自考高數(shù)經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂筆記(共126頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上自考高數(shù)經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂筆記前言概率論與數(shù)理統(tǒng)計是經(jīng)管類各專業(yè)的基礎課，概率論研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，它是本課程的理論基礎，數(shù)理統(tǒng)計則從應用角度研究如何處理隨機數(shù)據(jù)，建立有效的統(tǒng)計方法，進行統(tǒng)計推斷。概率論包括隨機事件及其概率、隨機變量及其概率分布、多維隨機變量及其概率分布、隨機變量的數(shù)字特征及大數(shù)定律和中心極限定理。共五章，重點第一、二章，數(shù)理統(tǒng)計包括樣本與統(tǒng)計量，參數(shù)估計和假設檢驗、回歸分析。重點是參數(shù)估計。預備知識（一）加法原則引例一，從北京到上海的方法有兩類：第一類坐火車，若北京到上海有早、中、晚三班火車分別記作火1、火2、火3，則坐火車的方法有3

2、種；第二類坐飛機，若北京到上海的飛機有早、晚二班飛機，分別記作飛1、飛2。問北京到上海的交通方法共有多少種。解：從北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飛1、飛2共5種。它是由第一類的3種方法與第二類的2種方法相加而成。一般地有下面的加法原則：辦一件事，有m類辦法，其中：第一類辦法中有n1種方法；第二類辦法中有n2種方法；第m類辦法中有nm種方法；則辦這件事共有種方法。（二）乘法原則引例二，從北京經(jīng)天津到上海，需分兩步到達。第一步從北京到天津的汽車有早、中、晚三班，記作汽1、汽2、汽3第二步從天津到上海的飛機有早、晚二班，記作飛1、飛2問從北京經(jīng)天津到上海的交通方法有多少種？解：從北京經(jīng)天

3、津到上海的交通方法共有：汽1飛1，汽1飛2，汽2飛1，汽2飛2，汽3飛1，汽3飛2。共6種，它是由第一步由北京到天津的3種方法與第二步由天津到上海的2種方法相乘3×2=6生成。一般地有下面的乘法原則：辦一件事，需分m個步驟進行，其中：第一步驟的方法有n1種；第二步驟的方法有n2種；第m步驟的方法有nm種；則辦這件事共有種方法。 （三）排列（數(shù)）：從n個不同的元素中，任取其中m個排成與順序有關的一排的方法數(shù)叫排列數(shù)，記作或。 排列數(shù)的計算公式為：例如：（四）組合（數(shù)）：從n個不同的元素中任取m個組成與順序無關的一組的方法數(shù)叫組合數(shù)，記作或。組合數(shù)的計算公式為例如：=45組合數(shù)有性質 （

4、1），（2） ，（3）例如：例一，袋中有8個球，從中任取3個球，求取法有多少種？解：任取出三個球與所取3個球順序無關，故方法數(shù)為組合數(shù)（種）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（×××）從中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少種？解：第一步在5件正品中取2件，取法有（種）第二步在3件次品中取1件，取法有（種）由乘法原則，取法共有10×3=30（種）第一章 隨機事件與隨機事件的概率§1.1隨機事件引例一，擲兩次硬幣，其可能結果有：上上；上下；下上；下下則出現(xiàn)兩次面向相同的事件A與兩次面向不同的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的。引

5、例二，擲一次骰子，其可能結果的點數(shù)有：1，2，3，4，5，6則出現(xiàn)偶數(shù)點的事件A，點數(shù)4的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件。從引例一與引例二可見，有些事件在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，即它沒有確定性結果，這樣的事件，我們叫隨機事件。（一）隨機事件：在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機事件，習慣用A、B、C表示隨機事件。由于本課程只討論隨機事件，因此今后我們將隨機事件簡稱事件。雖然我們不研究在一次試驗中，一定會出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件，但是有時在演示過程中要利用它，所以我們也介紹這兩種事件。必然事件：在一次試驗中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習慣用表示必然事

6、件。例如，擲一次骰子，點數(shù)6的事件一定出現(xiàn)，它是必然事件。不可能事件：在一次試驗中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習慣用表示不可能事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)>6的事件一定不出現(xiàn)，它是不可能事件。（二）基本（隨機）事件隨機試驗的每一個可能出現(xiàn)的結果，叫基本隨機事件，簡稱基本事件，也叫樣本點，習慣用表示基本事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)1,2,3,4,5,6分別是基本事件，或叫樣本點。全部基本事件叫基本事件組或叫樣本空間，記作，當然是必然事件。（三）隨機事件的關系（1）事件的包含：若事件A發(fā)生則必然導致事件B發(fā)生，就說事件B包含事件A，記作。例如，擲一次骰子，A表示擲出的點數(shù)2，B表示擲出

7、的點數(shù)3。A=1，2，B=1，2，3。所以A發(fā)生則必然導致B發(fā)生。顯然有（2）事件的相等：若，且就記A=B，即A與B相等，事件A等于事件B，表示A與B實際上是同一事件。（四）事件的運算 （1）和事件：事件A與事件B中至少有一個發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件，記作：或A+B例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3則和事件A+B=1，2，3，5顯然有性質若，則有A+B=BA+A=A（2）積事件：事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件，記作：AB或AB 例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，則AB=1，3顯然有性質：若，則有AB=AAA=A（3）差事件：事件A發(fā)生

8、而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件，記作（A-B）例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，則A-B=5顯然有性質：若，則有A-B=A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件A與事件B不能都發(fā)生，就說事件A與事件B互不相容（或互斥）即AB=例如，擲一次骰子，A=1，3，5；B=2，4AB=  （5）對立事件：事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對立事件。記作例如，擲一次骰子，A=1，3，5，則顯然，對立事件有性質：注意：A與B對立，則A與B互不相容，反之不一定成立。例如在考試中A表示考試成績?yōu)閮?yōu)，B表示考試不及格。A與B互不相容，但不對立。下面圖1.1至圖1.6用圖形直觀

9、的表示事件的關系和運算，其中正方形表示必然事件或樣本空間。圖1.1表示事件事件A圖1.2陰影部分表示A+B圖1.3陰影部分表示AB圖1.4陰影部分表示A-B圖1.5表示A與B互不相容圖1.6陰影部分表示事件的運算有下面的規(guī)律：  （1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結合律 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫對偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，僅事件A發(fā)生（2）A，B，C三事件都發(fā)生（3）A，B，C三事件都不發(fā)生（4）A，B，

10、C三事件不全發(fā)生（5）A，B，C三事件只有一個發(fā)生（6）A，B，C三事件中至少有一個發(fā)生解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例2.某射手射擊目標三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，請用A1、A2、A3的運算來表示B0、B1、B2、B3解：（1）（2）（3）（4）例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運算表示下列事件。（1）A，B都發(fā)生且C不發(fā)生（2）A與B至少有一個發(fā)生而且C不發(fā)生（3）A，B，C都發(fā)生或A，B，C都不發(fā)生（4）A，B，C中最多

11、有一個發(fā)生（5）A，B，C中恰有兩個發(fā)生（6）A，B，C中至少有兩個發(fā)生（7）A，B，C中最多有兩個發(fā)生解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）簡記AB+AC+BC（7）簡記例4，若=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求（1）A+B；（2）AB；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7），（8） 。解：（1）A+B=1，2，3，5；（2）AB=1，3；（3）=2，4，6；（4）=4，5，6；（5）=4，6；（6）=2，4，5，6；（7）=2，4，5，6；（8）=4，6由本例可驗算對偶律，=，=正確例5，（1）化簡；（2）說明AB與是否互斥解：（1）（2）例6.A，B，C為三事

12、件，說明下列表示式的意義。（1）ABC；（2）；（3）AB；（4）解：（1）ABC表示事件A，B，C都發(fā)生的事件（2） 表示A，B都發(fā)生且C不發(fā)生的事件（3）AB表示事件A與B都發(fā)生的事件，對C沒有規(guī)定，說明C可發(fā)生，也可不發(fā)生。AB表示至少A與B都發(fā)生的事件（4）所以也可以記AB表示，ABC與 中至少有一個發(fā)生的事件。例7.A，B，C為三事件，說明（AB+BC+AC）與是否相同。解：（1）表示至少A，B發(fā)生它表示A，B，C三事件中至少發(fā)生二個的事件。（2）表示A，B，C三事件中，僅僅事件A與事件B發(fā)生的事件表示A，B，C三事件中僅有二個事件發(fā)生的事件。因而它們不相同。§1.2隨機事

13、件的概率（一）頻率：（1）在相同條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生了nA次，則事件A發(fā)生的次數(shù)nA叫事件A發(fā)生的頻數(shù)。（2）比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作fn（A），即歷史上有不少人做過拋硬幣試驗，其結果見下表，用A表示出現(xiàn)正面的事件： 試驗人nnAfn（A）摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016從上表可見，當試驗次數(shù)n大量增加時，事件A發(fā)生的頻率fn（A）會穩(wěn)定某一常數(shù)，我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。例如從上表可見拋硬幣試驗，正面出現(xiàn)的事件A的頻率fn（A）的穩(wěn)定值大約是0.5。（二）概率：事件A出現(xiàn)的頻率

14、的穩(wěn)定值叫事件A發(fā)生的概率，記作P（A）實際上，用上述定義去求事件A發(fā)生的概率是很困難的，因為求A發(fā)生的頻率fn（A）的穩(wěn)定值要做大量試驗，它的優(yōu)點是經(jīng)過多次的試驗后，給人們提供猜想事件A發(fā)生的概率的近似值。粗略地說，我們可以認為事件A發(fā)生的概率P（A）就是事件A發(fā)生的可能性的大小，這種說法不準確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮埽阌趹?。下面我們不加證明地介紹事件A的概率P（A）有下列性質：（1）0P（A） 1（2）P（）=1，P（）=0（3）若A與B互斥，即AB=，則有P（A+B）=P（A）+P（B）若A1，A2，An互斥，則有（三）古典概型：若我們所進行的隨機試驗有下面兩個特點：（1）試驗只有有限

15、個不同的結果；（2）每一個結果出現(xiàn)的可能性相等，則這種試驗模型叫古典概型。例如，擲一次骰子，它的可能結果只有6個，假設骰子是均勻的，則每一種結果出現(xiàn)的可能性都是1/6，所以相等，這種試驗是古典概型。下面介紹古典概型事件的概率的計算公式：設是古典概型的樣本空間，其中樣本點總數(shù)為n，A為隨機事件，其中所含的樣本點數(shù)為r則有公式：例1，擲一次骰子，求點數(shù)為奇數(shù)點的事件A的概率。解：樣本空間為=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5n=6,r=3 例2.擲三次硬幣，設A表示恰有一次出現(xiàn)正面，B表示三次都出現(xiàn)正面，C表示至少出現(xiàn)一次正面，求：（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（C）解：樣本空間=正

16、正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反；（1） （2）（3） 由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的計算公式只需知道樣本空間中的樣本點的總數(shù)n和事件A包含的樣本點的個數(shù)r就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點，因此，當樣本空間的樣本點總數(shù)比較多或難于一一列舉的時候，也可以用分析的方法求出n與r的數(shù)值即可。例3，從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 這10個數(shù)碼中，取出三個不同的數(shù)碼，求所取3個數(shù)碼不含0和5的事件A的概率。解：從10個不同數(shù)碼中，任取3個的結果與順序無關，所以基本事件總數(shù) A事件中不能有0和5，所以只能從其余8個數(shù)碼中任取3個，所以A中的基本事件 例

17、4，從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中任取一個，放回后再取一個，求所取兩個數(shù)字不同的事件A的概率。解：（1）第一次取一個數(shù)字的方法有9種；第二次取一個數(shù)字的方法與第一次相同也是9種；由乘法原則，知兩次所取的數(shù)字方法有9×9=92（種）每一種取法是一個基本事件，所以n=92（2）所取兩個數(shù)字不同時，相當于從中任取兩個數(shù)，其結果與順序有關，所取取法有：也可按（1）的乘法原則求r，第一次的取法有9種，第二次的數(shù)字與第1次不同，所以只有8種，所以取法共有9×8（種）r=9×8例5，袋中有5個白球，3個紅球，從中任取2個球，求（1）所取2個球的顏色不同的事件A

18、的概率；（2）所取2個球都是白球的事件B的概率；（3）所取2個球都是紅球的事件C的概率；（4）所取2個球是顏色相同的事件的概率。解：袋中共的8個球，從中任取2個球結果與順序無關，所以取法共有種，每一種取法的結果是一個基本事件，所以基本事件總數(shù)為（1）分兩步取。第一步，在5個白球中任取一個，方法數(shù)為5；第二步在3個紅球中取一個，方法數(shù)為3，根據(jù)乘法原則，共有5×3種方法，即有5×3種結果。（2）從5個白球中任取2個，結果與順序無關取法共有（種）B包含的基本事件共有r2=10 （3）從3個紅球中任取2個的方法為（種）C包含的基本事件數(shù)r3=3 （4）所取2個球顏色相同的有兩類：

19、第一類：2個球都是白球的方法有（種） 第二類：2個球都是紅球的方法有（種）根據(jù)加法原則，所取2個球是顏色相同的方法共有10+3=13種。2個球顏色相同的事件D包含r4=13種基本事件。例6，袋中有10件產(chǎn)品，其中有7件正品，3件次品，從中每次取一件，共取兩次，×××求:（1）不放回抽樣，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率。（2）放回抽樣，第一次取一件產(chǎn)品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率解（1）第一次取一件產(chǎn)品的方法有10種不放回，第二次取一件產(chǎn)品的方法有9種由乘法原則知，取兩次的

20、方法共有10×9種也可以用排列數(shù)計算，因為結果與順序有關，所以取法有（種）基本事件總數(shù)n=10×9第一次取到正品，第二次取到次品的方法有7×3種，所以事件A包含的基本事件有：（2）放回抽樣。由于有放回，所以第一次、第二次取一件產(chǎn)品的方法都是10種，由乘法原則知抽取方法共有10×10=100種，所以基本事件總數(shù)n=10×10=100第一次取正品方法有7種，第二次取次品的方法有3種，由乘法原則，事件B包含的基本事件共有 例7，將一套有1,2,3,4,5分冊的5本書隨機放在書架的一排上，求1，2分冊放在一起的事件A的概率。解：（1）基本事件總數(shù)n=5

21、×4×3×2×1（種）或者為（2）A包含的基本事件有（種）例8，擲兩次骰子，求點數(shù)和為7的事件A的概率。解：（1）基本事件總數(shù)n=6×6=36（種）（2）A=；A包含的基本事件數(shù)r=6 例9，從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)碼中任取3個，排成三位數(shù)，求（1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的事件A的概率。（2）所排成的三位數(shù)是奇數(shù)的事件B的概率。解：基本事件總數(shù)（個）（1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的取法需分兩步：第一步，取一個偶數(shù)放在個位碼位置，取法有3種；第二步，將其余6個數(shù)中任取兩個排成一排，分別處于十位數(shù)和百位數(shù)碼位置，共有種方法。根據(jù)乘法原則，事件

22、A包含的基本事件數(shù)（2）所排成的三位數(shù)的取法也需分兩步進行；第一步，取一個奇數(shù)放在個位碼位置，有4種方法。第二步，將其余6個數(shù)中任取兩個放在十位碼和百位碼，方法有種。根據(jù)乘法原則，事件B包含的基本事件數(shù)例10，袋中有9個球，分別標有號碼1，2，3，4，5，6，7，8，9從中任取3個球，求（1）所取3個球的最小號碼為4的事件A的概率；（2）所取3個球的最大號碼為4的事件B的概率；解：基本事件總數(shù)（個）（1）最小號碼為4的取法分兩步進行第一步，取出4號球，方法只有1種第二步，在5，6，7，8，9這5個球中任取2個，方法數(shù)為A包含的基本事件（2）最大碼為4的取法為：第一步，取出4號球方法只有1種第二

23、步，在1，2，3號球中任取2個，方法數(shù)為B包含的基本事件例11，將兩封信投入4個信箱中，求兩封信在同一信箱的事件A的概率。解：（1）先將第一封信投入信箱，有4種方法再將第二封信投入信箱，也有4種方法根據(jù)乘法原則共有4×4種方法基本事件總數(shù)n=4×4（2）將兩封信同時投入一個信箱，方法有4種A包含的基本事件數(shù)r=4例12，袋中有10個球，其中有6個白球，4個紅球，從中任取3個，求：（1）所取的三個球都是白球的事件A的概率（2）所取三個球中恰有2個白球一個紅球的事件B的概率（3）所取3個球中最多有一個白球的事件C的概率（4）所取3個球顏色相同的事件D的概率解：基本事件總數(shù)（1）

24、A包含的基本事件數(shù)（2）B包含的基本事件數(shù)（3）C的基本事件包含兩類：第一類，一個白球，二個紅球的取法有第二類，0個白球，三個紅球取法有種事件C包含的基本事件數(shù)（4）事件D包含的基本事件有兩類：第一類，三個球都是白球的取法有種第二類，三個球都是紅球的取法有種事件D包含的基本事件數(shù)（種）（四）概率的加法公式請先看下面引例：擲一次骰子，A=1，3，5，B=1，2，3請求：（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（A+B）；（4）P（AB）解：（1） （2）（3） （4） 由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的結果具有普遍性，下面我們不加證明地介紹下面公式：特別情形：

25、60; （1）如果A與B互斥，即AB=則P（AB）=0這時（2）因為A與有性質所以 當上面等式中左邊的概率P（A）不易求得，而且A的對立事件的概率則較易計算時，便可以通過容易計算的求難計算的概率P（A）。例1若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B）解：因為P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A）=0.8+0.3-0.5=0.6例2，袋中有10件產(chǎn)品，其中有6件正品，4件次品，從只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率。解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三類事件，計算比較復雜。而對立事件

26、則表示沒有次品，即都是正品的事件，比較簡單。因為基本事件總數(shù)事件 包含的基本事件加法公式可推廣如下：例3，P（A）=0.4，P（B）=0.5，P（C）=0.4，P（AB）=0.2，P（AC）=0.24，P（BC）=0，求P（A+B+C）。解： （五）概率的減法公式  因為，而，而BA與明顯不相容。特別地，若，則有AB=A所以當例1 ，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求 解：例2，若A與B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8根據(jù)對偶公式所以 §1.3條件概率（一）條件概率和乘法公式 符號叫在事件B已經(jīng)發(fā)生

27、的條件下，事件A發(fā)生的概率，叫條件概率，需要指出的是條件概率仍是事件A的概率，但是它有條件，條件是以B已經(jīng)發(fā)生為前提，或者是以B已經(jīng)發(fā)生為條件。  例1，某廠有200名職工，男、女各占一半，男職工中有10人是優(yōu)秀職工，女職工中有20人是優(yōu)秀職工，從中任選一名職工。用A表示所選職工優(yōu)秀，B表示所選職工是男職工。求（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（AB）；（4）；解：（1）（2）（3）AB表示所選職工既是優(yōu)秀職工又是男職工 （4）表示已知所選職工是男職工。在已知所選職工是男職工的條件下，該職工是優(yōu)秀職工，這時n=100,r=10  由本例可以看出事件A與事件不是同一事件

28、,所以它們的概率不同,即 由本例還可看出,事件AB與事件也不相同，事件AB表示所選職工既是男職工又是優(yōu)秀職工，這時基本事件總數(shù)n1=200，r=10。而事件 則表示已知所選職工是男職工，所以基本事件總數(shù)n2=100，r=10，所以雖然P（AB）與不相同，但它們有關系，由本例可以看出本例的結果具有普遍性。下面我們不加證明地給出下面的乘法公式：顯然有：若P（A）>0則有將上面的結果改寫為整式有  公式叫概率的乘法公式。 例2，在10件產(chǎn)品中，有7件正品，3件次品，從中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：（1）P（A）；（2）；（3）P（AB）解（

29、1）（2）（3） = 例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求解： 例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4，求。解：（1）（2）例5，某人壽命為70歲的概率為0.8，壽命為80歲的概率為0.7，若該人現(xiàn)已70歲時，問他能活到80歲的概率是多少？解：用A表示某人壽命為70歲，B表示某人壽命為80歲。已知P（A）=0.8，P（B）=0.7由于因為所以，已經(jīng)活到70歲的人能活到80歲的概率為0.875乘法公式可以推廣為：例6，袋中有三件正品，二件次品（××）從中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件B的概率。解：用A1表示第一次取到正品A2表示第二次

30、取到正品A3表示第三次取到正品則用古典概型計算P（A1），這時n1=5，r1=3再用古典概型計算，這時n2=4，r2=2再用古典概型計算，這時n3=3，r3=2（二）全概公式  定義：若事件組滿足條件（1）互不相容（2）在一次試驗中，事件組中至少發(fā)生一個，即 就說事件組是樣本空間的一個劃分。例如事件組A與有所以事件組是樣本空間的一個劃分。例如某產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠分別生產(chǎn)，A1表示該產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)，A2表示該產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)，A3表示該產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)，則事件組A1，A2，A3滿足：（1）（2）所以事件組A1，A2，A3是樣本空間的一個劃分。下面介紹全概公式  設是樣本空間的一

31、個劃分，B是一個事件，則有：證： 又B=B互不相容也互不相容用乘法公式上式可改寫為特別地（1）若是的一個劃分，則有（2）是的一個劃分，所以全概公式的優(yōu)點是當P（B）不易求而且條件概率容易計算時，可用全概公式求P（B）例1，袋中有5個球，其中有3個紅球，2個白球，從中每次取出一個球（不放回）用A表示第一次取到紅球，B表示第二次取到紅球，求（1）P（A）；（2）P（B）解：（1）用古典概型n=5,r=3（2）直接求P（B）很困難，因為B發(fā)生的概率與事件A發(fā)生與之有關，用古典概型容易求得：所以可用全概公式計算可見第一次，第二次取到紅球的概率相同。例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人

32、群中男女各半。當在人群中任取一人，問該人是色盲的概率是多少？解：用B表示該人是色盲者，A表示該人是男人.直接求P（B）比較困難，原因在于該人是色盲的概率與該人的性別有關，但已知例3，甲乙兩臺車床加工同一產(chǎn)品，甲車床的次品率為0.03，乙車床的次品率為0.02，又知甲車床的產(chǎn)量是乙車床產(chǎn)量的兩倍，現(xiàn)將兩臺車床的產(chǎn)品放在一起，從中任取一件，求該產(chǎn)品是次品的概率。解：用B表示該產(chǎn)品是次品，A表示該產(chǎn)品由甲車床生產(chǎn)已知 例4，二門導彈射擊敵機，敵機未被擊中的概率為0.25，被擊中一彈的概率為0.5,被擊中二彈的概率為0.25，若敵機中一彈時被擊落的概率為0.7，敵機中二彈時，被擊落的概率為0.9。求敵

33、機被擊落的概率。解：用AK表示敵機的被擊中K彈，K=0,1,2；B表示敵機被擊落已知顯然有其中A0,A1,A2是的一個劃分（三）逆概公式（貝葉斯公式）由 可得公式叫逆概公式（貝葉斯公式）當P（A）,P（B），已知時，可反過來求。例5，某地七月份下暴雨的概率為0.7，當下暴雨時，有水量的概率為0.2；當不下暴雨時，有水量的概率為0.05，求：（1）該地七月份有水災的概率.（2）當該地七月份已發(fā)生水災時，下暴雨的概率.解：用B表示該地七月有水災；A表示該地七月下暴雨已知（1）（2）例6，某種產(chǎn)品分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)，甲廠產(chǎn)量占50%，次品率為0.01，乙廠產(chǎn)量占30%，次品率為0.02，丙廠產(chǎn)

34、量占20%，次品率為0.05，求：（1）該產(chǎn)品的次品率（2）若任取一件，該件是次品，求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品的概率。解：用B表示產(chǎn)品是次品，A1表示甲廠的產(chǎn)品，A2表示乙廠的產(chǎn)品，A3表示丙廠的產(chǎn)品。所以表示已知產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品表示已知產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。表示已知該產(chǎn)品是丙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是甲廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是乙廠產(chǎn)品；則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是丙廠產(chǎn)品；（1）（2）可見，若該產(chǎn)品是次品，則此次品是丙廠產(chǎn)品的可能性最大。例7，甲袋中有3個白球，2個紅球，乙袋中有2個白球，3個紅球，先從甲袋中取一個球放入

35、乙袋，再從乙袋中取一個球，求：（1）從乙袋中取出的球是白球的概率；（2）如果從乙袋中取出的球是白球，則這時從甲袋中取出白球的概率是多少？從甲袋中取出紅球的概率是多少？解：用B表示從乙袋中取出白球；A表示從甲袋中取出白球，所以表示從甲袋中取出紅球。已知 （1）（2） 可見從甲袋中取出白球的可能性大。例8，已知，求（1）P（AB）；（2）解：（1）（2）例9，若；求（1）P（B）；（2）P（A+B）解：（1）（2）（3） 例10，已知；求解：（1）（2）（3） §1.4事件的獨立性（一）事件的獨立性（1）定義：若P（AB）=P（A）P（B），就說事件A與事件B相互獨立。（2）A與B獨立的

36、性質性質一，若A與B獨立，則 而若A與B獨立，則證：A與B獨立，P（AB）=P（A）P（B）（1）當P（A）>0時，（2）當P（B）>0時，性質一說明A與B相互獨立時，A發(fā)生與否，對B發(fā)生的概率沒有影響，而且，B發(fā)生與否也對A發(fā)生的概率沒有影響。 性質二，若A與B獨立，則有（1）與獨立（2）與B獨立（3）A與獨立 證：用獨立性定義：（1）A與B獨立，P（AB）=P（A）P（B）由對偶公式與獨立（2） 與B相互獨立（3）A與相互獨立由A與B獨立這一定義可推廣有下列結果：若A，B，C相互獨立，則有P（ABC）=P（A）P（B）P（C）若相互獨立，則有 例1.種子的發(fā)芽率為0.98，求三

37、粒種子中至少有一粒發(fā)芽的概率。（解一）用B表示三粒種子中至少有一粒發(fā)芽A1表示第一粒種子發(fā)芽A2表示第二粒種子發(fā)芽A3表示第三粒種子發(fā)芽很明顯，A1，A2，A3相互獨立（解二）用對偶公式例2.甲、乙、丙三人獨立破譯敵碼。甲能破譯的概率為;乙能破譯的概率為;丙能破譯的概率為 .求密碼被破譯的概率。解：用B表示敵碼被破譯B=甲+乙+丙例3.某產(chǎn)品由三道工序獨立加工而成。第一工序的正品率為0.98；第二工序的正品率為0.99；第三工序的正品率為0.98。求該種產(chǎn)品的正品率和次品率。解：用B表示產(chǎn)品是正品A1表示第一工序是正品A2表示第二工序是正品A3表示第三工序是正品B=A1A2A3（1）（2）（二

38、）重復獨立試驗概型先請看引例：某人射擊目標的命中率為P，他向目標射擊三槍，求這三槍中恰中二槍的概率。解：用B表示射擊三槍，恰中二槍的事件A1表示第一槍擊中目標A2表示第二槍擊中目標A3表示第三槍擊中目標其中A1，A2，A3獨立由本例可見與，大小相同都是P2（1-P），總共有三類，相當于從1，2，3這三個數(shù)中，任取二個的方法數(shù) 由本例可以推廣為：某人射擊目標的命中率為P（即每次命中率都是P），他向目標射擊n槍，則這n槍中恰中k槍的概率為：P（射擊n槍，恰中k槍）=一般地，有下面普遍結果：如果在每一次試驗中，事件A發(fā)生的概率不變都是P（A）=p，則在這樣的n次重復相同的試驗中，事件A發(fā)生k次的概率

39、的計算公式為：P（在n次重復試驗中，A發(fā)生k次）= 其中P表示在每一次試驗時，A的概率，記為p=P（A），習慣用符號Pn（k）表示在n次重復試驗中，事件A發(fā)生k次的概率。 例1.一射手對目標獨立射擊4次，每次射擊的命中率P=0.8，求（1）恰好命中兩次的概率；（2）至少命中一次的概率。解：（1）（2）用B表示至少命中1次的事件則表示最多命中0次的事件，故 表示恰好命中0次的事件例2.五臺同類型的機床同時獨立工作，每臺車床在一天內(nèi)出現(xiàn)故障的概率P=0.1，求在一天內(nèi)：（1）沒有機床出現(xiàn)故障的概率；（2）最多有一臺機床出現(xiàn)故障的概率。解：（1）所求概率為：（2）所求概率為：例3.在一次試驗中，事件

40、A發(fā)生的概率為P（A）=0.7，問至少做多少次試驗，才能使事件A至少出現(xiàn)1次的概率超過0.99。解：設所需試驗次數(shù)為n，它的對立事件為Pn（0）答：試驗次數(shù)至少4次例4，某射手射擊目標4次，且知道至少擊中一次的概率為，求該射手射擊1次的命中率P。解：P（至少射中1次）=1-P（射中0次）本章考核內(nèi)容小結（一）了解隨機事件的概率的概念，會用古典概型的計算公式計算簡單的古典概型的概率（二）知道事件的四種關系（1）包含：表示事件A發(fā)生則事件B必發(fā)生（2）相等：（3）互斥：與B互斥（4）對立：A與B對立AB=，且A+B=（三）知道事件的四種運算（1）事件的和（并）A+B表示A與B中至少有一個發(fā)生性質：

41、（1）若，則A+B=A（2）且 （2）事件積（交）AB表示A與B都發(fā)生性質：（1）若，則AB=BB=B且（2）（3）事件的差：A-B表示A發(fā)生且B不發(fā)生，且A-B=A-AB（4）表示A不發(fā)生性質（四）運算關系的規(guī)律（1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結合律（AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC（4）叫對偶律（五）掌握概率的計算公式（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）特別情形A與B互斥時：P（A+B）=P（A）+P（B）A與B獨立時：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）推廣P

42、（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）（2）推廣：當事件獨立時，P（AB）=P（A）P（B）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）性質若A與B獨立與B，A與，與均獨立（六）熟記全概率公式的條件和結論若A1，A2，A3是的劃分，則有簡單情形熟記貝葉斯公式若已知，則（七）熟記貝努利重復試驗概型的計算公式本章作業(yè)教材6-7頁，習題1.11.（1）（2），2.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7），4，5.（1）（2），6.（1）（2），712-13頁，習題1.21，2，3，4，5，6，7，8.

43、（1）（2）（3）（4），9，10.（1）（2）（3）（4）（5），11，12，13.（1）（2）17-18頁，習題1.32，3，4，5，6，7.（1）（2），8，9，10，11，12，13，1422-23頁，習題1.41.（1）（2）（3），2，3，4，5，6，7，8，9.（1）（2），10.（1）（2）（3）（4），11，1224頁自測題全部 第二章 隨機變量及其變量分布§2.1離散型隨機變量（一）隨機變量引例一：擲骰子。可能結果為=1,2,3,4,5,6.我們可以引入變量X,使X=1，表示點數(shù)為1；x=2表示點數(shù)為2；，X=6，表示點數(shù)為6。引例二，擲硬幣，可能結果為=正，反.

44、我們可以引入變量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。引例三，在燈泡使用壽命的試驗中，我們引入變量X，使a<X<b，表示燈泡使用壽命在a（小時）與b（小時）之間。例如，1000X2000表示燈泡壽命在1000小時與2000小時之間。 0<X<4000表示燈泡壽命在4000小時以內(nèi)的事件。定義1：若變量X取某些值表示隨機事件。就說變量X是隨機變量。習慣用英文大寫字母X,Y,Z表示隨機變量。例如，引例一、二、三中的X都是隨機變量。（二）離散型隨機變量及其分布律定義2若隨機變量X只取有限多個值或可列的無限多個（分散的）值，就說X是離散型隨機變量。例如，本節(jié)中的引例一、引例二

45、的X是離散型隨機變量。定義3若隨機變量X可能取值為且有（k=1,2,n,）或有 其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相應值的概率。就說公式（k=1,2,n,）或表格是離散型隨機變量x的（概率）分布律，記作分布律有下列性質（1）；（2）由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。所以反之，若一數(shù)列具有以上兩條性質，則它必可以作為某隨機變量的分布律。例1設離散型隨機變量X的分布律為求常數(shù)c。解由分布律的性質知1=0.2+c+0.5,解得c=0.3.例2擲一枚質地均勻的骰子，記X為出現(xiàn)的點數(shù)，求X的分布律。解X的全部可能取值為1,2,3,4,5,6,且則X的分布律為在求離散型隨機變量的分布律時，首先

46、要找出其所有可能的取值，然后再求出每個值相應的概率。例3袋子中有5個同樣大小的球，編號為1，2.，3，4，5。從中同時取出3個球，記X為取出的球的最大編號，求X的分布率。解X的取值為3,4,5，由古典概型的概率計算方法，得（三個球的編號為1,2,3）（有一球編號為4，從1，2，3中任取2個的組合與數(shù)字4搭配成3個）（有一球編號為5，另兩個球的編號小于5）則X的分布律為例4已知一批零件共10個，其中有3個不合格，今任取一個使用，若取到不合格零件，則丟棄掉，再重新抽取一個，如此下去，試求取到合格零件之前取出的不合格零件個數(shù)X的分布率。解X的取值為0，1，2，3，設表示“第i次取出的零件是不合格的”

47、，利用概率乘法公式可計算，得故X的分布率為在實際應用中，有時還要求“X滿足某一條件”這樣的事件的概率，比如等，求法就是把滿足條件的所對應的概率相加可得，如在例2中，求擲得奇數(shù)點的概率，即為PX=1,或3,或5 =PX=1+ PX=3+ PX=5=在例4中，PX1= PX=0+ PX=1=，PX>1= PX=2+ PX=3=，P1X<2.5= PX=1+ PX=2=，例5若X的分布律為 求（1）P(X<2),（2）P(X2),（3）P(X3),（4）P(X>4)解（1）P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3(2) P(X2)= P(X=0)

48、+P(X=1) +P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5(3) P(X3)= P(X=3)+P(X=4) =0.3+0.2=0.5(4)x>4=Px>4=0（三）0-1分布與二項分布下面，介紹三種重要的常用離散型隨機變量，它們是0-1分布、二項分布與泊松分布。定義4若隨機變量X只取兩個可能值：0,1,且PX=1=p, PX=0=q其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從0-1分布。X的分布律為在n重貝努利試驗中，每次試驗只觀察A是否發(fā)生，定義隨機變量X如下：因為，所以X服從0-1分布。0-1分布是最簡單的分布類，任何只有兩種結果的隨機現(xiàn)象，比如新生兒是男是女，明天是

49、否下雨，抽查一產(chǎn)品是正品還是次品等，都可用它來描述。例6一批產(chǎn)品有1000件，其中有50件次品，從中任取1件，用X=0表示取到次品，X=1表示取到正品，請寫出X的分布律。解定義5若隨機變量X的可能取值為0,1,n，而X的分布律為;其中，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，簡記為XB（n,p）。顯然，當n=1時，X服從0-1分布，即0-1分布實際上是二項分布的特例。在n重貝努利試驗中，令X為A發(fā)生的次數(shù)，則;即X服從參數(shù)為n,p的二項分布。二項分布是一種常用分布，如一批產(chǎn)品的不合格率為p，檢查n件產(chǎn)品，n件產(chǎn)品中不合格品數(shù)X服從二項分布；調(diào)查n個人，n個人中的色盲人數(shù)Y服從參數(shù)為n,p的二項分布，其中p為色盲率；n部機器獨立運轉，每臺機器出故障的概率為p，則n部機器中出故障的機器數(shù)Z服從二項分布，在射擊問題中，射擊n次，每次命中率為p，則命中槍數(shù)X服從二項分布。例7某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人服用，問至少有8人治愈的概率是多少？解設X為10人中被治愈的人數(shù)，則XB(10，095)，而所求概率為例8設XB（2,p），YB（3,p）。設，試求PY1.解，知，即由此得.再由可得例9考卷中有10道單項選擇題，每道題中有4個答案，求某人猜中6題以上的概率。解