數(shù)值分析計算方法試題集及答案

1、數(shù)值分析復(fù)習(xí)試題*1.x*er=f(x*,y*)為二元函數(shù)y2x*-xx*f(x,y)的近似值,請寫出下面的公式:*工e二x*-x：*yifx*x*x*fx*fx*第一章緒論一.填空題為精確值X的近似值；y=f(x)為一元函數(shù)y1=f(x)的近似值；身(x*,y*)仙x*廣Wf(x*,y*)My*)ex*；ry2;/(x*,y*,e(x*)Jfx*,y*)e(y*)ex|y2*|訪y2*舍入誤差.6位和72、計算方法實(shí)際計算時,對數(shù)據(jù)只能取有限位表示,這時所產(chǎn)生的誤差叫3、分別用2.718281,2.718282作數(shù)e的近似值,那么其有效數(shù)字分別有位；又取書為1.73(三位有效數(shù)字),那么J3

2、173E1父10一224、設(shè)為=1.216,x2=3.654均具有3位有效數(shù)字,那么xx?的相對誤差限為0.0055.5、設(shè)x,=1.216,x2=3.654均具有3位有效數(shù)字,那么為+用的誤差限為0.01.6、近似值xA=2.4560是由真值xT經(jīng)四舍五入得到,那么相對誤差限為0.0000204.7、遞推公式>0=石,如果取y0=行電1.41作計算,那么計算到y(tǒng)10時,誤差為yn=10yn-i-1,n=1,2|l18-M10；這個計算公式數(shù)值穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定.2_»-t、匚ft.*A.*A/A.A.8、精確值n=3.14159265,那么近似值<*=3.141和n2*=

3、3.1415分別有位和4位有效數(shù)字.-59、假設(shè)x=e電2.71828=x,那么x有6位有效數(shù)字,其絕對誤差限為1/2*10.10、設(shè)x*的相對誤差為2%,求(x*)n的相對誤差0.02n*C/-Vc/.11、近似值X=0.231關(guān)于真值乂=0.229有(2)位有效數(shù)字；12、計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；13、為了使計算y=10+4_十426-_的乘除法次數(shù)盡量地少,應(yīng)將該表達(dá)式改X-1X-1XC、1y=10(3(4-6t)t)t,t:寫為X-1,為了減少舍入誤差,應(yīng)將表達(dá)式V2001-V1999改寫為2J2001+<1999.14、改變函數(shù)f(x)=Vx+1-Vx(X&

4、#187;1)的形式,使計算結(jié)果較精確1fX-VX十1+4x.15、設(shè)工=2一3149541,取5位有效數(shù)字,那么所得的近似值X=_2.3150.16、數(shù)e=2.718281828.,取近似值x=2.7182,那麼X具有的有效數(shù)字是4.二、單項(xiàng)選擇題：1、舍入誤差是(A)產(chǎn)生的誤差.A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值2、3.141580是兀白有(B)位有效數(shù)字的近似值.A.6B.5C.4D.73、用1+x近似表示eX所產(chǎn)生的誤差是(C)誤差.A,模型B.觀測C.截斷D.舍入X4、用1+3近似表示3不僅所產(chǎn)生的誤差是(D)誤差.A,舍入

5、B.觀測C.模型D.截斷5、-324.7500是舍入得到的近似值,它有(C)位有效數(shù)字.A.5B.6C.7D.86、(D)的3位有效數(shù)字是0.236X102.(A)0.0023549X103(B)2354.82X102(C)235.418(D)235.54X1017、取血之1.732計算X=(Q-1)4,以下方法中哪種最好(C)_16_16_(A)28-163.(B)(4-2揚(yáng)2.(°(4+22.(«+1)1三、計算題1.有一個長方形水池,由測量知長為(50±0.01)米,寬為(25±0.01)米,深為(20±0.01)米,試按所給數(shù)據(jù)求出該水

6、池的容積,并分析所得近似值的絕對誤差和相對誤差公式,并求出絕對誤差限和相對誤差限.解：設(shè)長方形水池的長為L,寬為W,深為H,那么該水池的面積為V=LWH當(dāng)L=50,W=25,H=20時,有V=50*25*20=25000(米3)此時,該近似值的絕對誤差可估計為NV二VV:丁LFW丁H二L:W：H=WH.：LHL：WLW.：H相對誤差可估計為：V=VV而該水池的長、寬和高的數(shù)據(jù)的絕對誤差滿足A(Lj<0,01,A(Wj<0,01,A(Hj<0.01故求得該水池容積的絕對誤差限和相對誤差限分別為(V)<WH|i(Lj+HLi(Wj+LW|i(H225*20*0.0150*2

7、0*0.0150*25*0.01=27.50A(V27.50上r(V=<=1.1*10V25000.一一、_.r._*2.測量某長萬形場地的長a=110米,寬b=80米.假設(shè)aa£0.1(米),b-b試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限.解：設(shè)長方形的面積為s=ab當(dāng)a=110,b=80時,有s=110*80=8800(米2)此時,該近似值的絕對誤差可估計為;:s:s'sab二a:b=b：aa：bL；s相對誤差可估計為：rs=s而長方形長、寬的數(shù)據(jù)的絕對誤差滿足(a)<0.1,A(b卜0.1故求得該長方形的絕對誤差限和相對誤差限分別為(s)Mb(a)+aA(b)&l

8、t;80*0.1110*0.1=19.0r(si=|s-)W90=0.002159s|8800絕對誤差限為19.0;相對誤差限為0.002159.3、設(shè)x*的相對誤差為2%,求(x*)n的相對誤差解：由于f(x)=xn,f(x)=nxn,故；_(xjn_xn:n(x*)n(x-x*)*E；x-x故；r=*-n*=n；r=0.02n(x)nx4、計算球體積要使相對誤差為1%問度量半徑R允許的相對誤差限是多少?解：令/f/R4由3,根據(jù)一元函數(shù)相對誤差估計公式,得R=3qR<1%從而得；RR<V=f|R=.R13005.正方形的邊長大約為100cm,問怎樣測量才能使面積的誤差不超過1c

9、m2揖:da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即邊長a的誤差不超過0.005cm時,才能保證其面積誤差不超過1平方厘米.6.假設(shè)測得一個圓柱體容器的底面半徑和高分別為50.00m和100.00m,且其測量誤差為0.005m.試估計由此算得的容積的絕對誤差和相對誤差.解：V=-：r2hV*-V=2二rh(r*r)=2*3.1415926*50*100*0.005=157.07963251=2=0.0002Vr第二章插值法一、填空題：41 .設(shè)xi(i=0,1,2,3,4)為互異節(jié)點(diǎn),"(x)為相應(yīng)的四次插值基函數(shù),那么z(xi4+2)i(x)=i=0

10、(x4+2).2 .設(shè)xi(i=0,1,2,3,4,5)為互異節(jié)點(diǎn),li(x)為相應(yīng)的五次插值基函數(shù),那么5'、.xi52xi4x31lix=x52x4x31i=02,f1,2,3,4,5=0,f1,2,3,4=0.3f(x)=2x3+5,那么f1,2,3,4=3 .匚;下U4 .f(x)=3x2+1,那么f1,2,3=35.設(shè)汽x)=3/+5,她比=0,123,6 .設(shè)A®=4/+2/+3/十1和節(jié)點(diǎn)改二上/2%=012那么和加=4.7 .設(shè)f(0)=0,f(1)=16,“2)=46,那么f10,1=16,f10,1,2=7,f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為0+16(x-0)

11、+7(x-0)(x-1).8 .如有以下表函數(shù)：Xi0.20.30.4fxi0.040.090.16那么一次差商f0.2,0.41=坐9、2、f(1)=1,f(2)=2,f(3)=1,那么過這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為-211拉格朗日插值多項(xiàng)式為L2(x)=(x2Xx3)2(x1)(x-3)+-(x-1)(x-2),或-2x29x-810、對f(x)=x3+x+1,差商f0,1,2,3=(1),f0,1,2,3,4=(0).11、f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,那么二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為(0.15)12、設(shè)f=°,f=16,f=46,那么l1(x

12、)=_x(x-2),f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為N2(x)=16x7x(x-1)13、1o(X),1i(X),1n(x)是以整數(shù)點(diǎn)Xo,Xi),xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù),那么£1k(x)=k-0nn,(X：-X2-3)1k(X)=1,ZxjXk)=?當(dāng)n之2時"(x'x?+3)k014、設(shè)一階差商.小一_/5)/&)_6一1_5丁(為,勺)_二-T7一s_對如42乙那么二階差商了五1,心,石)*為)Q(/,心)_%一(-3).1卜/3趨4"4-1-615、通過四個互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式p(x),只要滿足三階均差為0,那么p(x)是不超

13、過二次的多項(xiàng)式16、假設(shè)f(x)=3x4+2x+1,那么差商f2,4,8,16,32=7.二、單項(xiàng)選擇題：1、設(shè)f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,那么拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A)A-0.5B,0.5C.2D.-22、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C)(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(B)R(x)=f(x)-Pn(x)=f(n1)()(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),5、設(shè)L(x)是以xk=k(k=0,1,M,9)為節(jié)點(diǎn)的、kh(k)=

14、Lagrange插值基函數(shù),那么k=0(C)f(n1)()Rn(x)=f(x)_Pn(x)n1(x)(D)(n1)!3、有以下數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是(A).(A)二次；(B)三次；(C)四次；(D)五次4、由以下數(shù)表進(jìn)行Newton插值,所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是(D)Xi11.522.533.5f(Xi)-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2.9(A)x；(B)k；(Oi;(D)1.6、由以下數(shù)據(jù)X01234f(x)1243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為(A)(A)4;(B

15、)2;(C)1;(D)3三、問做題1,7=j=L,力的n次插值多1 .什么是Lagrange插值基函數(shù)它們有什么特性?4(勺4答：插值基函數(shù)式力口二°工中)是滿足插值條件火幻二.s-%)&-%)"-%)£/=1項(xiàng)式,它可表示為'也一)(馬馬-1)5一勺)并有以下性質(zhì),占2 .給定插值點(diǎn)(丐用)0=,n)可分別構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式和Newton插值多項(xiàng)式,它們是否相同為什么它們各有何優(yōu)點(diǎn)?答：給定插值點(diǎn)后構(gòu)造的Lagrange多項(xiàng)式為L/x)Newton插值多項(xiàng)式為“?它們形式不同但都滿足條件工九=小=0,L小,于是1式再-"占=

16、°,工述它說明門次多項(xiàng)式口.-M初有n+1個零點(diǎn),這與n次多項(xiàng)式只有n個零點(diǎn)矛盾,故LS二明即14幻與收式工是相同的.L*x是用基函數(shù)表達(dá)的,便于研究方法的穩(wěn)定性和收斂性等理論研究和應(yīng)用,但不便于計算,而NK幻每增加一個插值點(diǎn)就增加一項(xiàng)前面計算都有效,因此較適合于計算.3 .Hermite插值與Lagrange插值公式的構(gòu)造與余項(xiàng)表達(dá)式有何異同答：Hermite插值的插值點(diǎn)除滿足函數(shù)值條件外還有導(dǎo)數(shù)值條件比Lagrange插值復(fù)什一些,但它們都用基函數(shù)方法構(gòu)造,余項(xiàng)表達(dá)式也相似,對Lagrange插值余項(xiàng)表達(dá)式為RaU=<_-而工一45+11,而Hermite插值余項(xiàng)在有條件的

17、點(diǎn)看看作重節(jié)點(diǎn),多一個條件相當(dāng)于多一點(diǎn),假設(shè)一共有m+1個條件,那么余項(xiàng)中前面因子為肉+1!后面相因子5一冉改為R-kJ即可得到Hermite插值余項(xiàng).四、計算題1、設(shè)fx=x7+5x3+1,求差商f20.21,f20,21,22,f20,21|l,27,f20,211,28解：f-2O=7,f-21=169,f-22=16705,故f-20,21=162,f2,22=8268,f-202,22=2702根據(jù)差商的性質(zhì),得f20,2111,27=2=1- 7!018ff2,2,|H,2=0- 8!為:122、求滿足以下條件的埃爾米特插值多項(xiàng)式：y23V1-1解：根據(jù)條件可求得220x=2x-1

18、x-2,：1x=-2x5x-1p0x=x-1x-2f,p1x=x-2x-n2代入埃爾米特三次插值多項(xiàng)式公式P3x=y0：0xyv1xy；oxy；1x2222=22x-1x-23-2x5x-1ix-1x-2-x-2x-1為01234fxi361118273、如有以下表函數(shù)：xfi皿73fi%03163211513187104279100試計算此列表函數(shù)的差分表,并給出它的牛頓插值多項(xiàng)式及余項(xiàng)公式解：查分表如下：x0.400.500.600.70Inx一0.916291一0.693147一0.510826一0.356675Nk(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0&

19、lt;x<14、給出Inx的函數(shù)表如下：試用線性插值和拋物插值求In0.54的近似值.解答線性插值,取與=0.5,兄l=0.5,那么1口0544催1,靜-6693147)十53U.bU0540弓5(-0.510826)=-0,620219二次插值,取/h0.5i與=0,6,與=0.7,得InO.54=(0.54二.-0)(0,50,6)(0.5-0,7)*(一.,6史14-0.540.5)(0,j4-0,7)&6一二力15)960.7)X(-0.510826)十一0.5)(.54二.：6)兀了一0,5)(0.7二五曠X(-0.356675);_0.6168382注記假設(shè)取工*=0

20、.4.$=0.5.40,6,那么1nd.54%0,615319g.5.x-112F(x)31-1請依據(jù)上述數(shù)據(jù)求f(x)的2次Lagrange插值多項(xiàng)式.解：記x0=_1,x1=1,x2=2,那么f(x0)=3,f(x1)=1,f(x2)=-1(XX)(XX2)(x-xo)(x-x2)L2(x)=f(xo)f(x1)(x0-x1)(xo-'x2)(x1-xo)(x0-'x2)fd)(xx0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)c(x-1)(x-2),(x1)(x-2)=3I(-1-1)(-1-2)(11)(12)(x(21)(2-1)1 11(x-1)(x-2)-(x1)(

21、x-2)-(x1)(x-1)2 236 .用插值法求滿足以下條件的不超過三次的插值多項(xiàng)式f(0)=1,f(1)=2,f(2)=9,f'(1)=3,并寫出插值余項(xiàng).解：根據(jù)Lagrange插值多項(xiàng)式和Newton插值多項(xiàng)式得出2L2x=N2x=3x-2x1設(shè)待插值函數(shù)為：H3x=N2xkx-0x-1x-2根據(jù)H3(1)=f(1)=3,得參數(shù)k=1,那么H3x=x31.插值余項(xiàng)為：4f4i2R3x=fx-H3xxx-1x-24!7 、為1345f(xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項(xiàng)式P3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小數(shù))2H3答案：(1-3)(

22、1-4)(1-5)6(x-1)(x-4)(x-5)(3-1)(3-4)(3-5)5(x-1)(x-3)(x-5)4(x-1)(x-3)(x-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10141P3(x)=N3(x)=22(x-1)-(x-1)(x-3)(x-1)(x-3)(x-4)4f(2)：P3(2)=5.5答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點(diǎn),使誤差M3133卜,3(x)|盡量小,即應(yīng)使3(x)|盡量小,插值點(diǎn)的三個節(jié)點(diǎn)滿足上述要求.即取節(jié)點(diǎn)0.5,0.6,0.7最好,實(shí)際計最靠近算結(jié)果8、sinx區(qū)間0.4,0.

23、8的函數(shù)表xii0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值,如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小并求該近似值.Sin0.63891為0.596274,且Sin0.63891-0.596274一1<-(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)3!_4<0.5503210P2(x)CCL一,、一x9、取節(jié)點(diǎn)xo=0,xi=0.5,x2=1,求函數(shù)f(x)=e在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式并估計誤差.P山)=e-0(x-0.5)(x-1).e.5(x-0)

24、(x-D解：(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)二(x-0)(x-0.5)e(1-0)(1-0.5)=2(x-0.5)(x-1)-4e.5x(x-1)2e,x(x-0.5)f(x)=e",f(x)=-e：M3=max|f(x)|=1Vx-0,1|R2(x)|=|e"-P2(x)|<l|x(x-0.5)(x-1)|故截斷誤差3!.10、f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(x)及f(1,5)的近似值,取五位小數(shù).(x-1)(x-2)°(x1)(x-2)/(x1)(x-1)L2(x)=23-4解：(-1-1)(-

25、1-2)(11)(1-2)(21)(2-1)234=-(x-1)(x-2)-(x1)(x-2)-(x1)(x-1)323.1f(1.5)：L2(1.5)=0.041672411、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn),用插值法計算布5的近似值,并利用余項(xiàng)估計誤差.115用Newton插值方法：差分表：100011211441210.047619010.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f'''x=-X8f'''

26、信.一一115-100(115-121(115-1443134-x0123f(x)139276812、(10分)以下函數(shù)表:(1)寫出相應(yīng)的三次Lagrange插值多項(xiàng)式；(2)作均差表,寫出相應(yīng)的三次Newton插值多項(xiàng)式,并計算95)的近似值.一-1002156290.00163解：(1)L3(x)=(x1)(x2)(x-3)(x-0)(x-2)(x-3)(x-0)(x-1)(x-3)(x-0)(x-1)(x-2)(0-1)(0-2)(0-3)(1-0)(1-2)(1-3)(2-0)(2-1)(2-3)(3-0)(3-1)(3-2)4328x-2x-x133011 322 9624均差表：

27、32718634N3(x)=12x2x(x-1)-x(x-1)(x-2)f(1.5)N3(1.5)=513、y=f(x)的數(shù)據(jù)如下x023f(x)132求二次插值多項(xiàng)式P式')及f(2.5)/、227d=-X+-X+1解：.27/(25)«-X(2.5)2+-X2.5+1=2.6667(1)試求了在上的次Hermite插值多項(xiàng)式H(x)使?jié)M足H%)=3)門=0,12口(工)=/熾%(x)以升哥形式給出.(2)寫出余項(xiàng)R=儂-口(幻的表達(dá)式143363nl2331解(1)o9一)6產(chǎn)8w2254504502519-2氏二&4116第四章數(shù)值積分、填空題221、求(xdx

28、,利用梯形公式的計算結(jié)果為2.5,利用辛卜生公式的計算結(jié)果為2.333.2.n次插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度.次代數(shù)精度,如果n為偶數(shù),那么有n+13 .梯形公式具有1次代數(shù)精度,Simpson公式有3次代數(shù)精度.4 .插值型求積公式ZAkf(xkf(x)的求積系數(shù)之和k=0b-a一xdx5、計算積分,0.5,取4位有效數(shù)字.用梯形公式計算求得的近似值為0.4268,用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309,梯形公式的代數(shù)精度為3.1,辛卜生公式的代數(shù)精度為6、f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求5f(x)dx汽''"(12).7、設(shè)

29、f(1)=1,f(2)=2,f(3)=0,用三點(diǎn)式求f'(1)&(2.5).8、假設(shè)用復(fù)化梯形公式計算個求積節(jié)點(diǎn).1exdx_6°,要求誤差不超過10,利用余項(xiàng)公式估計,至少用47712f(x)dx-f(-1)8f(0)f9、數(shù)值積分公式9'的代數(shù)精度為210、f=1.0,f(2)=1.2,f(3)=3,那么用辛普生(辛卜生)公式計算求得,用三點(diǎn)式求得答案：2.367,0.2510、數(shù)值微分中,等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值那么由三點(diǎn)的求導(dǎo)公式,有11、對于n+1個節(jié)點(diǎn)的插值求積公式NA/dx6£44壯)至少具有n次代數(shù)精度.ai-0二、單項(xiàng)選擇題：1、等距二點(diǎn)求

30、導(dǎo)公式f'(x1)以A).f(x1)-f(x.)(A)x-x0f(x0)f(x)f(x1)-f(x0)(C)(D)xx0b_/f(x)dx:(b-a)xG()f(xi)2、在牛頓-柯特斯求積公式:行中,當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時,公式的穩(wěn)定性不能保證,所以實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)(A)時的牛頓-柯特斯求積公式不使用.(A)n>8,(B)n之7,(C)n>10,(D)n之6,三、問做題1 .什么是求積公式的代數(shù)精確度如何利用代數(shù)精確度的概念去確定求積公式中的待定參數(shù)答：一個求積公式Ja總?cè)绻?dāng)/儂)為任意m次多項(xiàng)式時,求積公式精確成立,而當(dāng)為次數(shù)大于m次多項(xiàng)式時,它不精確成立,那么稱此求積公式

31、具有m次代數(shù)精確度.根據(jù)定義只要令儂=0,1,琳)代入求積公式兩端,公式成立,得含待定參數(shù)的m+1個方程的方程組,這里m+1為待定參數(shù)個數(shù),解此方程組那么為所求.四、計算題1、確定以下求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精確度盡量高,并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度.廠二：1y二1一二L丁二解：此題直接利用求積公式精確度定義,那么可突出求積公式的參數(shù).令/(1)=代入公式兩端并使其相等,得A+S+C=l1,1n21工i=一,<=一tE=一,C*=一解此方程組得2636,于是有£/««l/(o)+|/(1)+A/(i)再令卜怎,泊,t5tV,1寸故求積公式具有3次代

32、數(shù)精確度./(x)dzA./(h)+月J(U)-rAif(h)(2) A解答(1)求積公式中含有三個待定參數(shù),即At,4,】將=1,八"分別代人求積公式,并令其左右相等,得A7+4+Ai=2人4h(A-lA)=0氣工-4)=9解得A-=4=；兒人=鉉/*所求公式至少具有兩次代數(shù)精確度,又由于爐此=ft)3+J-a33-#(-h)*+前*J-833故/“一人)+*0)+年/3)具有三次代數(shù)精J-AJ3確度,口住切+WS)解：令/(幻二L%/代入公式精確成立,得A+B=i2h2十原；=-h1- 3.勺=-ktB=-krA=-h解得322,得求積公式二丁源知*(-&)+37?初N5

33、、3.=#七工(一近)3+3(1方力=-9/對,故求積公式具有2次代數(shù)精確度.1,2.求積公式J0f(x)dx0A(f)1A4f)舊出知戌余項(xiàng)表達(dá)式為R(f)=kf'''(U),Xw(o,l),試確定系數(shù)Ao,Ai,Bo,使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度,并給出代數(shù)精度的次數(shù)及求積公式余項(xiàng).解：此題雖然用到了f(0)的值,仍用代數(shù)精度定義確定參數(shù)A.=4«A1=4,那么有3、B0=得右端=J,兩端不相等,故A0,A1,B0.令f(x)=1,x,x2,分別代入求積公式,令公式兩端相f(x)=1,A.Ai=1等,那么得?f(x)=x,A1+B0=g,求得、f(x

34、)=x2,A1=!01f(x)dx=1f(0)；f(1)；f'(0)1再令f(x)=x3,此時J°x3dx=4,而上式它的代數(shù)精度為2次.為求余項(xiàng)可將f(x)=x3代入求積公式10f(x)dx=雜(0)1f(1)ff(0)kf(),(0,1)327.當(dāng)f(x)=x3,f(x)=3x2,f(x)=6x,f(x)=6,1c代入上式得=fx3dx=；+6.即卜=-/,0所以余項(xiàng)R(f)二一71rf'''(),(0,1)sinx3、根據(jù)下面給出的函數(shù)f(x)=的數(shù)據(jù)表,分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛甫生公式xxk0.0000.1250.2500.3750.500f

35、(xk)10.997397840.989615840.976726750.95885108xk0.6250.7500.8751.000f(xk)0.936155630.908851680.877192570.84147098計算I=1sinx,dx0x1解用復(fù)合梯形公式,這里n=8,h=1=0.125,81sinx0.125dxf(0)2f(0.125)f(0.25)0x2f(0.375)f(0.5)f(0.625)f(0.75)f(0.875)f1=0.945690861用復(fù)合羊甫生公式：這里n=4,h=0.25.可得4-IOsinx0.25dxf(0)4f(0.125)f(0.375)x6

36、f(0.625)f(0.875)2f(0.25)f(0.5)f(0.75)f(1)=0.946083305111f(x)dx:Af(-1)f(1)Bf()f()4、求A、B使求積公式-22的代數(shù)精度盡量高并求其代數(shù)精度；利用此公式求21I=-dx"x保存四位小數(shù).2答案：fx=1x,x是精確成立,即2A2B=2i2A+權(quán)=3彳尸/=8求積公式為,1,8,1,1,小心飛1-1)f9f(Wf92134當(dāng)fx=x時,公式顯然精確成立；當(dāng)fx=x時,左=5,右=3.所以代數(shù)精度為3.1t=2xJ3dx=x1111dtt39-131811-139-1/23123970.692861405、n=

37、3,用復(fù)合梯形公式求1xedx0的近似值取四位小數(shù),并求誤差估計.1x1-001323.1nedx：T3e2(ee)e：1.7342解：023f(x)=ex,f"(x)=ex,0MxW1時,|f"(x)fe|R|=|ex-T3|三e1232e108=0.025三0.05至少有兩位有效數(shù)字.6、15分用n=8的復(fù)化梯形公式或復(fù)化Simpson公式計算,1e*dx-0時,試用余項(xiàng)估計其誤差.用n=8的復(fù)化梯形公式或復(fù)化Simpson公式計算出該積分的近似值.引門=解：b-a12c.11c1h2f(n)<xxe0=一=0.0013021282768h7T(8)=-f(a)2

38、-f(xk)f(b)2k11=12(0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207)0.36787947=0.63294347、10分?jǐn)?shù)值積分公式為:h-h2jj九,使其代mX33f+f(hhf-f(h),試確定積分公式中的參數(shù)數(shù)精確度盡量高,并指出其代數(shù)精確度的次數(shù).解：fx=1顯然精確成立；f(x)f(x)f(x)所以,f(x)2=x時,3=x時,4=x時,二x時,h2xdxh3xdxh4.0xdxhxdx0h34h55其代數(shù)精確度為3.h22h20hh1-122_2_=-0hh0-2h=h_312_2二/hv0-3h二h

39、0h4h20-4h3212h5.1sinxI二8、10分用復(fù)化Simpson公式計算積分0xdx的近似值,要求誤差限為0.5父10.-1一、1S1=-f0+4fi+f1=0.946145886、<2J.S2=1、1)一f(0)+4f-+2f12=0.94608693I-S21R515_5S2-Si=0.393m10I:S2=0.94608693或利用余項(xiàng):f(4)x572!94!f(4)<r2=1-3!4工5!7!f(4)(x£28805n4-0.510*89!9、(9分)數(shù)值求積公式33f(x)dx,一ff(2),02是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)精度是多少?p(x)

40、=解：是.由于f(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為33p(x)dx=f(1)f(2)“2.其代數(shù)精度為1.x-21-2f(1)2-1f(2)2dx12x20.510、(10分)取5個等距節(jié)點(diǎn),分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計算積分的近似值(保存4位小數(shù)).解：5個點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值""二xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111(2分)(1)復(fù)化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5):12(0.6666670.3333330.181818)0.111111=0.868687(2)復(fù)化梯形公式(n=2,h=2/2=1):

41、-1S2=-14(0.6666670.181818)20.3333330.1111116=0.86195311、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式,并求出其代數(shù)精度:0xfxdx:A0f2Af1取f(x)=1,x,令公式準(zhǔn)確成立,得:11.1.1.1A.'Ai=A0'Ai=A0=A二一2,233,6f(x)=x2時,公式左右=1/4;f(x)=x3時,公式左=1/5,公式右=5/24公式的代數(shù)精度=212、證實(shí)定積分近似計算的拋物線公式金baari+Z?£+4八一)+,具有三次代數(shù)精度證實(shí)：當(dāng)或=1時,公式左邊：'I一公式右邊:-1+4+1=b-a占

42、左邊=右邊Ixdx=左邊：J:.b2-a22右邊:胃/43+占卜史wib22左邊=右邊一叱生3面+4叱,田卜左邊：及23右邊：占23左邊=右邊當(dāng)了33時r,a,&4-厘4&-口r3,dfn+匕匕4一4*xdx=-a+4'+6=左邊：4右邊：上2A左邊=右邊當(dāng)If酎4-4+B*=L_Z£_口4+4.鋁+船3+4a守十5"右邊：,故JS具有三次代數(shù)精度13、試確定常數(shù)A,B,C和巴使得數(shù)值積分公式：/打血陽4/f+90+仃有盡可能高的代數(shù)精度.試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少它是否為Gauss型的?人廣10°16x/12解9'9&#

43、39;-15,該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度,第五章常微分方程、填空題1、求解一階常微分方程初值問題y'=fx,y,yX0=y0的改良的歐拉公式為'y"=yn+hf(Xn,yn)h0、,Yn1=Yn2【f(Xn,Yn)f(Xn1,Yn1)2、解初值問題工y=fx,y1yxj=y0的改良?xì)W拉法yn?=yn+hf(Xn,yn)h一一.一.0yn1=ynf(Xn,yn)共.11)I2是2階方法.r1-/3、解初始值問題1/=丁.近似解的梯形公式是h必+/氏狂乂如的梯形格式4、解常微分方程初值問題了=/冗,了說二先是二階方法二、計算題dy2XXy1.用改良?xì)W拉方法計算初值問

44、題<dXy0<x<1,取步長h=0.1計算到v,.y(0)=0*yn+=yn+hf(Xn,丫口)解：改良的歐拉公式,hyn噌=yn+二f(Xn,yn)+f(Xn書,¥n書)L.2代入f(x,y)=x2+x-y,且xn=nh,有h22,2yn1=ynxnxnynxn1xn1ynh(xnxnyn)2=yn+0.05M(1.9x：+2.1Xn-1.9yn+0.11)(n=Q.1,2,3,4)xn0.10.20.30.40.5yn0.005500.021930.050150.090940.145002,用梯形法解初值問題1/二工二°取步長h=0.1,計算到x=0.

45、5,并與準(zhǔn)確解y=一e*-x+1相比擬解：用梯形法求解公式,得=+0.05x+x,-+了21+/+-Tx+1)解得乂+1=乂+005雙2汗；+22勺一居+01)/1一053=0,123,4精確解為,'''''；-X.O.10.20,30.40.5改良Eulerr法0.005500.021930.050150.090940.14500梯形法0.005240.021410.049370.089910.14373精踴解y&.)0.005160.021270.049180.089680.14347一.,v=x+v,0<x<1一,一,一3.用改

46、良的Euler法解初值問題«yy'取步長h=0.1計算y(0.5),并與精y0=1,確解y=x-1+2ex相比擬.(計算結(jié)果保存到小數(shù)點(diǎn)后4位)解：改良的尤拉公式為：yn+=y0+hf(Xn,、)"h(t(一Xyn+=yn+f(xn,yn)+f.x#yn+工21、,l/代入f(x,y)=x+y和xn=nh,有yn1=yn212h22hynh1ih2+2h+2xh.2x、h2=yn+(nh+2nh)+I2-22代入數(shù)據(jù),計算結(jié)果如下:n012345xn00.10.20.30.40.5yn11.11001.24211.39851.58181.7949y(xn)11.11

47、031.24281.39971.58361.79744.設(shè)初值問題y=x2+100y,y(0)=0,a由Euler方法、取步長h=0.1寫出表示上述初值問題數(shù)值解的公式；b由改良Euler方法、取步長h=0.1寫出上述初值問題數(shù)值解的公式.解：a根據(jù)Euler公式：yn書=yn+hfxn,yn2yn1=ynhfXn100yn2yn4=11yn+0.001n3分yn1"ynhfXn,ynb根據(jù)改良Euler公式：?h5分Jyn1-yn'-fXn,ynfxn11yn1h22,一yn1-yn-Xn100丫口Xn1100%1h222=ynXn100ynXn1100ynhXn100yn

48、h2=yn-1200yn12X20.20.012=61yn0.006n20.001n0.0005r'5.設(shè)初值問題F=X-yX>0,y0=1a寫出由Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；b寫出由改良Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式.解：a根據(jù)Euler公式：yn1=ynhfXn,ynyn1=ynn0.1Xn-yn=0.9yn-0.1Xnyn1"ynhfXn,ynb根據(jù)改良Euler公式：?hyn1-yn-fXn,ynfX.1,%1xnxnh-2h-2-ynyn一一-1%h=yn-Xn-Yn4h-丫口-h%h%h2-2h22

49、h-h2h2=0.905yn0.095Xn0.0056、用歐拉方法求xt2y(x)=0e-dt在點(diǎn)x=0.5,1.1.5,2.0處的近似值.-y(x)=解：八,e20dt等價于y=eJ=0記f(x,y)(_x2=ex0),取h=0.5,x.=0,x1=0.5,x2=1.0,x3-1.5,x4=2.0那么由歐拉公式y(tǒng)n41=yn+M(xn,yn)J0=0=0,1,2,3可得y(0.5)：y1=0.5,y(1.0)=y2:0.88940y(1.5)：y3=1.07334,y(2.0)=斗：1.126047、取步長h=0.2,用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題V'=2x+3yJ(0)=1(0

50、三x<1)答案：解:3%=yn+0.2父(2%+3yn)yn1f0.1(2xn3yn)(2xn13yn0)1)n012345xn00.20.40.60.81.0yn11.825.879610.713719.422435.0279yn1=0.52xn1.78yn0.04dy=f(x,y)dxy(x0)=y(c-x-d)8、10分求參數(shù)a,b使得計算初值問題的二步數(shù)值方法yn1=ynnaf(x,y)bfnx,ny)的階數(shù)盡量高,并給出局部截斷誤差的主項(xiàng).(xn)O(h4)h2h3足y(xn1)=y(xn)hy(xn)y(xn)y2!3!yn1=y(xn)h(ay(xn)by(xn4)h24=y(Xn)ahy(Xn)bh(y(Xn)-hy()5y()O(h4)9bh3-y(Xn)(ab)hy(Xn)-bhy(Xn)hyg)O(h)ab=113K1-b=-a=,b=-一bh3y(Xn)O(h4)=O(h3)所以當(dāng)2,即22時,乂,yn1-y(Xn1)二局部截斷誤差為,、h3,、eyn1-y(Xn1)=-y(Xn)局部截斷誤差的主項(xiàng)為4,該方法為二階方法.'9、(15分)取步長h=0.1,求解初值問題1yy1用改良的歐拉法求解：改良的歐拉法:y0=1y：2=yn+hf(Xn,yn)=0.9yn+0.1h(0)_yn1=yn21f(Xn,yn)f(Xn1,yn1)=0.9