理論力學哈工大版課件第二章平面力系

1、Northeastern UniversityPAG 1第二章第二章 平面力系平面力系平面力系：各力都處于同一平面的力系。平面力系的分類平面匯交力系平面力偶系平面平行力系平面任意力系Northeastern UniversityPAG 2第二章第二章 平面力系平面力系4123平面匯交力系平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化5物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題6平面簡單桁架的內力計算平面簡單桁架的內力計算Northeastern UniversityPAG 32-

2、12-1 平面匯交力系平面匯交力系BAC吊車起吊鋼梁 各力的作用線都在同一平面內，且匯交于一點的力系。平面匯交力系:PTAFTBFNortheastern UniversityPAG 4力的合成法則：平行四邊形法則1F3F2RF2F1RFO211FFFR312FFFRR31iiF321FFFO1F3F2F1F3F2F2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系一、平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則Northeastern UniversityPAG 5O力的合成法則：力多邊形法則1F3F2RF2F1F3F2F;211FFFR31321312iiRRFFFFFFF1RF 平面匯交力系合成為一個合力

3、，其大小和方向由力多邊形的封閉邊來表示，其作用線通過各力的匯交點。 A2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系一、平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則Northeastern UniversityPAG 6用幾何法作力多邊形時，應當注意：3、力多邊形中各力應首尾相連，合力的方向是從第一個 力的起點指向最后一個力的終點。2、作力多邊形時，可以任意變換力的次序，雖然得到形 狀不同的力多邊形，但合成的結果并不改變。1、選擇恰當的比例尺，按比例尺畫出各力的大小，并準 確畫出各力的方向。2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系一、平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則Northeastern Univer

4、sityPAG 7已知：F1=F2=100kN，F(xiàn)3=200kN，求三力的合力。1F2F3F1F2F3FORFkN2732-12-1 平面匯交力系平面匯交力系力的合成法則：力多邊形法則 選比例尺，按比例尺畫出各力的大小，并準確畫出各力的方向。30一、平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則Northeastern UniversityPAG 8平面匯交力系平衡的充要條件：該力系的合力為零 力多邊形封閉01niiRFF平面匯交力系平衡的幾何條件：二、平面匯交力系平衡的幾何條件2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系nFRF1F2F3F4FnF1F2F3F4F不平衡平衡Northeastern Uni

5、versityPAG 9幾何法解題步驟：1、選研究對象 根據題意，選取適當的平衡物體作為研究對象，并畫出簡圖。2、畫出受力圖 在研究對象上，畫出它所受的主動力和約束反力。3、作力多邊形 選擇適當的比例尺，做出該力系封閉的力多邊形或力三角形（先畫已知力，再根據封閉特點確定未知）。4、求出未知量 按比例尺確定未知力，或用三角公式計算未知力。2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系Northeastern UniversityPAG 10BACPTBFTAF例例2-1 已知鋼梁的重量已知鋼梁的重量 P = 6kN, ,= 30, ,試試求平穩(wěn)起吊鋼梁求平穩(wěn)起吊鋼梁時，鋼絲繩對鋼梁的約束力多大？時，鋼絲

6、繩對鋼梁的約束力多大？解解: : 取鋼梁為研究對象，畫受力圖取鋼梁為研究對象，畫受力圖 用幾何法按比例畫封閉力四邊形用幾何法按比例畫封閉力四邊形 PTAFTBF 按比例量得按比例量得 kNFFTBTA46. 3或或 由幾何關系列由幾何關系列cos2PFFTBTA2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系Northeastern UniversityPAG 11用幾何法，畫封閉力三角形用幾何法，畫封閉力三角形按比例量得按比例量得45E或或例例2-2 如圖所受如圖所受, ,已知已知AC = CB, ,F = 10kN, ,不計各桿自不計各桿自重重, , 求求鉸鏈鉸鏈A的約束力及的約束力及斜桿斜桿CD對

7、對AB桿的作用力。桿的作用力。DFBAC45解解: :取桿取桿AB為研究對象畫受力圖為研究對象畫受力圖 FBACCFAFFCFAF45FCFAF45kN4 .22;kN3 .28ACFF2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系Northeastern UniversityPAG 1230 arccosRhR2-1 已知碾子的自重已知碾子的自重 P = 20kN, ,半徑半徑R = 0.6m, ,障礙物高度障礙物高度h = 0.08m, ,求當水平拉力求當水平拉力F = 5kN時時, ,碾碾子對地面及障礙物的壓力子對地面及障礙物的壓力；水水平拉力平拉力F 至少多大至少多大才能才能將碾子拉過障礙將碾

8、子拉過障礙物；物；力力F 沿什么方向沿什么方向拉動碾子最省拉動碾子最省力力, ,及及此時力此時力F 多大？多大？解解: : 取碾子為研究對象，畫受力圖取碾子為研究對象，畫受力圖 BFRAPhNBFNAF幾何法幾何法: :按比例畫出自行封閉的力多邊形按比例畫出自行封閉的力多邊形 FPNBF按比例量得按比例量得 kNFkNFNANB10;4 .11NAF或或 由幾何關系列由幾何關系列PFFFFNANBNAcossin【課堂練習【課堂練習】Northeastern UniversityPAG 132-1 已知已知 P = 20kN，R = 0.6m，h = 0.08m，求，求 : 1、水平拉力、水平

9、拉力F=5kN時，碾子對地面及障礙物的壓力？時，碾子對地面及障礙物的壓力？ 2、欲將碾子拉過障礙物，水平拉力、欲將碾子拉過障礙物，水平拉力F至少多大？至少多大？ 3、力、力F沿什么方向拉動碾子最省力，及此時力沿什么方向拉動碾子最省力，及此時力F多大？多大？BFRAPhNBFNAFPFNBFNAF 碾子拉過障礙物，應有碾子拉過障礙物，應有FNB=0 拉動碾子最省力時的力拉動碾子最省力時的力FPFtankN55.11PFsinminkN10FPNAFminF【課堂練習【課堂練習】Northeastern UniversityPAG 14幾何法解題不足： 1、作圖要求精度高；2、按比例尺或用三角公式

10、計算所得結果 精度不夠，誤差較大；3、不能表達各個量之間的函數關系。2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系Northeastern UniversityPAG 15xyOFyFcdabxFji 力在坐標軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向之間夾角的余弦。 cosF),cos(iFFFxcosF),cos(jFFFy大小 方向jFiFFyx22yxFFFFFjFFFiFyx),cos(cos;),cos(cos2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系三、平面匯交力系合成的解析法1、力在坐標軸上的投影 代數量 Northeastern UniversityPAG 16力沿坐標軸的分力jFjFFiF

11、iFFyyxx)cos()cos( 以力與該軸正向所夾銳角計算余弦。 投影的正負號規(guī)定： 由a到b（或由c到d）的方向與坐標軸正向相同則投影為正，反之為負。cos),cos(cos),cos(FjFFFFiFFFyxxyOFyFcdabxFjixFyF2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系三、平面匯交力系合成的解析法1、力在坐標軸上的投影Northeastern UniversityPAG 17ji 合力投影定理:合力在任意軸上的投影,等于各分力在同 一軸上投影的代數和。 ixFiyF2、解析法三、平面匯交力系合成的解析法2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系jFiFRyRxnRFFFF21)

12、()(11jFiFjFiFnynxyxjFFFiFFFnyyynxxx)()(2121合力大小合力方向RiyRRyRRixRRxRFFFFj ,FFFFFi ,F)(cos;)(cos22)()(iyixRFFF22RyRxFFNortheastern UniversityPAG 18x例例2-3 如如圖所示為一平面匯交力系圖所示為一平面匯交力系, ,已知已知F1= 200kN, ,F2= 200kN, , F3= 200kN, ,F4= 250kN, ,求求圖示平面匯交力系的合力。圖示平面匯交力系的合力。30604545y解解: :1F2F4F3F2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系22R

13、yRxRFFFN.3171RRxRFFi ,F)cos(7548. 099.40ixRxFF45cos45cos 60cos30cos4321FFFFN3 .129iyRyFF45sin45sin 60sin30sin4321FFFFN3 .112Northeastern UniversityPAG 19 平衡方程1、代數方程，注意各項符號； 2、兩個方程可解兩個未知力。 解析條件:平面匯交力系的各力在x 軸和y 軸上投影的 代數和分別等于零。0RF平面匯交力系平衡的充要條件：四、平面匯交力系的平衡方程2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系0)()(22iyixRFFF00iyixFFNort

14、heastern UniversityPAG 201、選取合適的研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；對于多個物體平衡問題要分開選單個物體為研究對象。求解平面匯交力系平衡問題的主要步驟：2、畫受力圖 根據研究對象所受外部載荷、約束及其性質，畫出研究對象上所有的力（主動力、約束力），此處要注意二力桿和三力平衡匯交定理的應用。2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系Northeastern UniversityPAG 213、建立坐標系 建立坐標系時，最好使其中一個坐標軸與一個未知力垂直。求解平面匯交力系平衡問題的主要步驟：4、列

15、平衡方程解出未知量 根據平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號；如果計算結果中出現(xiàn)負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。2-12-1 平面匯交力系平面匯交力系Northeastern UniversityPAG 220 xFB例例2-4 如如圖所示圖所示, ,不計桿和輪的自重不計桿和輪的自重, ,忽略滑輪大小忽略滑輪大小, ,已知重物已知重物P =20kN。求系統(tǒng)平衡時求系統(tǒng)平衡時, ,桿桿AB、BC所受得力。所受得力。解解: : 取滑輪取滑輪B為研究對象為研究對象 受力分析受力分析1TF2TF 選坐標系，列平衡方程求未知力選坐標系，列平衡方程求未知力 xyABFCBFAB、BC桿為

16、二力桿桿為二力桿60302-12-1 平面匯交力系平面匯交力系0yF060sin30sin,21TABTFFF060cos30cos,21TTCBFFFkNFkNFCBAB3 .27;3 . 7PFFTT21 Northeastern UniversityPAG 230 xF2-2 已知已知AC=0.8m, ,CB=0.4m, ,物塊重物塊重P=2kN , ,不計桿的自重不計桿的自重。求系統(tǒng)平衡時求系統(tǒng)平衡時, ,支座支座A的約束力和桿的約束力和桿CD所受的力。所受的力。解解: : 取桿取桿AB為研究對象為研究對象 受力分析受力分析 選坐標系，列平衡方程求未知力選坐標系，列平衡方程求未知力 C

17、D桿為二力桿桿為二力桿0yF045coscos,CDAFF045sinsin,CDAFFPkNFkNFCDA24. 4;16. 3CBADPCBACDF45AFxyEABEBtan312 . 14 . 0ABCB452-12-1 平面匯交力系平面匯交力系Northeastern UniversityPAG 240 xF解解: : 取桿取桿AB為研究對象為研究對象 受力分析受力分析 選坐標系，列平衡方程求未知力選坐標系，列平衡方程求未知力 CD桿為二力桿桿為二力桿0yF045cos,CDAxFF045sin,CDAyFFPkNFkNFkNFCDAyAx24. 4;00. 1;00. 3CBADP

18、CBACDF45xyE31ABEB45tanAxAyFF2-2 已知已知AC=0.8m, ,CB=0.4m, ,物塊重物塊重P=2kN , ,不計桿的自重不計桿的自重。求系統(tǒng)平衡時求系統(tǒng)平衡時, ,支座支座A的約束力和桿的約束力和桿CD所受的力。所受的力。AyFAxF【課堂練習【課堂練習】Northeastern UniversityPAG 252-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶FO一、力對點之矩（力矩）O 矩心h 力臂(矩心到力作用線的垂直距離)大小 代數量 正負單位BArh力矩：FrFMO)(hF OABA 2力 F 與力臂 h 的乘積；力使物體繞矩心逆時針轉為正

19、，反之為負；Nm 或 kNm 矢徑rNortheastern UniversityPAG 261FOA2FiFnF二、合力矩定理與力矩的解析表達式rRF2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶 平面匯交力系的合力對于平面內任一點之矩等于所有各分力對于該點之矩的代數和。niRFFFFF21RROFrFM)()(21nFFFrnFrFrFr21)()()(21nOOOFMFMFM)(iOFM1、平面匯交力系的合力矩定理Northeastern UniversityPAG 27xFyFxyOF),( yxAyx2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶二、合力矩

20、定理與力矩的解析表達式2、解析表達式力矩)(FMO)()(yOxOFMFMxyFyFxcossinFyFx合力矩定理)()(iOROFMFM)(ixiiyiFyFxNortheastern UniversityPAG 28例例2-5 圖示直桿長為圖示直桿長為l，力，力 與與x軸夾角為軸夾角為。求力。求力 對固定端對固定端O之矩。之矩。FF按力矩的定義按力矩的定義Oxy按合力矩定理按合力矩定理hhFFMO)(sinlFFxFyF)()()(yOxOOFMFMFMsinFllFsin0 xyOFyFxFM)(或或合力矩定理解析式合力矩定理解析式cos0)sin(FFlsinFl2-22-2 平面力

21、對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶Northeastern UniversityPAG 291、力偶2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶三、力偶與力偶矩力偶：大小相等，方向相反、作用 線互相平行的兩個力。),(FF記作： FFNortheastern UniversityPAG 302-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶 代數量2、力偶矩力偶作用面：力偶中兩力所在的平面力偶臂d ：力偶中兩力作用線間的垂直距離單位：N m 或 kN m 正負：逆時針為正，順時針為負FFOABd力偶矩),(FFMMdF OABA 2大小：力F與力偶臂的乘積（度量

22、力偶對物體的轉動作用效果）三、力偶與力偶矩Northeastern UniversityPAG 312-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶3、力偶與力偶矩的性質三、力偶與力偶矩 力偶在任意坐標軸上的投影等于零; 力偶對剛體內任意一點之矩都等于 力偶矩,不因矩心的改變而改變;xFFd1d2dO1O2 力偶不能合成為一個力,力偶只能由 力偶來平衡;),(FFMMFd),(1FFMO)()(11FMFMOO11)(dFddFFd),(2FFMO)()(22FMFMOO)(22ddFdFFdNortheastern UniversityPAG 32 在同平面內的兩力偶,如果力偶矩

23、相等(大小相等,轉向相 同),則兩力偶等效。 保持力偶矩不變,力偶可在其作用面內任意移轉。 保持力偶矩不變,可同時改變力偶中力的大小與力偶臂的 長短,對剛體的作用效果不變。FFd2F2Fd2FFd2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶3、力偶與力偶矩的性質三、力偶與力偶矩Northeastern UniversityPAG 33PBM不 能不 能NF能否認為力 與力偶 平衡？PBM力偶只能由力偶來平衡yFxF2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶Northeastern UniversityPAG 34各桿不計自重，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試分析圖各桿不計

24、自重，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試分析圖示結構的受力情況示結構的受力情況? ?MABCDEFMACEBDFAyFAxFByFBxFAFBF2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶Northeastern UniversityPAG 35四、平面力偶系的合成和平衡條件 1、合成 2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶1F1Fd12F2Fd23F3Fd34F4F5F5F6F6FRFRF合力偶矩 333332222211111),(),(),(dFFFMMdFFFMMdFFFMMdF 4dF 5dF 6dFMRdFFF)(654321MMM 平面力偶系可以合成為一個

25、合力偶，合力偶矩等于各已知力偶矩的代數和。dBAiMNortheastern UniversityPAG 362、平面力偶系的平衡 2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶四、平面力偶系的合成和平衡條件 平衡的充要條件：各力偶矩的代數和等于零。平衡方程：0iMNortheastern UniversityPAG 37BAFF 例例2-6 如圖所示如圖所示, ,工件上作用有三個力偶工件上作用有三個力偶, ,已知已知M1=M2=10Nm, , M3=20Nm, ,固定螺柱固定螺柱A、B間距間距l(xiāng) =20mm, ,求兩個光滑螺柱求兩個光滑螺柱AB所受水平力。所受水平力。解解: :

26、 取工件為研究對象取工件為研究對象 受力分析受力分析 列平衡方程列平衡方程 0M0,321MMMlFAlMMMFFBA321N2001M2M3MlBABFAF2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶Northeastern UniversityPAG 38A例例2-7 如圖圖示如圖圖示, ,機構不計自重機構不計自重, ,圓輪上的銷圓輪上的銷A可可在搖桿在搖桿BC的光的光滑導槽內自由滑動。圓輪上作用一力偶滑導槽內自由滑動。圓輪上作用一力偶, ,其力偶矩其力偶矩M1=2kNm, , OA= r =0.5m。系統(tǒng)在圖示位置。系統(tǒng)在圖示位置( (OAOB, ,=30) )平衡平衡,

27、 ,求作求作用在搖桿用在搖桿BC上力偶的矩上力偶的矩M2及鉸鏈及鉸鏈O、B處的約束力。處的約束力。解解: : 取輪為研究對象取輪為研究對象 受力分析受力分析 OAFF 力偶只能由力偶只能由力偶來平衡力偶來平衡 30301MAFOF 列平衡方程列平衡方程0iM030sin,1rFMA30sin1rMFAkN8OF2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶Northeastern UniversityPAG 39 取搖桿取搖桿BC為研究對象，受力分析為研究對象，受力分析 2MBFAF 列平衡方程列平衡方程0iM0sin2rFMAmkNM82kNFFAB8例例2-7 如圖圖示如圖圖

28、示, ,機構不計自重機構不計自重, ,圓輪上的銷圓輪上的銷A可可在搖桿在搖桿BC的光的光滑導槽內自由滑動。圓輪上作用一力偶滑導槽內自由滑動。圓輪上作用一力偶, ,其力偶矩其力偶矩M1=2kNm, , OA= r =0.5m。系統(tǒng)在圖示位置。系統(tǒng)在圖示位置( (OAOB, ,=30) )平衡平衡, ,求作求作用在搖桿用在搖桿BC上力偶的矩上力偶的矩M2及鉸鏈及鉸鏈O、B處的約束力。處的約束力。2-22-2 平面力對點之矩平面力對點之矩 平面力偶平面力偶Northeastern UniversityPAG 40平面任意力系：各分力在同一平面內任意分布,沒有明 顯的匯交點或力偶系的力系。2-32-3

29、 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化Northeastern UniversityPAG 41一、力的平移定理 作用在剛體內一點 A 的力F可以平行移到剛體內任一點 B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F 對新作用點 B 的矩。2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化ABM 附加力偶 附加力偶的矩FFdFFFF),(FFFdM )(FMBMNortheastern UniversityPAG 42BACAClAClFMBCFlMFFFFMMFF2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化Northeastern UniversityPAG 43.nF1F2

30、F3F1F2F3FnF1M2M3MnMO)(;nOnnnFMMFF)(;2222FMMFFO)(;1111FMMFFO設在剛體上作用有平面一般力系 nFFF，21力線平移定理將該平面一般力系向同平面內一點O 簡化， 平面一般力系平面匯交力系 + 平面力偶系簡化中心O 二、平面任意力系向作用面內一點簡化 主矢和主矩2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化Northeastern UniversityPAG 44主矢1F2F3FnFRFO21nRFFFFnFFF21iFjFiFiyix主矢大小 主矢方向 主矢與簡化中心無關;22)()(iyixRFFF),cos(,),cos(RiyRR

31、ixRFFjFFFiF1M2M3MnMiiFF2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化二、平面任意力系向作用面內一點簡化 主矢和主矩(主矢解析表達式) Northeastern UniversityPAG 451M2M3MnMRFOOM主矩主矩一般與簡化中心有關。 nOMMMM21)(ixiiyiFyFx)()()(21nOOOFMFMFM)(iOFM)(iOiFMM二、平面任意力系向作用面內一點簡化 主矢和主矩(主矩解析表達式) 2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化Northeastern UniversityPAG 46OOM此時，主矩與簡化中心的位置無關合力偶矩

32、簡化結果：合力偶 簡化結果：過簡化中心的合力 0, 0 ORMF1.0, 0 ORMF2.)(iOOFMM三、平面任意力系的簡化結果分析RFRFO2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化Northeastern UniversityPAG 47合力作用線距簡化中心O 0, 0 ORMF3.RRRFFF簡化結果：合力 RFOOMdORFRFROFMd 合力矩定理：平面任意力系的合力對作用面內任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數和。 )()(iOROFMFM0, 0 ORMF4. 平面任意力系平衡三、平面任意力系的簡化結果分析2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化Nor

33、theastern UniversityPAG 48F四、固定端約束AFAM2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化FAyFAxFANortheastern UniversityPAG 49解解: : 計算主矢計算主矢RFRxFRyFixRxFFcos21FF kN9 .232iyRyFFsin221FPPkN1 .670kNFFFRyRxR4 .709)()(22xyCBABarctan7 .16935arctancosRRxFF3283. 084.702-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化例例2-8 重力壩受力如重力壩受力如圖圖, ,已知已知 : :P1= 450 k

34、N, P2= 200 kN, F1= 300kN, F2= 70 kN, 求力系向求力系向O點簡化的結果。點簡化的結果。Northeastern UniversityPAG 50OM 計算主矩計算主矩84.70RF)(iOOFMM13F15 . 1P29 . 3PmkN 23552-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化例例2-8 重力壩受力如重力壩受力如圖圖, ,已知已知 : :P1= 450 kN, P2= 200 kN, F1= 300kN, F2= 70 kN, 求力系向求力系向O點簡化的結果。點簡化的結果。Northeastern UniversityPAG 51例例2-9

35、水平梁水平梁AB受三角形分布載荷的作用，分布載荷的最大受三角形分布載荷的作用，分布載荷的最大值為值為q(N/m)，梁長為，梁長為l。試求合力的大小及其作用線位置。試求合力的大小及其作用線位置。 qq xdxxCxyPlqxq ldxqP0ldxlqx02ql對對A點之矩：點之矩： PCAxPPM)(根據合力矩定理得根據合力矩定理得 32ql分布力對分布力對A點之矩的代數和點之矩的代數和 ldxxq0lxdxlqx032qlxPCPqlxC3232l2-32-3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化Northeastern UniversityPAG 52一、平面任意力系的平衡條件 物體在平面任

36、意力系的作用下平衡的充要條件是力系的主矢和力系對任意點的主矩都等于零。2-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 00ORMF)()()(22iOOyixiRFMMFFF0)(00iOiyixFMFF平面任意力系平衡的解析條件: 各分力在兩任意坐標軸上投影的代數和分別等于零; 各分力對任意一點之矩的代數和等于零。 0)(00iOyxFMFFNortheastern UniversityPAG 53ABDE1FBF30解解: : 取取橫梁橫梁AB為研究對象為研究對象畫受力圖畫受力圖2FABCDE601F2F 選坐標系選坐標系, ,列平衡方程求未知力列平衡方程

37、求未知力xyAxFAyF, 0 xF030cosBAxFF, 0yF030sin21FFFFBAy, 0)(FMA06 48)30sin(21FFFB;22kNFB;311kNFAx.5kNFAy2-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 例例2-10 圖示懸臂吊車由不計自重的橫梁圖示懸臂吊車由不計自重的橫梁AB和桿和桿BC鉸接而成鉸接而成。橫梁橫梁AB上作用有載荷上作用有載荷 F1 = 4kN, ,F2 = 12kN, ,且有且有AD = 4m , , DE = EB = 2m。試求支座。試求支座A處的約束力及桿處的約束力及桿BC所所受的力。受的力。No

38、rtheastern UniversityPAG 54ABDE1FBF302FABCDE601F2FxyAxFAyF, 0)(FMB024821FFFAy.5;311;22kNFkNFkNFAyAxB, 0 xF030cosBAxFF, 0)(FMA06 48)30sin(21FFFB2-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 例例2-10 圖示懸臂吊車由不計自重的橫梁圖示懸臂吊車由不計自重的橫梁AB和桿和桿BC鉸接而成鉸接而成。橫梁橫梁AB上作用有載荷上作用有載荷 F1 = 4kN, ,F2 = 12kN, ,且有且有AD = 4m , , DE = E

39、B = 2m。試求支座。試求支座A處的約束力及桿處的約束力及桿BC所所受的力。受的力。Northeastern UniversityPAG 55ABDE1FBF302FABCDE601F2FxyAxFAyF, 0)(FMC06 430tan821FFFAx, 0yF030sin21FFFFBAy, 0)(FMA.5;311;22kNFkNFkNFAyAxB06 48)30sin(21FFFB2-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 例例2-10 圖示懸臂吊車由不計自重的橫梁圖示懸臂吊車由不計自重的橫梁AB和桿和桿BC鉸接而成鉸接而成。橫梁橫梁AB上作用有

40、載荷上作用有載荷 F1 = 4kN, ,F2 = 12kN, ,且有且有AD = 4m , , DE = EB = 2m。試求支座。試求支座A處的約束力及桿處的約束力及桿BC所所受的力。受的力。Northeastern UniversityPAG 56ABDE1FBF302FABCDE601F2FxyAxFAyF, 0)(FMC06 430tan821FFFAx, 0)(FMA06 48)30sin(21FFFB, 0)(FMB024821FFFAy.5;311;22kNFkNFkNFAyAxB2-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 例例2-10 圖示

41、懸臂吊車由不計自重的橫梁圖示懸臂吊車由不計自重的橫梁AB和桿和桿BC鉸接而成鉸接而成。橫梁橫梁AB上作用有載荷上作用有載荷 F1 = 4kN, ,F2 = 12kN, ,且有且有AD = 4m , , DE = EB = 2m。試求支座。試求支座A處的約束力及桿處的約束力及桿BC所所受的力。受的力。Northeastern UniversityPAG 572-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 三、平面任意力系平衡方程的三種形式二力矩式三力矩式一般式0)(00FMFFAyx0)(0)(00)(0)(0FMFMFFMFMFCAyBAx 或或 0)(0)(

42、0)(FMFMFMCBAABDE1FBF302FABCDE601F2FxyAxFAyFNortheastern UniversityPAG 582-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 ABDE1FBF302FABCDE601F2FxyAxFAyF, 0 xF030cosBAxFF, 0yF030sin21FFFFBAy, 0)(FMA06 48)30sin(21FFFB, 0)(FMB024821FFFAy, 0)(FMC06430tan821FFFAx三、平面任意力系平衡方程的三種形式Northeastern UniversityPAG 592-4

43、2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 xy0)(FMA力系可能平衡或簡化為一過A點的合力；力系可能平衡或簡化為一沿A、B兩點連線的合力。ABC0)(FMB二力矩式0)(0)(0FMFMFBAx二力矩式限制條件: x 軸不能垂直于A、B兩點的連線該力系平衡。0 xF三、平面任意力系平衡方程的三種形式Northeastern UniversityPAG 602-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 xy0)(FMA力系可能簡化為一過A點的合力或者平衡；力系可能簡化為一沿A、B兩點連線的合力或者平衡；ABC0)(FMB三力矩

44、式0)(0)(0)(FMFMFMCBA三力矩式限制條件: A、B、C三點不在同一直線上該力系平衡。0)(FMC三、平面任意力系平衡方程的三種形式Northeastern UniversityPAG 61例例2-11 圖示起重機圖示起重機可可繞鉛直軸繞鉛直軸AB轉轉動動, ,已知已知起重機重心起重機重心C 到到轉軸轉軸AB間距為間距為1.5 m,P =10 kN,P1= 40 kN,求求A和和B處的約束力。處的約束力。解解: : 取取AB梁為研究對象梁為研究對象, ,畫受力圖畫受力圖 選坐標系選坐標系, ,列平衡方程列平衡方程xyAyFAxFBF, 0 xF0BAxFF, 0yF01PPFAy,

45、 0)(FMA05 . 35 . 151PPFB;31kNFBkNFkNFAyAx50;312-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 Northeastern UniversityPAG 62例例2-12 已知水平橫梁已知水平橫梁AB長為長為4a, ,自重為自重為P ( (作作用在梁的中點用在梁的中點C處處),),AC段受均布載荷段受均布載荷q 作作用用, ,BC段受力偶段受力偶M = Pa作用。求支作用。求支座座A、B處的約束力。處的約束力。解解: : 取梁取梁AB為研究對象畫受力圖為研究對象畫受力圖MPABCq2a4aNBF 選擇圖示坐標系選擇圖示坐

46、標系, ,列平衡方程列平衡方程 求未知力求未知力xyAxFAyF, 0 xF0AxF, 0)(FMB023)2(4MaPaaqaFAy;5 . 075. 0qaPFNB; 0AxF, 0)(FMA0)2(24aaqaPMaFNB.5 . 125. 0qaPFAy2-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 Northeastern UniversityPAG 632-3 已知已知AC = CB, ,所受外力所受外力F = 10 kN, ,不計各桿自不計各桿自重重, ,求求鉸鏈鉸鏈A及及CD桿所受的力。桿所受的力?！菊n堂練習【課堂練習】DFBAC45FBACC

47、F解解: : 取取AB梁為研究對象梁為研究對象畫受力圖畫受力圖 選坐標系選坐標系, ,列平衡方程求未知力列平衡方程求未知力45, 0 xF045cosCAxFF, 0)(FMA0245coslFlFC, 0yF045sinFFFCAykNFkNFkN.FAyAxC10 ;20 ;328xyAxFAyFNortheastern UniversityPAG 64例例2-13 圖圖示示T字形剛架字形剛架ABD置于鉛垂面置于鉛垂面內內, ,其其自重自重P = 100kN, , M = 20kNm, ,F400kN, ,q =20kN/m, ,l = 1 m。試求固定端。試求固定端A處處的約束力。的約束

48、力。解解: : 取取T 型剛架為研究對象型剛架為研究對象畫受力圖畫受力圖 選坐標系，列平衡方程選坐標系，列平衡方程xyM1F30FPAyFAxF, 0 xF030cos1FFFAx, 0yF030sinFPFAy, 0)(FMAlFlFMMA30sin10330coslFmkNMA1188kNFkNFAyAx300;4 .316;AM231lqFkN302-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 Northeastern UniversityPAG 650)(00FMFFOyx四、平面平行力系的平衡方程平面平行力系平衡方程的二力矩式： 恒等式 平面平行力系

49、 的平衡方程A、B兩點連線不得與各力平行xyO2FnF3F1F0)(0)(FMFMBA2-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 0 xF0)(0FMFOyNortheastern UniversityPAG 66例例2-14 塔式起重機機架重塔式起重機機架重P2=700kN( (作用線過機架中心作用線過機架中心),),最最大懸臂長大懸臂長12m, ,軌道軌道A、B間距間距4m, ,最大起重量最大起重量P1=200kN, ,平衡平衡荷重荷重P3距機架中心線距機架中心線6 m。求保證起重機滿載和空載都不翻倒。求保證起重機滿載和空載都不翻倒的平衡荷重的平衡荷重

50、; ;當當P3180kN且且滿載時軌道給起重機輪子的反力滿載時軌道給起重機輪子的反力.解解: : 取起重機為研究對象畫受力圖取起重機為研究對象畫受力圖滿載時滿載時空載時空載時AFBF不安全不安全0AF不安全不安全0BF, 0)(FMA02423PPkNP3503, 0)(FMB01028123PPPkNP753kNPkN3507532-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 Northeastern UniversityPAG 67 平衡荷重平衡荷重P3=180kN且滿載時且滿載時AFBF, 0)(FMA04 1424123BFPPP, 0yF0321PP

51、PFFBAkNFA210kNFB8702-4 2-4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 例例2-14 塔式起重機機架重塔式起重機機架重P2=700kN( (作用線過機架中心作用線過機架中心),),最最大懸臂長大懸臂長12m, ,軌道軌道A、B間距間距4m, ,最大起重量最大起重量P1=200kN, ,平衡平衡荷重荷重P3距機架中心線距機架中心線6 m。求保證起重機滿載和空載都不翻倒。求保證起重機滿載和空載都不翻倒的平衡荷重的平衡荷重; ;當當P3180kN且且滿載時軌道給起重機輪子的反力滿載時軌道給起重機輪子的反力.Northeastern University

52、PAG 68BCDABCFD物體系:多個物體按照某些約束聯(lián)系在一起的系統(tǒng),物體 系平衡時,系內任一構件和構件的組合均平衡。靜定問題：由靜力平衡方程可求出全部未知量。FBF3個未知力,靜定2-52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題CyFCxF4個未知力,超靜定BCDFCyFCxFByFBxF超靜定問題：由靜力平衡方程不能求出全部未知量。ABCFDPNortheastern UniversityPAG 69ABF靜定超靜定靜定超靜定超靜定ABFFFF2-52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題物體系中有物體受平面匯交力系或平面平行力系作用時

53、，系統(tǒng)的平衡方程數目相應減少。 Northeastern UniversityPAG 70, 0yF0cosBFF;22RlFlFBB解解: : 取沖頭取沖頭B為為研究對象畫受力圖研究對象畫受力圖 選坐標系，列平衡方程選坐標系，列平衡方程xyNFFBFAB為二力桿為二力桿22cosRll, 0 xF0sinBNFF22RlFRFN例例2-15 曲軸沖床由輪、連桿曲軸沖床由輪、連桿AB和沖頭和沖頭B組成組成, ,OA=R, , AB=l。忽略摩擦和自重忽略摩擦和自重, ,當當OA在水平位置、沖壓力為在水平位置、沖壓力為 時系統(tǒng)平衡。時系統(tǒng)平衡。求求: :沖頭給導軌的側壓力沖頭給導軌的側壓力; ;

54、連桿連桿AB受的力受的力; ; 軸承軸承O處的約束力處的約束力; ;作用在輪上的力偶之矩作用在輪上的力偶之矩M 。F2-52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題Northeastern UniversityPAG 71OA, 0yF0cosAOyFF;22FFRlFRFOyOxF 取輪為研究對象畫受力圖取輪為研究對象畫受力圖 選坐標系，列平衡方程選坐標系，列平衡方程, 0 xF0sinAOxFFFRM AFMxyOyFOxF, 0)(FMO0cosMRFA例例2-15 曲軸沖床由輪、連桿曲軸沖床由輪、連桿AB和沖頭和沖頭B組成組成, ,OA=R, , AB=l。忽略

55、摩擦和自重忽略摩擦和自重, ,當當OA在水平位置、沖壓力為在水平位置、沖壓力為 時系統(tǒng)平衡。時系統(tǒng)平衡。求求: :沖頭給導軌的側壓力沖頭給導軌的側壓力; ;連桿連桿AB受的力受的力; ; 軸承軸承O處的約束力處的約束力; ;作用在輪上的力偶之矩作用在輪上的力偶之矩M 。2-52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題Northeastern UniversityPAG 72kN.FB7745, 0)(FMClFlqlB60sin2例例2-16 圖示組合梁由不計自重圖示組合梁由不計自重的桿的桿AC和和CD鉸接而成鉸接而成, ,已知已知F = 20kN, ,均布載荷均布載荷

56、 q = 10kN/m, ,M = 20kNm, ,l = 1m。求滾動支。求滾動支座座 B及插入端及插入端 A的約束力。的約束力。解解: : 取梁取梁CBD為為研究對象畫受力圖研究對象畫受力圖 選坐標系，列平衡方程選坐標系，列平衡方程BF600230coslFCyFCxFqMCBDAF3060llllCBDFq30 xy2-52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題Northeastern UniversityPAG 73 取整體為研究對象畫受力圖取整體為研究對象畫受力圖 選坐標系，列平衡方程選坐標系，列平衡方程qMCBDAF3060llll例例2-16 圖示組合梁

57、由不計自重圖示組合梁由不計自重的桿的桿AC和和CD鉸接而成鉸接而成, ,已知已知F = 20kN, ,均布載荷均布載荷 q = 10kN/m, ,M = 20kNm, ,l = 1m。求滾動支。求滾動支座座 B及插入端及插入端 A的約束力。的約束力。BF60F30CBDAqMAMxyAyFAxF2-52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題lFlFB360sin430cos, 0)(FMA022AMMlqlkN.MkN.FkN.FAAyAx3710;322;8932030sin60cosFFFBAx, 0 xF030cos260sinFqlFFBAy, 0yFNort

58、heastern UniversityPAG 74 取整體為研究對象畫受力圖取整體為研究對象畫受力圖 選坐標系，列平衡方程選坐標系，列平衡方程qMCBDAF3060llllBF60F30CBDAqMAMxyAyFAxFlFlFB360sin430cos, 0)(FMA022AMMlqlkN.MkN.FkN.FAAyAx3710;322;8932030sin60cosFFFBAx, 0 xF030cos260sinFqlFFBAy, 0yF2-52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題例例2-16 圖示組合梁由不計自重圖示組合梁由不計自重的桿的桿AC和和CD鉸接而成鉸接

59、而成, ,已知已知F = 20kN, ,均布載荷均布載荷 q = 10kN/m, ,M = 20kNm, ,l = 1m。求滾動支。求滾動支座座 B及插入端及插入端 A的約束力。的約束力。Northeastern UniversityPAG 75CDEk例例2-17 已知已知DC=CE=CA=CB=2l, ,R=2r=l, ,重物重為重物重為P, ,不計各構不計各構件自重件自重, ,求求 A、E支座處約束力及支座處約束力及BD桿受力。桿受力。解解: : 取整體為研究對象畫受力圖取整體為研究對象畫受力圖AF 取取DCE桿為研究對象畫受力圖桿為研究對象畫受力圖EyFExFCyFCxFKFDBF2-

60、52-5 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題CDAB45EkRrEyFExF02522lPlFA, 0)(FME045cosAExFF, 0 xF045sinAEyFPF, 0yF813;85;825PFPFPFEyExA0245cos2lFlFlFDBKEx, 0)(FMC;823PFDBPNortheastern UniversityPAG 76B例例2-18 圖示圖示齒輪傳動機構齒輪傳動機構, ,齒輪齒輪自重為自重為P1 , ,半徑為半徑為r; ;齒輪齒輪I半半徑徑R2r, ,其上固結一半徑為其上固結一半徑為r 的塔輪的塔輪, ,輪輪與塔輪總重與塔輪總重P2=2P