量子力學作業(yè)習題

1、第1章 量子力學的誕生1 在宏觀世界里，量子現(xiàn)象常?？梢院雎詫ο铝兄T情況，在數(shù)值上加以證明：( l ）長l=lm ，質量M=1kg 的單擺的零點振蕩的振幅；( 2 ）質量M=5g ，以速度10cm/s 向一剛性障礙物（高5cm ，寬1cm ）運動的子彈的透射率；( 3 ）質量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 運動的鋼球被尺寸為1×1.5m2時的窗子所衍射2 用h,e,c,m（電子質量）, M （質子質量）表示下列每個量，給出粗略的數(shù)值估計：( 1 ）玻爾半徑（cm ) ; ( 2 ）氫原子結合能（eV ) ; ( 3 ）玻爾磁子；( 4 ）電子的康普頓波長（cm ) ; ( 5

2、 ）經(jīng)典電子半徑（cm ) ; ( 6 ）電子靜止能量（MeV ) ; ( 7 ）質子靜止能量( MeV ) ; ( 8 ）精細結構常數(shù)；( 9 ）典型的氫原子精細結構分裂3導出、估計、猜測或背出下列數(shù)值，精確到一個數(shù)量級范圍內，( 1 ）電子的湯姆遜截面；( 2 ）氫原子的電離能；( 3 ）氫原子中基態(tài)能級的超精細分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶極矩；( 5 ）質子和中子質量差；( 6 )4He 核的束縛能；( 7 ）最大穩(wěn)定核的半徑；( 8 ）0介子的壽命；( 9 ）-介子的壽命；( 10 ）自由中子的壽命4指出下列實驗中，哪些實驗表明了輻射場的粒子性？哪些實驗主要證明

3、能量交換的量子性？哪些實驗主要表明物質粒子的波動性？簡述理由( 1 ）光電效應；( 2 ）黑體輻射譜；( 3 ) Franck Hertz實驗；( 4 ) Davisson -Ger - mer 實驗；( 5 ) Compton 散射5考慮如下實驗：一束電子射向刻有A 、B 兩縫的平板，板外是一裝有檢測器陣列的屏幕，利用檢測器能定出電子撞擊屏幕的位置在下列各種情形下，畫出入射電子強度隨屏幕位置變化的草圖，給出簡單解釋( 1 ) A 縫開啟，B縫關閉；( 2 ) B 縫開啟，A 縫關閉；( 3 ）兩縫均開啟6驗算三個系數(shù)數(shù)值：（1）；（2）；（3）hc第二章 波函數(shù)與Schröding

4、er方程1 試用量子化條件,求諧振子的能量諧振子勢能2 一維運動的粒子處在的狀態(tài)，其中，求：（1）粒子動量的幾率分布函數(shù)；（2）粒子動量的平均值。3 平面轉子的轉動慣量為,求能量允許值4. 有一帶電荷質量的粒子在平面內運動,垂直于平面方向磁場是B,求粒子能量允許值.5 對高速運動的粒子(靜質量)的能量和動量由下式給出 (1) (2)試根據(jù)哈密頓量 (3)及正則方程式來檢驗以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關系.計算速度并證明它大于光速.6. （1）試用Fermat最小光程原理導出光的折射定律 （2）光的波動論的擁護者曾向光的微粒論者提出下述非難： 如認為光是粒子，則其運動遵守最

5、小作用量原理 認為則這將導得下述折射定律這明顯違反實驗事實，即使考慮相對論效應，則對自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，從一種媒質到另一種媒質E仍不變，仍有，你怎樣解決矛盾？7. 當勢能改變一常量C時,即,粒子的波函數(shù)與時間無關部分變否?能量本征值變否?8. 試證粒子勢能的極小值是9. 設與是薛定諤方程式兩個解，證明與時間無關。10. 考慮單粒子的薛定諤方程式： V1，V2為實函數(shù)，證明粒子的幾率不守恒。求出在空間體積內，粒子幾率“喪失”或“增加”的速率。11. 對于一維自由運動粒子，設求。12. 證明從單粒子的薛定諤方程式得出的速度場是非旋的，即 第三章 一維定態(tài)問題1. 對于無限深勢阱中運動

6、的粒子（見圖3-1）證明 并證明當時上述結果與經(jīng)典結論一致。2. 試求在不對稱勢力阱中粒子的能級。3. 設質量為的粒子在下述勢阱中運動： 求粒子的能級。4. 考慮粒子在下列勢阱壁（）處的反射系數(shù)5. 試證明對于任意勢壘，粒子的反射系數(shù)滿足。6. 設在一維無限深勢阱中運動的粒子的狀態(tài)用： 描述，求粒子能量的可能植及相應的幾率。7. 設一諧振子處于基態(tài)，求它的并驗證測不準關系：8. 設粒子處于無限深勢阱中，狀態(tài)用波函數(shù)描述，是歸一化常數(shù)，求（1）粒子取不同能量幾率分布。（2）能量平均值及漲落。9. 一維無限深勢阱中求處于態(tài)的粒子的動量分布幾率密度。10. 寫出動量表象中諧振子的薛定諤方程式，并求出

7、動量幾率分布11. 一維諧振子處在基態(tài)，求： (1)勢能的平均值； (2)動能的平均值； (3)動量的幾率分布函數(shù)。12. 氫原子處在基態(tài)，求： (1)r的平均值； (2)勢能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動能的平均值； (5)動量的幾率分布函數(shù)。13. 證明氫原子中電子運動所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標中的分量是 14. 一剛性轉子轉動慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動量，求與此對應的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：(1) 轉子繞一固定軸轉動：(2) 轉子繞一固定點轉動：15. 設t=0時，粒子的狀態(tài)為 求此時粒子的平均動量和平均動能。16. 一維運動粒子的狀態(tài)是 其中，

8、求： (1)粒子動量的幾率分布函數(shù)； (2)粒子的平均動量。第四章 力學量和表象變化1指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。 ； ； 2 指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。 3 下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？ ， ， ，4 試求算符的本征函數(shù)。5 設波函數(shù)，求6 證明：如果算符和都是厄米的，那么(+)也是厄米的。7 問下列算符是否是厄米算符：； 。8 如果算符滿足關系式，求證9 求 ； ； 10 設是的可微函數(shù)，證明下述各式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）11 證明以下諸式成立： (1) (2) (3) (4) 12為粒子角動量。F為另一力學量，證明： 其中表示空間

9、坐標的梯度，表示動量空間的梯度。13 設算符A，B與它們的對易式A，B都對易。證明(1) (2)14 證明 15 證明 是厄密算符16 證 (A 等是實數(shù))是厄密算符17 證明（實數(shù)）是厄密算符。18證明，若 當大時并不趨于0，則 不一定是厄密算符。19 證明 其中A(p,q),B(p,q)是正則動量和坐標的函數(shù)，上式左方是相應的算符。A,B是經(jīng)典力學中的poisson括弧在多變量情形i=1,2,3.i自由度20 設F(x，p)是xk，pk的整函數(shù)，證明： ; 整函數(shù)是指，是數(shù)值系數(shù)第五章 力學量隨時間的演化與對稱性1. 證明力學量（不顯含）的平均值對時間的二次微商為：（是哈密頓量）2. 證明

10、，在不連續(xù)譜的能量本征態(tài)（束縛定態(tài)）下，不顯含的物理量對時間的導數(shù)的平均值等于零。3. 設粒子的哈密頓量為。（） 證明。（） 證明：對于定態(tài)4. 證明，對于一維波包：5. 求海森伯表象中自由粒子的座標的算符。6. 求海森伯表象中中諧振子的坐標與動量算符。7. 多粒子系若不受外力，則其哈密頓算符可表成：證明：總動量為守恒。8. 多粒子系如所受外力矩為0，則總動量為守恒。9. 證明：對經(jīng)典力學體系，若A，B為守恒量，則A，B即泊松括號也為守恒量，但不一定是新的守恒量，對于量子體系若，是守恒量，則也是守恒量，但不一定是新的守恒量。10. 對于平面轉子（轉動慣量I），設：（1） 試求11. 證明周期場

11、中的Bloch波函數(shù) ，是的本征函數(shù)，相應的本征值是。第六章 中心立場1 質量分別為 m,m的兩個粒子組成的體系，質心座標及相對坐標為：= (1) ；r (2)試求總動量及總角動量在, 表象中的算符表示。2 證明 ，3 中心力場中的經(jīng)典粒子的哈密頓量是其中。當過渡到量子力學時，要換為 問是否厄米算符？是否厄米算符。4 經(jīng)典力學中在量子力學中此式是否成立？在什么條件下此式成立？5 求出氫原子基態(tài)波函數(shù)在動量表象中的表示式。利用所得結果，計算。用x表象中的氫原子波函數(shù)計算,并驗證測不準關系式。6 在動量表象中寫出氫原子的能量本征方程式，并證明角動量的各個分量均為守恒量。7 設氫原子處于基態(tài)，求電子

12、處于經(jīng)典力學不允許區(qū)（EV）=T0 的幾率。8 證明，對于庫侖場，（是總能量）9 對于氫原子的，計算 10 根據(jù)氫原子光譜理論，討論（1）“電子偶素”（指e+e-的束縛態(tài)）的能級。（2）介原子的能譜。（3）介子素（指+-e-束縛態(tài)）的能譜。11 在（）表象中，的子空間是幾維？求在此子空間的矩陣表示式，再利用矩陣形式求出本征值及征矢。 12 證明能級上滿布電子的情況下，電荷分布是各向同性的。13 證明一個球方勢阱(半徑a,深度V0)恰好具有一條l0的能級的條件是：V0與a應滿足 14 采用平面極座標，求出軸對稱諧振子勢場中，粒子能量的本征值本征函數(shù)，讀者討論簡并度。15 設粒子在無限長的園簡內運

13、動，簡半徑是a，求粒子的能量。16 粒子在半徑為，高為的圓筒中運動，在筒內粒子是自由的，在筒壁及筒外勢能是無限，求粒子能量的本征值。17 設，求粒子的能量本征值。第七章 粒子在電磁場中的運動1. 證明在磁場中，帶電粒子的速度算符的各分量，滿足下述的對易關系： （1） （2） （3）2 利用上述對易式，求出均勻磁場中，帶電粒子能量的本征值（取磁場方向為Z軸方向）3. 證明在規(guī)范變換下 （1） （2） （機械動量的平均值）都不變 （3）4 若采用柱座標系，求解均勻磁場中帶電粒子的能量本征值。5 設帶電粒子相互的均勻電場和均勻磁場中運動，求其能譜及波函數(shù)（取磁場方向為z軸，電場方向為x軸方向）6 設

14、帶電粒子在均勻磁場及三維各向同性諧振子場 中運動，求能譜公式。第八章：自旋1在表象中，求的本征態(tài) 2在表象中，求的本征態(tài)，是方向的單位矢。3在自旋態(tài)下，求和4 一個具有兩個電子的原子，處于自旋單態(tài)（s=0）。證明自旋軌道耦合作用 。對能量無貢獻。 5 自旋為s的兩個粒子所具有的，對稱和反對稱的自旋波函數(shù)各有幾個？情況下，對稱和反對稱自旋態(tài)各有幾個？6證明，是與對易的矢量算符。7證明：（1） （ ） （2） 其中 矢量與對易, 表示方向的單位矢量。8證明, 是與對易的任何矢量算符。9設 證明：（是沿矢量方向的單位矢量）（1） （1）（2） （2）10證明不存在非0的二維矩陣，能和三個泡利矩陣都反

15、對易 ，即設 則11證明找不到一種表象，在其中（1）三個泡利矩陣均為實矩陣或（2）二個是純虛矩陣，另一個為實矩陣。12求證與三個泡利矩陣都對易的2×2矩陣，只能是常數(shù)矩陣。第九章 力學量本征值的代數(shù)解法1. 設非簡諧振子的哈密頓量為： （為常數(shù)）取 ，試用定態(tài)微擾論求其能量及能量本征函數(shù)。2. 一維無限深勢阱（）中的粒子受到微擾： 的作用，求基態(tài)能量的一級修正。 3. 一維諧振子的哈密頓為假設它處在基態(tài)，若在加上一個彈性力作用H=1/2 bx2，試用微擾論計算H對能量的一級修正，并與嚴格解比較。4. 設有自由粒子在長度為L的一維區(qū)域中運動，波函數(shù)滿足周期性邊界條件 波函數(shù)的形式可選作

16、： ， 但 。設粒子還受到一個陷阱作用，a<<L。試用簡并理論計算能量一級修正。5. 在一維無限深勢阱 中運動的粒子，受到微擾的作用討論粒子在空間幾率分布的改變。6. 類氫離子中，電子與原子核的庫侖作用為： Ze為核電荷當核電荷增加eZàZ+1，互相作用能增加，試用微擾論計算它對能量的一級修正，并與嚴格解比較。7. 一個粒子在二維無限深勢阱 中運動，設加上微擾 求基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量修正8. 設在H0表象中，的矩陣為： 試用微擾論求能量的二級修正。9. 設在H0表象中用微擾論求能量修正量（到二級近似），嚴格求解與微擾論計算值比較。10.一體系在無微擾時有兩條能級，其中一

17、條時二重簡并，在表象中 （1）在計及微擾后哈密頓量表示為： （2）（1） 用微擾論求H本征值準到二級近似。（2） 把嚴格對角化，求H的精確本征值.第十章：散射問題1用玻恩近似法，求在下列勢場中的散射微分截面：（1） （2） (3) (4) (5) 第十一章 量子躍遷1. 具有電荷的離子，在其平衡位置附近作一維簡諧振動，在光的照射下發(fā)生躍遷，入射光能量密為，波長較長，求：（1）躍遷選擇定則。（2）設離子處于基態(tài)，求每秒躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。2. 設有一帶電的粒子，質量為，在寬度為的一維無限深勢阱中運動，它在入射光照射下發(fā)生躍遷，波長。（1）求躍遷的選擇定則。（2）設粒子原來處于基態(tài)，求躍遷速率公式。3. 設把處于基態(tài)的氫原子放在平行板電容器中，取平行板法線方向為z軸方向、電場沿z軸方向可視作均勻