一階微分方程

1、第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程)()(ygxfdxdy 形如形如一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程的方程稱為可的方程稱為可分離變量的微分離變量的微分方程分方程 即等式右端的函數(shù)可分解成即等式右端的函數(shù)可分解成 的函數(shù)與的函數(shù)與 的函的函數(shù)相乘的形式數(shù)相乘的形式.xy(2) 兩邊積分兩邊積分即得微分方程的通解即得微分方程的通解.解法解法(1) 將方程改寫成變量分離形式將方程改寫成變量分離形式dxxfygdy)()(dxxfygdy)()( 例例5-5 5-5 求例求例5-15-1關(guān)于細(xì)菌

2、存在量的微分方程關(guān)于細(xì)菌存在量的微分方程)()(tkNdttdN的通解的通解, ,并求滿足初始條件并求滿足初始條件 的特解的特解. .40000ttN解解 將方程改寫成變量分離形式將方程改寫成變量分離形式kdtNdN兩邊積分兩邊積分kdtNdN得得CktNlnln即即ktCeN 所以所求微分方程的通解為所以所求微分方程的通解為ktCeN 將將 代入以上通解之中代入以上通解之中,得得40000ttN04000ktCe04000kteC于是得到滿足初始條件的特解為于是得到滿足初始條件的特解為)(04000ttkeN解解分離變量分離變量,可化原方程為可化原方程為xdxyydy21兩端積分兩端積分xd

3、xydy21例例5-65-6 求微分方程求微分方程 的通解的通解0)1 (2xydydxy12ln)1ln(21Cxy得得1222)1 (Ceyx整理整理12ln)1ln(21Cxy記記 ,則本例所求的通解為則本例所求的通解為CeC12Cyx)1 (22例如例如2xydxdy是線性的是線性的, ,322xyy是非線性的是非線性的. .)()(xQyxPdxdy , 0)( xQ當(dāng)當(dāng)稱為齊次的稱為齊次的. .0)(yxPdxdy稱為非齊次的稱為非齊次的. ., 0)( xQ當(dāng)當(dāng))()(xQyxPdxdy 所謂線性是指微分方程僅含所謂線性是指微分方程僅含 的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),而且而且 及及 都是

4、一次冪都是一次冪yyy二、一階線性微分方程的方程為一的方程為一階線性微分階線性微分方程方程形如形如0)(yxPdxdy為一階線性齊次微分方程的為一階線性齊次微分方程的通解通解一階線性齊次微分方程的通解一階線性齊次微分方程的通解dxxPydy)(分離變后分離變后, ,得得解法解法dxxPydy)(兩邊積分兩邊積分CdxxPyln)(ln得得dxxPCey)(即即)()(xQyxPdxdy討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分dxxPdxyxQy)()(ln),()(xudxyxQ為記dxxPxuy)()(ln一階線性非齊次微分方程的通解一階線性非齊次微分方程的通解dxxPdxx

5、PxuexCeey)()()()(故故這里這里 為待定的函數(shù)為待定的函數(shù).)(xCdxxPdxxPexPxCexCy)()()()()(作變換作變換dxxPexCy)()(非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比)(xCC 代代入入原原方方程程得得和和將將yy )()()(xQexCdxxP積分得積分得CdxexQxCdxxP)()()(所以一階線性非齊次微分方程的所以一階線性非齊次微分方程的通解通解為為對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()(

6、)(常數(shù)變易法常數(shù)變易法 把齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)把齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法的方法. . 解法一解法一 (1) 求出對應(yīng)齊次方程求出對應(yīng)齊次方程 的通解的通解0 xyyCxy (2) 設(shè)設(shè) ,則則xxCy)()()(xCxxCy(3) 將將 、 代入原方程后代入原方程后,得得xxC)(積分后得積分后得CxxC221)(所以所求方程的通解為所以所求方程的通解為xCxy221例例5-75-7 求微分方程求微分方程 的通解的通解21xyxyyyCdxexeydxxdxx121Cdxexexxln2lnCxdxxxCx221,1)(xxP2)(xxQ解法二解法二CdxeeeyxdxxxdxcossincosCdxeeexxxsinsinsinCxexsin,cos)(xxPxexQsin)(解解例例5-85-8 求微分方程求微分方程 的通解的通解xexyysincosxxCexesinsin一階線性微分方程及其解法一階線性微分方程及其解法 主要內(nèi)容主要內(nèi)容可分離變量的微分方程及其解法可分離變量的微分方程及