第十一章彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算(上)

1、1概論軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)截面應(yīng)力情況我們已經(jīng)可解，那么彎曲的截面應(yīng)力具體是怎么樣的呢？2概論為了對梁進(jìn)行強(qiáng)度計算，還需要進(jìn)一步研究橫截面上的應(yīng)力。由于剪力Q與截面相切，正應(yīng)力與截面垂直，所以，剪力Q只產(chǎn)生切應(yīng)力。又由于切應(yīng)力都通過截面的軸線，所以切應(yīng)力與彎矩?zé)o關(guān)，換句話說，彎矩只產(chǎn)生正應(yīng)力。3第一節(jié) 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力如圖，只有彎曲變形（彎矩），沒有剪切變形（剪力）的變形形式，稱為純彎曲（圖中的l部分）；既有彎曲變形（彎矩），又有剪切變形（剪力）的變形形式，稱為剪切彎曲（圖中的a部分）4梁橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律實驗觀察與平面假設(shè)橫向線m-m和n-n仍為直線且與縱向線正交，僅相對轉(zhuǎn)動了一個

2、微小角度。縱向線a-a和b-b彎成了曲線，且a-a線縮短，而b-b線伸長。即下部受拉伸長，上部受壓縮短，各縱向纖維無擠壓。原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，并垂直于變形后的軸線，只是繞橫截面內(nèi)某一軸線旋一個角度。即滿足平面假設(shè)。5梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律中性軸上的線應(yīng)變?yōu)榱?，所以其正?yīng)力亦為零。距中性軸距離相等的各點，其線應(yīng)變相等。根據(jù)胡克定律，它們的正應(yīng)力也必相等。在圖示的受力情況下，中性軸上部各點正應(yīng)力為壓應(yīng)力(即負(fù)值)，中性軸下部各正應(yīng)力為拉應(yīng)力(即正值)。彎曲變形時，橫截面上中性軸上下部分，正應(yīng)力方向相反。6二、正應(yīng)力公式推導(dǎo)1. 變形幾何條件未變形時，矩形梁段長度都為dx

3、，彎曲之后中性層所在的纖維長度不變，在距離中性層y 處的纖維長度變?yōu)槟敲矗瑈處的纖維增長量為由應(yīng)變的定義是增長量/原長，故所以，梁橫截面上任意一點處的線應(yīng)變與該點到中性軸的距離y成正比。+yd（）+yd - d =yd （）ydyd 72. 物理條件 將胡克定律 代入 ，可得這表明，梁橫截面上任一點的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離y成正比，即正應(yīng)力沿截面高度按線性分布。中性軸處正應(yīng)力為0，離中性軸最遠(yuǎn)處正應(yīng)力最大。注意，此時公式中的中性軸位置（間接影響y的取值）和曲率半徑還未給出，所以下一步考慮靜力學(xué)條件。yEEy83. 靜力學(xué)條件 選取一個截面作分析，建立坐標(biāo)軸y-z，取微面積dA，則該微面積上

4、的力為 ，方向如圖。由于彎曲沒有軸力，故所有微面積的合力應(yīng)為0，即將前文的 代入上式，有故應(yīng)有 ，該式就是靜矩的表達(dá)式，而且只有對于，才有靜矩等于0。所以，中性軸必過形心，由此中性軸的位置可以確定。 dA0NdAEy0yENdAEdAydA0ydA 9該微面積上的力與對稱位置的力可以構(gòu)成一個力偶，所有力偶的合效應(yīng)為 ，將前文的 代入上式，有可以發(fā)現(xiàn)， 就是慣性矩Iz的表達(dá)式，即 通過靜力學(xué)條件，解決了中性軸和曲率半徑的問題。將上式代入前文中的 可得ydAM22EyEMdAy dAEy2y dAz1MEIEyzMyI10對于該式，建議先判斷應(yīng)力正負(fù)（受拉部分為正，受壓部分為負(fù)），再運用上式算出截

5、面上具體應(yīng)力的大小。例11-1 矩形截面簡支梁，受均布荷載作用，如圖所示。已知：q=10kN/m，bh=200300mm，跨度l=5m。試求跨中截面上A、B、C三點處的正應(yīng)力。zMyI11例11-2 56a工字鋼簡支梁如圖所示，已知P=150kN，l=10m。試求此梁危險截面的最大正應(yīng)力 和同一截面上D點處的正應(yīng)力。例11-3 T形截面懸臂梁如圖所示。已知Iz= ，yc=160mm，試求梁上危險截面的最大拉應(yīng)力和最大壓力應(yīng)力。max448533 10 mm12第二節(jié) 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大正應(yīng)力對于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險截面，該截面離中性軸最遠(yuǎn)處的各點為危險點定義 截面對中性軸z的抗彎截面系數(shù)，則有zMyImaxmaxmaxzMyIzzmaxWIymaxmaxzWM13正應(yīng)力強(qiáng)度條件（1）抗拉抗壓性能相同的材料，且截面關(guān)于中性軸對稱（2）抗拉抗壓性能相同的材料，且截面不關(guān)于中性軸對稱（3）抗拉抗壓性能不同的材料，且截面不關(guān)于中性軸對稱（通常這類材料為充分發(fā)揮其性能，截面一般不是對稱的） maxmaxzWM maxmaxmaxzyIMmaxlmaxllzyIMmaxymaxyyzyIM14例11-4 圖示簡支梁，受均布荷載q=40kN