博士生入學專業(yè)基礎課考試大綱

1、理學院數(shù)學 系博士入學考試導師考核及專家小組考核大綱一、導師考核部分導師考核內(nèi)容自定，可以采用筆試或面試方式，滿分100 分。二、專家小組考核部分數(shù)學系專家小組考核采用筆試、面試相結合的考試方式。面試考試部分滿分為 50 分，全面考評考生的基本專業(yè)知識掌握、基本原理掌握及分析問題和解決問題的能力。主要考評考生的表達能力、邏輯思維能力、外語能力，以及所從事的工作或研究經(jīng)歷等內(nèi)容。筆試考試滿分為 50 分，考試大綱如下：（一）考試要求1在以下 6 個科目中選擇二個科目 （專業(yè)基礎與專業(yè)綜合 不能選同名 的科目），每科 25分，共 50 分：泛函分析、抽象代數(shù)、現(xiàn)代數(shù)值分析、概率論、常微分方程、偏微

2、分方程。2各科目要求：要求考生全面系統(tǒng)地掌握所選科目的基本知識，具備較強的分析問題與解決問題的能力。（二）考試內(nèi)容1泛函分析：1) 度量空間、賦（準）范線性空間、內(nèi)積空間的基本定義，基本定理，基本性質及這些空間的具體例子；凸集與 Minkowski 泛函的定義及基本性質。2) 算子和泛函的線性性、有界性、連續(xù)性的定義、關系、基本性質； Riesz 定理及應用。3) 綱，開映像定理與閉圖像定理及推論（含 Banach逆算子定理等），共鳴定理及應用。4) 線性泛函的延拓定理及其幾何形式。5) 共軛空間（含例子）與共軛算子，以及二次共軛空間與空間的自反性，弱收斂及弱*收斂，弱列緊性及弱 * 列緊性。

3、6) 線性算子的譜的定義和例；緊算子的定義和基本性質。2抽象代數(shù)：1) 群論：在掌握群、子群、正規(guī)子群、商群等概念和有關性質及群同態(tài)基本定理的基礎上，要求應試者進一步了解與掌握：作用在集上的群；p 群?Sylow 子群；可解群與Jordan-Holder定理；有限生成Abel 群的結構。2) 環(huán)論：在掌握環(huán)、子環(huán)、理想、商環(huán)等概念和有關性質及環(huán)同態(tài)基本定理的基礎上，要求應試者進一步了解與掌握：交換環(huán)中的素理想、極大理想的基本性質，交換環(huán)中的可逆元，冪等元，零因子等的基本性質；交換環(huán)的大根與小根；有關交換環(huán)的局部化理論；鏈條件；分式理想與類群。3) 模論：模與模同態(tài)； Hom 與 ；直積與直和；

4、自由模、投射模、入射模；正合列與交換圖；一些特殊環(huán)上的模。4) 域論：單純擴張與有限擴張；分裂域，正規(guī)擴張；可離擴張；有限域；有限擴張的單純性。5) Galois 理論： Galois 群；域與群的結對關系；多項式的Galois 群。3現(xiàn)代數(shù)值分析：1) 數(shù)值逼近：多項式插值、樣條插值、有理插值；正交多項式的性質及構造方法；最佳一致逼近、最佳平方逼近、曲線擬合的最小二乘法。2) 數(shù)值積分與微分：高斯型求積公式的一般理論；奇異積分與振蕩函數(shù)積分數(shù)值計算；數(shù)值微分公式的構造方法。3) 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法：直接解法；矩陣的條件數(shù)與擾動方程組的誤差界估計；迭代解法的方法構造及收斂性判定；共軛梯度法

5、。4) 非線性方程組數(shù)值解法：牛頓法及其變形方法、擬牛頓法。5) 常微分方程數(shù)值解法： 初值問題數(shù)值解法 （單步法的收斂性與穩(wěn)定性、 線性多步法）；邊值問題數(shù)值解法（打靶法、差分法） 。4概率論：1) 集類與單調類定理，測度與概率，測度的擴張定理及測度的完備化，獨立事件類。2) 隨機變量與可測函數(shù)，分布函數(shù)，獨立隨機變量，隨機變量序列的收斂性。3)積分的定義和性質，收斂定理，數(shù)學期望，不定積分與可加集函數(shù)的分解。4)有限維乘積測度， Fubini 定理。5)條件概率與條件數(shù)學期望，正則條件概率。5常微分方程：1)常微分方程的基本理論：線性穩(wěn)定性理論，Liapunov 穩(wěn)定性的基本理論，Poin

6、care-Bendixson 定理及應用。2) 中心流形理論和規(guī)范型方法：關于常微分方程的中心流形定理，向量場的規(guī)范型。3) 常微分方程的局部分支：不動點分支， Hopf 分支。能夠用中心流形理論和規(guī)范型方法結合常微分方程的基本理論討論某些常微分方程的動力學性質。6偏微分方程：1) 線性橢圓型偏微分方程的 L2 理論。主要包括 : Lax-Milgram 定理 , 散度型線性橢圓型偏微分方程的弱解 , Fredholm 二擇一定理 , 弱解的極值原理和弱解的正則性。2) 線性橢圓型偏微分方程古典解的 Schauder理論。主要包括 : Holder 空間 , 磨光核 , 位勢方程解的 C 2,

7、 估計 , Schauder估計 , 古典解的極值原理和 Dirichlet 問題的可解性。3) 線性橢圓型偏微分方程的 Lp 理論。主要包括 : Sobolev 空間 , Marcinkiewicz 內(nèi)插定理 ,Calderon-Zygmund 分解 , 位勢方程解的 Lp 估計 , 強解的 W 2, p 估計和強解的存在性。 4) De Giorgi-Nash 估計。主要包括 : 弱解的局部性質 , 內(nèi)部 Holder 連續(xù)性 , 全局 Holder連續(xù)性。（三）試卷結構1考試時間 180 分鐘，滿分 50 分。2各科目試題結構：每個科目出5 個題目，每個題目5 分，其中有些考查基本概念、基本理論的掌握情況，有些考查基本理論的應用和理論推導的能力。（四）參考書目1“泛函分析”科目：張恭慶等，泛函分析上冊，北京大學出版社2“抽象代數(shù)”科目：1）T. W. Hungerford， Algebra，Springer-Verbag2）張海權、游宏，抽象代數(shù)，東北師大出版社3“現(xiàn)代數(shù)值分析”科目：李慶揚、關治、白峰杉， 數(shù)值計算原理，清華大學出版社， 20004“概率論”科目：嚴士健等，概率論基礎，科學出版社5“常微分方程”科目：1）S. Wingins，Introduction to Applied Nonlinear Dynamics