一元函數(shù)微分學課件

1、第二章 一元函數(shù)微分學一 導數(shù)二 微分三 微分中值定理四 洛必達法則五 導數(shù)的應用第一節(jié) 導數(shù)0 xxx當 自 變 量 在 處 取 得 增 量 時 ，00()( )yyf xxf x 函 數(shù) 的 增 量；0 xxy 如 果當時 的 極 限 存 在 ，定義定義0( )yf xx設函數(shù)在點 的某鄰域有定義，0( )yf xx稱 函 數(shù)在 點 處 可 導 ，00lim( )xyxxf xy 稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)000( )x xx xx xdydf xydxdx記為，或（一）（一） 導數(shù)的概念與性質導數(shù)的概念與性質.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(li

2、m)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即000( )x xx xx xdydf xydxdx記為，或0.x導數(shù)是因變量在點 處的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度( )( ).yf xIf xI如果函數(shù)在開區(qū)間 內的每點處都可導，就稱函數(shù)在開區(qū)內可導間關于導數(shù)的說明：關于導數(shù)的說明：,( )xIf x 對于任一都對應著的一個確定的導數(shù)值。構成一個函數(shù)關系。( )( ),( ),.dydf xf xyfxdxdx稱函數(shù)的，記作或導函數(shù)明顯明顯: :00()( )x xfxfx。2.右導數(shù)右導數(shù):單側導數(shù)單側導數(shù)1.左導

3、數(shù)左導數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內可導，且內可導，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導上可導.()lim( )xafafx()lim( )xbfbfx稱為導函數(shù)的右極限稱為導函數(shù)的左極限( )( , )( )f xa bfx在開區(qū)間內的導函數(shù)為( ) , ( , )( )f xa ba bfx設在閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間內的可導，記導函數(shù)為(0)( )(0)

4、( )faf xafbf xb若存在，則在 點右可導，若存在，則在 點左可導( )(0)( )(0)fafafbfb且，oxy)(xfy T0 x幾何意義幾何意義0000()( )(,(),()tan,()fxyf xM xf xfxx表示曲線在點處的切線的斜率 即為切線與 軸正向的夾角M切線切線方程為：方程為：法線法線方程為：方程為：).)(000 xxxfyy 0001()()yyxxfx oxy)(xfy T0 xM可導與連續(xù)的關系定理：可導連續(xù) （逆否命題）不連續(xù)不可導 （逆命題）連續(xù)可導？不一定 例：y=|x|在x=0處連續(xù)，但在x=0處不可導。100)0()(lim)0(0 xxx

5、yxyyx100)0()(lim)0(0 xxxyxyyx(二)導數(shù)的運算 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式導數(shù)的四則運算法則導數(shù)的四則運算法則設u=u(x),v=v(x)都可導，則反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則設y=f(x)由方程F(x,y)=0確定，求y,只需直接由方程F(x,y)=0關于x求導，將y當做中間變量，依復合函數(shù)鏈式法則求之。由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導法則由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導法則對數(shù)求導法對數(shù)求導法練習練習p28例1 例5 例8 例16 例23 例24 例25 例31 例36第二節(jié) 微分先看個例子：

6、微分的運算法則微分的運算法則復合函數(shù)的微分復合函數(shù)的微分這個性質稱為一階微分形式不變性。練習p36 例37 例40 例44 第三節(jié) 微分中值定理若函數(shù)若函數(shù)f（x)在區(qū)間在區(qū)間I上導數(shù)恒為零，則上導數(shù)恒為零，則f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數(shù)。上是一個常數(shù)。若在區(qū)間若在區(qū)間(a,b)內，恒有內，恒有f(x)=g(x)，則在，則在(a,b)內必有內必有f(x)=g(x)+C,其中其中C為某個常數(shù)。為某個常數(shù)。推論p39 例47 例48 練習第四節(jié) 洛必達法則可轉化為洛必達的形式可轉化為洛必達的形式例例例解例例練習p43 例51 例57第五節(jié) 導數(shù)的應用（一）求曲線的切線方程與法線方程（二）函數(shù)

7、的單調性與極值（三）函數(shù)的最值（四）曲線的凸凹性（一）求曲線的切線方程與法線方程當0時，法線方程為-1/（二）函數(shù)的單調性與極值1 函數(shù)單調性定理2 函數(shù)的極值定理定理（極值的必要條件）（極值的必要條件） 設設f(x)在點在點x0處可導，且處可導，且x0為為f(x)的極值點，則的極值點，則f(x0)=0.（三）函數(shù)的最大值與最小值設函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上有定義，x0a,b,若對于任意xa,b,恒有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0),則f(x0)為函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值（或最小值），稱點x0為f(x)在a,b上的最大值點（或最小值點）。注注 極值與最值的區(qū)別極值

8、與最值的區(qū)別 極值是一個局部概念 ，只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較最大或最小，并不意味著它在函數(shù)整個定義域內最大或最小。而最值是對整個定義域而言，是一個整體性的概念。函數(shù)最值求法步驟：(1)求出求出 ) (xf的所有極值點的所有極值點(駐點和導數(shù)不存在駐點和導數(shù)不存在 的點的點);(2)計算并比較計算并比較f(x)在所有極值點及兩個端點處的值在所有極值點及兩個端點處的值,其中最大者就其中最大者就是最大值是最大值,最小者就是最小值。最小者就是最小值。（四）曲線的凸凹性凹凸定理定理1曲線的拐點曲線的拐點漸近線定義定義 當曲線上一點當曲線上一點M沿曲線沿曲線y=f(x)無限遠離原點時，如果無限遠離原點時，如果M到一條直線到一條直線L的的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。 若直線若直線L與與x軸