大學課件 線性代數(shù) 行列式的定義

1、第一章第一章 行列式行列式一一n階行列式階行列式n n定義定義1:個數(shù)排成n行n列并記為如下形式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa稱其為n階行列式（階行列式（determinant)。D 通常用大寫字母D來表示行列式。第一節(jié)第一節(jié) 行列式的概念行列式的概念111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa稱數(shù)為行列式D的位于第i行第j列的元素元素ija 稱為行列式的 第第i 行；行； 12(,)iiiinraaa12(,)iiiinraaa2r 為行列式的第第j 列列 njjjjaaac 21n階行列式階行列式111312121D例例23a312a2(2,1, 3)3

2、c 131主對角線主對角線副對角線副對角線定義定義2:所在的第i行和第j列劃去后，把ija為留下的n-1階行列式,稱為ija的余子式的余子式, 記為.ijM記稱( 1)ijijijAM 的代數(shù)余子式代數(shù)余子式.對于行列式來說，最為重要的是它代表一個數(shù)，這個ijAija注：注：2 行列式的余子式階比原行列式小1.3 注意余子式與代數(shù)余子式的區(qū)別與聯(lián)系。為此需要引入余子式余子式、代數(shù)余子式代數(shù)余子式的概念。數(shù)稱為行列式的值，行列式的值，1對行列式我們主問題就是求其值，行列式代表數(shù)（行列式的值）行列式的值）怎樣規(guī)定兩個行列式相等指它們的值等；111312121D例例12M231133M122112A

3、 1 2121M2311 33A 3 3331M1221二二 行列式的值行列式的值定義定義3行列式按如下方式定義的數(shù)稱為11122122aaDaa11221221a aa a111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1111121211nna Aa Aa A即第一行的元素與對于的代數(shù)余子式值的乘積再求和。（Vandermonde）行列式的值行列式的值。111312121D例例11 111求行列式的值。11A 311 13 212A 121231123 513A 1312111213 故111112121313Da Aa Aa A1 225 1 35 例例2 主對角線以上的元素全是零

4、的行列式稱為下三角行列式下三角行列式求其值。11212212000nnnnnaaaDaaa2232331123000nnnnaaaAaaa解1111121211nnnDa Aa Aa A111112100na AAA 1111a A其中1n為方便記號記11A為1nD111na D11212212000nnnnnnaaaDaaa223233123000nnnnnaaaDaaa其中111nnDa D1nD111112121111nna Aa AaA2211121100na AAA 2211a A而設1ia與1iA第1行第i1nD分別是列的元素和代數(shù)余子式。則331 1113201nnnnaAaa

5、2nD111nnDa D11222na a D1122nna aa1021020200410001D例例 計算下三角行列式的值等于主對角線元素乘積下三角行列式的值等于主對角線元素乘積81241計算行列式的值是行列式最重要的課題之一。計算行列式的值是行列式最重要的課題之一。三三 行列式的值的一個等價定義行列式的值的一個等價定義111213212223313233aaaaaaaaa22231 1113233( 1)aaaaa21221 3133132( 1)aaaaa21231 2123133( 1)aaaaa1122 3323 32()a a aa a1221 3323 31()a a aa a

6、1321 3222 31()a a aa a11 22 3311 23 3212 23 3112 21 3313 21 3213 22 31a a aa a aa a aa a aa a aa a a三階行列式的值是取自不同行不同列的元素（3個）作作積積后， 這樣的積共3！個（因有3！取法）然后作加或減。加或減。三階行列式的值其中每一條實線上的三個元素的乘積帶正號,每一條虛線上的三個元素的乘積帶負號,所得六項的代數(shù)和就是三階行列式的展開式.112233122331132132a a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa112332122133132231

7、a a aa a aa a a111212122212nnnnnnaaaaaaaaa一般的1111121211nna Aa Aa A取自不同行不同列的元素（n個）作作依次展開其結(jié)果是：積積后，這樣的積共n ！個（因有n ！取法）然后作加或減。加或減。問題是什么時候加或減加或減？需要以下概念。1排列與逆序數(shù)排列與逆序數(shù)通常把1, 2, ,n組成的一個有序數(shù)組稱為一個排列排列，每一個數(shù)在排列中僅出現(xiàn)一次.在一個排列中，如果有一對數(shù)的前后位置是大數(shù)排在小數(shù)之前，則稱這一對數(shù)構(gòu)成一個逆序逆序,總數(shù)，稱為該排列的逆序數(shù)逆序數(shù)， 記為)(21njjj逆序數(shù)為奇的排列稱為奇排列奇排列， 逆序數(shù)為偶的排列稱為

8、偶排列偶排列一個排列中逆序的2 逆序數(shù)的性質(zhì)逆序數(shù)的性質(zhì) 定理定理: 交換一個排列中的兩個數(shù)，稱為一個對換對換，對換改變排列逆序數(shù)的奇偶性.定理定理1 1 用則n階行列式可以表示為3 行列式的等價定義行列式的等價定義njjj21表示對1,2,，n所組成的所有排列求和，111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jja aa 例例2 用定理計算用定理計算下三角行列式下三角行列式nnnnaaaaaa212221110及對角行及對角行列式112200aa例例3 設有階行列式241321252543124xxxxxxxD問該行列式的展開式是幾次多項式，并求最高冪的系數(shù) 注注111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jja aa1 21 21 12 21 2()()( 1)nnn nniiij jji ji ji jj jja aa1 2niii1 2nj jj 其中 與 均是1,2,n 排列。 例例23 143241