葉片的強(qiáng)度與振動(dòng)

1、葉片的強(qiáng)度與振動(dòng)第一節(jié) 軸流式壓縮機(jī)葉片強(qiáng)度計(jì)算軸流式壓縮機(jī)葉片分為動(dòng)葉與靜葉兩種。動(dòng)葉為工作葉片，靜葉為導(dǎo)向葉片。動(dòng)葉工作時(shí)作用于其上的力主要有兩種：1.葉片自身質(zhì)量離心力；2.氣流對(duì)葉片的作用力。葉片沿葉高為偏扭的情況下，葉片離心力還能引起彎曲應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。氣流作用力主要產(chǎn)生彎曲應(yīng)力。作用在葉片上的氣流力是隨時(shí)間變化的。它可以看做是不隨時(shí)間變化的平均值分量和隨時(shí)間變化的分量所組成。前者在葉片中產(chǎn)生靜彎曲應(yīng)力，后者則使葉片產(chǎn)生振動(dòng)。葉片結(jié)構(gòu)一、葉身葉身截面為翼形，截面的主要參數(shù)為1. 弦長(zhǎng)b2. 最大厚度3. 相對(duì)厚度4. 中線最大彎度f(wàn)5. 最大彎度距前緣的距離6. 前緣半徑，后緣半徑圖

2、3-1翼形葉片截面參數(shù)maxCmax/CCbfx12,r r對(duì)于 的級(jí)（Dm是級(jí)的平均直徑，l是葉片高度）采用等截面葉片。見(jiàn)圖3-2a。等截面葉片的優(yōu)點(diǎn)是加工簡(jiǎn)單，但強(qiáng)度較差。/10mDl 對(duì)于 的級(jí)（Dm是級(jí)的平均直徑，l是葉片高度）采用變截面葉片。見(jiàn)圖3-2b。變截面葉片可改善流動(dòng)及減小離心拉應(yīng)力，但制造相應(yīng)困難。/10mDl 二、葉根葉根是將葉片固定在葉輪或轉(zhuǎn)股上的聯(lián)結(jié)部分。葉根的結(jié)構(gòu)型式取決于強(qiáng)度，制造和安裝工藝條件以及轉(zhuǎn)子的型式。常見(jiàn)的葉根結(jié)構(gòu)形式有燕尾型、T型和樅樹型。如圖3-3所示軸流式壓縮機(jī)上葉根多為燕尾型和倒T型。樅樹型多用在蒸汽輪機(jī)末級(jí)葉片上。燕尾型和倒T型葉根承載能力較小

3、，在離心力較小的窄短葉片上采用，加工方便，工作可靠。樅樹型葉根工作可靠，承載能力大，裝配方便，但加工困難。圖3-2 等截面和變截面葉片圖3-3 常用葉根型式三、葉頂部分圍帶、拉金多用在汽輪機(jī)葉片上，軸流式壓縮機(jī)葉片一般不用。葉片用圍帶、拉金聯(lián)在一起后稱為葉片組，見(jiàn)圖3-5，3-6.無(wú)圍帶、拉金的葉片則稱為單個(gè)葉片或自由葉片。圍帶通常為3-5mm厚的扁平金屬帶，用鉚接的方法固定在葉片頂部。拉金一般是6-12mm的金屬帶或金屬管，穿過(guò)葉片中間的拉金孔。與葉片焊牢的稱為焊接拉金；不焊者稱為松裝拉金。松裝拉金可以造成附加阻尼以減小振動(dòng)應(yīng)力。圍帶和焊接拉金都能減小葉片中氣流彎曲應(yīng)力和提高葉片的抗振性，因

4、為葉片用圍帶或拉金聯(lián)結(jié)后，救災(zāi)葉片頂部后中間增加了一個(gè)約束，增強(qiáng)了葉片的抗彎剛性，一方面減小葉片的氣流彎應(yīng)力，另一方面也可調(diào)整葉片的固有頻率以避開(kāi)共振。圖3-4 裝圍帶的葉片組圖3-5 裝拉金的葉片組二、葉片離心拉應(yīng)力的計(jì)算1等截面葉片等截面葉片沿葉高各截面所受的離心拉應(yīng)力并不相同，而是有葉頂向底部逐漸增大。底部截面承受了整個(gè)型線部分的離心力。所以該截面離心拉應(yīng)力最大，為危險(xiǎn)截面。整個(gè)葉身的質(zhì)量離心力為2mFAlR等截面葉片根部截面的拉應(yīng)力是2mFlRA 由該式可以看出，葉片離心拉應(yīng)力與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的平方、葉片高度和平均半徑成正比，而與葉片橫截面積A無(wú)關(guān)。對(duì)等截面葉片而言，增大葉片的橫截面積并不能

5、使離心拉應(yīng)力降低。圖3-6(3-1)(3-2)2變截面葉片/10mDl 對(duì)于 的級(jí)，由于葉片較長(zhǎng)，葉頂和底部圓周速度相差較大，從氣動(dòng)效率和強(qiáng)度方面考慮都需采用變截面葉片。見(jiàn)圖3-8，在距葉片底部截面距離為z處取一微段dz，其截面積為A(z),此微段的離心力為20ddFA zzz式中z為型線部分底部截面半徑，則葉片底部截面上離心力為 200dlFA zzzz相應(yīng)離心拉應(yīng)力為 2000dlA zzzzA圖3-7(3-3)由上式知，離心拉應(yīng)力與葉片材料密度，轉(zhuǎn)速及截面沿葉高的變化規(guī)律A(z)有關(guān)。采用密度較小的材料也可以降低離心拉應(yīng)力。葉片型線部分沿葉高的變化規(guī)律A=f(z)是已知的，但往往難于用解

6、析式表達(dá)。一般采取數(shù)值積分近似算出各截面的拉伸應(yīng)力。如圖3-8，將葉片分為n段，從上之下截面為0，1，2n第i段的平均面積，平均半徑，高度分別以 記之，則i截面上的離心拉應(yīng)力為,mimiiAZZ21imimiiiiA ZZA(3-4)圖3-8(3-4)三、氣流彎曲應(yīng)力的計(jì)算氣體力彎矩是由氣流作用于葉片而產(chǎn)生的。對(duì)于短葉片 氣流參數(shù)沿葉高的變化不大，計(jì)算可按葉片平均半徑處氣流參數(shù)進(jìn)行。氣體流經(jīng)葉柵前后速度三角形如圖3-10所示。/10mDl 作用在葉片上的氣體力可分解為切向力Fu和軸向力Fa。切向力可有動(dòng)量方程或級(jí)的輪周功率來(lái)確定。按動(dòng)量定理，氣流的動(dòng)量在某一時(shí)間間隔內(nèi)的改變，等于作用在氣流上的

7、力在同一時(shí)間間隔的沖量。于是便可得到葉片所受切向氣流力為21uuuaGFccz式中通過(guò)葉柵的氣體質(zhì)量流量（Kg/s）切向氣流力（N）uFGaz1uc2uc動(dòng)葉片數(shù)靜葉出口氣流切向速度（m/s）動(dòng)葉出口氣流切向速度（m/s）平均半徑處圓周速度（m/s）uy圖3-9(3-5)由級(jí)的輪周功率確定切向力Fu的公式為1000uuaNFuzuN級(jí)的輪周功率（KW）按氣流軸向動(dòng)量的改變及動(dòng)葉前后的壓差，可計(jì)算出每個(gè)動(dòng)葉所受的軸向力 2121aaaaGFccpp tlz動(dòng)葉出口氣流軸向速度（m/s）靜葉出口氣流軸向速度（m/s）1ac2ac12,p ptl動(dòng)葉前后氣體壓力（Pa）動(dòng)葉平均半徑處的節(jié)距（m）動(dòng)葉

8、高度（m）式中作用在葉片上的氣流力F是切向和軸向氣流力的合力22uaFFF(3-6)(3-7)對(duì)于 的短葉片，可將其作為受均布載荷q，一墻固定，一端自由的懸臂梁來(lái)研究/10mDl /qF l所以距葉底截面為z處的截面上 22qM zlz在z=0即葉底截面上，彎矩最大為2max22qlFlM為了求出底部截面的最大彎曲應(yīng)力，必須先確定形心主慣性軸。葉片翼型部分截面的形心主慣性軸可以通過(guò)計(jì)算得出，也可用相當(dāng)精確的近似方法直接得出。連接葉片的前緣和后緣點(diǎn)，便得出最小主慣性軸的方向。通過(guò)形心做該線的平行線，便得到最小主慣性軸- 。它的誤差一般小于3。過(guò)形心作- 軸的垂線，便可得最大主慣性軸-。見(jiàn)圖3-1

9、0圖3-10 葉片承受的氣流力(3-8)(3-9)對(duì)于氣流彎曲應(yīng)力而言，葉片底部截面危險(xiǎn)點(diǎn)為1，2，3點(diǎn)。據(jù)材料力學(xué)公式有現(xiàn)將力F向-和 - 軸投影：12cossinFFFF式中arctanauFF為葉片安裝角， 為F與-軸之間的夾角在底部截面，兩個(gè)主慣性軸方向的彎矩為1122cos22sin22FlFlMF lFlM1 12 212112M eM eMMIIWW-1 12 412214M eM eMMIIWW-(3-10)式中1 3133M eMIW -11IWe-為截面抗彎模量，余同。通常后緣點(diǎn)的彎曲應(yīng)力 （拉應(yīng)力）比前緣點(diǎn)的彎曲應(yīng)力 和背弧的應(yīng)力 都要大?？梢?jiàn)對(duì)氣流彎曲應(yīng)力而言，危險(xiǎn)點(diǎn)為

10、葉底截面后緣點(diǎn)。當(dāng)應(yīng)力超過(guò)許用值時(shí)，可增加葉片的寬度，使葉片的截面抗彎模量相應(yīng)增大。從而使彎曲應(yīng)力下降。由此可見(jiàn)等截面葉片的截面形狀和大小，與彎曲應(yīng)力有關(guān)而與拉伸應(yīng)力無(wú)關(guān)。123對(duì)于 的長(zhǎng)葉片，必須考慮氣流力季度q沿葉高的變化，如圖3-11所示。/10mDl 在這種情況下，距葉片底部截面處截面上氣體力彎矩按下式計(jì)算 111dlzM zq zzzz如氣體力集度沿葉高的變化規(guī)律無(wú)法用解析式表達(dá)時(shí)，則q(z)和M(z)可以用數(shù)值積分來(lái)確定。對(duì)于長(zhǎng)葉片氣流彎曲應(yīng)力最大值可能不出現(xiàn)在底部截面上。圖3-11 氣流力集度沿葉高的變化(3-11)1WI四、離心力引起的彎曲應(yīng)力葉片離心力在某一截面上產(chǎn)生附加彎曲

11、應(yīng)力，是由于該截面以上葉片部分的重心和旋轉(zhuǎn)中心的連線（即離心力輻射線）不通過(guò)該截面的形心，形成偏心拉伸所致。在圖3-12中以底部截面的形心與旋轉(zhuǎn)中心O的連線（徑向線）為z軸。主軸軸線為x軸，y軸相應(yīng)決定。如人為的使葉片沿切向反旋轉(zhuǎn)方向傾斜（對(duì)汽輪機(jī)葉片則是順旋轉(zhuǎn)方向傾斜）?；蚴谷~片順旋轉(zhuǎn)方向平移一段距離（對(duì)汽輪機(jī)則是反旋轉(zhuǎn)方向），都可以使離心力引起的附加彎矩與氣體力彎矩方向相反，從而抵消部分氣體力彎矩。對(duì)于等截面葉片，由于各截面形心的連線是一條直線，如果使這條形心連線與離心力輻射線重合，則離心力引起的附加彎曲應(yīng)力為零。圖3-12 離心力引起的葉片彎曲應(yīng)力WI式中 為j段葉片的體積， 為重心半徑

12、在變截面葉片中葉片截面積沿葉高逐漸減小。而且葉片型線部分的安裝角也是變化的。通常各截面的形心連線為一條空間曲線。因此離心力必然在某些截面中產(chǎn)生偏心拉伸，出現(xiàn)離心彎曲應(yīng)力，在較長(zhǎng)的葉片中，這個(gè)應(yīng)力會(huì)達(dá)到很可觀的數(shù)值。一般也用近似積分法來(lái)計(jì)算離心力彎矩。設(shè)葉片分為n段，第i段葉片離心力為2jjmjFV RjVmjR22coszjjmjjmjFV RV z22sinyjjmjjmjFV RV y通常認(rèn)為 在yoz平面中，即把葉片各截面形心連線看成位于yoz平面內(nèi)的平面曲線，故0 xjF jF式中為第j段葉片形心坐標(biāo)。,mjmjyzWI可近似認(rèn)為：1112jjjjjVAAzz112mjjjyyy112

13、mjjjzzz第i截面上的離心力彎矩是i截面以上各段離心力分量對(duì)該截面x軸彎矩之和11iixizjmjiyjmjijjMFyyFzz 0yiM因?yàn)?位于yoz平面中，所以 必為零。上式中彎矩以逆時(shí)針為正。jFyiM如前所述，對(duì)于彎曲應(yīng)力，葉片根部截面危險(xiǎn)點(diǎn)為1，2，3點(diǎn)為了計(jì)算出i截面最大離心彎曲應(yīng)力，需將向該截面主慣性軸轉(zhuǎn)換。當(dāng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，力和位移有相同的變換關(guān)系，為cossinsincosxiyiMMMM對(duì)于圖3-13，-坐標(biāo)系相對(duì)于x-y坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故角應(yīng)以負(fù)值代入。12112MMWW 12214MMWW 133MW iW意思同前。見(jiàn)（3-10）式。圖3-133-12w五、總壓力與

14、安全系數(shù)葉片截面上總的靜壓力為離心拉應(yīng)力 與彎曲應(yīng)力 之和，不包括振動(dòng)應(yīng)力，即llw總w應(yīng)為氣流彎曲應(yīng)力與離心彎曲應(yīng)力之和。葉片許用拉伸應(yīng)力 nss 為材料的屈服極限，n為安全系數(shù)，一般取n=1.72，安全系數(shù)n的大小取決于計(jì)算的準(zhǔn)確度，載荷性質(zhì)，加工精度及該零件的重要性等。六、葉根強(qiáng)度計(jì)算在簡(jiǎn)略的計(jì)算中，通常不計(jì)葉根所受到的彎矩，只考慮葉片及葉根質(zhì)量離心力所引起的應(yīng)力。在軸流式壓縮機(jī)中通常采用燕尾形葉根，如圖3-14所示。設(shè)Pb為葉片及葉根的離心力，則作用在葉輪燕尾槽接觸面上的正壓力為2sin2bPN 圖3-14式中為相鄰兩葉片徑向夾角。以上所得到的是平均拉應(yīng)力。實(shí)際上BD截面的拉應(yīng)力是不均

15、勻的，存在較嚴(yán)重的應(yīng)力集中。此外還要校核輪緣兩個(gè)燕尾槽間危險(xiǎn)截面BD的拉應(yīng)力l由圖3-14所示2coswlNPA式中A為危險(xiǎn)截面BD之面積，又222故有APNwl22sin2該面上的擠壓應(yīng)力為2sin2ldPANb式中為燕尾槽兩側(cè)面的夾角，l,d為接觸面的長(zhǎng)度與寬度。第二節(jié) 葉片振動(dòng)葉片在工作時(shí)，不斷收到脈動(dòng)氣流力的作用，使葉片產(chǎn)生振動(dòng)。如果激振力的頻率接近葉片固有頻率而發(fā)生共振，將可能導(dǎo)致葉片的疲勞斷裂。葉片共振疲勞引起的事故，無(wú)論在國(guó)內(nèi)還是國(guó)外，都是屢見(jiàn)不鮮的。研究葉片的振動(dòng)，找出減小葉片振動(dòng)的有效途徑，是十分重要的。一、葉片振動(dòng)型式葉片可看成是彈性懸臂梁，其振動(dòng)的基本形式可分為彎曲振動(dòng)與

16、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。彎曲振動(dòng)又可分為切向振動(dòng)與軸向振動(dòng)，它們分別指沿最大主慣性軸 與沿最小主慣性軸 的彎曲振動(dòng)，如圖3-15（a）（b）所示。而扭轉(zhuǎn)振動(dòng)則與圍繞葉片截面形心軸的振動(dòng)。如圖3-15（c）所示。圖3-15 葉片振動(dòng)的形式1、彎曲振動(dòng)對(duì)切向彎曲振動(dòng)，通常將葉項(xiàng)自由的葉片振動(dòng)稱為A型振動(dòng)。葉片彎曲振動(dòng)的振型可通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察，現(xiàn)在葉片上撒少許細(xì)沙，然后加以正弦激振力Fsint(由激振器產(chǎn)生)，連續(xù)改變激振頻率，當(dāng)激振力頻率與葉片第一階固有頻率 相等時(shí)，葉片產(chǎn)生共振，葉片作第一階主振動(dòng)，葉片的振型便是第一階振型。據(jù)節(jié)點(diǎn)原理，第一階主振型應(yīng)無(wú)節(jié)點(diǎn)（節(jié)線），而實(shí)驗(yàn)正好說(shuō)明這一點(diǎn)，此時(shí)沙粒僅在葉片根部留下少

17、許，其余都振掉了。當(dāng)葉片產(chǎn)生第二階共振時(shí)，所測(cè)得的第二階振型上便有一條節(jié)線。一般將A型一階振動(dòng)稱為 型振動(dòng)，依次為10A012,AAA 它們分別相應(yīng)于1，2，3階主振動(dòng)。其振型如圖3-16當(dāng)葉片頂部鉸支，可產(chǎn)生B型振型如圖3-17圖3-16 A型振動(dòng)圖3-17 B型振動(dòng)2、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)圖3-18為等直葉片作第1、2階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)的振型圖，即角振幅沿葉高的變化曲線。相應(yīng)的沙振圖形如右，在等直葉片作第一階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，軸線處的振幅為零，因而沿軸線留下一些沙子。3、復(fù)合振動(dòng)對(duì)于變截面扭轉(zhuǎn)葉片還會(huì)產(chǎn)生彎曲、扭轉(zhuǎn)復(fù)合振動(dòng)。圖3-19（a）（b）即分別為二階彎曲一階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和二階彎曲二階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的沙振圖形。圖3-

18、18 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)圖3-19 復(fù)合振型二、等截面葉片固有頻率的計(jì)算葉片彎曲振動(dòng)固有頻率有靜頻、動(dòng)頻之分。動(dòng)頻是計(jì)及葉片旋轉(zhuǎn)離心慣性力影響的固有頻率。由于離心力的作用相當(dāng)于增加了葉片的彎曲剛性，故葉片動(dòng)頻高于相應(yīng)的靜頻。1、等截面葉片靜頻計(jì)算葉片的力學(xué)模型為彈性懸臂梁，設(shè)葉片作某階主振動(dòng)，即設(shè)葉片的特解為 ,sin()y x tY xtY（x）為葉片的振型函數(shù)，由于在此把葉片作為連續(xù)體來(lái)對(duì)待，故其振型不再為一組離散值，而成為坐標(biāo)x的連續(xù)函數(shù)。振型函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)。在葉片自由振動(dòng)中，慣性力是作用在葉片上的唯一載荷，其集度為 22tyAxq式中A為葉片橫截面積。(3-13)(3-14)在梁上取一微段dx，

19、其受力如圖3-21所示，由微段的平衡可得0y0dd22xxQQxtyAQ(a)對(duì)微段右截面形心C取矩，0cM0dd2dd22xxMMxQxxtyAM（b）由（a）式可得022tyAxQ（c）圖3-20 故有MQx略去高階微量，由（b）式可得上兩式即彎矩、彎力、分布載荷之間的微分關(guān)系 22ddddM xQ xq xxx式中22220MyAxt材料力學(xué)中梁的撓曲線近似微分方程為 22ddyMq xxEJ（d）（e）（f）式中EJ為梁的剛度，將f式代入e式，得2222220yyEJAxxt對(duì)于等截面葉片有24240yyAEJtx或242240yyatx(g)式中2EJaA此即等截面葉片自由振動(dòng)偏微分

20、方程式。將3-13式代入g式可得4242d0dYYxa2242AkaEJ 令，于是便得到了葉片振型函數(shù)的常微分方程式444d0dYk Yx(h)該四階常微分方程的解可取為 sxY xe代入h式可得特征方程：440sk它的四個(gè)根為1,23,4,sk sik (i)故h式的解為故h式的解為 kxkxikxikxY xA eB eC eD e(j)又chsh,cossinkxikxekxkx ekxikx代入j式可得解的通常形式 sincosshchY xAkxBkxCkxDkx(k)k式即為等截面葉片自由振動(dòng)的振型函數(shù)，將其代入3-16式便可得到偏微分方程g的通解為,sincosshchsiny

21、x tAkxBkxCkxDkxt(l)上式有A、B、C、D四個(gè)積分常數(shù)和 兩個(gè)待定系數(shù)，但懸臂梁有四個(gè)端點(diǎn)條件，再加上兩個(gè)振動(dòng)初始條件，恰好可決定這六個(gè)常數(shù)。、求等截面葉片A型振動(dòng)的固有頻率，懸臂梁的四個(gè)邊界條件為22331)0,02)0,003),004),00 xYdYxdxd YxlMdxd YxlQdx由1）可得0BD由2）可得0AC由3）、 4）可得sincosshch0AklBklCklDklcossinchsh0AklBklCklDkl將,AC BD 代入上兩式，得C sinshcos+ch0klklDklklcos+chsinsh0CklklDklkl上式為對(duì)于C和D的齊次方程

22、組，有非零解的條件為sinshcosch0coschsinshklklklklklklklkl此即葉片自由振動(dòng)的頻率方程，或展開(kāi)為1 cos ch0klkl(m)(n)上方程有無(wú)限多個(gè)根，也可由作圖法求出。將上式改寫為1coschklkl 以kl（無(wú)因次量）為橫坐標(biāo)，作出coskl和-1/chkl曲線，兩曲線各交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是頻率方程的根，見(jiàn)圖3-21123451.8754.6957.8551099614.137k lk lk lk lk l當(dāng)n4時(shí)，可有212nnk l由242nnka可得(3-15)2221,2,3nnnk lEJaknlA圖3-21將,AC BD 代入k式，得主振型函數(shù)

23、chcosshsinCY xDkxkxkxkxD式中比值C/D可由m式中任選一個(gè)求出，如取第二式shsinch +cosCklklDklkl 代入上式得 shsinchcosshsinch +cosklklY xDkxkxkxkxklkl(3-16)將各階主振動(dòng)的 值代入（3-16）式，便可得到相應(yīng)的主振型。等截面葉片頭三階主振型圖示如右nk l圖3-22 等截面葉片1，2，3階主振型2.主振型的正交性葉片的不同階的振型之間也存在著正交性，在這里我們把葉片作為連續(xù)彈性體，故將表現(xiàn)為積分形式。設(shè)分別為對(duì)應(yīng)于 的主振型函數(shù)，據(jù)上節(jié)討論必有 ,ijY x Yx,ij 22222ddddiiiYEJA

24、Yxx 22222ddddjjjYEJAYxx (a)(b)用Yj乘a式并在全梁分部積分，可得222222002222002222222200020dddddddddddddddddddddddddddddddddlliijjlljiijllljjiiijliijYYYEJxYEJxxxxYYYYEJEJxxxxYYYYYYEJEJEJxxxxxxxAYYx(c)同理，用Yi乘b式并在全梁進(jìn)行分部積分，得222202222222200020dddddddddddddddddddljillljjjiiiljijYYEJxxxYYYYYYEJEJEJxxxxxxxAYY x(d)將上兩式相減得22

25、02222222200dddddddddddddddddlijijlljjjiiijiAYY xYYYYYYYEJYEJEJEJxxxxxxxx上式右邊實(shí)際上是x=0和x=l時(shí)葉片的端點(diǎn)條件，應(yīng)等于零。因此，只要,ijij，便有0d0lijAYY xij該式即為葉片的主振型對(duì)于質(zhì)量的正交性表達(dá)式。(3-17)將上式代回c式可得22220ddd0ddljiYYEJxijxx(3-18)該式為葉片的主振型對(duì)剛度的正交性表達(dá)式。對(duì)等截面葉片主振型的正交性表達(dá)式簡(jiǎn)化為0d0lijYY xij22220ddd0ddljiYYxijxx(3-19)(3-20)三、變截面葉片固有頻率的計(jì)算對(duì)于一般系統(tǒng)，由于

26、其復(fù)雜性，只能求其近似的數(shù)值解。近似求解變截面葉片的固有頻率，可用振型迭代法。該法的主要特點(diǎn)是先假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的主振型，經(jīng)過(guò)逐次迭代，使它收斂到該階主振型（以前后兩次計(jì)算值相近為準(zhǔn)），從而得到系統(tǒng)的固有頻率。振型迭代法又可分為雷利法和矩陣迭代法。1.雷利法變截面葉片可視為懸臂梁，將其離散為如圖3-24所示。12,m m 為集中質(zhì)量，12,Y Y 為相應(yīng)集中質(zhì)量作用截面的靜撓度。如忽略阻尼，變截面葉片自由振動(dòng)可看成是保守系統(tǒng)。在保守系統(tǒng)中機(jī)械能量守恒的。葉片在振動(dòng)的每一瞬間，其能量有兩種形式，為勢(shì)能U和動(dòng)能T，而U+T=const，在振動(dòng)到最大振幅時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為零，具有最大勢(shì)能Umax，當(dāng)振動(dòng)到平

27、衡位置時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能為零，具有最大動(dòng)能Tmax，據(jù)能量守恒，有maxmaxTU(a)圖3-24計(jì)算最大勢(shì)能和最大動(dòng)能必須要知道系統(tǒng)的振型曲線Y(x)，但對(duì)多自由度系統(tǒng)智能給出近似的振型曲線。雷利提出可用系統(tǒng)的靜撓度曲線來(lái)近似系統(tǒng)一階主振型。工程實(shí)踐證明，這是一個(gè)很好的近似。用能量法求多自由度系統(tǒng)固有頻率的方法也稱之為雷利法(Rayleighs method)。對(duì)于2階以上的振型，我們很難給出與之相近的曲線。所以雷利法一般只用于計(jì)算系統(tǒng)的基頻。用該法僅計(jì)算一次便可得到工程上滿意的結(jié)果，故無(wú)需多次迭代。如計(jì)算出各集中質(zhì)量點(diǎn)處的靜撓度為 。設(shè)葉片的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧的，各集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)可有下式表示12,Y Y

28、 ( , )siniikky x tY xt(b)式中 是葉片橫振動(dòng)的固有頻率， 為初相位，各質(zhì)量點(diǎn)處的速度為kk cosiikkkyY xtt(c)其最大速度為1maxikyYt各質(zhì)量的最大動(dòng)能及最大勢(shì)能為22maxmax1212iiikiiiTmYUm gY1,2,i (d)(e)(f)上兩式的區(qū)別在于3-28式振型可取相對(duì)值，而3-27式中 必須用系統(tǒng)的靜撓度值，不能用相對(duì)值。令 ，有 ，當(dāng)Y按一定比例變化時(shí)，3-27式中的據(jù)能量守恒有221122kiiiimYgmY由此得變截面葉片的固有頻率22iikiigmYmY在機(jī)械振動(dòng)理論中，有雷利商式2YEYYMY(3-27)(3-28)iiP

29、m gPYKiiPm g并沒(méi)有按相同的比例變化，所以該式中 只能取系統(tǒng)靜撓度的絕對(duì)數(shù)值。iYiY現(xiàn)在求變截面葉片固有頻率問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為求在集中質(zhì)量作用下梁的靜撓度問(wèn)題?，F(xiàn)用直接積分法來(lái)求變截面葉片的靜撓度。以上已推出2222ddddYEJqxx(3-29)因變截面葉片的截面變化規(guī)律A(x)及主慣性矩變化規(guī)律J(x)很難用解析式表達(dá)，因此對(duì)上式只能進(jìn)行數(shù)值積分。2.振型迭代法22222ddddYEJAYxx 24001kkkkknnkYAYxEJ24,1, ,001kkkki jki j knnkYA YxEJ可以直接假設(shè)一個(gè)近似的一階主振型曲線如 2xY xl 1 cos2xY xl等，將其離散

30、為作為振型初始值，所假設(shè)的振型曲線必須滿足葉片的變形幾何邊界條件。對(duì)葉片自由振動(dòng)有2qAY 可改寫為(3-21)這里Y為葉片某階主振型，為相應(yīng)固有頻率， 為慣性力集度。出于同樣的理由對(duì)3-30是也僅能進(jìn)行數(shù)值積分。將葉片分為n段，以根部為0截面，葉頂為n截面，將振型初始值Y(x)及A(x),J(x)的相應(yīng)離散值代入上式，積分四次，便可以求出一階振型曲線的第一次近似值。2qAY 式中k為計(jì)算截面。如以i表振型階次，j表迭代次數(shù)，上式可重寫為對(duì)上式進(jìn)行迭代，如前后兩次計(jì)算結(jié)果 相當(dāng)接近，則認(rèn)為已得到滿意結(jié)果，可停止計(jì)算。, i jY,1i jY例題：某壓縮機(jī)一級(jí)動(dòng)葉片葉高l=17cm，材料為2Cr

31、13，622.187 10/EKg cm337.75 10/kg cm將葉片等分10段，每段集中質(zhì)量作用在段中，根部截面下標(biāo)為0，視為固定端，計(jì)算模型圖示如下各截面面積A，主慣性矩J，長(zhǎng)度012345678910Q0M0l/10012345678910A (cm2)6.7176.5626.3436.2566.2086.10855.6655.2125.074.8834.65J (cm4)0.63600.60110.53180.47310.43280.39810.33110.26180.22830.20240.1745x (cm)1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.7問(wèn)

32、題1：設(shè)初始振型為 ，用振型迭代法計(jì)算變截面葉片的一階固有頻率。 2xY xl,1,24241616()i jnEEYZxx72223442.187 10102090.3rad/s1.77.75 10123718.26ExZ332.7Hz2f問(wèn)題2：計(jì)算葉片的一階彎曲振動(dòng)相對(duì)動(dòng)應(yīng)力計(jì)算見(jiàn)下表，本例只計(jì)算背弧頂點(diǎn)B的相對(duì)彎曲動(dòng)應(yīng)力3.二階固有頻率的計(jì)算變截面葉片二階和二階以上固有頻率計(jì)算的困難在于：很難找到相應(yīng)振型的較準(zhǔn)確的近似曲線，一般所取的振型初始值誤差較大。以二階固有頻率計(jì)算為例，設(shè)所去的初始振型曲線為Y(x),則Y(x)可表示為n個(gè)主振型的線性組合（如葉片分為n段） 1 122nnY x

33、aY xa Yxa Yx初始振型Y(x)中所包含的高于二階的振型成分，其值相對(duì)于 可略而不計(jì)，但Y(x)所包含的一階主振型成分卻不可略去，可近似認(rèn)為 22a Yx 1 122Y xaYxa Yx可利用主振型的正交性消去初始振型中的一階成分。具體做法是將3-23式兩端同乘以(3-22)(3-23) 1AY x并沿全葉高積分 2111212000dddlllAY x YxxaYxxaAYx Yxx由葉片主振型對(duì)質(zhì)量的正交性有 120d0lAYx Yxx上式可寫為 211100ddllAY x YxxaAYxx故可得 101210ddllAY x YxxaAYxx(3-24)將比例常數(shù) 代入3-23

34、式得1a 21 121YxY xaY xa由振型的相對(duì)值，可取 21 1YxY xaY x(3-25)二階固有頻率的計(jì)算需要較多的迭代次數(shù)才能得到滿意的結(jié)果。如需計(jì)算二階以上固有頻率，則要多次利用主振型的正交性，來(lái)求得各 值，以去除低于該階的主振型成分，有1a 020ddliiliAY x Y xxaAYxx 11 1iiiYxY xaY xaY x(3-26)(3-27)該法需要較多的迭代次數(shù)才能取得較好的結(jié)果。一般很少用此法求高于3階的固有頻率。現(xiàn)在較新的求葉片固有頻率的方法有傳遞矩陣法（Prohl法）、有限元法和有限差分法。四、葉片相對(duì)彎曲振動(dòng)應(yīng)力及動(dòng)頻計(jì)算1.葉片相對(duì)彎曲振動(dòng)應(yīng)力由于主

35、振動(dòng)的相對(duì)性，這里所說(shuō)的彎曲動(dòng)應(yīng)力也是相對(duì)值。由3-21式22222ddddYEJAYxx積分兩次可得彎矩M的相對(duì)值為2d dllxxMAY x x 對(duì)上式進(jìn)行數(shù)值積分得22kkknnMAYx(3-28)式中k為計(jì)算截面，于是有kMW式中minJWh為葉片截面抗彎模量。如前所述，葉片截面的危險(xiǎn)點(diǎn)在后緣點(diǎn)，而前緣點(diǎn)與背弧頂點(diǎn)也是較危險(xiǎn)的地方，亦須校核，見(jiàn)圖3-23。等截面葉片 型彎曲振動(dòng)的危險(xiǎn)截面為根部截面。對(duì)變截面葉片而言，危險(xiǎn)截面卻不一定在根部，因?yàn)檫€有截面抗彎?rùn)M量W這個(gè)因素。等截面葉片前三階彎曲振動(dòng)主振型及相應(yīng)彎矩如圖3-24所示，可見(jiàn)對(duì)于二階彎曲振動(dòng)，危險(xiǎn)截面在0.6l處，對(duì)于三階彎曲振

36、動(dòng)，危險(xiǎn)截面約在0.75l與0.3l處。因此我們可以根據(jù)裂縫出現(xiàn)的位置來(lái)大致判斷出是由于哪一階彎曲共振疲勞產(chǎn)生的。這就是相對(duì)彎曲動(dòng)應(yīng)力分布對(duì)破壞分析的意義所在。0A圖3-23 葉片截面危險(xiǎn)點(diǎn)圖3-24等截面葉片相對(duì)于彎曲動(dòng)應(yīng)力2.葉片的動(dòng)頻前已談及，動(dòng)葉的動(dòng)頻高于靜頻。這是因?yàn)閯?dòng)葉片工作時(shí)，要承受巨大的離心慣性力；由離心力產(chǎn)生的附加彎矩與葉片彈性恢復(fù)力共同促使葉片返回平衡位置，這相當(dāng)于增強(qiáng)了葉片的剛性，因此動(dòng)葉的動(dòng)頻高于靜頻。下面用能量法討論旋轉(zhuǎn)葉片動(dòng)頻的計(jì)算。為此先用該法計(jì)算葉片的靜頻。參閱圖3-20。設(shè)葉片振動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 ,sincy x tY xt式中 為葉片的靜頻，即葉片不旋轉(zhuǎn)而自由振

37、動(dòng)時(shí)的固有頻率。此時(shí)，葉片某截面的轉(zhuǎn)角 ，彎矩 ， 葉片dx微段的勢(shì)能為cYMEJYdY2dddd222MEJEJUY YxYx于是葉片的最大勢(shì)能為22max201dd2dlYUEJxx葉片dx微段的動(dòng)能為21ddd2dyTAxtcosccyYt故maxcyY(3-29)于是葉片的最大動(dòng)能為據(jù)能量法有22max1d2lcoTAYxmaxmaxUT從而得葉片靜頻的計(jì)算式222022ddddlcloYJxxEAYx(3-30)(3-31)葉片以轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時(shí)，葉片勢(shì)能還應(yīng)包括離心力場(chǎng)作用下的附加勢(shì)能U故能量守恒式為maxmaxmaxTUU(3-32)是當(dāng)葉片振動(dòng)到最大振幅時(shí)，離心力所作的功，此時(shí)葉片的

38、最大動(dòng)能maxU22max1d2ldoTAYx(3-33)不計(jì)離心力場(chǎng)影響的最大彈性彎曲勢(shì)能的表達(dá)式仍為3-29式。附加勢(shì)能 的計(jì)算U如圖3-25所示，當(dāng)葉片以轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時(shí)，作用在微段dx上的離心力為2ddFA Rxx設(shè)dx微段位移前重心坐標(biāo)為OC=S。當(dāng)彎201dxOCSYx曲葉片軸線變?yōu)榛【€式中ddYYx 為振型曲線的斜率。則dx微段重心的下降值為201dxeSxYxx因?yàn)閅值很小，所以有221112YY 因此201d2xeYx微段dx在離心力場(chǎng)中勢(shì)能的變化為edF，對(duì)整個(gè)葉片有22max0001=ddd2llxUe FYx A Rxx (3-34)圖3-25葉片動(dòng)頻計(jì)算將上面maxmaxm

39、ax,UTU值代入3-32式有222222200011d1dddd22d2lllxdoYAYxEJxYx A Rxxx 故22220002222dddddddddlxldllooYYx A RxxJxxxEAYxAYx 上式右端第一項(xiàng)為葉片靜頻 ，第二項(xiàng)為由于離心力場(chǎng)的影響旋轉(zhuǎn)葉片固有頻率提高的部分，二者之和即為動(dòng)頻 ，可簡(jiǎn)寫為2c2d222dcB或222dcsffn B上式中2sn為轉(zhuǎn)子每秒轉(zhuǎn)速2002dddddlxloYx A RxxxBAYx 稱為動(dòng)頻系數(shù)(3-35)(3-36)對(duì)式3-35進(jìn)行數(shù)值積分，可算出葉片動(dòng)頻22220002222200dddd4nnniiiidsnniiiiY

40、Yx A RxxJxxxEfnAYxAYx (3-37)由于離心力對(duì)頻率的影響與葉片振型有關(guān)，因此不同振型其動(dòng)頻系數(shù)也不同，對(duì)于型振動(dòng)動(dòng)頻系數(shù)B可用下經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算0A20.690.3sinmDBl(3-38)式中為振動(dòng)平面和葉輪平面之間的夾角。該式對(duì)等截面和變截面葉片及葉片組均適用。但由于動(dòng)頻系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式是根據(jù)一定的葉片結(jié)構(gòu)得到的，推廣應(yīng)用時(shí)有較大誤差。對(duì)于長(zhǎng)葉片，由于靜頻 較低，在3-45式中 相差較大，因此動(dòng)頻與靜頻相差較大，必須計(jì)及。2sn B對(duì)于短葉片，中靜頻 較高，往往 ，以致 項(xiàng)可忽略不計(jì)。此時(shí)動(dòng)頻和靜頻相差不大，可以不必進(jìn)行動(dòng)頻計(jì)算。對(duì)于高階次的振動(dòng)，由于葉片相應(yīng)振幅小，離心力對(duì)動(dòng)頻的影響亦小，因此此時(shí) 型和 型振動(dòng)可以忽略離心力對(duì)頻率的影響。cfcf22csfBn2sn B0B1A六、葉片的激振力，調(diào)頻和降低動(dòng)應(yīng)力的措施葉片的損壞大多是因?yàn)楣舱穸鴮?dǎo)致的疲勞破壞。除了要計(jì)算葉片的固有頻率外，還要研究激振力的性質(zhì)。葉片在工作時(shí)所受的激振力很復(fù)雜，但大多數(shù)是有規(guī)律的或是周期性的。可分為機(jī)械激振力和氣流激振力兩大類。1）機(jī)械激振一般表現(xiàn)為位移激振的形式。如輪盤或輪鼓的振動(dòng)，使葉片根部有位移激振，從而使葉片振動(dòng)，通過(guò)輪盤傳到葉片上。其激