第十一章彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算(上)

1、1概論軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)截面應(yīng)力情況我們已經(jīng)可解，那么彎曲的截面應(yīng)力具體是怎么樣的呢？2概論為了對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，還需要進(jìn)一步研究橫截面上的應(yīng)力。由于剪力Q與截面相切，正應(yīng)力與截面垂直，所以，剪力Q只產(chǎn)生切應(yīng)力。又由于切應(yīng)力都通過截面的軸線，所以切應(yīng)力與彎矩?zé)o關(guān)，換句話說，彎矩只產(chǎn)生正應(yīng)力。3第一節(jié) 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力如圖，只有彎曲變形（彎矩），沒有剪切變形（剪力）的變形形式，稱為純彎曲（圖中的l部分）；既有彎曲變形（彎矩），又有剪切變形（剪力）的變形形式，稱為剪切彎曲（圖中的a部分）4梁橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律實(shí)驗(yàn)觀察與平面假設(shè)橫向線m-m和n-n仍為直線且與縱向線正交，僅相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)

2、微小角度?？v向線a-a和b-b彎成了曲線，且a-a線縮短，而b-b線伸長(zhǎng)。即下部受拉伸長(zhǎng)，上部受壓縮短，各縱向纖維無擠壓。原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，并垂直于變形后的軸線，只是繞橫截面內(nèi)某一軸線旋一個(gè)角度。即滿足平面假設(shè)。5梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律中性軸上的線應(yīng)變?yōu)榱?，所以其正?yīng)力亦為零。距中性軸距離相等的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。根據(jù)胡克定律，它們的正應(yīng)力也必相等。在圖示的受力情況下，中性軸上部各點(diǎn)正應(yīng)力為壓應(yīng)力(即負(fù)值)，中性軸下部各正應(yīng)力為拉應(yīng)力(即正值)。彎曲變形時(shí)，橫截面上中性軸上下部分，正應(yīng)力方向相反。6二、正應(yīng)力公式推導(dǎo)1. 變形幾何條件未變形時(shí)，矩形梁段長(zhǎng)度都為dx

3、，彎曲之后中性層所在的纖維長(zhǎng)度不變，在距離中性層y 處的纖維長(zhǎng)度變?yōu)槟敲?，y處的纖維增長(zhǎng)量為由應(yīng)變的定義是增長(zhǎng)量/原長(zhǎng)，故所以，梁橫截面上任意一點(diǎn)處的線應(yīng)變與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。+yd（）+yd - d =yd （）ydyd 72. 物理?xiàng)l件 將胡克定律 代入 ，可得這表明，梁橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比，即正應(yīng)力沿截面高度按線性分布。中性軸處正應(yīng)力為0，離中性軸最遠(yuǎn)處正應(yīng)力最大。注意，此時(shí)公式中的中性軸位置（間接影響y的取值）和曲率半徑還未給出，所以下一步考慮靜力學(xué)條件。yEEy83. 靜力學(xué)條件 選取一個(gè)截面作分析，建立坐標(biāo)軸y-z，取微面積dA，則該微面積上

4、的力為 ，方向如圖。由于彎曲沒有軸力，故所有微面積的合力應(yīng)為0，即將前文的 代入上式，有故應(yīng)有 ，該式就是靜矩的表達(dá)式，而且只有對(duì)于，才有靜矩等于0。所以，中性軸必過形心，由此中性軸的位置可以確定。 dA0NdAEy0yENdAEdAydA0ydA 9該微面積上的力與對(duì)稱位置的力可以構(gòu)成一個(gè)力偶，所有力偶的合效應(yīng)為 ，將前文的 代入上式，有可以發(fā)現(xiàn)， 就是慣性矩Iz的表達(dá)式，即 通過靜力學(xué)條件，解決了中性軸和曲率半徑的問題。將上式代入前文中的 可得ydAM22EyEMdAy dAEy2y dAz1MEIEyzMyI10對(duì)于該式，建議先判斷應(yīng)力正負(fù)（受拉部分為正，受壓部分為負(fù)），再運(yùn)用上式算出截

5、面上具體應(yīng)力的大小。例11-1 矩形截面簡(jiǎn)支梁，受均布荷載作用，如圖所示。已知：q=10kN/m，bh=200300mm，跨度l=5m。試求跨中截面上A、B、C三點(diǎn)處的正應(yīng)力。zMyI11例11-2 56a工字鋼簡(jiǎn)支梁如圖所示，已知P=150kN，l=10m。試求此梁危險(xiǎn)截面的最大正應(yīng)力 和同一截面上D點(diǎn)處的正應(yīng)力。例11-3 T形截面懸臂梁如圖所示。已知Iz= ，yc=160mm，試求梁上危險(xiǎn)截面的最大拉應(yīng)力和最大壓力應(yīng)力。max448533 10 mm12第二節(jié) 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大正應(yīng)力對(duì)于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險(xiǎn)截面，該截面離中性軸最遠(yuǎn)處的各點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)定義 截面對(duì)中性軸z的抗彎截面系數(shù)，則有zMyImaxmaxmaxzMyIzzmaxWIymaxmaxzWM13正應(yīng)力強(qiáng)度條件（1）抗拉抗壓性能相同的材料，且截面關(guān)于中性軸對(duì)稱（2）抗拉抗壓性能相同的材料，且截面不關(guān)于中性軸對(duì)稱（3）抗拉抗壓性能不同的材料，且截面不關(guān)于中性軸對(duì)稱（通常這類材料為充分發(fā)揮其性能，截面一般不是對(duì)稱的） maxmaxzWM maxmaxmaxzyIMmaxlmaxllzyIMmaxymaxyyzyIM14例11-4 圖示簡(jiǎn)支梁，受均布荷載q=40kN