第五章系統(tǒng)的演化

1、復雜性（二）：系統(tǒng)的演化系統(tǒng)演化概念 系統(tǒng)的結構、狀態(tài)、行為、功能等隨著時間的推移而發(fā)生的變化，稱為系統(tǒng)的演化。 兩種基本方式：狹義和廣義狹義的演化，指系統(tǒng)由一種結構或形態(tài)向另一種結構或形態(tài)的轉變。廣義的演化，包括系統(tǒng)從無到有的形成，從不成熟到成熟的發(fā)育，從一個結構或形態(tài)到另一種結構或形態(tài)的轉變，系統(tǒng)的老化或退化，從有到無的死亡等。 系統(tǒng)演化的動力 系統(tǒng)組成部分之間的合作、競爭、矛盾等內部因素，以及環(huán)境變化及環(huán)境與系統(tǒng)相互聯(lián)系和作用方式的變化等外部因素系統(tǒng)演化概念 演化的兩種方向進化：由低級到高級、由簡單到復雜的演化退化：由高級到低級、由復雜到簡單的演化兩種演化是互補的?？偡较蚴窃絹碓綇碗s，從

2、簡單系統(tǒng)進化到復雜系統(tǒng)與演化相關的概念狀態(tài)變量狀態(tài)變量 是指描述系統(tǒng)每時每處情況的一組隨時間變化的量?？梢匀〔煌闹怠Ｒ话阆到y(tǒng)需要同時用若干狀態(tài)變量來描述。給定狀態(tài)變量的一組數值即給定一個系統(tǒng)狀態(tài)，不同組的數值代表系統(tǒng)的不同狀態(tài)。 選擇狀態(tài)變量的要求：（1）完備性（2）獨立性狀態(tài)空間狀態(tài)空間 由系統(tǒng)所有狀態(tài)構成的集合?？臻g的每個點稱為狀態(tài)點。如果系統(tǒng)有n個獨立狀態(tài)變量，以狀態(tài)變量為軸建立起來的空間，就是系統(tǒng)的狀態(tài)空間。狀態(tài)變量的每一組具體數值代表系統(tǒng)的一個具體的狀態(tài)。N是狀態(tài)空間的維數，用以描述決定系統(tǒng)的行為特性。這樣，就可以通過狀態(tài)空間描述系統(tǒng)，建立系統(tǒng)的演化方程，確定不同類型的狀態(tài)，描述系

3、統(tǒng)的狀態(tài)轉移規(guī)律。吸引子和奇異吸引子吸引子和奇異吸引子 吸引子代表系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。狀態(tài)空間中點表示系統(tǒng)狀態(tài)，點集表示系統(tǒng)演化的過程。吸引子有吸引作用，系統(tǒng)運動只有達到吸引子上才能穩(wěn)定下來并保持下去。 奇異吸引子，混沌系統(tǒng)的吸引子吸引子理論 吸引子吸引子是一個數學概念，描寫運動的收斂類型，它存在于相平面。簡言之，吸引子是指這樣的一個集合，當時間趨于無窮大時，在任何一個有界集上出發(fā)的非定常流的所有軌道都趨于它。這樣的集合有很復雜的幾何結構。從相空間上看，系統(tǒng)演化的目的體現(xiàn)為一定的點集合，代表演化過程的終極狀態(tài)，即目的態(tài)，具有如下特征：(1)終極性，處于非目的態(tài)的系統(tǒng)“不安于現(xiàn)狀”，力求離之遠去，處

4、于目的態(tài)的系統(tǒng)則“安于現(xiàn)狀”，自身不再愿意或無力改變這種狀態(tài)（也可以叫做惰性）。 (2)穩(wěn)定性，目的態(tài)是系統(tǒng)自身質的規(guī)定性的體現(xiàn)，這種規(guī)定性只有在穩(wěn)定狀態(tài)中才能確立起來并得到保持，不穩(wěn)定狀態(tài)不可能成為目的態(tài)。 (3)吸引性，吸引性是目的性的根本要素，沒有吸引力的狀態(tài)不能成為系統(tǒng)演化所追求的目標。只要系統(tǒng)尚未到達目的態(tài)，現(xiàn)實狀態(tài)與目的態(tài)之間必定存在非0的吸引力，牽引著系統(tǒng)向目的態(tài)運動。相空間中滿足以上3個條件的點集合A(可能包含1個點、有限個點或無限個點)，被稱為動力學系統(tǒng)的吸引子。吸引子只能是定態(tài)，而且必須是穩(wěn)定態(tài)。 確定相軌跡切線方向的方向場及相平面上的一條相軌跡 二階線性系統(tǒng)特征根與奇點

5、相軌跡圖 在動力學系統(tǒng)中，吸引子包括1.單個點2.穩(wěn)定極限環(huán)。 可解釋為：長期運動就是：1.靜止在定態(tài) 2.周期性地重復某種運動系列。在非混沌體系中，這兩種情況是“一般吸引子”。 在混沌體系中，第二種情況則被稱為：“奇怪吸引子”，它本身是相對穩(wěn)定的，收斂的，但不是靜止的。奇怪吸引子是穩(wěn)定的、具分形結構的吸引子。 一個系統(tǒng)可能沒有吸引子，也可能同時存在多個吸引子。不同吸引子可能屬于同一類型，也可能屬于不同類型。幾類吸引子的各種組合都可能出現(xiàn)。例如，同時存在幾個結點，或同時存在不動點和極限環(huán)，或同時存在不動點、極限環(huán)、奇怪吸引子，或同時有幾個奇怪吸引子，等等。 系統(tǒng)越復雜，吸引子結構就越復雜。 凡

6、存在吸引子的系統(tǒng)，均為有目的的系統(tǒng)。從暫態(tài)向漸近穩(wěn)定定態(tài)的運動過程，就是系統(tǒng)尋找目的的過程。所謂目的，就是在給定的環(huán)境中，系統(tǒng)只有在目的點或目的環(huán)上才是穩(wěn)定的，離開了就不穩(wěn)定，系統(tǒng)自己要拖到點或環(huán)上才能罷休。穩(wěn)定極限環(huán) 不穩(wěn)定極限環(huán)系統(tǒng)運動最終全部趨向于一條封閉的相軌跡，稱之為“極限環(huán)”，對應系統(tǒng)的一種穩(wěn)定的周期運動，即自振。不論初條件怎樣，系統(tǒng)自由響應運動最終都是自振。如果由極限環(huán)外部和內部起始的相軌跡都漸近地趨向這個極限環(huán)，任何較小的擾動使系統(tǒng)運動離開極限環(huán)后，最后仍能回到極限環(huán)上。 如果由極限環(huán)外部和內部起始的相軌跡都從極限環(huán)發(fā)散出去，任何較小的擾動使系統(tǒng)運動離開極限環(huán)后，系統(tǒng)狀態(tài)將遠離

7、極限環(huán)或趨向平衡點，這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。 半穩(wěn)定極限環(huán) 奇怪吸引子 奇怪吸引子是耗散系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的一個重要的特征 ，是相空間的一個有限的區(qū)域內，由無窮多個不穩(wěn)定點集組成的一個集合體。 奇怪吸引子有兩個最重要的特征： （1） 對初始條件有敏感的依賴性。 在初始時刻從奇怪吸引子上任何兩個非常接近的點出發(fā)的兩條運動軌道，最終會以指數的形式互相分離。由于對初值極為敏感，表現(xiàn)為局部不穩(wěn)定。但對耗散系統(tǒng)而言，則又具有相體積收縮的特性，因而造成軌道無窮多次折迭往返。混沌軌道在相空間中“添滿”有限的區(qū)域，形成奇怪吸引子。 實際上，它有內外兩種趨向，一切吸引子之外的運動都向它它有內外兩種趨向，一切吸引

8、子之外的運動都向它靠攏，這是穩(wěn)定的方向；而一切到達吸引子內的軌道都又相靠攏，這是穩(wěn)定的方向；而一切到達吸引子內的軌道都又相互排斥（指數式分離），對應為不穩(wěn)定方向?；ヅ懦猓ㄖ笖凳椒蛛x），對應為不穩(wěn)定方向。 （2） 具有奇特的拓撲結構和幾何形式。 奇怪吸引子是具有無窮多層次自相似結構的、幾何維數為非整數的一個集合體。為了描述奇怪吸引子的這種奇特結構，Mandelbrot率先引進了分形（既其維數是非整數的對象）的概念。洛倫茨吸引子 “洛倫茨結束了笛卡爾宇宙觀統(tǒng)治的時代，繼相對論和量子力學之后，開啟了20世紀第三次科學革命?！?麻省理工學院大氣學教授伊曼紐爾聚散有法，周行不殆，回復不閉聚散有法，周行不

9、殆，回復不閉 Lorenz方程bzxyzycxxzyxyax)( 其中a，b，c0 選a=10 b=8/3 c=28系統(tǒng)有混沌解Lotka-Volterra方程 y1、y2分別代表被捕食者和捕食者的數量，分別代表被捕食者和捕食者的數量，代表被捕食代表被捕食者的出生率，者的出生率，代表捕食者的死亡率，代表捕食者的死亡率，、代表兩個物種代表兩個物種的相互作用。的相互作用。22122111yyyyyyyy(1)假設假設 y2(t)=0,捕食者不存在捕食者不存在, 獵物獵物y1因無天敵，呈指數增長；因無天敵，呈指數增長；(2) 假設假設 y1(t)=0, 因因捕食者捕食者y2僅以僅以y1為食為食, 則

10、則y2呈指數下降；呈指數下降； (3) y1 y2 項表示項表示 y1 與與y2的相互作用。它表示物種的相互作用。它表示物種y1與與y2相遇的相遇的 幾率，而系數的正負反映幾率，而系數的正負反映y2捕食捕食y1的后果；的后果； (4) 定性分析表明在平衡點處系統(tǒng)穩(wěn)定，此時定性分析表明在平衡點處系統(tǒng)穩(wěn)定，此時y1, y2都不為零，都不為零， 要維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡，只有謀求要維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡，只有謀求“和局和局”。 Lotka-Volterra方程殺蟲藥的效應2221212111cyyyyycyyyyy c代表使用殺蟲藥帶來的死亡率。代表使用殺蟲藥帶來的死亡率。y1y2c=0系統(tǒng)的平衡點：系統(tǒng)的

11、平衡點：caycy2121yy0蝴蝶效應 蝴蝶效應是混沌理論的一部分，是指在一個動力系統(tǒng)中，初始條件下微小的變化能帶動整個系統(tǒng)的長期而巨大的連鎖反應。 “一只蝴蝶在巴西輕拍翅膀，會使更多蝴蝶跟著一起振翅。最后將有數千只的蝴蝶都跟著那只蝴蝶一同揮動翅膀，其所產生的颶風可以導致一個月后在美國得州發(fā)生一場龍卷風?！?分形fractal分形的發(fā)展歷程 普通幾何學研究的對象，一般都具有整數的維數。零維的點、普通幾何學研究的對象，一般都具有整數的維數。零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。在一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。在2020世紀世紀7070年代末年代末8080年

12、代初，產生了新興的分形幾何學年代初，產生了新興的分形幾何學（fractal geometryfractal geometry），空間具有不一定是整數的維，而存），空間具有不一定是整數的維，而存在一個分數維數。在一個分數維數。 法國數學家芒德勃羅法國數學家芒德勃羅(B.B.Mandelbrot)(B.B.Mandelbrot)在在19751975、19771977和和19821982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是年先后用法文和英文出版了三本書，特別是分形：形、機分形：形、機遇和維數遇和維數以及以及自然界中的分形幾何學自然界中的分形幾何學(Fractal (Fractal Geometry

13、 of Nature)Geometry of Nature)，開創(chuàng)了新的數學分支，開創(chuàng)了新的數學分支“分形幾何分形幾何學學”?！胺中畏中巍?fractal)(fractal)這個詞是芒德勃羅在這個詞是芒德勃羅在19751975年造出年造出來的，詞根是拉丁文的來的，詞根是拉丁文的fractusfractus， “ “破碎破碎”的意思。的意思。 根據物理學家李蔭遠院士的建議，大陸將根據物理學家李蔭遠院士的建議，大陸將fractalfractal一開始就一開始就定譯為定譯為“分形分形”，而臺灣學者一般將，而臺灣學者一般將fractalfractal譯作譯作“碎形碎形”。 客觀事物有自己的特征長度，要

14、用恰當的尺度去測量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產生了特征長度。 有的事物沒有特征尺度，必須考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標度），這叫做“無標度性”的問題。如物理學中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態(tài)，就要借助“無標度性”解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學。芒德勃羅“海岸線” 芒德勃羅(B.B.Mandelbrot)20世紀70年代中探討了“英國的海岸線有多

15、長” 的問題。 該問題依賴于測量時所使用的尺度。如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。 海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數量級的“無標度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。英國的海岸線地圖分形幾何的內容 基本思想是：客觀事物具

16、有自相似的層次結構，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構不變。 維數是幾何對象的一個重要特征量，是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數目。在歐氏空間中，把空間看成三維的，平面或球面看成二維，把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，對于更抽象或更復雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應，也容易確定維數。 分形理論認為維數也可以是分數，這類維數是物理學家在研

17、究混沌吸引子等理論時引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。分形的定義 定義1（Mandelbrot,1986）,部分以某種形式與整體相似的形狀叫分形。 定義2（Edgar,1990），分形集合是這樣一種集合，它比傳統(tǒng)幾何學研究的所有集合還更加不規(guī)則（irregular）,無論是放大還是縮小，甚至進一步縮小，這種集合的不規(guī)則性仍然是明顯的。分形的特性 1、具有無限精細的結構 2、局部與整體的相似性 3、具有非拓撲維數，并且它大于對應的拓撲維數 4、具有隨機性 5、在大多數

18、情況下，分形可以用非常簡單的方法確定，可能由迭代產生。自相似性 分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點。 一個系統(tǒng)的自相似性是指某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結構的局域性質或局域結構與整體類似。 另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數以后簡單地和整體完全重合。 太陽系的構造與原子的結構作一對比，就會發(fā)現(xiàn)這兩個系統(tǒng)在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個系統(tǒng)在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質系統(tǒng)之間存在著自相似的性質。 物質系統(tǒng)之間的自相似性在生物界也廣泛地存在著。以人為例，

19、人是由類人猿進化到一定程度的產物，解剖學研究表明，人體中的大腦、神經系統(tǒng)、血管、呼吸系統(tǒng)、消化系統(tǒng)等在結構上都具有高度的自相似性。左圖1是人體小腸的結構，由圖可以看到，當以不同的放大倍數觀察小腸結構時，即從a到e較大的形態(tài)與較小的形態(tài)之間的相似表明小腸結構具有自相似性。人體小腸的自相似結構它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為60的二條的二條等長（等長（1/3）的折線來代替，形成一個生成單元，如上圖）的折線來代替，形成一個生成單元，如上圖(b).然后再把每然后再把每一條直線段用生成單元進行代替，經過無窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條無

20、窮一條直線段用生成單元進行代替，經過無窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條無窮多彎曲的多彎曲的koch曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當理想的。曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當理想的。三次koch曲線koch曲線是分形的，因為它是自相似的。自相似性就是跨尺度的對稱。它意味著遞歸，在一個圖形內部還有圖形。從上圖（e）中可以清楚看到這一點。自相似性指的是，把要考慮的圖形的一部分放大，其形狀與整體相同。設想把上圖（e）中的koch曲線區(qū)間0,1/3中的圖形放大3倍，放大后的圖形與原來的曲線形狀完全相同。把區(qū)間2/3,1放大3倍，也會得到同樣的結果。雖然區(qū)間1/3,1/2 ，1/2,2/3的圖形是傾斜的，

21、但是把它放大，也會得到同樣的結果。若把區(qū)間0,1/9的圖形放大9倍，同樣也可以產生與原來相同的圖形。對更小的部分進行放大也是如此，不論多小部分，若把它放大到適當大小，應該能得出與原來相同的圖形。Cantor集合0F1F2F康托集合是閉區(qū)間0,1的子集，它的定義如下：給定區(qū)間0,1，把這個區(qū)間分成三段，去掉中間那一端（即去掉(1/3,2/3)），然后把剩下的兩段中每一段都按照剛才的方法再進行操作，然后再分，再分，就這樣一直挖洞挖下去。在第二次操作后，剩下的區(qū)間是0,1/92/9,1/32/3,7/98/9,1，再操作一次后區(qū)間將由8段構成。最后剩下來的東西是什么呢？ n次操作后，區(qū)間的總長度為(

22、2/3)n，當n趨于無窮時，區(qū)間長度趨于0。但是這并不能說明這個區(qū)間里沒有任何元素。事實上，我們可以找到至少一個元素 ?？低屑吓c0,1的所有實數一一對應。這個函數是一個階梯狀的函數，但是它不是分段的，是連續(xù)的。它是無窮多個橫線段組成的一個連續(xù)函數，除端點無意義以外導數值都是0?；蛘哒f，這個函數在不變之中上升。102103104101102103104105101log log N( )25. 1log)(logND英國海岸線的分形維數D=1.25英國海岸線的自相似性及分形維數的獲得標度不變性 所謂標度不變性，是指在分形上任選一局部區(qū)域，對它進行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態(tài)特性

23、。因此,對于分形，不論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復雜程度、不規(guī)則性等各種特點均不會變化。所以標度不變性又稱為伸縮對稱性。通俗一點說，如果用放大鏡來觀察一個分形，不管放大倍數如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無法判斷所用放大鏡的倍數。 所以具有自相似特性的物體（系統(tǒng)），必定滿足標度不變性，或者說這類物體設有特性長度。上面介紹的koch曲線是具有嚴格的自相似性的有規(guī)分形，無論將它放大與縮小多少倍，它的基本幾何特性都保持不變，很顯然，它具有標度不變性。 因此,可以看到,自相似性與標度不變性是密切相關的。自相似性和標度不變性是分形的兩個重要特性。是否有非整數維的幾何存在呢？ 實際上,若對長

24、度為1的線段n等分，每段長為r，則 (2.2) 對面積為1的正方形作n等分，每個小正方形的邊長為r，則 (2.3) 對體積為1的正方體作n等分，每個小正方體的邊長為r，則 (2.4) 上面三個等式中，r的冪次實際上就是幾何體能得到定常度量的空間維數，于是有如下公式 (2.5)1rn12rn13rn1Drn分形的維數分形的維數 對上式兩邊取對數，則得到空間維數D的表達式： （2.6） 對koch曲線而言，在第n步時，其等長折線段總數為4n，每段長度為 ，于是koch曲線的維數D應為 （2.7） 這是一個非整數值，它定量地表示koch曲線的復雜程度。koch曲線是一個分形圖形。分形圖形雖然一般都比

25、較復雜，但其復雜程度可用非整數維數去定量化，維數愈大，其復雜性就會相應提高。 )1ln(lnlnlnrnrnDn312618. 13ln4ln)31ln(4lnnnD 我們上面講的維數又稱為相似維數，常用Ds表示。一般地，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，則有： ， (2.8) 因此，我們對koch曲線，又可看成是由把全體縮小成1/3的四個相似形構成的，按式（2.8），koch曲線的相似維數則為 (2.9) 下面我們再看看KOCH曲線在歐氏幾何中的長度是多少，顯然， ， ， ，那么basDaln/blnDs2618134.lnlnDS1)a(length34)b(leng

26、th916)c(lengthnnn)(limlnlim)e(length34 由于它是一條閉區(qū)間的曲線，在歐氏幾何中，其面積為零。換句講，koch曲線在傳統(tǒng)的歐氏幾何領域不可度量。而分維 恰好反映了這種曲線的不規(guī)則性和復雜性。 由以上的討論，我們可以看到，從傳統(tǒng)的幾何學出發(fā)，我們用非常簡單的一把直尺去研究koch曲線，會發(fā)現(xiàn)它十分的復雜，它包含無限的層次結構，用什么樣的尺子都很難測量它，所以我們說koch曲線是很復雜的幾何對象。從分形幾何學出發(fā)，我們用一個看起來很復雜的測量單位一個小的koch曲線去測量koch曲線，所得的結果卻十分簡單。對比以上兩種情況：歐氏幾何用簡單的圖形作為工具，研究某些

27、對象時發(fā)現(xiàn)存在著復雜性；分形幾何用復雜的圖形（恰恰是利用自相似性，利用復雜圖形的本身或其一部分）作工具, 研究對象時得到非常簡單的結果。26181.DS分形的應用領域 1、數學：動力系統(tǒng) 2、物理：布朗運動，流體力學中的湍流 3、化學：酶的構造， 4、生物：細胞的生長 5、地質：地質構造 6、天文：土星上的光環(huán) 其他：計算機，經濟，社會，藝術等等應用1：股票價格變動所謂股票價格的變動。股票價格變動圖雖然經常可在報紙（或電視等）上看到，但因價格漲落得非常厲害，而且完全是隨機的，因此使人感到幾乎無規(guī)律可循。但若從統(tǒng)計學觀點解析這一變動，就會發(fā)現(xiàn)有很好的規(guī)律。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)下面兩個法則：

28、每個單位時間內的股票價格變動分布，服從特性指數D1.7的對稱穩(wěn)定分布。 單位時間不論取多大或多小，其分布也是相似的。也就是說，適當地改變尺度，就可成為同樣的分布。 關于穩(wěn)態(tài)分布,只討論與分形有關的一些性質。若把單位時間T之間的股票價格變動x的分布密度記為P（x），則下述關系成立： 此關系式表示股票價格變動的大小分布為分形。例如，一天的股票價格變動在x元以上，比2x元以上的變動次數多21.73.2倍。法則（2）表示股票價格變動在時間上也是分形的。一天的股票價格變動圖形與一年的股票價格變動圖形相比，不同的只是股票價格的尺度，而對變動情況則很難加以區(qū)別。xDxxxd )x(Pxd )x(P應用2：分

29、形對哲學的影響 分形中充滿著辯證法思想，它不僅為辯證法提供新的事例，而且可以豐富人們對辯證法的認識。分形理論中具有確定性與隨機性、內在隨機性與外在隨機性、局部與整體、簡單與復雜等幾對矛盾的辯證關系。我們對所謂整體與局部這一對矛盾，存在著辯證的關系，加以簡要的闡述。 一般系統(tǒng)論認為整體可以分解為一些部分，整體是由部分組成的；部分包含在整體之中，是整體的組成部分，部分相加可以構成整體。因此，整體大于部分。在這一認識中, 把部分與整體的關系理解為機械的分解和相加?；谶@種整體與部分的關系的看法，形成簡化事物的方法還原論方法。但隨著科學技術的發(fā)展，這種方法并非總是有效。 17世紀，伽利略（Galile

30、o，G.15641642）在1638年出版的關于新科學的對話一書中提出一個悖論：正整數集合s1的元素與正整數平方的集合s2的元素是一樣多的。人們稱伽利略悖論,可以表示如下：一方面從常識來看，s1的元素顯然比s2的元素多。因為從12到22就少了2、3兩個數，從22到32缺少5、6、7、8四個數，一般地從n2到（n+1）2就缺少2n個正整數；另一方面從上面所列的一一對應關系來看，s1與s2的元素確實是一樣多的，或者說s1的元素并不比s2的元素多。當時，人們用有限數的眼光來看待無限數的關系，無法理解這種奇特的現(xiàn)象，所以稱它為伽利略悖論。這個悖論說明什么呢？在無窮集合中，整體可以與部分相等，或者說整體

31、不大于部分。這說明我們不能把有窮情況下得出的結論，不加限止地推廣到無窮的情況，說明我們以前對整體與部分的關系的認識是有條件的，不是普遍有效的。 在部分（局部）與整體的關系，分形幾何已經揭示出一個重要特點：自相似，即取分形上任意一小部分加以放大，就可以發(fā)現(xiàn)部分與整體是相似的。這種自相似可以是嚴格的或有規(guī)律的，也可以是近似的或統(tǒng)計的。因此，自相似性為我們理解部分與整體的辯證關系提供了新的科學依據。 對于傳統(tǒng)的和分形理論中關于部分與整體的關系，可用圖1和圖2表示：圖1圖2 可以看到：由部分是以自身同等的方式存在于整體之中的傳統(tǒng)看法，進而認識到部分以與整體相似的方式存在于整體之中。這是人類認識史上的一

32、大進步，具有深遠的哲學意義。分形形成的方法 圖形迭代 函數迭代 迭代函數系統(tǒng)（ifs）圖形迭代生成分形 給定初始圖形 ，依照某一規(guī)則 對圖形反復作用 得到圖形序列 其極限圖形是分形，作用規(guī)則 稱為生成元。 R,.1 , 0,1kRFFkk.,21FFR0F例如，Cantor 集的生成元是Van Koch 雪花曲線的生成元是其它實例2、Minkowski “香腸”3、Sierpinski地毯4、龍曲線5、Hilbert曲線6、花草樹木(L系統(tǒng)） 生物學家Lindenmayer提出。一個L系統(tǒng)可表示為一個有序的三元素集合：其中：V是一些運動過程集合， w是初始形狀， P是生成式。PwVG, 例如，

33、F表示向前距離d, +表示左轉彎a, -表示右轉彎，表示壓棧，表示出棧。 FFFFFFPFwFV:,函數迭代產生的分形用Z表示復數，定義在復平面上的函數 f(Z)稱為復變函數。任意給定初始復數值 ，定義復數序列對于什么樣的初始值 ，復數序列收斂或有界？nZ0Z0Z) 1 (, 2 , 1 , 0),(1nZfZnn Julia集 考慮復變函數迭代固定復參數 c，使得迭代序列有界的初值 在復平面上的分布圖形稱為Julia集，亦即 迭代序列 有界)2(, 1 ,0,21ncZZnnnZ0ZnZ|0ZJc Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代序列（2）有界的參數 c 在復平面上的分布圖形稱為

34、 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 記 則（2）變?yōu)?ZqipcyixZ,) 3(21221qyxypyxxnnnnnnnZ|0cJZ Julia 集的繪制方法：1、設定初值 p,q, 最大的迭代次數 N, 圖形的大小 a,b, 及使用的顏色數 K.2、設定區(qū)域的界值 3、將區(qū)域 分成 的網格，分別以每個網格點為初值 利用（3）做迭代。如果對所有的 都有 ，則將象素(i, j) 置為黑色。如果從某一步 n 開始，則將象素 (i,j)置為顏色 n mod K。), 2max(22qpM,MMMMRba),(00yxNn 222Myxnn222Myxnn分形的計算機生成分形的計算機生成

35、L系統(tǒng)：字符串替換算法系統(tǒng)：字符串替換算法 (1) 字符串替換算法的主要思想字符串替換算法的主要思想 例 已知科赫曲線的初始元是“”，生成元是“”請按字符串替換法的規(guī)則約定記號，寫出其初始元和生成元的字符串，產生出其第二步圖形的字符串,并畫出其圖形. 解：約定如下記號： a：沿逆時針方向旋轉b：沿順時針方向旋轉 c：從當前點沿當前方向畫一長度為L的線段 則初始元“” 可用字符表示為“c”. 生成元 “”可用字符串表示為“cacbbcac”. 將以上字符串“cacbbcac”中的“c”再用字符串“cacbbcac”替換，便得第二步圖形的字符串： E(2)$=cacbbcacacacbbcacbb

36、cacbbcacacacbbcac.迭代函數系統(tǒng)（ifs） 是一種繪制分形圖的方法，即所謂的隨機函數跌代系統(tǒng)。具體說明在程序里有。簡單的講，圖形的生成受幾條簡單規(guī)則的制約，每種規(guī)則都是一個仿射變換。什么是仿射變換？不嚴格的講，就是一種照哈哈鏡的變換。我們知道，對一個平面圖形可以施加旋轉、平移、縮放的變換，一般來講，這種變換都可以用坐標變換的方式寫出來： x=ax+by+c y=dx+ey+f 這其中，a,b,c,d,e,f都是系數，x,y為圖形原來的坐標，x,y為經過變換得到的新坐標。不同的系數會對圖形進行不同的變換，包括平移、旋轉、縮放，如果x方向和y方向的縮放比例不一樣，那么就會對圖形產生

37、某種扭曲，因此，總體上來講，這種對圖形的變換就象是照哈哈鏡一樣。 對一個圖形進行一組（即多個）這樣的變換，并且，讓計算機以一定的概率選擇這些規(guī)則。那么就能產生我們看到的分形圖。這似乎有些神奇。為什么變換就能產生分形圖呢？讓我們以“金字塔”為例進行說明。 考慮上面的三角形，從左邊的大三角形變成右邊的三個小三角形，顯然，這是受三條規(guī)則同時制約的，考慮規(guī)則1。它是先把大三角形縮小一半（假設以大三角形的左下角為原點坐標），然后再往上平移一半，往右平移sqrt(3)/4，sqrt(3)表示根號3。因此，規(guī)則1就可以寫為： x=0.5x+sqrt(3)/4 y=0.5y+1/2 另外的兩條規(guī)則也可以寫成這樣的形式。接下來，我們就要接著對三個小三角進行變形?？紤]最上面的小三角，我們應用規(guī)則1變換，即先縮小一半，然后再平移，這跟在上一步中把大三角形運用規(guī)則1的效果是一樣的，對其它兩個小三角形運用規(guī)則1我們就能得到下面的圖： 運用規(guī)則