第二章解析函數(shù)

1、第二章 解析函數(shù)一、學(xué)習(xí)要求1. 理解復(fù)函的導(dǎo)數(shù)的概念、解析函數(shù)的概念。2. 掌握復(fù)變函數(shù)解析的充要條件，并能應(yīng)用函數(shù)解析的充要條件判別函數(shù)的解析性和可導(dǎo)性。3. 了解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；掌握從已知調(diào)和函數(shù)求出解析函數(shù)的方法。4. 了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)的定義和性質(zhì). 二、考核知識點(diǎn)1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)函數(shù)。2. 復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，求導(dǎo)法則。3. 解析函數(shù)的定義。4. 奇點(diǎn)。5. 解析函數(shù)的運(yùn)算。6. 哥西黎曼方程。7. 函數(shù)解析的充要條件。8. 判別函數(shù)解析的方法。9. 調(diào)和函數(shù)、共軛調(diào)和函數(shù)。10. 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)間的關(guān)系。11. 指數(shù)函數(shù)、對

2、數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)和根式函數(shù)的定義和性質(zhì)。 z0 或 z z0 的示意圖如右：導(dǎo)數(shù)，記作： f (z) 或則稱 w=f (z) 在點(diǎn)z可導(dǎo)，并稱這個極限值為 f (z)在 z點(diǎn)的 一.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè) w=f (z)是在區(qū)域D中定義的單值函數(shù)，說明：(1)實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)f (x)的定義()( )0limf zzf zzz 對區(qū)域D內(nèi)某一點(diǎn)z，若極限 存在dfdz0()( )limxf xxf xx 0z 第一節(jié)第一節(jié) 解析函數(shù)的概念及哥西解析函數(shù)的概念及哥西-黎曼條件黎曼條件4 可見，實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義形式一樣，但對于實(shí)變函數(shù)來說z 只能沿實(shí)軸逼近零(有兩種趨近方式)。如對兩種趨近

3、方式來說，其極限存在且相同，則f (x) 在x點(diǎn)可導(dǎo)；而對于復(fù)變函數(shù)來說z可沿復(fù)平面的任一曲線逼近零，若沿任何方式逼近z時，極限存在且相同 ，則稱f (z) 在點(diǎn)z可導(dǎo)。因此復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)要求嚴(yán)格得多。(2) 導(dǎo)數(shù)存在要求f(z) 在點(diǎn)z連續(xù)，但并不是說：若復(fù)變函數(shù) f (z)在點(diǎn) z 連續(xù)，則 f(z) 在點(diǎn) z 一定可導(dǎo)。在這一點(diǎn)上復(fù) 變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)一致。5例例1. f(z)=zn在復(fù)平面上每點(diǎn)均可微, 且1nndznzdz事實(shí)上,對任意固定的點(diǎn)z有012110()lim(1)lim()2nnznnnnzzzzzn nnzzzznz例例2. ( )f zz在復(fù)平面上均不可微.事實(shí)上事實(shí)上

4、,zzzzzzzzzz當(dāng)z0時, 上式的極限不存在, 因?yàn)楫?dāng)z取實(shí)數(shù)而趨于0時, 它趨于1, 當(dāng)z取純虛數(shù)趨于0時,它趨于-1.可微必連續(xù)，連續(xù)不一定可微。例例. ( )f zz在復(fù)平面上均不可微但處處連續(xù)設(shè) 存在，則2.導(dǎo)數(shù)公式實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義形式相同實(shí)變函數(shù)所有的導(dǎo)數(shù)公式可推廣到復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式形式相同的例子：1212( )( )( )( )f zfzfzfz12( ),( )fzfz121212( )( )( )( )( )( )f z fzfz fzf z fz112122222( )( )( )( )( )( )0)( )( )f zfz fzf z fzfzf

5、zfz ( )( )( )dfzdfdzdzddzsin;coszzdedzezdzdz9在z點(diǎn)的微分，記作 則稱w=f (z) 在z點(diǎn)可微，且w 的線性部分z稱為w=f ( z)式中 ， 是關(guān)于 的高階無窮小量，若w=f (z)在z點(diǎn)的改變量 可以寫成3.微分的定義與微分公式得微分公式又()( )wf zzf z( )wzo 22()()zxy ( )odwz dzz 00()( )( )( )limlimzzf zzf zzofzzz ( )dwfz dz1011復(fù)變函數(shù)的幾何意義：當(dāng)z在Z平面沿曲線L變動時，w在W平面沿曲線L 變動。z, w, f (z0)的表示式： 0arg ()ar

6、garg00,()()ifziziwzz eww efzfze 4. 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)w=f ( z )在 z0 可導(dǎo)，根據(jù)微分公式，我們有： ( )dwfzdz2 2.導(dǎo)數(shù)的輻角arg f (z0)表示曲線L上點(diǎn)z0的切線與曲線 L1. 導(dǎo)數(shù)的模f (z0)表示通過點(diǎn)z0的無窮小線段z，映射為 W平面的w 時，長度的放大系數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義：上的點(diǎn)w0的切線的夾角，即從z平面到W平面映射前后 切線的轉(zhuǎn)動角。123. 若f(z)為解析函數(shù)，進(jìn)過變換線段的夾角不變，一個正 交坐標(biāo)變?yōu)榱肆硪粋€正交坐標(biāo)! - 保角變換0argarg ()(argarg)00arg000( )(

7、 )limlimlimiwif ziwzizzzzwewdwf zf zeedzz ez 0000()lim, arg()lim(argarg)zzwfzfzwzz f (z)在點(diǎn)z可導(dǎo)的必要條件是 存在，且 滿足C R條件： 三、柯西三、柯西黎曼條件（黎曼條件（重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握）要解決的問題：給定一函數(shù)w=f (z)=u(x , y )+i v(x, y)，如何判斷f (z)在點(diǎn)z是否可導(dǎo)？導(dǎo)數(shù)存在的必要條件：證明：由導(dǎo)數(shù)的定義可知: z以任何方式趨于零時,極限存在，且有同一的極限值，即f (z)與z0的方式無關(guān)，,uuvvxyxy,uvuvxyyx 0()( )limzf zzf zz 1

8、3那么我們可討論z沿平行x軸和平行y軸趨于0的倆種情形。設(shè)：z = x + i y，則函數(shù)的改變量為1. 令z = x，y=0 ，即z 沿平行于x軸的方向趨于0， 則有()( ) (,)(,) ( , )( , )wf zzf zu xx yyiv xx yyu x yiv x y0000()( ) (, )(, ) ( , )( , )( )limlim(, )( , )(, )( , )limlimzxxxf zzf zu xx yiv xx yu x yiv x yf zzxu xx yu x yv xx yv x yixxuvixx 142 2.令x=0，z = i y，即z沿平行于y

9、軸的方向趨于0， 則有2 21 1zz0000()( ) ( ,)( ,) ( , )( , )( )limlim( ,)( , )( ,)( , )limlimzyyyf zzf zu x yyiv x yyu x yiv x yf zzi yu x yyu x yv x yyv x yii yi yuviyy 15若f (z)在點(diǎn)(x, y)可導(dǎo)，則(1)、(2)兩式相等，于是柯西黎曼條件 (C R條件)說明： 1. f (z)在點(diǎn)z可導(dǎo)的必要條件只保證沿平行于x軸和y軸方向z0 時， 趨于同一極限，但沒有保證沿任意方向z 0時， 趨于同一極限。2.由C R條件，f (z)可寫為以下四種形

10、式uvvuxyxy ( )f zz( )f zz( )uvvuuuvvfziiiixxyyxyyx16 函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D上一點(diǎn)(x,y)可微的必要 條件是:u(x,y),v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù),uvuvxxyy在點(diǎn)(x,y)存在,并且滿足C-R條件.例例3. 函數(shù)( )|f zxy在z=0點(diǎn)滿足上述定理中的所有條件,但在z=0點(diǎn)不可微.事實(shí)上,( , )|, ( , )0.u x yxy v x y于是00(,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0),(0,)(0,0)(0,0)lim0(0,0),xyyxxyuxuuvxuyuuvy 所以f(z)在z=0點(diǎn)滿

11、足定理2.1中的條件.但是()(0)xyfzfzxi y當(dāng)z= x+iy沿射線y=kx趨于0時,上述比值為/(1)kik,是一個與k有關(guān)的值.沿不同的射線,k值也不同, 所以z0時,()(0)fzfz無極限,從而f(z)在z=0點(diǎn)不可微. 必要性:設(shè)f(z)在D內(nèi)z點(diǎn)可微, 則( )( )f zfzzz其中是隨z0而趨于零的復(fù)數(shù).若命( ),fzaib則上式寫成12(),ui va xb yi b xa yi其中12Re(),Im(),zz它們是對22| zxy的高階無窮小.比較上式的實(shí)部與虛部, 即得2,.iua xb yvb xa y根據(jù)二元實(shí)函數(shù)的微分定義, 知u(x,y),v(x,y)

12、在點(diǎn)(x,y)可微,且ux=a=vy,uy=-b=-vx(C-R條件).定理定理: 設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)確定, 則f(z)在 D的內(nèi)點(diǎn)z=x+iy可微的充分必要條件是u(x,y),v(x,y) 在點(diǎn)(x,y)處可微并滿足C-R條件.: 當(dāng)定理?xiàng)l件滿足時,u(x,y),v(x,y)有全微分,所以12,uuvvuxyvxyxyxy式中1及2是比22()()xy高階的無窮小,再由C-R條件,可令,uvuvxyyx 于是就有12()fui vxyixy12()(),ixi y即12,.0,ifizzz其中令并注意到1212122222|0,()()()()izzxyx

13、y0lim,( ).zfuvifziizxx所以即是說21220000000()()(2)2limlimzzzzzfzzzzz f(z)=z2 在 z0 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：例例1：zxiy222()()2zxiyxiyxyixy 22uxy2vxy顯然u,v為連續(xù)可微函數(shù)2 22 2uuxyxyvvyxxy 顯然u,v也滿足C-R條件故而f(z)=z2可導(dǎo)?。?）（2）22f(z)=|z|2 在 z0 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：例例2：zxiy222|()()zxiyxiyxy22uxy0v 顯然u,v為連續(xù)可微函數(shù)2 20 0uuxyxyvvxy但u,v不滿足C-R條件（z=0除外）故而f(z)=|z|2不可導(dǎo)（z

14、=0除外）?。?）（2）2200*0000*limlimzzzzzzzzzz 如果 z0=0, 2200*0000*0limlimzzzzzzzzzz 如果 z00, 可導(dǎo)!*200izz eize 故極限與 方向有關(guān)，不可導(dǎo)!z23dwuvvuiidzxxyy;1nnnzdzdwzw;cossinzdzdwzw復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)方法復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)方法 (如果存在）如果存在）:一、 已知 f(z), 求導(dǎo): 與實(shí)變函數(shù)求導(dǎo)類似。二、已知 u(x,y)+iv(x,y), 求導(dǎo):2222-63 (-)3()2 dfxyi xyixyixydz例：3232( )3(3)f zyx yi xxy2333()(

15、 )izi zfziz2.1.3. 解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的定義: 如果函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D上處處可微,則稱f(z)是區(qū)域D 上的解析函數(shù)解析函數(shù),或稱f(z)在D上解析解析.注意：函數(shù)在某點(diǎn)解析是指在該點(diǎn)某一鄰域解析。D在某點(diǎn)解析。2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2.2.1. 共軛調(diào)和函數(shù)的求法共軛調(diào)和函數(shù)的求法 定義定義: 如果實(shí)值函數(shù)u(x,y)在某區(qū)域D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且滿足22220,uuxy則稱u(x,y)為區(qū)域D上的調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù).方程22220uuxy(記作u=0)稱為拉普拉斯方程拉普拉斯方程. 定理定理: 任何一個在區(qū)域D上解析的函數(shù)f(z)=u

16、(x,y)+iv(x,y),其實(shí)部與虛部都是該區(qū)域上的調(diào)和函數(shù).解析函數(shù)實(shí)部與虛部之間的這種依賴關(guān)系還可以用圖示表示，實(shí)部與虛部等于常數(shù)的兩曲線簇正交（圖中實(shí)線為實(shí)部）：2wz21wz 例例4. 驗(yàn)證u=x3-3xy2是平面上的調(diào)和函數(shù),并求以它為實(shí)部的解析函數(shù).解解 ux=3x2-3y2, uy=-6xy, uxx=6x, uyy=-6x.所以 uxx+uyy=0,6( )6.xyvxyxuxy 即u是平面上調(diào)和函數(shù). 欲求以u為實(shí)部的解析函數(shù), 先由C-R條件中的一個方程得到vy=ux=3x2-3y2, 于是, v=3x2y-y3+(x), 其中(x)是x的待定函數(shù). 將這里的v求對x的偏

17、導(dǎo)數(shù), 再由C-R條件中另一個方程, 得到所以,( )0,( ),xxc即其中c是任意常數(shù).于是233.vx yyc最后得到所求解析函數(shù)為322333( )3(3)().f zuivxxyix yycxiyiczic兩個由C-R條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù)u與v稱為共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù). : 任意一個在區(qū)域D上解析的函數(shù),其實(shí)部與虛部在該區(qū)域上為共軛調(diào)和函數(shù).2.2.2. 共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義 設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是區(qū)域D上的解析函數(shù),且f(z)0.由 u(x,y)=常數(shù),v(x,y)=常數(shù)得到xOy平面上兩族曲線.容易證明這兩族曲線是互相正交的. 問題

18、：如何證明兩組曲線正交？任意一點(diǎn)二法矢量垂直！P0u(x,y)=u(x0,y0)v(x,y)=v(x0,y0)0 xy由C-R條件,得到兩法矢量的數(shù)量積為0,u vuvuuu uxxyyxyyx 所以,兩條曲線在P0點(diǎn)正交.由于P0點(diǎn)的任意性,證明了u(x,y)=常數(shù)與v(x,y)=常數(shù)兩族曲線是相互正交的.,.uuvvxyxy和 對D上任意一點(diǎn)P0(x0,y0),其中z0=x0+iy0,則上述兩族曲線中將各有一條曲線u(x,y)=u(x0,y0),v(x,y)=v(x0,y0)通過P0點(diǎn)(右下圖).兩條曲線在P0點(diǎn)的法矢量分別為例5. 在復(fù)平面上的解析函數(shù) f(z)=z+ (其中= a+ i

19、b0, =c+id)因?yàn)?f(z)=z+=(a+ib)(x+iy)+(c+id)=(ax-by+c)+i(bx+ay+d),其實(shí)部與虛部分別為 u(x,y)=ax-by+c,v(x,y)=bx+ay+d.0 xyab的平行直線,而v(x,y)=常數(shù)是一族斜率為ba的平行直線.這兩族直線顯然相互正交(右圖)易知u(x,y)=常數(shù)是一族斜率為2.3.1 初等單值函數(shù)初等單值函數(shù)1010( )(0)nnnwP za za zaa其中一、冪函數(shù)一、冪函數(shù) w=zn當(dāng)n是正整數(shù)或0(此時w=z0=1)時, w=zn在復(fù)平面上解析多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù) 在復(fù)平面上解析.有理函數(shù)有理函數(shù)10100101( )

20、(,0)( )nnnmmma za zaP zwa bQ zb zb zb其中在復(fù)平面上除使Q(z)=0的點(diǎn)外解析(cossin ).zx iyxeeeyiy (exp )來規(guī)定指數(shù)函數(shù)或zez1.定義定義 對任何復(fù)數(shù)對任何復(fù)數(shù)z=x+iy,用關(guān)系式用關(guān)系式2.指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)1 ( ),.zzxe 對對實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)定定義義與與通通常常實(shí)實(shí)指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)定定義義一一致致32012( )|;,;.zxzeeArgeykk ，二二. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)20( ),cossin.()ziyzxeeyiy對對Re(Re(歐歐拉拉公公式式(4),0zz e(, exp0)xze事實(shí)上(6

21、):運(yùn)運(yùn)算算法法則則111222,zxiy zxiy設(shè)設(shè)，則則12zze e 111(cossin)xeyiy 222(cossin)xeyiy 121212cos()sin()xxeyyiyy 12zze 5( )zwe 指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)在在整整個個復(fù)復(fù)平平面面是是解解析析，且且有有：()zzee11212122zzzzzzzzee eeee ,=。加加法法定定理理：011 1(cos()sin()zzx xzze eeyyiyyeee ，( ):zf ze由加法定理可推得的周期性()( ),2,fzTfzTki kZ22,(2)(cos2sin 2)( ) 2.zk izk izzf zk

22、 iee eekikef zTk ik事實(shí)上為任意整數(shù)A 這個性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。這個性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。2zwei (7)(7)指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)是是基基本本周周期期為為的的周周期期函函數(shù)數(shù)： (cossin )zxeeyiy僅僅是個符號，它的定義為， 沒有冪的含義A注意注意 Im()zie求例例1114ie求例例21ze 解方程例例3sinyex14212ei20, 1, 2,zk ik (8) 不存在, 因?yàn)楫?dāng)z沿實(shí)軸的正負(fù)兩個方面趨于 時ez分別趨于limzze0. 和:cossin0,:cossinsincos(2)22iyiyiyiyiyiyeyiyxeyiyeeee

23、yyyRi 由指數(shù)函數(shù)的定義當(dāng)時從而得到推廣到復(fù)變數(shù)情形推廣到復(fù)變數(shù)情形sincos(3)22zizizizieeeezziz稱為 的正弦與余弦函數(shù)定義定義三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1)sincos2zzT及是周期函數(shù)(2 )(2 )22cos(2 )22cos 2i zi ziziiziizizeee eeezeezq正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)2)sin,cos.zz是是奇奇函函數(shù)數(shù)是是偶偶函函數(shù)數(shù)sin()sin ;cos()cos2izizeezzzzi 同理4)Eulercossinizzeziz 公公式式對對一一切切 成成立立3),(sin )cos(cos

24、)sinzzzz 在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處解解析析 且且11(sin )()()cos22izizizizzeeeezi5)各各種種三三角角恒恒等等式式仍仍然然成成立立（半半角角公公式式除除外外）12121212121222cos()coscossinsinsin()sincoscossinsincos1zzzzzzzzzzzzzzcos()cos cossin sinsin()sin coscos sinxiyxiyxiyxiyxiyxiycos2(4)sin2yyyyeeiychyeeiyishyicos()cossinsin()sincosxiyxchyixshyxiyxchyixs

25、hysincos11tancotseccsccossincossinzzzzzzzzzz其它三角函數(shù)的定義其它三角函數(shù)的定義6)sin,sin0()zzzkkZ的零點(diǎn) 即方程的根為cos2zzkkZ的零點(diǎn)為117122)cos,sin, cosyyeeieeyiyshyiyi 模?？煽梢砸源蟠笥谟? 1甚甚至至無無界界。當(dāng)當(dāng)1()shzthzcthzchzthz22zzzzeeeeshzchz定義定義稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)q雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)1)2shzchzi、都是以為周期的函數(shù)2),chzshz偶函數(shù)奇函數(shù),.三角函數(shù) 雙

26、曲函數(shù)均是由復(fù)指數(shù)函數(shù)定義的 且是周期函數(shù)，故它的反函數(shù)一定是多值函數(shù)4)sincos()cossinshiyiychiyych xiychxyishxy由定義3) ()()chzshzshzchzshzchz和在整個復(fù)平面內(nèi)處處解析2.3.2. 初等多值函數(shù)初等多值函數(shù) 根式函數(shù) 則稱w為z的根式函數(shù)根式函數(shù)，記為 .,1,2,nwznn如果z=w.nwz（） 是多值函數(shù)3wz w的模與z的模是一一對應(yīng)的；而輻角則不然，對應(yīng)每個 值，有三個不同的 值12324,333從而得到三個不同的w值24333333123,.iiiwrewrewre所以，函數(shù) 是多值函數(shù).3wz0uv0 xy0 xy0

27、uv 單葉性區(qū)域單葉性區(qū)域:如右圖,我們把區(qū)域,稱作 的單葉性區(qū)域. 單值分支單值分支: 我們把右圖三個單葉性區(qū)域分別加上相鄰處的端邊,構(gòu)成三個三角形, 當(dāng)我們用這三個互不相交的三角形把w平面布滿之后, 就把一個多值函數(shù) 劃分成了三個單值分支3zw3wz2433333123,.iiiwrewrewre上述每個角形分別是其一個單值分支的值域,而此時有0arg2 .z0uv0Cc( , )rxy () 支點(diǎn)支點(diǎn) 如右圖, 對于函數(shù) 來說,z=0點(diǎn)具有這樣的特性: 當(dāng)z繞它轉(zhuǎn)一整圈回到原處時, 多值函數(shù)由一個分支變到另一個分支. 具有這種性質(zhì)的點(diǎn)稱為多值函數(shù) 的支點(diǎn)支點(diǎn). 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也具有這種性質(zhì),因

28、為繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)一整實(shí)也就是繞無窮遠(yuǎn)點(diǎn)轉(zhuǎn)一整圈. 所以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也是 的支點(diǎn).3wz3wz3wz () 支割線支割線 例例7.設(shè) 確定在沿正實(shí)軸割破的z平面上,并且3wz3( ),()?w iiiwi 求解解 由4333( ),iw iiwre 顯然應(yīng)取第三支又由1136233,()cos30sin30231.22iiooiewieii 所以()支割線可以分為兩案z 今在z平面上從支點(diǎn)z=0到支點(diǎn) 任意引一條射線(例如取正實(shí)軸為這條射線),稱為支割線支割線.wza的黎曼面將兩個割開的復(fù)平面粘接起來，形成黎曼面。定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，(0)( ),

29、wez zwf zwLnz把滿足的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù) 記作ln ,2()iu iviwuivzreereur vkkZ令那么201ln()(,)wLnzrikklnln(arg2)(0, 1, 2,)LnzzizzizkkArg或(1) 對數(shù)的定義對數(shù)的定義對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),()LnzLnz為為的的一一單單值值函函數(shù)數(shù) 稱稱為為的的主主值值 主主值值支支(0),2.z zzz這說明一個復(fù)數(shù)的對數(shù)仍為復(fù)數(shù) 它的實(shí)部是 的模的實(shí)自然對數(shù)；它的虛部是 的幅角的一般值 即虛部無窮多 其任意兩個相異值相差的一個整數(shù)倍,wLnzz即是 的無窮多值函數(shù)0,lnargln(2)kLnzzizz 記記作作當(dāng)當(dāng)時時

30、ln2()Lnzzi kkZ故故2 ,.zeiz設(shè)求例例ln220, 1,2zik ik nln1(2)2(2),20, 1, 2,.L iikikk 例例9. 因 , 所以2iie它是實(shí)數(shù)域中等式 在復(fù)數(shù)域中的推廣.lnxxe由 及 所定義的函數(shù),分別叫做反正弦反正弦函數(shù)函數(shù)及反余弦函數(shù)反余弦函數(shù),記為 及sinzwcoszwarcsinwxarccos .wzln()aazzea為復(fù)常數(shù) 一般冪函數(shù). (2)2ln22,0, 1, 2,.iikkiiiieeek 例例10. 求ii=?12?i1(1)ln2(1)(ln2 2)(ln2 2)(ln2 2)2iiik ikikeee(ln2

31、2)2cosln2sinln22(cosln2sinln2),0, 1, 2,.kkeieik 例例11. 求解解解解1. 場的概念場的概念場指的是物理量在空間的某種分布情況。場指的是物理量在空間的某種分布情況。牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)Fma22d xFdtm( )xx t方程方程解解t t：自變量，：自變量，x,y,z:x,y,z:函數(shù)值函數(shù)值場論場論( (聲波壓力場）聲波壓力場）Fma22221vt 方程方程( , , , )x y z t解解x,y,z,tx,y,z,t：自變量：自變量( )yy t( )zz t可見當(dāng)牽涉到場時，空間坐標(biāo)（可見當(dāng)牽涉到場時，空間坐標(biāo)（x,y,z)x,y,z)變得

32、與時間坐標(biāo)變得與時間坐標(biāo)t t對等起來，變成了物理量函數(shù)的自變量或參數(shù)。起來，變成了物理量函數(shù)的自變量或參數(shù)。562. 常見的物理場常見的物理場電磁場電磁場 場以某物理量為被研究的函數(shù)，（場以某物理量為被研究的函數(shù)，（x,y,z,t)x,y,z,t)為該函數(shù)的參數(shù)為該函數(shù)的參數(shù) 物理量為矢量物理量為矢量 矢量場，物理量為標(biāo)量矢量場，物理量為標(biāo)量 標(biāo)量場標(biāo)量場 參數(shù)中只包含（參數(shù)中只包含（x,y,t) x,y,t) 平面場，平面場，(x,y,z,t) (x,y,z,t) 立體場立體場 場與時間有關(guān)場與時間有關(guān) 時變場，與時間無關(guān)時變場，與時間無關(guān) 恒定場恒定場壓力場壓力場量子場量子場溫度場溫度場

33、t BE0tDHJ222Vimt 22221vt 221TTvt ( , , , )TT x y z t( , , , )x y z t溫度溫度密度差密度差波函數(shù)波函數(shù)( , , , )x y z t電磁矢量電磁矢量( , , , )( , , , )x y z tx y z tEEHH57S0 x0y3 什么叫平面場什么叫平面場平面矢量場是指場中的所有矢量都平行于某一固定平面S0,且在同一條垂直于S0的直線上的所有點(diǎn)處,場矢量都相等. 0,yxEExy(3.20)0.yxEExy(3.21)以及從而有E0rot以平面靜電場為例,把平面靜電場強(qiáng)度E E寫成Ex+iEy.由電動力學(xué)知道,由點(diǎn)電荷

34、形成的靜電場強(qiáng)度E, 在挖去電荷所在點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)形成無源無旋的矢量場, 即有divE E=0, 從而有根據(jù)關(guān)于線積分與路徑無關(guān)的充要條件的定理,由(3.20)知必有一單值函數(shù)000( , )(,)zyxzU x yE dxE dyU xy,yUEx ,xUEy.yxEiEgradU(3.22)同理, 由(3.21)知,必有一單值函數(shù)存在,使即000( , )(,)zxyzV x yE dxE dyV xy 存在,使,xyVVEExy .xyEiEgradV (3.23),yxUEdyxUdxEy 即函數(shù)V(x,y)叫做場的勢函數(shù)勢函數(shù),它的等值線V(x,y)=c叫做等等勢線勢線. 而在函數(shù)U(x,y)的等值線U(x,y)=c上,每點(diǎn)的切向?yàn)榧磁c矢量E的作用線方向一致.于是U(x,y)=c是,而U(x,y)叫做場的力函數(shù)力函數(shù). 由(3.23)及(3.20)知勢函數(shù)V(x,y)是調(diào)和函數(shù).,yxUVExyUVEyx 由(3.22)及(3.23)得到由(3.22)及(3.21)知力函數(shù)U(x,y)也是調(diào)和函數(shù).即U,V滿足C-R條件. 于是 w(z)=