大學(xué)課件 線性代數(shù) 行列式的定義

1、第一章第一章 行列式行列式一一n階行列式階行列式n n定義定義1:個(gè)數(shù)排成n行n列并記為如下形式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa稱其為n階行列式（階行列式（determinant)。D 通常用大寫字母D來表示行列式。第一節(jié)第一節(jié) 行列式的概念行列式的概念111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa稱數(shù)為行列式D的位于第i行第j列的元素元素ija 稱為行列式的 第第i 行；行； 12(,)iiiinraaa12(,)iiiinraaa2r 為行列式的第第j 列列 njjjjaaac 21n階行列式階行列式111312121D例例23a312a2(2,1, 3)3

2、c 131主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線定義定義2:所在的第i行和第j列劃去后，把ija為留下的n-1階行列式,稱為ija的余子式的余子式, 記為.ijM記稱( 1)ijijijAM 的代數(shù)余子式代數(shù)余子式.對(duì)于行列式來說，最為重要的是它代表一個(gè)數(shù)，這個(gè)ijAija注：注：2 行列式的余子式階比原行列式小1.3 注意余子式與代數(shù)余子式的區(qū)別與聯(lián)系。為此需要引入余子式余子式、代數(shù)余子式代數(shù)余子式的概念。數(shù)稱為行列式的值，行列式的值，1對(duì)行列式我們主問題就是求其值，行列式代表數(shù)（行列式的值）行列式的值）怎樣規(guī)定兩個(gè)行列式相等指它們的值等；111312121D例例12M231133M122112A

3、 1 2121M2311 33A 3 3331M1221二二 行列式的值行列式的值定義定義3行列式按如下方式定義的數(shù)稱為11122122aaDaa11221221a aa a111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1111121211nna Aa Aa A即第一行的元素與對(duì)于的代數(shù)余子式值的乘積再求和。（Vandermonde）行列式的值行列式的值。111312121D例例11 111求行列式的值。11A 311 13 212A 121231123 513A 1312111213 故111112121313Da Aa Aa A1 225 1 35 例例2 主對(duì)角線以上的元素全是零

4、的行列式稱為下三角行列式下三角行列式求其值。11212212000nnnnnaaaDaaa2232331123000nnnnaaaAaaa解1111121211nnnDa Aa Aa A111112100na AAA 1111a A其中1n為方便記號(hào)記11A為1nD111na D11212212000nnnnnnaaaDaaa223233123000nnnnnaaaDaaa其中111nnDa D1nD111112121111nna Aa AaA2211121100na AAA 2211a A而設(shè)1ia與1iA第1行第i1nD分別是列的元素和代數(shù)余子式。則331 1113201nnnnaAaa

5、2nD111nnDa D11222na a D1122nna aa1021020200410001D例例 計(jì)算下三角行列式的值等于主對(duì)角線元素乘積下三角行列式的值等于主對(duì)角線元素乘積81241計(jì)算行列式的值是行列式最重要的課題之一。計(jì)算行列式的值是行列式最重要的課題之一。三三 行列式的值的一個(gè)等價(jià)定義行列式的值的一個(gè)等價(jià)定義111213212223313233aaaaaaaaa22231 1113233( 1)aaaaa21221 3133132( 1)aaaaa21231 2123133( 1)aaaaa1122 3323 32()a a aa a1221 3323 31()a a aa a

6、1321 3222 31()a a aa a11 22 3311 23 3212 23 3112 21 3313 21 3213 22 31a a aa a aa a aa a aa a aa a a三階行列式的值是取自不同行不同列的元素（3個(gè)）作作積積后， 這樣的積共3！個(gè)（因有3！取法）然后作加或減。加或減。三階行列式的值其中每一條實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積帶正號(hào),每一條虛線上的三個(gè)元素的乘積帶負(fù)號(hào),所得六項(xiàng)的代數(shù)和就是三階行列式的展開式.112233122331132132a a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa112332122133132231

7、a a aa a aa a a111212122212nnnnnnaaaaaaaaa一般的1111121211nna Aa Aa A取自不同行不同列的元素（n個(gè)）作作依次展開其結(jié)果是：積積后，這樣的積共n ！個(gè)（因有n ！取法）然后作加或減。加或減。問題是什么時(shí)候加或減加或減？需要以下概念。1排列與逆序數(shù)排列與逆序數(shù)通常把1, 2, ,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)排列排列，每一個(gè)數(shù)在排列中僅出現(xiàn)一次.在一個(gè)排列中，如果有一對(duì)數(shù)的前后位置是大數(shù)排在小數(shù)之前，則稱這一對(duì)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序逆序,總數(shù)，稱為該排列的逆序數(shù)逆序數(shù)， 記為)(21njjj逆序數(shù)為奇的排列稱為奇排列奇排列， 逆序數(shù)為偶的排列稱為

8、偶排列偶排列一個(gè)排列中逆序的2 逆序數(shù)的性質(zhì)逆序數(shù)的性質(zhì) 定理定理: 交換一個(gè)排列中的兩個(gè)數(shù)，稱為一個(gè)對(duì)換對(duì)換，對(duì)換改變排列逆序數(shù)的奇偶性.定理定理1 1 用則n階行列式可以表示為3 行列式的等價(jià)定義行列式的等價(jià)定義njjj21表示對(duì)1,2,，n所組成的所有排列求和，111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jja aa 例例2 用定理計(jì)算用定理計(jì)算下三角行列式下三角行列式nnnnaaaaaa212221110及對(duì)角行及對(duì)角行列式112200aa例例3 設(shè)有階行列式241321252543124xxxxxxxD問該行列式的展開式是幾次多項(xiàng)式，并求最高冪的系數(shù) 注注111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jja aa1 21 21 12 21 2()()( 1)nnn nniiij jji ji ji jj jja aa1 2niii1 2nj jj 其中 與 均是1,2,n 排列。 例例23 143241