的詞語的意義，以及它們的概率之間的關(guān)系和計算公式關(guān)系和計算公式.5.如果事件如果事件A與與B相互獨立，那么相互獨立，那么A與與B，A與與B，A與與B也都相互獨立也都相互獨立.學例1 甲、乙、丙三

20、人參加了甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試一家公司的招聘面試,面試合格者可正式簽面試合格者可正式簽約約.甲表示只要面試合格就簽約甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約乙、丙則約定定:兩人面試都合格就一同簽約兩人面試都合格就一同簽約,否則兩人都否則兩人都不簽約不簽約.設每人面試合格的概率都是設每人面試合格的概率都是 ，且，且面試是否合格互不影響面試是否合格互不影響.求：求：（1）至少有至少有1人面試合格的概率人面試合格的概率;（2）簽約人數(shù)簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學期望的分布列和數(shù)學期望.12 設事件設事件A、B、C分別表示甲、乙、丙分別表示甲、乙、丙面試合格面試合格.由題意知事件由題意知事件A、

21、B、C相互獨立，相互獨立，且且P（A）=P（B）=P（C）= .（1）至少至少有有1人面試合格的概率是人面試合格的概率是1-P( )=1-P( )P( )P( )=1-( )3= ； （1）“至少至少”問題可轉(zhuǎn)化為對立事問題可轉(zhuǎn)化為對立事件的概率關(guān)系求解；（件的概率關(guān)系求解；（2）用概率的乘法）用概率的乘法公式求隨機變量的概率，定義法求期望公式求隨機變量的概率，定義法求期望.12ABCABC1278(2)的可能取值為的可能取值為0，1，2，3.P（=0）=P( B )+P( C)+P( )=P( )P(B)P( )+P( )P( )P(C)+P( )P( )P( )=( )3+( )3+( )

22、3= ;P(=1)=P(A C)+P(AB )+P(A C)=P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P( )ABCAA B CACABABC12121238BCBBCBC=( )3+( )3+( )3= ；P(=2)=P( BC)=P( )P(B)P(C)= ；P(=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= ；所以，所以，的分布列是的分布列是的期望的期望E=0 +1 +2 +3 =1.A12381212A18180123P3838181838381818 設進入某商場的每一位設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種，購買乙種商品的概率為商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品是相互獨立的是相互獨立的. (1)求進入該商場的求進入該商場的1位顧客購買甲、乙兩種位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；商品中