楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)20101103

1、制制 作作 胡胡 海海 權(quán)權(quán)011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 一般地，對于一般地，對于n N*有有二項(xiàng)定理二項(xiàng)定理:二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些？共有多少個？二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是哪些？共有多少個？下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過楊輝三角楊輝三角觀察觀察n為特殊值時，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？為特殊值時，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？45453510C (a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？）請看系數(shù)有沒有明

2、顯的規(guī)律？2 2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？）上下兩行有什么關(guān)系嗎？ 3 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎? ?每行兩端都是每行兩端都是1 C1 Cn n0 0= C= Cn nn n=1=1從第二行起，每行除從第二行起，每行除1 1以外的每一個數(shù)都等于它肩以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和上的兩個數(shù)的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+mnmnmnCCC11 展開式的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：系數(shù)依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看， 可看可看成是以成是

3、以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) , ,其定義域是：其定義域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 當(dāng)當(dāng) 時，其圖象是右時，其圖象是右圖中的圖中的7個孤立點(diǎn)個孤立點(diǎn)6n（1 1）對稱性）對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等個二項(xiàng)式系數(shù)相等這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對稱軸圖象的對稱軸：2nr （2 2）增減性與最大值）增減性與最大值 1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnnknkkkk由于由于：所以所以 相對于相對于 的增減情況由的增減情況由 決定決定 knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn2

4、1nk 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時，時，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。 因此，因此，當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式2Cnn系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值； 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 、21Cnn21Cnn相等，且同時取得最大值。相等，且同時取得最大值。（2 2）增減性與最大值）增減性與最大值 （3 3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式定理中，令在二項(xiàng)式定理中，令 ，則：，則： 1abn

5、nnnnn2CCCC210這就是說，這就是說， 的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：()nabn2 （1 1） 一般地，一般地， 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下基本性質(zhì)：有如下基本性質(zhì)：nba)( nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2）mnmnmnCCC11（4 4）nnnnnCCC210 （3 3）當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時，為偶數(shù)時， 最大最大 當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， = = 且最大且最大 2Cnn21Cnn21Cnn（對稱性）（對稱性）第第0 0行行1第第1 1行行 1 1第第2 2行行 1 2 1第第3 3行行 1 3 3 1第第4 4行

6、行 1 4 6 1第第5 5行行 1 5 1第第6 6行行 1 6 15 6 1第第n-1n-1行行 111 nC121 nC11 rnCrnC1 21 nnC 第第n n行行 11nC12nCrnC1 nnC 第第7 7行行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“斜線和斜線和”=1rnC2nC3nC4nC rnrrrCCC1r2r1rC 125第第5 5行行 1 5 10 10 5 1第第6 6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7 7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1 1行行 1 1第第0 0行行1第第2 2行行 1 2 1第第3 3行行 1 3

7、 3 1第第4 4行行 1 4 6 4 1138132134如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第第8 8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列斐波那契斐波那契 （11701170 12501250） 意大利商人兼意大利商人兼數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家家, ,他他的的著作算著作算盤書盤書中中, ,首首先引入阿拉伯先引入阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字，將將“十十進(jìn)制進(jìn)制”介介紹給歐洲紹給歐洲人人認(rèn)識認(rèn)識，對歐洲的對歐洲的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)展發(fā)展有深有深遠(yuǎn)的影遠(yuǎn)的影響。響。例例1 證明：在證明：在(a+b)(a+b)n n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)展

8、開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。在二項(xiàng)式定理中，令在二項(xiàng)式定理中，令 ，則：，則： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC已知已知求求:(1):(1) ； (2) (2) ； (3) (3) ; ; (4) (4)7270127(1 2 )xaa xa xa x 127aaa 1357aaaa 017|aaa 0246aaaa 73110932 1094 218741844454

9、1183413060.TTCxxx求第五項(xiàng)項(xiàng)系數(shù)最大的展開式中只有第已知練,101243nxx：為偶數(shù)依題意 n,18,1012nn且解題型題型: :求展開求展開式中的特定項(xiàng)式中的特定項(xiàng)例例2.2.試判斷在試判斷在 的展開式中有無常數(shù)項(xiàng)？的展開式中有無常數(shù)項(xiàng)？ 如果有，求出此常數(shù)項(xiàng)；如果沒有，說明理由如果有，求出此常數(shù)項(xiàng)；如果沒有，說明理由. .8312xx 解：設(shè)展開式中的第解：設(shè)展開式中的第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則：項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則： 8824 43188311122rrrrrrrrxTCCxx 由題意可知，由題意可知，244063rr 故存在常數(shù)項(xiàng)且為第故存在常數(shù)項(xiàng)且為第7項(xiàng)，項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)

10、 8 6660781172TCx 常數(shù)項(xiàng)即常數(shù)項(xiàng)即 x0項(xiàng)項(xiàng)練習(xí)：練習(xí)： Tk 1kkkxxc)()(31122112xckk656120k12, kZ0k12, kZ當(dāng)當(dāng)k=0k=0、6 6時，時，x x的冪為正整數(shù)的冪為正整數(shù)含含x x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2 2項(xiàng)項(xiàng)的展開式中，含的展開式中，含x x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)的正整數(shù)次冪的項(xiàng) 共有多少項(xiàng)？共有多少項(xiàng)？123)1(xx 例例4:4:求求(x+2)(x+2)1010 （x x2 2-1-1）展開式中含）展開式中含 x x 10 10 項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為為. . 179變式：求變式：求(1+x+x(1+x+x2 2)(1

11、-x)(1-x)1010展開式中含展開式中含x x項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù). .求兩個求兩個( (多個多個) )二項(xiàng)式乘積的展開式的特定項(xiàng)方法：二項(xiàng)式乘積的展開式的特定項(xiàng)方法：（1 1）先化簡，化成一個二項(xiàng)式的展開式）先化簡，化成一個二項(xiàng)式的展開式; ;（2 2）分析兩個（多個）二項(xiàng)式的通項(xiàng)的字母的指數(shù)）分析兩個（多個）二項(xiàng)式的通項(xiàng)的字母的指數(shù), ,利用找利用找伙伴伙伴的方式解決的方式解決. .例例3 3：求：求 展開式中的常數(shù)項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng). .1010 x11x1）（）（項(xiàng)的展開式中系數(shù)最大的求例10215x：類型：求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)類型：求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)方法方法: :利用通項(xiàng)公式建立不等式組利用通項(xiàng)公式建立不等式組在在(3x - -2y)20的展開式中，求：的展開式中，求：(1)(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2);(2)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng). .解解:(2):(2)設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第r+1r+1項(xiàng)項(xiàng). .則則2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC812812892032TCx y 即即 3(r+1)2(20-r) 3(r+1)2(20-