測(cè)量誤差概述

1、第六章 測(cè)量誤差的基本知識(shí)第一節(jié) 測(cè)量誤差概述iXLii二、測(cè)量誤差的來(lái)源 1 1測(cè)量?jī)x器和工具 2 2觀測(cè)者 3 3外界條件的影響 由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。 由于觀測(cè)者感覺(jué)器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。 外界條件的變化所引起的誤差。觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱(chēng)為非等精度觀測(cè)。 觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱(chēng)為等精度觀測(cè)； 人、儀器和外界條件，通常稱(chēng)為觀測(cè)條件。 在觀測(cè)結(jié)果中，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，稱(chēng)之為粗差。 粗差在觀測(cè)結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。三、測(cè)量誤差的分類(lèi)系統(tǒng)誤差偶然誤差 1 1系統(tǒng)誤差 在相同

2、觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差在測(cè)量成果中具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大，但它的符號(hào)和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。 （1 1）進(jìn)行計(jì)算改正 （2 2）選擇適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法 2 2偶然誤差 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的符號(hào)和大小都不一致，表面上沒(méi)有任何規(guī)律性，這種誤差稱(chēng)為偶然誤差。三、偶然誤差的特性 偶然誤差從表面上看沒(méi)有任何規(guī)律性，但是隨著對(duì)同一量觀測(cè)次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，觀測(cè)次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。 例如，對(duì)三角

3、形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行測(cè)量，由于觀測(cè)值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)角之和l l不等于其真值180180。用X X表示真值，則l l與X X的差值稱(chēng)為真誤差（即偶然誤差），即 現(xiàn)在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了217217個(gè)三角形，計(jì)算出217217個(gè)內(nèi)角和觀測(cè)值的真誤差。再按絕對(duì)值大小，分區(qū)間統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的誤差個(gè)數(shù)，列入表中。XLii 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)誤差區(qū)間正誤差個(gè)數(shù)負(fù)誤差個(gè)數(shù)總計(jì)033029593621204169151833912141630121512102215188816182156112124224242710127以上以上000合計(jì)107110217 （1 1）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較

4、大的誤差個(gè)數(shù)多； （2 2）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)大致相等； （3 3）最大誤差不超過(guò)2727。 0lim nn n 21偶然誤差的四個(gè)特性： （1 1）在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說(shuō)，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零； （2 2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大； （3 3）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同； （4 4）同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)n的無(wú)限增大而趨于零，即式中 偶然誤差的代數(shù)和，第二節(jié) 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)量成果的精度。中誤差相對(duì)中誤差極限誤差一、中誤差 設(shè)在相同的觀測(cè)條

5、件下，對(duì)某量進(jìn)行n n次重復(fù)觀測(cè)，其觀測(cè)值為l l1 1，l l2 2，l ln n，相應(yīng)的真誤差為1 1，2 2，n n。則觀測(cè)值的中誤差m m為： nm 式中 真誤差的平方和， 22221n 例5-15-1 設(shè)有甲、乙兩組觀測(cè)值，各組均為等精度觀測(cè)，它們的真誤差分別為： 甲組：1,3,2,3,4,0 ,2,4,2,3 乙組：1,3,0 ,8,1,1,2,7,1,0 試計(jì)算甲、乙兩組各自的觀測(cè)精度。解: 1013234024232222222222 甲甲m7 . 2 1013081127102222222222 乙乙m6 . 3 比較m m甲和m m乙可知，甲組的觀測(cè)精度比乙組高。 中誤差所

6、代表的是某一組觀測(cè)值的精度。mDDmmK1 二、相對(duì)中誤差 相對(duì)中誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)結(jié)果之比，并化為分子為1 1的分?jǐn)?shù)，即 例 丈量?jī)啥尉嚯x，D D1 1=100m=100m，m m1 1= =1cm1cm和D D2 2=30m=30m，m m2 2= =1cm1cm， 試計(jì)算兩段距離的相對(duì)中誤差。100001m100m01. 0111 DmmK30001m30m01. 0222 DmmK解m2P m3P 三、極限誤差 在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不應(yīng)超過(guò)的限值，稱(chēng)為極限誤差，也稱(chēng)限差或容許誤差。或 如果某個(gè)觀測(cè)值的偶然誤差超過(guò)了容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差，應(yīng)舍去不

7、用或返工重測(cè)。 第三節(jié)第三節(jié) 誤差的傳播定律誤差的傳播定律 誤差傳播誤差傳播: :直接觀測(cè)量的誤差以一定的方式直接觀測(cè)量的誤差以一定的方式傳遞給間接觀測(cè)量。傳遞給間接觀測(cè)量。 誤差傳播定律：誤差傳播定律：是指各觀測(cè)值中誤差與函數(shù)是指各觀測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差之間的關(guān)系。中誤差之間的關(guān)系。 Y Y= =f f( (x x1 1, ,x x2 2, , ，x xn n) )廣泛用來(lái)計(jì)算和評(píng)定函數(shù)值（間接觀測(cè)量）廣泛用來(lái)計(jì)算和評(píng)定函數(shù)值（間接觀測(cè)量）的精度。的精度。如：三角形內(nèi)角和如：三角形內(nèi)角和W=ABC而而A、B、C的觀測(cè)都是有誤差的，它們的觀測(cè)都是有誤差的，它們的誤差引起內(nèi)角和的誤差引起內(nèi)角和

8、W也有誤差，但函數(shù)也有誤差，但函數(shù)的誤差并不是簡(jiǎn)單的和關(guān)系。的誤差并不是簡(jiǎn)單的和關(guān)系。ABCMNh1h3h5h2h4hn1. 線(xiàn)性函數(shù)的中誤差線(xiàn)性函數(shù)的中誤差（1）倍數(shù)函數(shù)）倍數(shù)函數(shù) Y=kX 函數(shù)中誤差函數(shù)中誤差 my=kmx（2）和差函數(shù)和差函數(shù)Y=X1X2 X3 X4 Xn 函數(shù)中誤差函數(shù)中誤差 my2=m12 m22 m32 m42 mn2（3）線(xiàn)性函數(shù)線(xiàn)性函數(shù) Y=k1X1 k2X2 k3X3 k4X4knXn函數(shù)中誤差：函數(shù)中誤差：my2=（k1m1）2 （k2m2）2 （k3m3）2 （k4m4）2 （knmn）2若為等精度觀測(cè)，則若為等精度觀測(cè)，則m1=m2=m3=m4=mn=

9、m2. 2. 非線(xiàn)性函數(shù)中誤差計(jì)算步驟：非線(xiàn)性函數(shù)中誤差計(jì)算步驟：（1 1）列函數(shù)式（變量應(yīng)互相獨(dú)立）；）列函數(shù)式（變量應(yīng)互相獨(dú)立）；（2 2）分別對(duì)各觀測(cè)值（變量）求導(dǎo)，化）分別對(duì)各觀測(cè)值（變量）求導(dǎo)，化為線(xiàn)性函數(shù)；為線(xiàn)性函數(shù)；（3 3）根據(jù)誤差傳播定律，代入線(xiàn)函數(shù)中）根據(jù)誤差傳播定律，代入線(xiàn)函數(shù)中誤差公式計(jì)算。誤差公式計(jì)算。 應(yīng)用誤差傳播定律計(jì)算函數(shù)中誤差應(yīng)用誤差傳播定律計(jì)算函數(shù)中誤差 時(shí)，應(yīng)注意：時(shí)，應(yīng)注意： 列出的函數(shù)式，變量之間必須是相列出的函數(shù)式，變量之間必須是相互互獨(dú)立獨(dú)立的，否則不能套用函數(shù)中誤差公式。的，否則不能套用函數(shù)中誤差公式。計(jì)算舉例計(jì)算舉例1. 對(duì)一段距離對(duì)一段距離S

10、進(jìn)行等精度觀測(cè)進(jìn)行等精度觀測(cè)n次，每次觀測(cè)中誤差次，每次觀測(cè)中誤差均為均為mS，求平均值中誤差求平均值中誤差MS=？解：平均值解：平均值S=（S1S2S3S4Sn）/ndS=（1/n）ds1 （1/n）ds2 （1/n）ds3 （1/n）ds4 （1/n）dsnMS2=（1/n）2ms12 （1/n）2ms22 （1/n）2ms32 （1/n）2ms42 （1/n）2msn2= n（1/n）2ms2 MS=（1/n）ms = ms/（前面講過(guò)）前面講過(guò)） nn2. 設(shè)對(duì)某三角形三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行觀測(cè)，設(shè)對(duì)某三角形三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行觀測(cè)，A角的角的中誤差為中誤差為30，B角中誤差為角中誤差為20， C角中誤

11、差為角中誤差為10，求三角形的內(nèi)角和的，求三角形的內(nèi)角和的中誤差中誤差m=？解：內(nèi)角和解：內(nèi)角和W=A+B+CmW2=mA2+mB2mc2=302+202+102=1400 mW=37.4 3. 測(cè)一矩形面積，測(cè)一矩形面積，a邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為50.000.05m, b邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)為為30.000.02m, 求矩形面積求矩形面積A及其中誤差。及其中誤差。解解:（1）列函數(shù)式）列函數(shù)式 A=ab=5030=1500m2 （2）分別求偏導(dǎo)）分別求偏導(dǎo)dA=bdaadb （3）代入函數(shù)中誤差公式）代入函數(shù)中誤差公式:mA2=(300.05)2(500.02)2 mA2 =3.25mA=1.8m2A=15001

12、.8m2算術(shù)平均值及其中誤差算術(shù)平均值及其中誤差 算術(shù)平均值算術(shù)平均值 對(duì)一個(gè)量進(jìn)行等精度重復(fù)觀測(cè)對(duì)一個(gè)量進(jìn)行等精度重復(fù)觀測(cè)n n次次, ,假設(shè)真假設(shè)真值為值為x，則每一次的真誤差為，則每一次的真誤差為 xLxnn xxnnLxii真值算術(shù)平均值觀測(cè)值xL)(n 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n n趨于無(wú)窮時(shí)趨于無(wú)窮時(shí), ,平均值趨于真值。平均值趨于真值。 也就說(shuō)當(dāng)不知道真值時(shí)，取觀測(cè)值的算術(shù)平均也就說(shuō)當(dāng)不知道真值時(shí)，取觀測(cè)值的算術(shù)平均值為最合適值值為最合適值( (即最可靠值即最可靠值),),代替真值。代替真值。 但由于但由于n n不可能是無(wú)限大不可能是無(wú)限大, ,所以平均值不等于真所以平均值不等于真值

13、值, ,而是接近真值。而是接近真值。3.算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差 如果是等精度觀測(cè)如果是等精度觀測(cè), ,每個(gè)觀測(cè)值的中誤差每個(gè)觀測(cè)值的中誤差都是一樣的都是一樣的, ,根據(jù)誤差傳播定律可得算術(shù)根據(jù)誤差傳播定律可得算術(shù)平均值的中誤差平均值的中誤差M M。nmMnmmnnmnmnmnMn2222222221221111說(shuō)明平均值中誤差比觀測(cè)值中誤差提說(shuō)明平均值中誤差比觀測(cè)值中誤差提高了高了倍，但當(dāng)倍，但當(dāng)n大于大于20后，提后，提高不明顯。高不明顯。n1 5.5 用觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算中誤差用觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算中誤差改正數(shù))1(nvvmnvvLvii觀測(cè)值中誤差觀測(cè)值中誤差) 1( nnvvM平均值中誤差平均值中誤差nmM 歸納觀測(cè)精度評(píng)定歸納觀測(cè)精度評(píng)