函數(shù)極限的概念07027PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念07027一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及nz滿(mǎn)足下列條件滿(mǎn)足下列條件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1頁(yè)/共22頁(yè),1 ayNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, ayan即即, azan恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , azxyannn,成立成立

2、即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限第2頁(yè)/共22頁(yè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xUx ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí), ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .)(xhy )(xfy )(xgy A A0 x 0 x 0 x）（）（1 2 A第3頁(yè)/共22頁(yè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 和準(zhǔn)則和準(zhǔn)則 稱(chēng)為稱(chēng)為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.注意注意: :.,).1(的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與

3、與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy時(shí)的情形也成立時(shí)的情形也成立此準(zhǔn)則對(duì)于此準(zhǔn)則對(duì)于 x).2()()()(xhxfxg 夾逼定理示意圖夾逼定理示意圖A第4頁(yè)/共22頁(yè)例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第5頁(yè)/共22頁(yè)2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxx

4、x單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 幾何解釋幾何解釋:x1x2x3xnx1 nxMA第6頁(yè)/共22頁(yè)例例2 2.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx第7頁(yè)/共22頁(yè)第8頁(yè)/共22頁(yè)二、兩個(gè)重要極限

5、二、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx首先注意到首先注意到都有定義都有定義對(duì)一切對(duì)一切函數(shù)函數(shù)0sin xxx設(shè)法構(gòu)造一個(gè)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)“夾逼不等式夾逼不等式”，使函數(shù)，使函數(shù)xxsin在在x=0的某去心鄰域內(nèi)置于具有同一極限值的兩個(gè)的某去心鄰域內(nèi)置于具有同一極限值的兩個(gè)函數(shù)函數(shù) g(x), h(x) 之間，以便應(yīng)用之間，以便應(yīng)用準(zhǔn)則準(zhǔn)則第9頁(yè)/共22頁(yè)作如圖所示的單位圓作如圖所示的單位圓AC)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形

6、,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x第10頁(yè)/共22頁(yè)xxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注注此結(jié)論可推廣到此結(jié)論可推廣到1)()(sinlim xxax 有限值，也可為有限值，也可為可為可為，其中，其中時(shí)時(shí)條件是條件是axax0)(, 第11頁(yè)/共22頁(yè)例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原

7、式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例4 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原式原式第12頁(yè)/共22頁(yè) xxxxxxcos1cos1sinlim2011211 例例5 求求xxx 2coslim2 解解xt 2 令令02tx時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng) 于是于是xxx 2coslim2 ttt)2cos(lim0 1sinlim0 ttt第13頁(yè)/共22頁(yè)(2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1

8、()1( ).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 第14頁(yè)/共22頁(yè)類(lèi)似地類(lèi)似地,).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e第15頁(yè)/共22頁(yè),1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxx

9、xxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 第16頁(yè)/共22頁(yè), xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim此結(jié)論可推廣到此結(jié)論可推廣到 exxax )(1)(1lim 有限值，也可為有限值，也可為可為可為，其中，其中時(shí)時(shí)條件是條件是axax0)(, 注注特別有特別有第17頁(yè)/共22頁(yè)ettt 10)1(limezzz 10)1(lim例例6 6.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx原式原式xxx )11(1lim.1e 一般地一般地kxxexk 1lim例例7 求求xxxx 11lim第18頁(yè)/共22頁(yè)解一解一)121()121(lim221 xxxx原式原式2e 解二解二xxxxx)11()11(lim 原式原式21eee 第19頁(yè)/共22頁(yè)三、小結(jié)三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限,為某過(guò)程中