線性方程組解的判定

1、2.7 2.7 線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定用消元法解線性方程組得知，線性方程用消元法解線性方程組得知，線性方程組解的情況有三種：無窮多解、唯一解和無組解的情況有三種：無窮多解、唯一解和無解歸納求解過程，實際上就是對方程組解歸納求解過程，實際上就是對方程組(2.6.1)(2.6.1)的增廣矩陣的增廣矩陣11121121222212()nnmmmnmaaabaaabaaabAB，2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定返回返回1/28下一頁下一頁下一頁下一頁上一頁上一頁上一頁上一頁返回返回2/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁進行初等行變換，將其

2、化成如下形式的階進行初等行變換，將其化成如下形式的階梯形矩陣：梯形矩陣：2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定返回返回3/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁，(2.7.1)(2.7.1)0000000000001222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdcccc2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定其中，或其中，或), 2 , 1(0ricii00000000000000000001222211111rrrnrsnsknsddccdcccdccc(2.7.2)(2.7.2)返回返回4/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下

3、一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定由定理由定理2.6.12.6.1可知，階梯形矩陣可知，階梯形矩陣(2.7.1)(2.7.1)和和(2.7.2)(2.7.2)所表示的方程組與方程組所表示的方程組與方程組(2.6.1)(2.6.1)是同解方程組，于是由矩陣是同解方程組，于是由矩陣(2.7.1)(2.7.1)和和(2.7.2)(2.7.2)可得方程組可得方程組(2.7.1)(2.7.1)的解的結論的解的結論: :1.1.當時，階梯形矩陣當時，階梯形矩陣(2.7.1)(2.7.1)和和(2.7.2)(2.7.2)所表示的方程組中的第個方程所表示的方程組中的第個方

4、程 “ ” ”是一個矛盾方程，因此，方程是一個矛盾方程，因此，方程組組(2.6.1)(2.6.1)無解無解01rd1r10rd返回返回5/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定2.2.當當 時，方程組時，方程組(2.6.1)(2.6.1)有解有解并且解有兩種情況：并且解有兩種情況：01rd(1)(1)如果如果 ，則階梯形矩陣，則階梯形矩陣(2.7.1)(2.7.1)表示的方程組為表示的方程組為nr nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc2222211212111，返回返回6/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下

5、一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定用回代的方法，自下而上依次求出用回代的方法，自下而上依次求出，的值因此，方程組，的值因此，方程組(2.6.1)(2.6.1)有唯一解有唯一解. .nx1nx1x(2)(2)如果，則階梯形矩陣如果，則階梯形矩陣(2.7.1)(2.7.1)表表示的方程組為示的方程組為nr rnrnrrrnnrrnnrrdxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc222222111212111 ，返回返回7/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定將后將后 個未知量項移至等號的右端，得

6、個未知量項移至等號的右端，得rn nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc11211222222111111212111，其中，為自由未知量因此，方程其中，為自由未知量因此，方程組組(2.6.1)(2.6.1)有無窮多解有無窮多解1rxnx返回返回8/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定定理定理2.7.1(2.7.1(線性方程組有解判別定理線性方程組有解判別定理) )線性方程組線性方程組(2.6.1)(2.6.1)有解的充分必要條件是其有解的充分必要條件是其系數矩陣

7、與增廣矩陣的秩相等即系數矩陣與增廣矩陣的秩相等即( )( ,)rrAA B推論推論1 1線性方程組線性方程組(2.6.1)(2.6.1)有唯一解的有唯一解的充分必要條件是充分必要條件是( )(, )rrnAA B返回返回9/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定推論推論2 2線性方程組線性方程組(2.6.1)(2.6.1)有無窮多解有無窮多解的充分必要條件是的充分必要條件是(A)()rrnAB，推論推論3 3齊次線性方程組齊次線性方程組(2.6.2)(2.6.2)只有零只有零解的充分必要條件是解的充分必要條件是nr)(A推論

8、推論4 4齊次線性方程組齊次線性方程組(2.6.2)(2.6.2)有非零有非零的充分必要條件是的充分必要條件是nr)(A返回返回10/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定特別地，當齊次線性方程組特別地，當齊次線性方程組(2.6.2)(2.6.2)中，中，方程個數少于未知量個數方程個數少于未知量個數 時，必有時，必有這時方程這時方程(2.6.2)(2.6.2)一定有非零解一定有非零解. .)(nm nr)(A返回返回11/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況

9、判定例例1 1判別下列方程組是否有解？若有解，判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無窮多解？是有唯一解還是有無窮多解？(1)(1)42363271132321321321321xxxxxxxxxxxx，；返回返回12/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定(2)(2)523632721132321321321321xxxxxxxxxxxx，；(3)(3)52363271132321321321321xxxxxxxxxxxx，返回返回13/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解

10、的情況判定線性方程組解的情況判定2977028770421011321123111117()21163124AB，解解(1)(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即梯形矩陣，即返回返回14/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定因為，兩者不等，因為，兩者不等，所以方程組無解所以方程組無解()4rA B，3)(Ar17000700421011321. .10000700421011321返回返回15/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程

11、組解的情況判定(2)(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即矩陣，即123111127()23163125AB， 因為因為 ，所以方程，所以方程組有無窮多解組有無窮多解()( )2( 3)rrnA BA，00000000411011321返回返回16/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定(3)(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即矩陣，即123 111117()23 16312 5AB，因為，所以方程組有因為，所以方程組有唯一解唯一解()( )3

12、rrnABA，0 0000700421011321返回返回17/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定例例2 2判別下列齊次方程組是否有非零解？判別下列齊次方程組是否有非零解？016124032730445208734321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx，返回返回18/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定解解用初等行變換將系數矩陣化成階梯形用初等行變換將系數矩陣化成階梯形矩陣，即矩陣，即161241327344528731A85

13、102723202018108731返回返回19/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定1213001313002018108731因為因為 ，所以齊次方程組只有，所以齊次方程組只有零解零解nr 4)(A10001313002018108731返回返回20/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定例例3 3問，取何值時，下列方程組無問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？有無窮多解？解？有唯一解？有無窮多解？abbaxxxxxxxx3213213122312

14、，返回返回21/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定解解由由350011101201ba1021()113221ab A B，241011101201ba返回返回22/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定當時，故方程組當時，故方程組有唯一解；有唯一解；5a( )()3rrAAB，當而時，當而時， ，故方程組有無窮多解故方程組有無窮多解5a3b( )()2rrAA B，當而時，當而時， ， ，故方程組無解；，故方程組無解；3b5a2)(Ar()rAB，3

15、返回返回23/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定例例4 4已知總成本是產量的二次函數已知總成本是產量的二次函數yx2cxbxay根據統計資料，產量與總成本之間有如表根據統計資料，產量與總成本之間有如表2-12-1所示的數據試求總成本函數中的所示的數據試求總成本函數中的 ， ， abc返回返回24/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定表表2-12-1某廠某階段產量與總成本統計表某廠某階段產量與總成本統計表時期時期產量產量( (千臺千臺) )總成本總成本

16、( (萬元萬元) )xy第第1 1期期第第2 2期期第第3 3期期6 610410410101601602020370370返回返回25/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定解解將，代入已知將，代入已知二次函數模型中，得方程組二次函數模型中，得方程組),(11yx),(22yx),(33yx3704002016010010104366cbacbacba，利用初等行變換將其增廣矩陣化成行簡化利用初等行變換將其增廣矩陣化成行簡化階梯形矩陣，再求解即階梯形矩陣，再求解即返回返回26/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁

17、下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定701400014161010436611 6 36104()1 10 100 1601 20 400 370AB，26636414056644010436615 . 0100601086061返回返回27/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定5 . 0100601050001方程組的解為：，因此方程組的解為：，因此總成本函數為總成本函數為50a6b5 . 0c25 . 0650 xxy返回返回28/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁2.72.

18、7線性方程組解的情況判定線性方程組解的情況判定返回返回28/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁課堂小結齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx ( )()rrnAA B，;有有唯唯一一解解bAx ( )()r ArnAB，有無窮多解有無窮多解. .bAx ;0只只有有零零解解 Ax( )r An.0有有非非零零解解 Axnr)(A返回返回28/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁課堂練習1、判斷下列方程解的情況、判斷下列方程解的情況(1)(1)1231231213232342485211xxxxxxxxxx 123123121

19、323234248529xxxxxxxxxx (2)(2)1231231213232342485211xxxxxxxxxx (3)(3)11232342()410850211AB，解：解：(1)(1)11 23058405840584 11 23058400000000 ()( )2(4)rrnA BA，所以方程組有無窮多解所以方程組有無窮多解返回返回28/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁11232342()41085029AB，解：解：(2)(2)11 23058405840584 11 23058400000002 返回返回28/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁11 23058400020000 因為，兩者不等，因為，兩者不等，所以方程組無解所以方程組無解()3rA B，( )2rA返回返回28/28上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁11232342()410850211AB，解：解